MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eulerpathpr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem eulerpathpr 29482
Description: A graph with an Eulerian path has either zero or two vertices of odd degree. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
eulerpathpr.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
eulerpathpr ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) ∈ {0, 2})
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝑉
Proof of Theorem eulerpathpr
StepHypRef Expression
1 eulerpathpr.v . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 eqid 2732 . . . 4 (iEdgβ€˜πΊ) = (iEdgβ€˜πΊ)
3 simpl 483 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ 𝐺 ∈ UPGraph)
4 upgruhgr 28351 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UPGraph β†’ 𝐺 ∈ UHGraph)
52uhgrfun 28315 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ Fun (iEdgβ€˜πΊ))
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ UPGraph β†’ Fun (iEdgβ€˜πΊ))
76adantr 481 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ Fun (iEdgβ€˜πΊ))
8 simpr 485 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃)
91, 2, 3, 7, 8eupth2 29481 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} = if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))}))
109fveq2d 6892 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) = (β™―β€˜if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))})))
11 fveq2 6888 . . . 4 (βˆ… = if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))}) β†’ (β™―β€˜βˆ…) = (β™―β€˜if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))})))
1211eleq1d 2818 . . 3 (βˆ… = if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))}) β†’ ((β™―β€˜βˆ…) ∈ {0, 2} ↔ (β™―β€˜if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))})) ∈ {0, 2}))
13 fveq2 6888 . . . 4 ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))} = if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))}) β†’ (β™―β€˜{(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))}) = (β™―β€˜if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))})))
1413eleq1d 2818 . . 3 ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))} = if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))}) β†’ ((β™―β€˜{(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))}) ∈ {0, 2} ↔ (β™―β€˜if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))})) ∈ {0, 2}))
15 hash0 14323 . . . . 5 (β™―β€˜βˆ…) = 0
16 c0ex 11204 . . . . . 6 0 ∈ V
1716prid1 4765 . . . . 5 0 ∈ {0, 2}
1815, 17eqeltri 2829 . . . 4 (β™―β€˜βˆ…) ∈ {0, 2}
1918a1i 11 . . 3 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃) ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ (β™―β€˜βˆ…) ∈ {0, 2})
20 simpr 485 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃) ∧ Β¬ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))
2120neqned 2947 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃) ∧ Β¬ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))
22 fvex 6901 . . . . . 6 (π‘ƒβ€˜0) ∈ V
23 fvex 6901 . . . . . 6 (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) ∈ V
24 hashprg 14351 . . . . . 6 (((π‘ƒβ€˜0) ∈ V ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) ∈ V) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) ↔ (β™―β€˜{(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))}) = 2))
2522, 23, 24mp2an 690 . . . . 5 ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) ↔ (β™―β€˜{(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))}) = 2)
2621, 25sylib 217 . . . 4 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃) ∧ Β¬ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ (β™―β€˜{(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))}) = 2)
27 2ex 12285 . . . . 5 2 ∈ V
2827prid2 4766 . . . 4 2 ∈ {0, 2}
2926, 28eqeltrdi 2841 . . 3 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃) ∧ Β¬ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ (β™―β€˜{(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))}) ∈ {0, 2})
3012, 14, 19, 29ifbothda 4565 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (β™―β€˜if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))})) ∈ {0, 2})
3110, 30eqeltrd 2833 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) ∈ {0, 2})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  {crab 3432  Vcvv 3474  βˆ…c0 4321  ifcif 4527  {cpr 4629   class class class wbr 5147  Fun wfun 6534  β€˜cfv 6540  0cc0 11106  2c2 12263  β™―chash 14286   βˆ₯ cdvds 16193  Vtxcvtx 28245  iEdgciedg 28246  UHGraphcuhgr 28305  UPGraphcupgr 28329  VtxDegcvtxdg 28711  EulerPathsceupth 29439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-xadd 13089  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-word 14461  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16194  df-vtx 28247  df-iedg 28248  df-edg 28297  df-uhgr 28307  df-ushgr 28308  df-upgr 28331  df-uspgr 28399  df-vtxdg 28712  df-wlks 28845  df-trls 28938  df-eupth 29440
This theorem is referenced by:  eulerpath  29483
  Copyright terms: Public domain W3C validator