Theorem efcl 16038

Description: Closure law for the exponential function. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
efcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem efcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eff 16037	. 2 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
2	1	ffvelcdmi 7029	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  ℂcc 11027  expce 16017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-ico 13295  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023

This theorem is referenced by:  efcld  16039  fprodefsum  16051  efne0OLD  16055  efneg  16056  eff2  16057  efsub  16058  efexp  16059  ef4p  16071  sinf  16082  cosf  16083  tanval2  16091  tanval3  16092  resinval  16093  recosval  16094  resincl  16098  recoscl  16099  sinneg  16104  cosneg  16105  efival  16110  sinhval  16112  coshval  16113  absef  16155  efieq1re  16157  dveflem  25956  dvef  25957  dvsincos  25958  reeff1o  26425  efper  26456  pige3ALT  26497  sineq0  26501  efeq1  26505  efif1olem4  26522  efifo  26524  eff1olem  26525  eflogeq  26579  dvloglem  26625  logf1o2  26627  efopn  26635  cxpcl  26651  dvcxp1  26717  dvcxp2  26718  dvcncxp1  26720  sinasin  26866  asinsin  26869  efiatan2  26894  atantan  26900  efrlim  26946  efrlimOLD  26947  cos9thpiminplylem4  33945  cos9thpiminplylem5  33946  iprodefisumlem  35938  iprodefisum  35939  expgrowthi  44778  expgrowth  44780  sineq0ALT  45381  sinhpcosh  50227