MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finsumvtxdgeven Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finsumvtxdgeven 29353
Description: The sum of the degrees of all vertices of a finite pseudograph of finite size is even. See equation (2) in section I.1 in [Bollobas] p. 4, where it is also called the handshaking lemma. (Contributed by AV, 22-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
finsumvtxdgeven.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
finsumvtxdgeven.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
finsumvtxdgeven.d 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
finsumvtxdgeven ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ 2 βˆ₯ Σ𝑣 ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑣)   𝐼(𝑣)

Proof of Theorem finsumvtxdgeven
StepHypRef Expression
1 hashcl 14339 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ β„•0)
213ad2ant3 1133 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ β„•0)
32nn0zd 12606 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ β„€)
4 eqidd 2728 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (2 Β· (β™―β€˜πΌ)) = (2 Β· (β™―β€˜πΌ)))
5 2teven 16323 . . 3 (((β™―β€˜πΌ) ∈ β„€ ∧ (2 Β· (β™―β€˜πΌ)) = (2 Β· (β™―β€˜πΌ))) β†’ 2 βˆ₯ (2 Β· (β™―β€˜πΌ)))
63, 4, 5syl2anc 583 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ 2 βˆ₯ (2 Β· (β™―β€˜πΌ)))
7 finsumvtxdgeven.v . . 3 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
8 finsumvtxdgeven.i . . 3 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
9 finsumvtxdgeven.d . . 3 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
107, 8, 9finsumvtxdg2size 29351 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ Σ𝑣 ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = (2 Β· (β™―β€˜πΌ)))
116, 10breqtrrd 5170 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ 2 βˆ₯ Σ𝑣 ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8955   Β· cmul 11135  2c2 12289  β„•0cn0 12494  β„€cz 12580  β™―chash 14313  Ξ£csu 15656   βˆ₯ cdvds 16222  Vtxcvtx 28796  iEdgciedg 28797  UPGraphcupgr 28880  VtxDegcvtxdg 29266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-xadd 13117  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-sum 15657  df-dvds 16223  df-vtx 28798  df-iedg 28799  df-edg 28848  df-uhgr 28858  df-upgr 28882  df-vtxdg 29267
This theorem is referenced by:  vtxdgoddnumeven  29354
  Copyright terms: Public domain W3C validator