Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonhoire Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem vonhoire 45467
Description: The Lebesgue measure of a n-dimensional half-open interval is a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonhoire.n β„²π‘˜πœ‘
vonhoire.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
vonhoire.a ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
vonhoire.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
vonhoire (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)) ∈ ℝ)
Distinct variable group:   π‘˜,𝑋
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐴(π‘˜)   𝐡(π‘˜)
Proof of Theorem vonhoire
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑋 = βˆ… β†’ (volnβ€˜π‘‹) = (volnβ€˜βˆ…))
21fveq1d 6893 . . . . 5 (𝑋 = βˆ… β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)) = ((volnβ€˜βˆ…)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)))
32adantl 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)) = ((volnβ€˜βˆ…)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)))
4 ixpeq1 8904 . . . . . . 7 (𝑋 = βˆ… β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡) = Xπ‘˜ ∈ βˆ… (𝐴[,)𝐡))
54adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡) = Xπ‘˜ ∈ βˆ… (𝐴[,)𝐡))
6 vonhoire.n . . . . . . . 8 β„²π‘˜πœ‘
7 0fin 9173 . . . . . . . . 9 βˆ… ∈ Fin
87a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ Fin)
9 eqid 2732 . . . . . . . 8 dom (volnβ€˜βˆ…) = dom (volnβ€˜βˆ…)
10 noel 4330 . . . . . . . . . 10 Β¬ π‘˜ ∈ βˆ…
1110pm2.21i 119 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ βˆ… β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1211adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ βˆ…) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1310pm2.21i 119 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ βˆ… β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1413adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ βˆ…) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
156, 8, 9, 12, 14hoimbl2 45460 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ βˆ… (𝐴[,)𝐡) ∈ dom (volnβ€˜βˆ…))
1615adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ Xπ‘˜ ∈ βˆ… (𝐴[,)𝐡) ∈ dom (volnβ€˜βˆ…))
175, 16eqeltrd 2833 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡) ∈ dom (volnβ€˜βˆ…))
1817von0val 45466 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((volnβ€˜βˆ…)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)) = 0)
193, 18eqtrd 2772 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)) = 0)
20 0red 11219 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 0 ∈ ℝ)
2119, 20eqeltrd 2833 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)) ∈ ℝ)
22 neqne 2948 . . . 4 (Β¬ 𝑋 = βˆ… β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
2322adantl 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
24 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ 𝑗 ∈ 𝑋)
25 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜ 𝑗 ∈ 𝑋
266, 25nfan 1902 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋)
27 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘˜π‘—
2827nfcsb1 3917 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΄
2928nfel1 2919 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ
3026, 29nfim 1899 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ)
31 eleq1w 2816 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↔ 𝑗 ∈ 𝑋))
3231anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋)))
33 csbeq1a 3907 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑗 β†’ 𝐴 = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
3433eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ))
3532, 34imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ)))
36 vonhoire.a . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3730, 35, 36chvarfv 2233 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ)
38 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
3927, 28, 33, 38fvmptf 7019 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
4024, 37, 39syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
4127nfcsb1 3917 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΅
42 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜β„
4341, 42nfel 2917 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ
4426, 43nfim 1899 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)
45 csbeq1a 3907 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑗 β†’ 𝐡 = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
4645eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝐡 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ))
4732, 46imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)))
48 vonhoire.b . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
4944, 47, 48chvarfv 2233 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)
50 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)
5127, 41, 45, 50fvmptf 7019 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
5224, 49, 51syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
5340, 52oveq12d 7429 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)) = (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅))
5453ixpeq2dva 8908 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)) = X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅))
55 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑗(𝐴[,)𝐡)
56 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜[,)
5728, 56, 41nfov 7441 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
5833, 45oveq12d 7429 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝐴[,)𝐡) = (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅))
5955, 57, 58cbvixp 8910 . . . . . . . . . 10 Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡) = X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
6059eqcomi 2741 . . . . . . . . 9 X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)
6160a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡))
6254, 61eqtr2d 2773 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡) = X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)))
6362fveq2d 6895 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)) = ((volnβ€˜π‘‹)β€˜X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))))
6463adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)) = ((volnβ€˜π‘‹)β€˜X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))))
65 vonhoire.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
6665adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
67 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
686, 36, 38fmptdf 7118 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβ„)
6968adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβ„)
706, 48, 50fmptdf 7118 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„)
7170adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„)
72 eqid 2732 . . . . . 6 X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)) = X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))
7366, 67, 69, 71, 72vonn0hoi 45465 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))) = βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))))
7464, 73eqtrd 2772 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)) = βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))))
7540, 37eqeltrd 2833 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) ∈ ℝ)
7652, 49eqeltrd 2833 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) ∈ ℝ)
77 volicore 45376 . . . . . . 7 ((((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) ∈ ℝ ∧ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))) ∈ ℝ)
7875, 76, 77syl2anc 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))) ∈ ℝ)
7965, 78fprodrecl 15899 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))) ∈ ℝ)
8079adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))) ∈ ℝ)
8174, 80eqeltrd 2833 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)) ∈ ℝ)
8223, 81syldan 591 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)) ∈ ℝ)
8321, 82pm2.61dan 811 1 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  β„²wnf 1785   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  β¦‹csb 3893  βˆ…c0 4322   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Xcixp 8893  Fincfn 8941  β„cr 11111  0cc0 11112  [,)cico 13328  βˆcprod 15851  volcvol 24987  volncvoln 45333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-prod 15852  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-rest 17370  df-0g 17389  df-topgen 17391  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-subg 19005  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-cring 20061  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-invr 20206  df-dvr 20219  df-drng 20363  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-bases 22456  df-cmp 22898  df-ovol 24988  df-vol 24989  df-salg 45104  df-sumge0 45158  df-mea 45245  df-ome 45285  df-caragen 45287  df-ovoln 45332  df-voln 45334
This theorem is referenced by:  vonioolem2  45476  vonicclem2  45479
  Copyright terms: Public domain W3C validator