Theorem vonhoire 46593

Description: The Lebesgue measure of a n-dimensional half-open interval is a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonhoire.n	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
vonhoire.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
vonhoire.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
vonhoire.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
vonhoire	⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)

Distinct variable group:   𝑘,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem vonhoire

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6920	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → (voln‘𝑋) = (voln‘∅))
2	1	fveq1d 6922	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)))
3	2	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)))
4		ixpeq1 8966	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑘 ∈ ∅ (𝐴[,)𝐵))
5	4	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑘 ∈ ∅ (𝐴[,)𝐵))
6		vonhoire.n	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
7		0fi 9108	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ Fin)
9		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ dom (voln‘∅) = dom (voln‘∅)
10		noel 4360	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ ∅
11	10	pm2.21i 119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ∅) → 𝐴 ∈ ℝ)
13	10	pm2.21i 119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ → 𝐵 ∈ ℝ)
14	13	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ∅) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	6, 8, 9, 12, 14	hoimbl2 46586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ ∅ (𝐴[,)𝐵) ∈ dom (voln‘∅))
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → X𝑘 ∈ ∅ (𝐴[,)𝐵) ∈ dom (voln‘∅))
17	5, 16	eqeltrd 2844	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ∈ dom (voln‘∅))
18	17	von0val 46592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = 0)
19	3, 18	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = 0)
20		0red 11293	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 0 ∈ ℝ)
21	19, 20	eqeltrd 2844	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
22		neqne 2954	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
23	22	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
24		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → 𝑗 ∈ 𝑋)
25		nfv 1913	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑋
26	6, 25	nfan 1898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋)
27		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
28	27	nfcsb1 3945	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴
29	28	nfel1 2925	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ
30	26, 29	nfim 1895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ)
31		eleq1w 2827	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑋 ↔ 𝑗 ∈ 𝑋))
32	31	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋)))
33		csbeq1a 3935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐴 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
34	33	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ))
35	32, 34	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ)))
36		vonhoire.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
37	30, 35, 36	chvarfv 2241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ)
38		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
39	27, 28, 33, 38	fvmptf 7050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
40	24, 37, 39	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
41	27	nfcsb1 3945	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
42		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘ℝ
43	41, 42	nfel 2923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ
44	26, 43	nfim 1895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
45		csbeq1a 3935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
46	45	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ))
47	32, 46	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)))
48		vonhoire.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
49	44, 47, 48	chvarfv 2241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
50		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)
51	27, 41, 45, 50	fvmptf 7050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
52	24, 49, 51	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
53	40, 52	oveq12d 7466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗)) = (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
54	53	ixpeq2dva 8970	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗)) = X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
55		nfcv 2908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐴[,)𝐵)
56		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘[,)
57	28, 56, 41	nfov 7478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
58	33, 45	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴[,)𝐵) = (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
59	55, 57, 58	cbvixp 8972	. . . . . . . . . 10 ⊢ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
60	59	eqcomi 2749	. . . . . . . . 9 ⊢ X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)
61	60	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵))
62	54, 61	eqtr2d 2781	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗)))
63	62	fveq2d 6924	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ((voln‘𝑋)‘X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))))
64	63	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ((voln‘𝑋)‘X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))))
65		vonhoire.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
66	65	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
67		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
68	6, 36, 38	fmptdf 7151	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℝ)
69	68	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℝ)
70	6, 48, 50	fmptdf 7151	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℝ)
71	70	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℝ)
72		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗)) = X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))
73	66, 67, 69, 71, 72	vonn0hoi 46591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))) = ∏𝑗 ∈ 𝑋 (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))))
74	64, 73	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ∏𝑗 ∈ 𝑋 (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))))
75	40, 37	eqeltrd 2844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗) ∈ ℝ)
76	52, 49	eqeltrd 2844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗) ∈ ℝ)
77		volicore 46502	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗) ∈ ℝ ∧ ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗) ∈ ℝ) → (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))) ∈ ℝ)
78	75, 76, 77	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))) ∈ ℝ)
79	65, 78	fprodrecl 16001	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ 𝑋 (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))) ∈ ℝ)
80	79	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∏𝑗 ∈ 𝑋 (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))) ∈ ℝ)
81	74, 80	eqeltrd 2844	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
82	23, 81	syldan 590	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
83	21, 82	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  Ⅎwnf 1781   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ⦋csb 3921  ∅c0 4352   ↦ cmpt 5249  dom cdm 5700  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Xcixp 8955  Fincfn 9003  ℝcr 11183  0cc0 11184  [,)cico 13409  ∏cprod 15951  volcvol 25517  volncvoln 46459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cc 10504  ax-ac2 10532  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263  ax-mulf 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-acn 10011  df-ac 10185  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-prod 15952  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-rest 17482  df-0g 17501  df-topgen 17503  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-subg 19163  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-dvr 20427  df-drng 20753  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-bases 22974  df-cmp 23416  df-ovol 25518  df-vol 25519  df-salg 46230  df-sumge0 46284  df-mea 46371  df-ome 46411  df-caragen 46413  df-ovoln 46458  df-voln 46460

This theorem is referenced by:  vonioolem2  46602  vonicclem2  46605