Theorem eulerpathpr 30774

Description: A graph with an Eulerian path has either zero or two vertices of odd degree. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
eulerpathpr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
eulerpathpr	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑃   𝑥,𝑉

Proof of Theorem eulerpathpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpathpr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → 𝐺 ∈ UPGraph)
4		upgruhgr 29613	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
5	2	uhgrfun 29577	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
6	4, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → Fun (iEdg‘𝐺))
8		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
9	1, 2, 3, 7, 8	eupth2 30773	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}))
10	9	fveq2d 6877	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) = (♯‘if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))})))
11		fveq2 6873	. . . 4 ⊢ (∅ = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) → (♯‘∅) = (♯‘if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))})))
12	11	eleq1d 2845	. . 3 ⊢ (∅ = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) → ((♯‘∅) ∈ {0, 2} ↔ (♯‘if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))})) ∈ {0, 2}))
13		fveq2 6873	. . . 4 ⊢ ({(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) → (♯‘{(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) = (♯‘if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))})))
14	13	eleq1d 2845	. . 3 ⊢ ({(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) → ((♯‘{(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) ∈ {0, 2} ↔ (♯‘if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))})) ∈ {0, 2}))
15		hash0 14478	. . . . 5 ⊢ (♯‘∅) = 0
16		c0ex 11271	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
17	16	prid1 4722	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 2}
18	15, 17	eqeltri 2856	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) ∈ {0, 2}
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (♯‘∅) ∈ {0, 2})
20		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) ∧ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
21	20	neqned 2962	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) ∧ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))
22		fvex 6886	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘0) ∈ V
23		fvex 6886	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ V
24		hashprg 14506	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) ∈ V ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ V) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘{(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) = 2))
25	22, 23, 24	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘{(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) = 2)
26	21, 25	sylib 221	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) ∧ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (♯‘{(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) = 2)
27		2ex 12389	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ V
28	27	prid2 4723	. . . 4 ⊢ 2 ∈ {0, 2}
29	26, 28	eqeltrdi 2868	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) ∧ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (♯‘{(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) ∈ {0, 2})
30	12, 14, 19, 29	ifbothda 4520	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → (♯‘if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))})) ∈ {0, 2})
31	10, 30	eqeltrd 2860	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2})

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  {crab 3412  Vcvv 3450  ∅c0 4278  ifcif 4481  {cpr 4585   class class class wbr 5102  Fun wfun 6521  ‘cfv 6527  0cc0 11171  2c2 12366  ♯chash 14441   ∥ cdvds 16389  Vtxcvtx 29507  iEdgciedg 29508  UHGraphcuhgr 29567  UPGraphcupgr 29591  VtxDegcvtxdg 29979  EulerPathsceupth 30731

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-dju 9953  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-n0 12576  df-xnn0 12649  df-z 12663  df-uz 12935  df-rp 13090  df-xadd 13211  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-seq 14113  df-exp 14173  df-hash 14442  df-word 14626  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235  df-sqrt 15369  df-abs 15370  df-dvds 16390  df-vtx 29509  df-iedg 29510  df-edg 29559  df-uhgr 29569  df-ushgr 29570  df-upgr 29593  df-uspgr 29664  df-vtxdg 29980  df-wlks 30113  df-trls 30208  df-eupth 30732

This theorem is used by:  eulerpath  30775