Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finsumvtxdgeven Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finsumvtxdgeven 27348
 Description: The sum of the degrees of all vertices of a finite pseudograph of finite size is even. See equation (2) in section I.1 in [Bollobas] p. 4, where it is also called the handshaking lemma. (Contributed by AV, 22-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
finsumvtxdgeven.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
finsumvtxdgeven.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
finsumvtxdgeven.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
finsumvtxdgeven ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 2 ∥ Σ𝑣𝑉 (𝐷𝑣))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑣)   𝐼(𝑣)

Proof of Theorem finsumvtxdgeven
StepHypRef Expression
1 hashcl 13725 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
213ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
32nn0zd 12085 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (♯‘𝐼) ∈ ℤ)
4 eqidd 2825 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (2 · (♯‘𝐼)) = (2 · (♯‘𝐼)))
5 2teven 15707 . . 3 (((♯‘𝐼) ∈ ℤ ∧ (2 · (♯‘𝐼)) = (2 · (♯‘𝐼))) → 2 ∥ (2 · (♯‘𝐼)))
63, 4, 5syl2anc 587 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 2 ∥ (2 · (♯‘𝐼)))
7 finsumvtxdgeven.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8 finsumvtxdgeven.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
9 finsumvtxdgeven.d . . 3 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
107, 8, 9finsumvtxdg2size 27346 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → Σ𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = (2 · (♯‘𝐼)))
116, 10breqtrrd 5081 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 2 ∥ Σ𝑣𝑉 (𝐷𝑣))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   class class class wbr 5053  ‘cfv 6344  (class class class)co 7150  Fincfn 8506   · cmul 10541  2c2 11692  ℕ0cn0 11897  ℤcz 11981  ♯chash 13698  Σcsu 15045   ∥ cdvds 15610  Vtxcvtx 26795  iEdgciedg 26796  UPGraphcupgr 26879  VtxDegcvtxdg 27261 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-inf2 9102  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-disj 5019  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-2o 8100  df-oadd 8103  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-sup 8904  df-oi 8972  df-dju 9328  df-card 9366  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-n0 11898  df-xnn0 11968  df-z 11982  df-uz 12244  df-rp 12390  df-xadd 12508  df-fz 12898  df-fzo 13041  df-seq 13377  df-exp 13438  df-hash 13699  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-clim 14848  df-sum 15046  df-dvds 15611  df-vtx 26797  df-iedg 26798  df-edg 26847  df-uhgr 26857  df-upgr 26881  df-vtxdg 27262 This theorem is referenced by:  vtxdgoddnumeven  27349
 Copyright terms: Public domain W3C validator