Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonhoire Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonhoire 43237
 Description: The Lebesgue measure of a n-dimensional half-open interval is a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonhoire.n 𝑘𝜑
vonhoire.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
vonhoire.a ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
vonhoire.b ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
vonhoire (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
Distinct variable group:   𝑘,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem vonhoire
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6661 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → (voln‘𝑋) = (voln‘∅))
21fveq1d 6663 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ((voln‘∅)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)))
32adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ((voln‘∅)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)))
4 ixpeq1 8468 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑘 ∈ ∅ (𝐴[,)𝐵))
54adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑘 ∈ ∅ (𝐴[,)𝐵))
6 vonhoire.n . . . . . . . 8 𝑘𝜑
7 0fin 8743 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ Fin
87a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∅ ∈ Fin)
9 eqid 2824 . . . . . . . 8 dom (voln‘∅) = dom (voln‘∅)
10 noel 4280 . . . . . . . . . 10 ¬ 𝑘 ∈ ∅
1110pm2.21i 119 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ∅ → 𝐴 ∈ ℝ)
1211adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ∅) → 𝐴 ∈ ℝ)
1310pm2.21i 119 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ∅ → 𝐵 ∈ ℝ)
1413adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ∅) → 𝐵 ∈ ℝ)
156, 8, 9, 12, 14hoimbl2 43230 . . . . . . 7 (𝜑X𝑘 ∈ ∅ (𝐴[,)𝐵) ∈ dom (voln‘∅))
1615adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → X𝑘 ∈ ∅ (𝐴[,)𝐵) ∈ dom (voln‘∅))
175, 16eqeltrd 2916 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ∈ dom (voln‘∅))
1817von0val 43236 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘∅)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = 0)
193, 18eqtrd 2859 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = 0)
20 0red 10642 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → 0 ∈ ℝ)
2119, 20eqeltrd 2916 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
22 neqne 3022 . . . 4 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
2322adantl 485 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
24 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗𝑋)
25 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 𝑗𝑋
266, 25nfan 1901 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(𝜑𝑗𝑋)
27 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝑗
2827nfcsb1 3889 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴
2928nfel1 2998 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ
3026, 29nfim 1898 . . . . . . . . . . . 12 𝑘((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)
31 eleq1w 2898 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑋𝑗𝑋))
3231anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑋) ↔ (𝜑𝑗𝑋)))
33 csbeq1a 3880 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝑗 / 𝑘𝐴)
3433eleq1d 2900 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ))
3532, 34imbi12d 348 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)))
36 vonhoire.a . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
3730, 35, 36chvarfv 2244 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)
38 eqid 2824 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑋𝐴) = (𝑘𝑋𝐴)
3927, 28, 33, 38fvmptf 6780 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗𝑋𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
4024, 37, 39syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
4127nfcsb1 3889 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
42 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘
4341, 42nfel 2996 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ
4426, 43nfim 1898 . . . . . . . . . . . 12 𝑘((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
45 csbeq1a 3880 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
4645eleq1d 2900 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ))
4732, 46imbi12d 348 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)))
48 vonhoire.b . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
4944, 47, 48chvarfv 2244 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
50 eqid 2824 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑋𝐵) = (𝑘𝑋𝐵)
5127, 41, 45, 50fvmptf 6780 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗𝑋𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
5224, 49, 51syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
5340, 52oveq12d 7167 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑋) → (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵))
5453ixpeq2dva 8472 . . . . . . . 8 (𝜑X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵))
55 nfcv 2982 . . . . . . . . . . 11 𝑗(𝐴[,)𝐵)
56 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . 12 𝑘[,)
5728, 56, 41nfov 7179 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵)
5833, 45oveq12d 7167 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴[,)𝐵) = (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵))
5955, 57, 58cbvixp 8474 . . . . . . . . . 10 X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵)
6059eqcomi 2833 . . . . . . . . 9 X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)
6160a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵))
6254, 61eqtr2d 2860 . . . . . . 7 (𝜑X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)))
6362fveq2d 6665 . . . . . 6 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ((voln‘𝑋)‘X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))))
6463adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ((voln‘𝑋)‘X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))))
65 vonhoire.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
6665adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
67 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
686, 36, 38fmptdf 6872 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝑋𝐴):𝑋⟶ℝ)
6968adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (𝑘𝑋𝐴):𝑋⟶ℝ)
706, 48, 50fmptdf 6872 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝑋𝐵):𝑋⟶ℝ)
7170adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (𝑘𝑋𝐵):𝑋⟶ℝ)
72 eqid 2824 . . . . . 6 X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))
7366, 67, 69, 71, 72vonn0hoi 43235 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) = ∏𝑗𝑋 (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))))
7464, 73eqtrd 2859 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ∏𝑗𝑋 (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))))
7540, 37eqeltrd 2916 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗) ∈ ℝ)
7652, 49eqeltrd 2916 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗) ∈ ℝ)
77 volicore 43146 . . . . . . 7 ((((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗) ∈ ℝ ∧ ((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗) ∈ ℝ) → (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) ∈ ℝ)
7875, 76, 77syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑋) → (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) ∈ ℝ)
7965, 78fprodrecl 15307 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑗𝑋 (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) ∈ ℝ)
8079adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∏𝑗𝑋 (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) ∈ ℝ)
8174, 80eqeltrd 2916 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
8223, 81syldan 594 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
8321, 82pm2.61dan 812 1 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ⦋csb 3866  ∅c0 4276   ↦ cmpt 5132  dom cdm 5542  ⟶wf 6339  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  Xcixp 8457  Fincfn 8505  ℝcr 10534  0cc0 10535  [,)cico 12737  ∏cprod 15259  volcvol 24070  volncvoln 43103 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cc 9855  ax-ac2 9883  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-disj 5018  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-dju 9327  df-card 9365  df-acn 9368  df-ac 9540  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-ioo 12739  df-ico 12741  df-icc 12742  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-prod 15260  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-rest 16696  df-0g 16715  df-topgen 16717  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-subg 18276  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-cring 19300  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-dvr 19436  df-drng 19504  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-bases 21554  df-cmp 21995  df-ovol 24071  df-vol 24072  df-salg 42877  df-sumge0 42928  df-mea 43015  df-ome 43055  df-caragen 43057  df-ovoln 43102  df-voln 43104 This theorem is referenced by:  vonioolem2  43246  vonicclem2  43249
 Copyright terms: Public domain W3C validator