Theorem efcl 16137

Description: Closure law for the exponential function. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
efcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem efcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eff 16136	. 2 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
2	1	ffvelcdmi 7080	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6538  ℂcc 11099  expce 16116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-ico 13379  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14312  df-hash 14369  df-shft 15106  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-limsup 15524  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-ef 16122

This theorem is referenced by:  efcld  16138  fprodefsum  16150  efne0OLD  16154  efneg  16155  eff2  16156  efsub  16157  efexp  16158  ef4p  16170  sinf  16181  cosf  16182  tanval2  16190  tanval3  16191  resinval  16192  recosval  16193  resincl  16197  recoscl  16198  sinneg  16203  cosneg  16204  efival  16209  sinhval  16211  coshval  16212  absef  16254  efieq1re  16256  dveflem  26119  dvef  26120  dvsincos  26121  reeff1o  26588  efper  26622  pige3ALT  26663  sineq0  26667  efeq1  26671  efif1olem4  26688  efifo  26690  eff1olem  26691  eflogeq  26745  dvloglem  26791  logf1o2  26793  efopn  26801  cxpcl  26817  dvcxp1  26883  dvcxp2  26884  dvcncxp1  26886  sinasin  27032  asinsin  27035  efiatan2  27060  atantan  27066  efrlim  27112  cos9thpiminplylem4  34153  cos9thpiminplylem5  34154  iprodefisumlem  36210  iprodefisum  36211  expgrowthi  45023  expgrowth  45025  sineq0ALT  45625  sinhpcosh  50495