Theorem vonhoire 44191

Description: The Lebesgue measure of a n-dimensional half-open interval is a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonhoire.n	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
vonhoire.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
vonhoire.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
vonhoire.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
vonhoire	⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)

Distinct variable group:   𝑘,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem vonhoire

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6766	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → (voln‘𝑋) = (voln‘∅))
2	1	fveq1d 6768	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)))
3	2	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)))
4		ixpeq1 8683	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑘 ∈ ∅ (𝐴[,)𝐵))
5	4	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑘 ∈ ∅ (𝐴[,)𝐵))
6		vonhoire.n	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
7		0fin 8941	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ Fin)
9		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ dom (voln‘∅) = dom (voln‘∅)
10		noel 4264	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ ∅
11	10	pm2.21i 119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ∅) → 𝐴 ∈ ℝ)
13	10	pm2.21i 119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ → 𝐵 ∈ ℝ)
14	13	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ∅) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	6, 8, 9, 12, 14	hoimbl2 44184	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ ∅ (𝐴[,)𝐵) ∈ dom (voln‘∅))
16	15	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → X𝑘 ∈ ∅ (𝐴[,)𝐵) ∈ dom (voln‘∅))
17	5, 16	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ∈ dom (voln‘∅))
18	17	von0val 44190	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = 0)
19	3, 18	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = 0)
20		0red 10988	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 0 ∈ ℝ)
21	19, 20	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
22		neqne 2951	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
23	22	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
24		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → 𝑗 ∈ 𝑋)
25		nfv 1917	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑋
26	6, 25	nfan 1902	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋)
27		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
28	27	nfcsb1 3855	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴
29	28	nfel1 2923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ
30	26, 29	nfim 1899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ)
31		eleq1w 2821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑋 ↔ 𝑗 ∈ 𝑋))
32	31	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋)))
33		csbeq1a 3845	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐴 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
34	33	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ))
35	32, 34	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ)))
36		vonhoire.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
37	30, 35, 36	chvarfv 2233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ)
38		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
39	27, 28, 33, 38	fvmptf 6888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
40	24, 37, 39	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
41	27	nfcsb1 3855	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
42		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘ℝ
43	41, 42	nfel 2921	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ
44	26, 43	nfim 1899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
45		csbeq1a 3845	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
46	45	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ))
47	32, 46	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)))
48		vonhoire.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
49	44, 47, 48	chvarfv 2233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
50		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)
51	27, 41, 45, 50	fvmptf 6888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
52	24, 49, 51	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
53	40, 52	oveq12d 7285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗)) = (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
54	53	ixpeq2dva 8687	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗)) = X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
55		nfcv 2907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐴[,)𝐵)
56		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘[,)
57	28, 56, 41	nfov 7297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
58	33, 45	oveq12d 7285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴[,)𝐵) = (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
59	55, 57, 58	cbvixp 8689	. . . . . . . . . 10 ⊢ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
60	59	eqcomi 2747	. . . . . . . . 9 ⊢ X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)
61	60	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵))
62	54, 61	eqtr2d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗)))
63	62	fveq2d 6770	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ((voln‘𝑋)‘X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))))
64	63	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ((voln‘𝑋)‘X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))))
65		vonhoire.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
66	65	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
67		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
68	6, 36, 38	fmptdf 6983	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℝ)
69	68	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℝ)
70	6, 48, 50	fmptdf 6983	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℝ)
71	70	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℝ)
72		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗)) = X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))
73	66, 67, 69, 71, 72	vonn0hoi 44189	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))) = ∏𝑗 ∈ 𝑋 (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))))
74	64, 73	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ∏𝑗 ∈ 𝑋 (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))))
75	40, 37	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗) ∈ ℝ)
76	52, 49	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗) ∈ ℝ)
77		volicore 44100	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗) ∈ ℝ ∧ ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗) ∈ ℝ) → (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))) ∈ ℝ)
78	75, 76, 77	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))) ∈ ℝ)
79	65, 78	fprodrecl 15673	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ 𝑋 (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))) ∈ ℝ)
80	79	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∏𝑗 ∈ 𝑋 (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))) ∈ ℝ)
81	74, 80	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
82	23, 81	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
83	21, 82	pm2.61dan 810	1 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ⦋csb 3831  ∅c0 4256   ↦ cmpt 5156  dom cdm 5584  ⟶wf 6422  ‘cfv 6426  (class class class)co 7267  Xcixp 8672  Fincfn 8720  ℝcr 10880  0cc0 10881  [,)cico 13091  ∏cprod 15625  volcvol 24637  volncvoln 44057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-inf2 9386  ax-cc 10201  ax-ac2 10229  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-pre-sup 10959  ax-addf 10960  ax-mulf 10961

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-disj 5039  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-se 5540  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-isom 6435  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-of 7523  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-tpos 8029  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-2o 8285  df-oadd 8288  df-omul 8289  df-er 8485  df-map 8604  df-pm 8605  df-ixp 8673  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-fi 9157  df-sup 9188  df-inf 9189  df-oi 9256  df-dju 9669  df-card 9707  df-acn 9710  df-ac 9882  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-7 12051  df-8 12052  df-9 12053  df-n0 12244  df-z 12330  df-dec 12448  df-uz 12593  df-q 12699  df-rp 12741  df-xneg 12858  df-xadd 12859  df-xmul 12860  df-ioo 13093  df-ico 13095  df-icc 13096  df-fz 13250  df-fzo 13393  df-fl 13522  df-seq 13732  df-exp 13793  df-hash 14055  df-cj 14820  df-re 14821  df-im 14822  df-sqrt 14956  df-abs 14957  df-clim 15207  df-rlim 15208  df-sum 15408  df-prod 15626  df-struct 16858  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-ress 16952  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-starv 16987  df-tset 16991  df-ple 16992  df-ds 16994  df-unif 16995  df-rest 17143  df-0g 17162  df-topgen 17164  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-grp 18590  df-minusg 18591  df-subg 18762  df-cmn 19398  df-abl 19399  df-mgp 19731  df-ur 19748  df-ring 19795  df-cring 19796  df-oppr 19872  df-dvdsr 19893  df-unit 19894  df-invr 19924  df-dvr 19935  df-drng 20003  df-psmet 20599  df-xmet 20600  df-met 20601  df-bl 20602  df-mopn 20603  df-cnfld 20608  df-top 22053  df-topon 22070  df-bases 22106  df-cmp 22548  df-ovol 24638  df-vol 24639  df-salg 43831  df-sumge0 43882  df-mea 43969  df-ome 44009  df-caragen 44011  df-ovoln 44056  df-voln 44058

This theorem is referenced by:  vonioolem2  44200  vonicclem2  44203