Theorem finsumvtxdgeven 28207

Description: The sum of the degrees of all vertices of a finite pseudograph of finite size is even. See equation (2) in section I.1 in [Bollobas] p. 4, where it is also called the handshaking lemma. (Contributed by AV, 22-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
finsumvtxdgeven.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
finsumvtxdgeven.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
finsumvtxdgeven.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
finsumvtxdgeven	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 2 ∥ Σ𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑣)   𝐼(𝑣)

Proof of Theorem finsumvtxdgeven

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 14175	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
2	1	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12529	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (♯‘𝐼) ∈ ℤ)
4		eqidd 2738	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (2 · (♯‘𝐼)) = (2 · (♯‘𝐼)))
5		2teven 16163	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐼) ∈ ℤ ∧ (2 · (♯‘𝐼)) = (2 · (♯‘𝐼))) → 2 ∥ (2 · (♯‘𝐼)))
6	3, 4, 5	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 2 ∥ (2 · (♯‘𝐼)))
7		finsumvtxdgeven.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8		finsumvtxdgeven.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
9		finsumvtxdgeven.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
10	7, 8, 9	finsumvtxdg2size 28205	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → Σ𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = (2 · (♯‘𝐼)))
11	6, 10	breqtrrd 5124	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 2 ∥ Σ𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5096  ‘cfv 6483  (class class class)co 7341  Fincfn 8808   · cmul 10981  2c2 12133  ℕ₀cn0 12338  ℤcz 12424  ♯chash 14149  Σcsu 15496   ∥ cdvds 16062  Vtxcvtx 27654  iEdgciedg 27655  UPGraphcupgr 27738  VtxDegcvtxdg 28120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-inf2 9502  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053  ax-pre-sup 11054

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-int 4899  df-iun 4947  df-disj 5062  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-isom 6492  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7785  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-1o 8371  df-2o 8372  df-oadd 8375  df-er 8573  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-fin 8812  df-sup 9303  df-oi 9371  df-dju 9762  df-card 9800  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-div 11738  df-nn 12079  df-2 12141  df-3 12142  df-n0 12339  df-xnn0 12411  df-z 12425  df-uz 12688  df-rp 12836  df-xadd 12954  df-fz 13345  df-fzo 13488  df-seq 13827  df-exp 13888  df-hash 14150  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-clim 15296  df-sum 15497  df-dvds 16063  df-vtx 27656  df-iedg 27657  df-edg 27706  df-uhgr 27716  df-upgr 27740  df-vtxdg 28121

This theorem is referenced by:  vtxdgoddnumeven  28208