Theorem eulerpathpr 30841

Description: A graph with an Eulerian path has either zero or two vertices of odd degree. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
eulerpathpr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
eulerpathpr	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑃   𝑥,𝑉

Proof of Theorem eulerpathpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpathpr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → 𝐺 ∈ UPGraph)
4		upgruhgr 29680	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
5	2	uhgrfun 29644	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
6	4, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → Fun (iEdg‘𝐺))
8		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
9	1, 2, 3, 7, 8	eupth2 30840	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}))
10	9	fveq2d 6889	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) = (♯‘if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))})))
11		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ (∅ = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) → (♯‘∅) = (♯‘if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))})))
12	11	eleq1d 2845	. . 3 ⊢ (∅ = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) → ((♯‘∅) ∈ {0, 2} ↔ (♯‘if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))})) ∈ {0, 2}))
13		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ ({(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) → (♯‘{(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) = (♯‘if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))})))
14	13	eleq1d 2845	. . 3 ⊢ ({(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) → ((♯‘{(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) ∈ {0, 2} ↔ (♯‘if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))})) ∈ {0, 2}))
15		hash0 14511	. . . . 5 ⊢ (♯‘∅) = 0
16		c0ex 11300	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
17	16	prid1 4722	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 2}
18	15, 17	eqeltri 2856	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) ∈ {0, 2}
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (♯‘∅) ∈ {0, 2})
20		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) ∧ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
21	20	neqned 2962	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) ∧ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))
22		fvex 6898	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘0) ∈ V
23		fvex 6898	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ V
24		hashprg 14539	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) ∈ V ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ V) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘{(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) = 2))
25	22, 23, 24	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘{(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) = 2)
26	21, 25	sylib 221	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) ∧ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (♯‘{(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) = 2)
27		2ex 12420	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ V
28	27	prid2 4723	. . . 4 ⊢ 2 ∈ {0, 2}
29	26, 28	eqeltrdi 2868	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) ∧ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (♯‘{(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) ∈ {0, 2})
30	12, 14, 19, 29	ifbothda 4520	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → (♯‘if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))})) ∈ {0, 2})
31	10, 30	eqeltrd 2860	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2})

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  {crab 3412  Vcvv 3450  ∅c0 4278  ifcif 4481  {cpr 4585   class class class wbr 5102  Fun wfun 6532  ‘cfv 6538  0cc0 11200  2c2 12397  ♯chash 14474   ∥ cdvds 16422  Vtxcvtx 29574  iEdgciedg 29575  UHGraphcuhgr 29634  UPGraphcupgr 29658  VtxDegcvtxdg 30046  EulerPathsceupth 30798

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-xadd 13242  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-word 14659  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-dvds 16423  df-vtx 29576  df-iedg 29577  df-edg 29626  df-uhgr 29636  df-ushgr 29637  df-upgr 29660  df-uspgr 29731  df-vtxdg 30047  df-wlks 30180  df-trls 30275  df-eupth 30799

This theorem is used by:  eulerpath  30842