Theorem efcvg 16031

Description: The series that defines the exponential function converges to it. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
efcvg.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
efcvg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ⇝ (exp‘𝐴))

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem efcvg

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12863	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12569	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
3		efcvg.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
4	3	eftval 16022	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
6		eftcl 16019	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
7	3	efcllem 16023	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
8	1, 2, 5, 6, 7	isumclim2 15706	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
9		efval 16025	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
10	8, 9	breqtrrd 5167	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ⇝ (exp‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5139   ↦ cmpt 5222  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  ℂcc 11105  0cc0 11107   + caddc 11110   / cdiv 11870  ℕ₀cn0 12471  seqcseq 13967  ↑cexp 14028  !cfa 14234   ⇝ cli 15430  Σcsu 15634  expce 16007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12976  df-ico 13331  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-fl 13758  df-seq 13968  df-exp 14029  df-fac 14235  df-hash 14292  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013

This theorem is referenced by:  efcvgfsum  16032  ege2le3  16036  ef0  16037  efcj  16038  efaddlem  16039