MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eulerpathpr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem eulerpathpr 30024
Description: A graph with an Eulerian path has either zero or two vertices of odd degree. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
eulerpathpr.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
eulerpathpr ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) ∈ {0, 2})
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝑉
Proof of Theorem eulerpathpr
StepHypRef Expression
1 eulerpathpr.v . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 eqid 2727 . . . 4 (iEdgβ€˜πΊ) = (iEdgβ€˜πΊ)
3 simpl 482 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ 𝐺 ∈ UPGraph)
4 upgruhgr 28889 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UPGraph β†’ 𝐺 ∈ UHGraph)
52uhgrfun 28853 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ Fun (iEdgβ€˜πΊ))
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ UPGraph β†’ Fun (iEdgβ€˜πΊ))
76adantr 480 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ Fun (iEdgβ€˜πΊ))
8 simpr 484 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃)
91, 2, 3, 7, 8eupth2 30023 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} = if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))}))
109fveq2d 6895 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) = (β™―β€˜if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))})))
11 fveq2 6891 . . . 4 (βˆ… = if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))}) β†’ (β™―β€˜βˆ…) = (β™―β€˜if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))})))
1211eleq1d 2813 . . 3 (βˆ… = if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))}) β†’ ((β™―β€˜βˆ…) ∈ {0, 2} ↔ (β™―β€˜if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))})) ∈ {0, 2}))
13 fveq2 6891 . . . 4 ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))} = if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))}) β†’ (β™―β€˜{(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))}) = (β™―β€˜if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))})))
1413eleq1d 2813 . . 3 ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))} = if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))}) β†’ ((β™―β€˜{(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))}) ∈ {0, 2} ↔ (β™―β€˜if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))})) ∈ {0, 2}))
15 hash0 14344 . . . . 5 (β™―β€˜βˆ…) = 0
16 c0ex 11224 . . . . . 6 0 ∈ V
1716prid1 4762 . . . . 5 0 ∈ {0, 2}
1815, 17eqeltri 2824 . . . 4 (β™―β€˜βˆ…) ∈ {0, 2}
1918a1i 11 . . 3 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃) ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ (β™―β€˜βˆ…) ∈ {0, 2})
20 simpr 484 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃) ∧ Β¬ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))
2120neqned 2942 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃) ∧ Β¬ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))
22 fvex 6904 . . . . . 6 (π‘ƒβ€˜0) ∈ V
23 fvex 6904 . . . . . 6 (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) ∈ V
24 hashprg 14372 . . . . . 6 (((π‘ƒβ€˜0) ∈ V ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) ∈ V) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) ↔ (β™―β€˜{(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))}) = 2))
2522, 23, 24mp2an 691 . . . . 5 ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) ↔ (β™―β€˜{(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))}) = 2)
2621, 25sylib 217 . . . 4 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃) ∧ Β¬ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ (β™―β€˜{(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))}) = 2)
27 2ex 12305 . . . . 5 2 ∈ V
2827prid2 4763 . . . 4 2 ∈ {0, 2}
2926, 28eqeltrdi 2836 . . 3 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃) ∧ Β¬ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ (β™―β€˜{(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))}) ∈ {0, 2})
3012, 14, 19, 29ifbothda 4562 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (β™―β€˜if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))})) ∈ {0, 2})
3110, 30eqeltrd 2828 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) ∈ {0, 2})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  {crab 3427  Vcvv 3469  βˆ…c0 4318  ifcif 4524  {cpr 4626   class class class wbr 5142  Fun wfun 6536  β€˜cfv 6542  0cc0 11124  2c2 12283  β™―chash 14307   βˆ₯ cdvds 16216  Vtxcvtx 28783  iEdgciedg 28784  UHGraphcuhgr 28843  UPGraphcupgr 28867  VtxDegcvtxdg 29253  EulerPathsceupth 29981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1062  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-inf 9452  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-xnn0 12561  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-xadd 13111  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-word 14483  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-dvds 16217  df-vtx 28785  df-iedg 28786  df-edg 28835  df-uhgr 28845  df-ushgr 28846  df-upgr 28869  df-uspgr 28937  df-vtxdg 29254  df-wlks 29387  df-trls 29480  df-eupth 29982
This theorem is referenced by:  eulerpath  30025
  Copyright terms: Public domain W3C validator