Theorem vonhoire 47414

Description: The Lebesgue measure of a n-dimensional half-open interval is a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonhoire.n	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
vonhoire.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
vonhoire.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
vonhoire.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
vonhoire	⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)

Distinct variable group:   𝑘,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem vonhoire

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → (voln‘𝑋) = (voln‘∅))
2	1	fveq1d 6883	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)))
3	2	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)))
4		ixpeq1 8904	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑘 ∈ ∅ (𝐴[,)𝐵))
5	4	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑘 ∈ ∅ (𝐴[,)𝐵))
6		vonhoire.n	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
7		0fi 9037	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ Fin)
9		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ dom (voln‘∅) = dom (voln‘∅)
10		noel 4290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ ∅
11	10	pm2.21i 120	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ∅) → 𝐴 ∈ ℝ)
13	10	pm2.21i 120	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ → 𝐵 ∈ ℝ)
14	13	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ∅) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	6, 8, 9, 12, 14	hoimbl2 47407	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ ∅ (𝐴[,)𝐵) ∈ dom (voln‘∅))
16	15	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → X𝑘 ∈ ∅ (𝐴[,)𝐵) ∈ dom (voln‘∅))
17	5, 16	eqeltrd 2862	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ∈ dom (voln‘∅))
18	17	von0val 47413	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = 0)
19	3, 18	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = 0)
20		0red 11217	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 0 ∈ ℝ)
21	19, 20	eqeltrd 2862	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
22		neqne 2965	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
23	22	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
24		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → 𝑗 ∈ 𝑋)
25		nfv 1943	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑋
26	6, 25	nfan 1928	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋)
27		nfcv 2924	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
28	27	nfcsb1 3875	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴
29	28	nfel1 2940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ
30	26, 29	nfim 1925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ)
31		eleq1w 2845	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑋 ↔ 𝑗 ∈ 𝑋))
32	31	anbi2d 641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋)))
33		csbeq1a 3866	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐴 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
34	33	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ))
35	32, 34	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ)))
36		vonhoire.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
37	30, 35, 36	chvarfv 2275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ)
38		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
39	27, 28, 33, 38	fvmptf 7011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
40	24, 37, 39	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
41	27	nfcsb1 3875	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
42		nfcv 2924	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘ℝ
43	41, 42	nfel 2938	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ
44	26, 43	nfim 1925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
45		csbeq1a 3866	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
46	45	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ))
47	32, 46	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)))
48		vonhoire.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
49	44, 47, 48	chvarfv 2275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
50		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)
51	27, 41, 45, 50	fvmptf 7011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
52	24, 49, 51	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
53	40, 52	oveq12d 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗)) = (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
54	53	ixpeq2dva 8908	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗)) = X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
55		nfcv 2924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐴[,)𝐵)
56		nfcv 2924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘[,)
57	28, 56, 41	nfov 7442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
58	33, 45	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴[,)𝐵) = (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
59	55, 57, 58	cbvixp 8910	. . . . . . . . . 10 ⊢ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
60	59	eqcomi 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)
61	60	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵))
62	54, 61	eqtr2d 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗)))
63	62	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ((voln‘𝑋)‘X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))))
64	63	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ((voln‘𝑋)‘X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))))
65		vonhoire.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
66	65	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
67		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
68	6, 36, 38	fmptdf 7112	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℝ)
69	68	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℝ)
70	6, 48, 50	fmptdf 7112	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℝ)
71	70	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℝ)
72		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗)) = X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))
73	66, 67, 69, 71, 72	vonn0hoi 47412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))) = ∏𝑗 ∈ 𝑋 (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))))
74	64, 73	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ∏𝑗 ∈ 𝑋 (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))))
75	40, 37	eqeltrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗) ∈ ℝ)
76	52, 49	eqeltrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗) ∈ ℝ)
77		volicore 47323	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗) ∈ ℝ ∧ ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗) ∈ ℝ) → (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))) ∈ ℝ)
78	75, 76, 77	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))) ∈ ℝ)
79	65, 78	fprodrecl 16014	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ 𝑋 (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))) ∈ ℝ)
80	79	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∏𝑗 ∈ 𝑋 (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))) ∈ ℝ)
81	74, 80	eqeltrd 2862	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
82	23, 81	syldan 602	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
83	21, 82	pm2.61dan 824	1 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569  Ⅎwnf 1812   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ⦋csb 3852  ∅c0 4285   ↦ cmpt 5191  dom cdm 5660  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Xcixp 8893  Fincfn 8941  ℝcr 11105  0cc0 11106  [,)cico 13380  ∏cprod 15964  volcvol 25633  volncvoln 47280

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cc 10425  ax-ac2 10453  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5076  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-oadd 8455  df-omul 8456  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9894  df-card 9932  df-acn 9935  df-ac 10107  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13143  df-xadd 13144  df-xmul 13145  df-ioo 13382  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-seq 14045  df-exp 14105  df-hash 14374  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-clim 15546  df-rlim 15547  df-sum 15745  df-prod 15965  df-rest 17481  df-topgen 17502  df-psmet 21525  df-xmet 21526  df-met 21527  df-bl 21528  df-mopn 21529  df-top 23062  df-topon 23079  df-bases 23114  df-cmp 23555  df-ovol 25634  df-vol 25635  df-salg 47051  df-sumge0 47105  df-mea 47192  df-ome 47232  df-caragen 47234  df-ovoln 47279  df-voln 47281

This theorem is used by:  vonioolem2  47423  vonicclem2  47426