Theorem efcvg 15792

Description: The series that defines the exponential function converges to it. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
efcvg.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
efcvg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ⇝ (exp‘𝐴))

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem efcvg

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12619	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12331	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
3		efcvg.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
4	3	eftval 15784	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
5	4	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
6		eftcl 15781	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
7	3	efcllem 15785	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
8	1, 2, 5, 6, 7	isumclim2 15468	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
9		efval 15787	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
10	8, 9	breqtrrd 5107	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ⇝ (exp‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5162  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  ℂcc 10870  0cc0 10872   + caddc 10875   / cdiv 11632  ℕ₀cn0 12233  seqcseq 13719  ↑cexp 13780  !cfa 13985   ⇝ cli 15191  Σcsu 15395  expce 15769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-inf2 9377  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-pm 8601  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-sup 9179  df-inf 9180  df-oi 9247  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-rp 12730  df-ico 13084  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-fl 13510  df-seq 13720  df-exp 13781  df-fac 13986  df-hash 14043  df-shft 14776  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-limsup 15178  df-clim 15195  df-rlim 15196  df-sum 15396  df-ef 15775

This theorem is referenced by:  efcvgfsum  15793  ege2le3  15797  ef0  15798  efcj  15799  efaddlem  15800