Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonhoire Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem vonhoire 45374
Description: The Lebesgue measure of a n-dimensional half-open interval is a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonhoire.n β„²π‘˜πœ‘
vonhoire.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
vonhoire.a ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
vonhoire.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
vonhoire (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)) ∈ ℝ)
Distinct variable group:   π‘˜,𝑋
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐴(π‘˜)   𝐡(π‘˜)
Proof of Theorem vonhoire
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6888 . . . . . 6 (𝑋 = βˆ… β†’ (volnβ€˜π‘‹) = (volnβ€˜βˆ…))
21fveq1d 6890 . . . . 5 (𝑋 = βˆ… β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)) = ((volnβ€˜βˆ…)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)))
32adantl 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)) = ((volnβ€˜βˆ…)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)))
4 ixpeq1 8898 . . . . . . 7 (𝑋 = βˆ… β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡) = Xπ‘˜ ∈ βˆ… (𝐴[,)𝐡))
54adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡) = Xπ‘˜ ∈ βˆ… (𝐴[,)𝐡))
6 vonhoire.n . . . . . . . 8 β„²π‘˜πœ‘
7 0fin 9167 . . . . . . . . 9 βˆ… ∈ Fin
87a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ Fin)
9 eqid 2732 . . . . . . . 8 dom (volnβ€˜βˆ…) = dom (volnβ€˜βˆ…)
10 noel 4329 . . . . . . . . . 10 Β¬ π‘˜ ∈ βˆ…
1110pm2.21i 119 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ βˆ… β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1211adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ βˆ…) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1310pm2.21i 119 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ βˆ… β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1413adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ βˆ…) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
156, 8, 9, 12, 14hoimbl2 45367 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ βˆ… (𝐴[,)𝐡) ∈ dom (volnβ€˜βˆ…))
1615adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ Xπ‘˜ ∈ βˆ… (𝐴[,)𝐡) ∈ dom (volnβ€˜βˆ…))
175, 16eqeltrd 2833 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡) ∈ dom (volnβ€˜βˆ…))
1817von0val 45373 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((volnβ€˜βˆ…)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)) = 0)
193, 18eqtrd 2772 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)) = 0)
20 0red 11213 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 0 ∈ ℝ)
2119, 20eqeltrd 2833 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)) ∈ ℝ)
22 neqne 2948 . . . 4 (Β¬ 𝑋 = βˆ… β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
2322adantl 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
24 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ 𝑗 ∈ 𝑋)
25 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜ 𝑗 ∈ 𝑋
266, 25nfan 1902 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋)
27 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘˜π‘—
2827nfcsb1 3916 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΄
2928nfel1 2919 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ
3026, 29nfim 1899 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ)
31 eleq1w 2816 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↔ 𝑗 ∈ 𝑋))
3231anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋)))
33 csbeq1a 3906 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑗 β†’ 𝐴 = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
3433eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ))
3532, 34imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ)))
36 vonhoire.a . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3730, 35, 36chvarfv 2233 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ)
38 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
3927, 28, 33, 38fvmptf 7016 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
4024, 37, 39syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
4127nfcsb1 3916 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΅
42 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜β„
4341, 42nfel 2917 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ
4426, 43nfim 1899 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)
45 csbeq1a 3906 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑗 β†’ 𝐡 = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
4645eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝐡 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ))
4732, 46imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)))
48 vonhoire.b . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
4944, 47, 48chvarfv 2233 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)
50 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)
5127, 41, 45, 50fvmptf 7016 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
5224, 49, 51syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
5340, 52oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)) = (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅))
5453ixpeq2dva 8902 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)) = X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅))
55 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑗(𝐴[,)𝐡)
56 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜[,)
5728, 56, 41nfov 7435 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
5833, 45oveq12d 7423 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝐴[,)𝐡) = (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅))
5955, 57, 58cbvixp 8904 . . . . . . . . . 10 Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡) = X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
6059eqcomi 2741 . . . . . . . . 9 X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)
6160a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡))
6254, 61eqtr2d 2773 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡) = X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)))
6362fveq2d 6892 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)) = ((volnβ€˜π‘‹)β€˜X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))))
6463adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)) = ((volnβ€˜π‘‹)β€˜X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))))
65 vonhoire.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
6665adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
67 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
686, 36, 38fmptdf 7113 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβ„)
6968adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβ„)
706, 48, 50fmptdf 7113 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„)
7170adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„)
72 eqid 2732 . . . . . 6 X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)) = X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))
7366, 67, 69, 71, 72vonn0hoi 45372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))) = βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))))
7464, 73eqtrd 2772 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)) = βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))))
7540, 37eqeltrd 2833 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) ∈ ℝ)
7652, 49eqeltrd 2833 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) ∈ ℝ)
77 volicore 45283 . . . . . . 7 ((((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) ∈ ℝ ∧ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))) ∈ ℝ)
7875, 76, 77syl2anc 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))) ∈ ℝ)
7965, 78fprodrecl 15893 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))) ∈ ℝ)
8079adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))) ∈ ℝ)
8174, 80eqeltrd 2833 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)) ∈ ℝ)
8223, 81syldan 591 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)) ∈ ℝ)
8321, 82pm2.61dan 811 1 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  β„²wnf 1785   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  β¦‹csb 3892  βˆ…c0 4321   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Xcixp 8887  Fincfn 8935  β„cr 11105  0cc0 11106  [,)cico 13322  βˆcprod 15845  volcvol 24971  volncvoln 45240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-prod 15846  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-rest 17364  df-0g 17383  df-topgen 17385  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-subg 18997  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-drng 20309  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-cmp 22882  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-salg 45011  df-sumge0 45065  df-mea 45152  df-ome 45192  df-caragen 45194  df-ovoln 45239  df-voln 45241
This theorem is referenced by:  vonioolem2  45383  vonicclem2  45386
  Copyright terms: Public domain W3C validator