Theorem efne0OLD 16232

Description: Obsolete version of efne0 16231 as of 14-Nov-2025. The exponential of a complex number is nonzero. Corollary 15-4.3 of [Gleason] p. 309. (Contributed by NM, 13-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
efne0OLD	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ≠ 0)

Proof of Theorem efne0OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11240	. 2 ⊢ 1 ≠ 0
2		oveq1 7415	. . . 4 ⊢ ((exp‘𝐴) = 0 → ((exp‘𝐴) · (exp‘-𝐴)) = (0 · (exp‘-𝐴)))
3		efcan 16229	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) · (exp‘-𝐴)) = 1)
4		negcl 11528	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
5		efcl 16215	. . . . . . 7 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
6	4, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
7	6	mul02d 11479	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · (exp‘-𝐴)) = 0)
8	3, 7	eqeq12d 2776	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘𝐴) · (exp‘-𝐴)) = (0 · (exp‘-𝐴)) ↔ 1 = 0))
9	2, 8	imbitrid 247	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) = 0 → 1 = 0))
10	9	necon3d 2976	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 ≠ 0 → (exp‘𝐴) ≠ 0))
11	1, 10	mpi 21	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℂcc 11169  0cc0 11171  1c1 11172   · cmul 11176  -cneg 11513  expce 16194

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-pm 8828  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-rp 13090  df-ico 13451  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-fl 13900  df-seq 14113  df-exp 14173  df-fac 14385  df-bc 14414  df-hash 14442  df-shft 15187  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235  df-sqrt 15369  df-abs 15370  df-limsup 15605  df-clim 15622  df-rlim 15623  df-sum 15821  df-ef 16200

This theorem is used by: (None)