Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonhoire Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem vonhoire 45687
Description: The Lebesgue measure of a n-dimensional half-open interval is a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonhoire.n β„²π‘˜πœ‘
vonhoire.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
vonhoire.a ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
vonhoire.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
vonhoire (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)) ∈ ℝ)
Distinct variable group:   π‘˜,𝑋
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐴(π‘˜)   𝐡(π‘˜)
Proof of Theorem vonhoire
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑋 = βˆ… β†’ (volnβ€˜π‘‹) = (volnβ€˜βˆ…))
21fveq1d 6893 . . . . 5 (𝑋 = βˆ… β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)) = ((volnβ€˜βˆ…)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)))
32adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)) = ((volnβ€˜βˆ…)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)))
4 ixpeq1 8905 . . . . . . 7 (𝑋 = βˆ… β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡) = Xπ‘˜ ∈ βˆ… (𝐴[,)𝐡))
54adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡) = Xπ‘˜ ∈ βˆ… (𝐴[,)𝐡))
6 vonhoire.n . . . . . . . 8 β„²π‘˜πœ‘
7 0fin 9174 . . . . . . . . 9 βˆ… ∈ Fin
87a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ Fin)
9 eqid 2731 . . . . . . . 8 dom (volnβ€˜βˆ…) = dom (volnβ€˜βˆ…)
10 noel 4330 . . . . . . . . . 10 Β¬ π‘˜ ∈ βˆ…
1110pm2.21i 119 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ βˆ… β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1211adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ βˆ…) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1310pm2.21i 119 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ βˆ… β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1413adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ βˆ…) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
156, 8, 9, 12, 14hoimbl2 45680 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ βˆ… (𝐴[,)𝐡) ∈ dom (volnβ€˜βˆ…))
1615adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ Xπ‘˜ ∈ βˆ… (𝐴[,)𝐡) ∈ dom (volnβ€˜βˆ…))
175, 16eqeltrd 2832 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡) ∈ dom (volnβ€˜βˆ…))
1817von0val 45686 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((volnβ€˜βˆ…)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)) = 0)
193, 18eqtrd 2771 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)) = 0)
20 0red 11222 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 0 ∈ ℝ)
2119, 20eqeltrd 2832 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)) ∈ ℝ)
22 neqne 2947 . . . 4 (Β¬ 𝑋 = βˆ… β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
2322adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
24 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ 𝑗 ∈ 𝑋)
25 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜ 𝑗 ∈ 𝑋
266, 25nfan 1901 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋)
27 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘˜π‘—
2827nfcsb1 3917 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΄
2928nfel1 2918 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ
3026, 29nfim 1898 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ)
31 eleq1w 2815 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↔ 𝑗 ∈ 𝑋))
3231anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋)))
33 csbeq1a 3907 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑗 β†’ 𝐴 = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
3433eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ))
3532, 34imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ)))
36 vonhoire.a . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3730, 35, 36chvarfv 2232 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ)
38 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
3927, 28, 33, 38fvmptf 7019 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
4024, 37, 39syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
4127nfcsb1 3917 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΅
42 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜β„
4341, 42nfel 2916 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ
4426, 43nfim 1898 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)
45 csbeq1a 3907 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑗 β†’ 𝐡 = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
4645eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝐡 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ))
4732, 46imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)))
48 vonhoire.b . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
4944, 47, 48chvarfv 2232 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)
50 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)
5127, 41, 45, 50fvmptf 7019 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
5224, 49, 51syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
5340, 52oveq12d 7430 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)) = (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅))
5453ixpeq2dva 8909 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)) = X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅))
55 nfcv 2902 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑗(𝐴[,)𝐡)
56 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜[,)
5728, 56, 41nfov 7442 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
5833, 45oveq12d 7430 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝐴[,)𝐡) = (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅))
5955, 57, 58cbvixp 8911 . . . . . . . . . 10 Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡) = X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
6059eqcomi 2740 . . . . . . . . 9 X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)
6160a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡))
6254, 61eqtr2d 2772 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡) = X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)))
6362fveq2d 6895 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)) = ((volnβ€˜π‘‹)β€˜X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))))
6463adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)) = ((volnβ€˜π‘‹)β€˜X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))))
65 vonhoire.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
6665adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
67 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
686, 36, 38fmptdf 7118 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβ„)
6968adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβ„)
706, 48, 50fmptdf 7118 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„)
7170adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„)
72 eqid 2731 . . . . . 6 X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)) = X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))
7366, 67, 69, 71, 72vonn0hoi 45685 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))) = βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))))
7464, 73eqtrd 2771 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)) = βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))))
7540, 37eqeltrd 2832 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) ∈ ℝ)
7652, 49eqeltrd 2832 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) ∈ ℝ)
77 volicore 45596 . . . . . . 7 ((((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) ∈ ℝ ∧ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))) ∈ ℝ)
7875, 76, 77syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))) ∈ ℝ)
7965, 78fprodrecl 15902 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))) ∈ ℝ)
8079adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))) ∈ ℝ)
8174, 80eqeltrd 2832 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)) ∈ ℝ)
8223, 81syldan 590 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)) ∈ ℝ)
8321, 82pm2.61dan 810 1 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  β„²wnf 1784   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  β¦‹csb 3893  βˆ…c0 4322   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Xcixp 8894  Fincfn 8942  β„cr 11112  0cc0 11113  [,)cico 13331  βˆcprod 15854  volcvol 25213  volncvoln 45553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cc 10433  ax-ac2 10461  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-tpos 8214  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-dju 9899  df-card 9937  df-acn 9940  df-ac 10114  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-prod 15855  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-rest 17373  df-0g 17392  df-topgen 17394  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-subg 19040  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-drng 20503  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-bases 22670  df-cmp 23112  df-ovol 25214  df-vol 25215  df-salg 45324  df-sumge0 45378  df-mea 45465  df-ome 45505  df-caragen 45507  df-ovoln 45552  df-voln 45554
This theorem is referenced by:  vonioolem2  45696  vonicclem2  45699
  Copyright terms: Public domain W3C validator