Theorem efne0 16101

Description: The exponential of a complex number is nonzero. Corollary 15-4.3 of [Gleason] p. 309. (Contributed by NM, 13-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
efne0	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ≠ 0)

Proof of Theorem efne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11229	. 2 ⊢ 1 ≠ 0
2		oveq1 7433	. . . 4 ⊢ ((exp‘𝐴) = 0 → ((exp‘𝐴) · (exp‘-𝐴)) = (0 · (exp‘-𝐴)))
3		efcan 16100	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) · (exp‘-𝐴)) = 1)
4		negcl 11512	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
5		efcl 16086	. . . . . . 7 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
7	6	mul02d 11464	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · (exp‘-𝐴)) = 0)
8	3, 7	eqeq12d 2742	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘𝐴) · (exp‘-𝐴)) = (0 · (exp‘-𝐴)) ↔ 1 = 0))
9	2, 8	imbitrid 243	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) = 0 → 1 = 0))
10	9	necon3d 2951	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 ≠ 0 → (exp‘𝐴) ≠ 0))
11	1, 10	mpi 20	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ‘cfv 6556  (class class class)co 7426  ℂcc 11158  0cc0 11160  1c1 11161   · cmul 11165  -cneg 11497  expce 16065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-inf2 9686  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237  ax-pre-sup 11238

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-int 4957  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-se 5640  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-isom 6565  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-1o 8498  df-er 8736  df-pm 8860  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9487  df-inf 9488  df-oi 9555  df-card 9984  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-div 11924  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12613  df-uz 12877  df-rp 13031  df-ico 13386  df-fz 13541  df-fzo 13684  df-fl 13814  df-seq 14024  df-exp 14084  df-fac 14293  df-bc 14322  df-hash 14350  df-shft 15074  df-cj 15106  df-re 15107  df-im 15108  df-sqrt 15242  df-abs 15243  df-limsup 15475  df-clim 15492  df-rlim 15493  df-sum 15693  df-ef 16071

This theorem is referenced by:  efneg  16102  eff2  16103  efsub  16104  efgt0  16107  tanval3  16138  reeff1o  26480  efeq1  26558  efif1olem4  26575  eff1olem  26578  eflogeq  26632  dvloglem  26678  logf1o2  26680  efopn  26688  cxpne0  26707  atantan  26954  cxploglim  27009  gamne0  27077  iprodefisum  35565  expgrowth  44027