Theorem vonhoire 42518

Description: The Lebesgue measure of a n-dimensional half-open interval is a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonhoire.n	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
vonhoire.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
vonhoire.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
vonhoire.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
vonhoire	⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)

Distinct variable group:   𝑘,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem vonhoire

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6545	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → (voln‘𝑋) = (voln‘∅))
2	1	fveq1d 6547	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)))
3	2	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)))
4		ixpeq1 8328	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑘 ∈ ∅ (𝐴[,)𝐵))
5	4	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑘 ∈ ∅ (𝐴[,)𝐵))
6		vonhoire.n	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
7		0fin 8599	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ Fin)
9		eqid 2797	. . . . . . . 8 ⊢ dom (voln‘∅) = dom (voln‘∅)
10		noel 4222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ ∅
11	10	pm2.21i 119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ∅) → 𝐴 ∈ ℝ)
13	10	pm2.21i 119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ → 𝐵 ∈ ℝ)
14	13	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ∅) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	6, 8, 9, 12, 14	hoimbl2 42511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ ∅ (𝐴[,)𝐵) ∈ dom (voln‘∅))
16	15	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → X𝑘 ∈ ∅ (𝐴[,)𝐵) ∈ dom (voln‘∅))
17	5, 16	eqeltrd 2885	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ∈ dom (voln‘∅))
18	17	von0val 42517	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = 0)
19	3, 18	eqtrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = 0)
20		0red 10497	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 0 ∈ ℝ)
21	19, 20	eqeltrd 2885	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
22		neqne 2994	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
23	22	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
24		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → 𝑗 ∈ 𝑋)
25		nfv 1896	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑋
26	6, 25	nfan 1885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋)
27		nfcv 2951	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
28	27	nfcsb1 3838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴
29	28	nfel1 2965	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ
30	26, 29	nfim 1882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ)
31		eleq1w 2867	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑋 ↔ 𝑗 ∈ 𝑋))
32	31	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋)))
33		csbeq1a 3830	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐴 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
34	33	eleq1d 2869	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ))
35	32, 34	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ)))
36		vonhoire.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
37	30, 35, 36	chvar 2371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ)
38		eqid 2797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
39	27, 28, 33, 38	fvmptf 6662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
40	24, 37, 39	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
41	27	nfcsb1 3838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
42		nfcv 2951	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘ℝ
43	41, 42	nfel 2963	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ
44	26, 43	nfim 1882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
45		csbeq1a 3830	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
46	45	eleq1d 2869	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ))
47	32, 46	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)))
48		vonhoire.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
49	44, 47, 48	chvar 2371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
50		eqid 2797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)
51	27, 41, 45, 50	fvmptf 6662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
52	24, 49, 51	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
53	40, 52	oveq12d 7041	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗)) = (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
54	53	ixpeq2dva 8332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗)) = X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
55		nfcv 2951	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐴[,)𝐵)
56		nfcv 2951	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘[,)
57	28, 56, 41	nfov 7053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
58	33, 45	oveq12d 7041	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴[,)𝐵) = (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
59	55, 57, 58	cbvixp 8334	. . . . . . . . . 10 ⊢ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
60	59	eqcomi 2806	. . . . . . . . 9 ⊢ X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)
61	60	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵))
62	54, 61	eqtr2d 2834	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗)))
63	62	fveq2d 6549	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ((voln‘𝑋)‘X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))))
64	63	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ((voln‘𝑋)‘X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))))
65		vonhoire.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
66	65	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
67		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
68	6, 36, 38	fmptdf 6751	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℝ)
69	68	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℝ)
70	6, 48, 50	fmptdf 6751	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℝ)
71	70	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℝ)
72		eqid 2797	. . . . . 6 ⊢ X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗)) = X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))
73	66, 67, 69, 71, 72	vonn0hoi 42516	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))) = ∏𝑗 ∈ 𝑋 (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))))
74	64, 73	eqtrd 2833	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ∏𝑗 ∈ 𝑋 (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))))
75	40, 37	eqeltrd 2885	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗) ∈ ℝ)
76	52, 49	eqeltrd 2885	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗) ∈ ℝ)
77		volicore 42427	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗) ∈ ℝ ∧ ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗) ∈ ℝ) → (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))) ∈ ℝ)
78	75, 76, 77	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))) ∈ ℝ)
79	65, 78	fprodrecl 15144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ 𝑋 (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))) ∈ ℝ)
80	79	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∏𝑗 ∈ 𝑋 (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))) ∈ ℝ)
81	74, 80	eqeltrd 2885	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
82	23, 81	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
83	21, 82	pm2.61dan 809	1 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1525  Ⅎwnf 1769   ∈ wcel 2083   ≠ wne 2986  ⦋csb 3817  ∅c0 4217   ↦ cmpt 5047  dom cdm 5450  ⟶wf 6228  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023  Xcixp 8317  Fincfn 8364  ℝcr 10389  0cc0 10390  [,)cico 12594  ∏cprod 15096  volcvol 23751  volncvoln 42384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-inf2 8957  ax-cc 9710  ax-ac2 9738  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468  ax-addf 10469  ax-mulf 10470

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-fal 1538  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-iin 4834  df-disj 4937  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-tpos 7750  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-2o 7961  df-oadd 7964  df-omul 7965  df-er 8146  df-map 8265  df-pm 8266  df-ixp 8318  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fi 8728  df-sup 8759  df-inf 8760  df-oi 8827  df-dju 9183  df-card 9221  df-acn 9224  df-ac 9395  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-z 11836  df-dec 11953  df-uz 12098  df-q 12202  df-rp 12244  df-xneg 12361  df-xadd 12362  df-xmul 12363  df-ioo 12596  df-ico 12598  df-icc 12599  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-fl 13016  df-seq 13224  df-exp 13284  df-hash 13545  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-clim 14683  df-rlim 14684  df-sum 14881  df-prod 15097  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-starv 16413  df-tset 16417  df-ple 16418  df-ds 16420  df-unif 16421  df-rest 16529  df-0g 16548  df-topgen 16550  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-grp 17868  df-minusg 17869  df-subg 18034  df-cmn 18639  df-abl 18640  df-mgp 18934  df-ur 18946  df-ring 18993  df-cring 18994  df-oppr 19067  df-dvdsr 19085  df-unit 19086  df-invr 19116  df-dvr 19127  df-drng 19198  df-psmet 20223  df-xmet 20224  df-met 20225  df-bl 20226  df-mopn 20227  df-cnfld 20232  df-top 21190  df-topon 21207  df-bases 21242  df-cmp 21683  df-ovol 23752  df-vol 23753  df-salg 42158  df-sumge0 42209  df-mea 42296  df-ome 42336  df-caragen 42338  df-ovoln 42383  df-voln 42385

This theorem is referenced by:  vonioolem2  42527  vonicclem2  42530