Theorem eulerpathpr 30176

Description: A graph with an Eulerian path has either zero or two vertices of odd degree. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
eulerpathpr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
eulerpathpr	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑃   𝑥,𝑉

Proof of Theorem eulerpathpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpathpr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → 𝐺 ∈ UPGraph)
4		upgruhgr 29036	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
5	2	uhgrfun 29000	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → Fun (iEdg‘𝐺))
8		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
9	1, 2, 3, 7, 8	eupth2 30175	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}))
10	9	fveq2d 6869	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) = (♯‘if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))})))
11		fveq2 6865	. . . 4 ⊢ (∅ = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) → (♯‘∅) = (♯‘if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))})))
12	11	eleq1d 2814	. . 3 ⊢ (∅ = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) → ((♯‘∅) ∈ {0, 2} ↔ (♯‘if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))})) ∈ {0, 2}))
13		fveq2 6865	. . . 4 ⊢ ({(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) → (♯‘{(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) = (♯‘if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))})))
14	13	eleq1d 2814	. . 3 ⊢ ({(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) → ((♯‘{(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) ∈ {0, 2} ↔ (♯‘if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))})) ∈ {0, 2}))
15		hash0 14342	. . . . 5 ⊢ (♯‘∅) = 0
16		c0ex 11186	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
17	16	prid1 4734	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 2}
18	15, 17	eqeltri 2825	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) ∈ {0, 2}
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (♯‘∅) ∈ {0, 2})
20		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) ∧ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
21	20	neqned 2934	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) ∧ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))
22		fvex 6878	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘0) ∈ V
23		fvex 6878	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ V
24		hashprg 14370	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) ∈ V ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ V) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘{(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) = 2))
25	22, 23, 24	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘{(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) = 2)
26	21, 25	sylib 218	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) ∧ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (♯‘{(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) = 2)
27		2ex 12274	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ V
28	27	prid2 4735	. . . 4 ⊢ 2 ∈ {0, 2}
29	26, 28	eqeltrdi 2837	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) ∧ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (♯‘{(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) ∈ {0, 2})
30	12, 14, 19, 29	ifbothda 4535	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → (♯‘if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))})) ∈ {0, 2})
31	10, 30	eqeltrd 2829	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2927  {crab 3411  Vcvv 3455  ∅c0 4304  ifcif 4496  {cpr 4599   class class class wbr 5115  Fun wfun 6513  ‘cfv 6519  0cc0 11086  2c2 12252  ♯chash 14305   ∥ cdvds 16229  Vtxcvtx 28930  iEdgciedg 28931  UHGraphcuhgr 28990  UPGraphcupgr 29014  VtxDegcvtxdg 29400  EulerPathsceupth 30133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163  ax-pre-sup 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-int 4919  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-1o 8443  df-2o 8444  df-oadd 8447  df-er 8682  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9411  df-inf 9412  df-dju 9872  df-card 9910  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-div 11852  df-nn 12198  df-2 12260  df-3 12261  df-n0 12459  df-xnn0 12532  df-z 12546  df-uz 12810  df-rp 12966  df-xadd 13086  df-fz 13482  df-fzo 13629  df-seq 13977  df-exp 14037  df-hash 14306  df-word 14489  df-cj 15075  df-re 15076  df-im 15077  df-sqrt 15211  df-abs 15212  df-dvds 16230  df-vtx 28932  df-iedg 28933  df-edg 28982  df-uhgr 28992  df-ushgr 28993  df-upgr 29016  df-uspgr 29084  df-vtxdg 29401  df-wlks 29534  df-trls 29627  df-eupth 30134

This theorem is referenced by:  eulerpath  30177