Theorem ringcmnd 20204

Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by SN, 1-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
ringabld.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
ringcmnd	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)

Proof of Theorem ringcmnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringabld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	ringabld 20203	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Abel)
3	2	ablcmnd 19702	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  CMndccmn 19694  Ringcrg 20153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-plusg 17176  df-0g 17347  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-ur 20102  df-ring 20155

This theorem is referenced by:  gsummulc1  20236  gsummulc2  20237  gsumdixp  20239  frlmphl  21720  rhmpsrlem2  21880  psrass1  21902  psrdi  21903  psdmul  22082  evls1fpws  22285  rhmcomulmpl  22298  mamuass  22318  mavmulass  22465  elrgspnlem1  33216  elrgspnlem2  33217  elrgspnlem4  33219  elrgspn  33220  elrgspnsubrunlem1  33221  gsumind  33317  elrspunsn  33401  evl1deg1  33546  evl1deg2  33547  evl1deg3  33548  gsummoncoe1fzo  33565  mplvrpmrhm  33595  fldextrspunlsplem  33707  fldextrspunlsp  33708  extdgfialglem2  33727  aks6d1c5lem0  42248  aks6d1c5lem3  42250  aks6d1c5  42252  rhmcomulpsr  42669  evlsvvval  42681  evlsbagval  42684  selvvvval  42703  evlselv  42705  evlsmhpvvval  42713