Theorem ringcmnd 20493

Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by SN, 1-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
ringabld.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
ringcmnd	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)

Proof of Theorem ringcmnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringabld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	ringabld 20492	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Abel)
3	2	ablcmnd 19982	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  CMndccmn 19974  Ringcrg 20439

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-plusg 17421  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-ur 20388  df-ring 20441

This theorem is used by:  gsummulc1  20525  gsummulc2  20526  gsumdixp  20528  frlmphl  22067  rhmpsrlem2  22229  psrass1  22251  psrdi  22252  evlsvvval  22382  rhmcomulmpl  22413  selvvvval  22431  psdmul  22467  evls1fpws  22667  mamuass  22697  mavmulass  22844  gsummulsubdishift1  33611  gsummulsubdishift2  33612  elrgspnlem1  33785  elrgspnlem2  33786  elrgspnlem4  33788  elrgspn  33789  elrgspnsubrunlem1  33790  gsumind  33888  elrspunsn  33961  evl1deg1  34090  evl1deg2  34091  evl1deg3  34092  ply1coedeg  34103  gsummoncoe1fzo  34111  selvply1rhmlemb  34133  evlextv  34156  mplvrpmrhm  34161  psrgsum  34162  psrmonmul  34164  vietalem  34193  fldextrspunlsplem  34287  fldextrspunlsp  34288  extdgfialglem2  34307  aks6d1c5lem0  43153  aks6d1c5lem3  43155  aks6d1c5  43157  rhmcomulpsr  43572  evlsbagval  43576  evlselv  43579  evlsmhpvvval  43585