Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonhoire Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonhoire 41458
Description: The Lebesgue measure of a n-dimensional half-open interval is a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonhoire.n 𝑘𝜑
vonhoire.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
vonhoire.a ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
vonhoire.b ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
vonhoire (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
Distinct variable group:   𝑘,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem vonhoire
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6375 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → (voln‘𝑋) = (voln‘∅))
21fveq1d 6377 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ((voln‘∅)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)))
32adantl 473 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ((voln‘∅)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)))
4 ixpeq1 8124 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑘 ∈ ∅ (𝐴[,)𝐵))
54adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑘 ∈ ∅ (𝐴[,)𝐵))
6 vonhoire.n . . . . . . . 8 𝑘𝜑
7 0fin 8395 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ Fin
87a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∅ ∈ Fin)
9 eqid 2765 . . . . . . . 8 dom (voln‘∅) = dom (voln‘∅)
10 noel 4083 . . . . . . . . . 10 ¬ 𝑘 ∈ ∅
1110pm2.21i 117 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ∅ → 𝐴 ∈ ℝ)
1211adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ∅) → 𝐴 ∈ ℝ)
1310pm2.21i 117 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ∅ → 𝐵 ∈ ℝ)
1413adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ∅) → 𝐵 ∈ ℝ)
156, 8, 9, 12, 14hoimbl2 41451 . . . . . . 7 (𝜑X𝑘 ∈ ∅ (𝐴[,)𝐵) ∈ dom (voln‘∅))
1615adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → X𝑘 ∈ ∅ (𝐴[,)𝐵) ∈ dom (voln‘∅))
175, 16eqeltrd 2844 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ∈ dom (voln‘∅))
1817von0val 41457 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘∅)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = 0)
193, 18eqtrd 2799 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = 0)
20 0red 10297 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → 0 ∈ ℝ)
2119, 20eqeltrd 2844 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
22 neqne 2945 . . . 4 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
2322adantl 473 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
24 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗𝑋)
25 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 𝑗𝑋
266, 25nfan 1998 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(𝜑𝑗𝑋)
27 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝑗
2827nfcsb1 3706 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴
2928nfel1 2922 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ
3026, 29nfim 1995 . . . . . . . . . . . 12 𝑘((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)
31 eleq1w 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑋𝑗𝑋))
3231anbi2d 622 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑋) ↔ (𝜑𝑗𝑋)))
33 csbeq1a 3700 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝑗 / 𝑘𝐴)
3433eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ))
3532, 34imbi12d 335 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)))
36 vonhoire.a . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
3730, 35, 36chvar 2368 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)
38 eqid 2765 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑋𝐴) = (𝑘𝑋𝐴)
3927, 28, 33, 38fvmptf 6490 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗𝑋𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
4024, 37, 39syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
4127nfcsb1 3706 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
42 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘
4341, 42nfel 2920 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ
4426, 43nfim 1995 . . . . . . . . . . . 12 𝑘((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
45 csbeq1a 3700 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
4645eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ))
4732, 46imbi12d 335 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)))
48 vonhoire.b . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
4944, 47, 48chvar 2368 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
50 eqid 2765 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑋𝐵) = (𝑘𝑋𝐵)
5127, 41, 45, 50fvmptf 6490 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗𝑋𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
5224, 49, 51syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
5340, 52oveq12d 6860 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑋) → (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵))
5453ixpeq2dva 8128 . . . . . . . 8 (𝜑X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵))
55 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑗(𝐴[,)𝐵)
56 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . 12 𝑘[,)
5728, 56, 41nfov 6872 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵)
5833, 45oveq12d 6860 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴[,)𝐵) = (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵))
5955, 57, 58cbvixp 8130 . . . . . . . . . 10 X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵)
6059eqcomi 2774 . . . . . . . . 9 X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)
6160a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵))
6254, 61eqtr2d 2800 . . . . . . 7 (𝜑X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)))
6362fveq2d 6379 . . . . . 6 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ((voln‘𝑋)‘X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))))
6463adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ((voln‘𝑋)‘X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))))
65 vonhoire.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
6665adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
67 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
686, 36, 38fmptdf 6577 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝑋𝐴):𝑋⟶ℝ)
6968adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (𝑘𝑋𝐴):𝑋⟶ℝ)
706, 48, 50fmptdf 6577 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝑋𝐵):𝑋⟶ℝ)
7170adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (𝑘𝑋𝐵):𝑋⟶ℝ)
72 eqid 2765 . . . . . 6 X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))
7366, 67, 69, 71, 72vonn0hoi 41456 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) = ∏𝑗𝑋 (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))))
7464, 73eqtrd 2799 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ∏𝑗𝑋 (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))))
7540, 37eqeltrd 2844 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗) ∈ ℝ)
7652, 49eqeltrd 2844 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗) ∈ ℝ)
77 volicore 41367 . . . . . . 7 ((((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗) ∈ ℝ ∧ ((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗) ∈ ℝ) → (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) ∈ ℝ)
7875, 76, 77syl2anc 579 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑋) → (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) ∈ ℝ)
7965, 78fprodrecl 14968 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑗𝑋 (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) ∈ ℝ)
8079adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∏𝑗𝑋 (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) ∈ ℝ)
8174, 80eqeltrd 2844 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
8223, 81syldan 585 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
8321, 82pm2.61dan 847 1 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wnf 1878  wcel 2155  wne 2937  csb 3691  c0 4079  cmpt 4888  dom cdm 5277  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  Xcixp 8113  Fincfn 8160  cr 10188  0cc0 10189  [,)cico 12379  cprod 14920  volcvol 23521  volncvoln 41324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cc 9510  ax-ac2 9538  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-disj 4778  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-tpos 7555  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-omul 7769  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-acn 9019  df-ac 9190  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-clim 14506  df-rlim 14507  df-sum 14704  df-prod 14921  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-rest 16351  df-0g 16370  df-topgen 16372  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-grp 17694  df-minusg 17695  df-subg 17857  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-cring 18817  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-invr 18939  df-dvr 18950  df-drng 19018  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-bases 21030  df-cmp 21470  df-ovol 23522  df-vol 23523  df-salg 41098  df-sumge0 41149  df-mea 41236  df-ome 41276  df-caragen 41278  df-ovoln 41323  df-voln 41325
This theorem is referenced by:  vonioolem2  41467  vonicclem2  41470
  Copyright terms: Public domain W3C validator