Theorem efcvg 15187

Description: The series that defines the exponential function converges to it. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
efcvg.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
efcvg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ⇝ (exp‘𝐴))

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem efcvg

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12004	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 11716	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
3		efcvg.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
4	3	eftval 15179	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
5	4	adantl 475	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
6		eftcl 15176	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
7	3	efcllem 15180	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
8	1, 2, 5, 6, 7	isumclim2 14864	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
9		efval 15182	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
10	8, 9	breqtrrd 4901	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ⇝ (exp‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4873   ↦ cmpt 4952  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  ℂcc 10250  0cc0 10252   + caddc 10255   / cdiv 11009  ℕ₀cn0 11618  seqcseq 13095  ↑cexp 13154  !cfa 13353   ⇝ cli 14592  Σcsu 14793  expce 15164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330  ax-addf 10331  ax-mulf 10332

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-pm 8125  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-rp 12113  df-ico 12469  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-fl 12888  df-seq 13096  df-exp 13155  df-fac 13354  df-hash 13411  df-shft 14184  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-limsup 14579  df-clim 14596  df-rlim 14597  df-sum 14794  df-ef 15170

This theorem is referenced by:  efcvgfsum  15188  ege2le3  15192  ef0  15193  efcj  15194  efaddlem  15195