Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonhoire Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonhoire 45847
Description: The Lebesgue measure of a n-dimensional half-open interval is a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonhoire.n 𝑘𝜑
vonhoire.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
vonhoire.a ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
vonhoire.b ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
vonhoire (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
Distinct variable group:   𝑘,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem vonhoire
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → (voln‘𝑋) = (voln‘∅))
21fveq1d 6893 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ((voln‘∅)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)))
32adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ((voln‘∅)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)))
4 ixpeq1 8908 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑘 ∈ ∅ (𝐴[,)𝐵))
54adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑘 ∈ ∅ (𝐴[,)𝐵))
6 vonhoire.n . . . . . . . 8 𝑘𝜑
7 0fin 9177 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ Fin
87a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∅ ∈ Fin)
9 eqid 2731 . . . . . . . 8 dom (voln‘∅) = dom (voln‘∅)
10 noel 4330 . . . . . . . . . 10 ¬ 𝑘 ∈ ∅
1110pm2.21i 119 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ∅ → 𝐴 ∈ ℝ)
1211adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ∅) → 𝐴 ∈ ℝ)
1310pm2.21i 119 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ∅ → 𝐵 ∈ ℝ)
1413adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ∅) → 𝐵 ∈ ℝ)
156, 8, 9, 12, 14hoimbl2 45840 . . . . . . 7 (𝜑X𝑘 ∈ ∅ (𝐴[,)𝐵) ∈ dom (voln‘∅))
1615adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → X𝑘 ∈ ∅ (𝐴[,)𝐵) ∈ dom (voln‘∅))
175, 16eqeltrd 2832 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ∈ dom (voln‘∅))
1817von0val 45846 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘∅)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = 0)
193, 18eqtrd 2771 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = 0)
20 0red 11224 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → 0 ∈ ℝ)
2119, 20eqeltrd 2832 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
22 neqne 2947 . . . 4 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
2322adantl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
24 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗𝑋)
25 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 𝑗𝑋
266, 25nfan 1901 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(𝜑𝑗𝑋)
27 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝑗
2827nfcsb1 3917 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴
2928nfel1 2918 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ
3026, 29nfim 1898 . . . . . . . . . . . 12 𝑘((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)
31 eleq1w 2815 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑋𝑗𝑋))
3231anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑋) ↔ (𝜑𝑗𝑋)))
33 csbeq1a 3907 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝑗 / 𝑘𝐴)
3433eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ))
3532, 34imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)))
36 vonhoire.a . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
3730, 35, 36chvarfv 2232 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)
38 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑋𝐴) = (𝑘𝑋𝐴)
3927, 28, 33, 38fvmptf 7019 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗𝑋𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
4024, 37, 39syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
4127nfcsb1 3917 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
42 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘
4341, 42nfel 2916 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ
4426, 43nfim 1898 . . . . . . . . . . . 12 𝑘((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
45 csbeq1a 3907 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
4645eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ))
4732, 46imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)))
48 vonhoire.b . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
4944, 47, 48chvarfv 2232 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
50 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑋𝐵) = (𝑘𝑋𝐵)
5127, 41, 45, 50fvmptf 7019 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗𝑋𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
5224, 49, 51syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
5340, 52oveq12d 7430 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑋) → (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵))
5453ixpeq2dva 8912 . . . . . . . 8 (𝜑X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵))
55 nfcv 2902 . . . . . . . . . . 11 𝑗(𝐴[,)𝐵)
56 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . 12 𝑘[,)
5728, 56, 41nfov 7442 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵)
5833, 45oveq12d 7430 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴[,)𝐵) = (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵))
5955, 57, 58cbvixp 8914 . . . . . . . . . 10 X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵)
6059eqcomi 2740 . . . . . . . . 9 X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)
6160a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵))
6254, 61eqtr2d 2772 . . . . . . 7 (𝜑X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)))
6362fveq2d 6895 . . . . . 6 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ((voln‘𝑋)‘X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))))
6463adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ((voln‘𝑋)‘X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))))
65 vonhoire.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
6665adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
67 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
686, 36, 38fmptdf 7118 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝑋𝐴):𝑋⟶ℝ)
6968adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (𝑘𝑋𝐴):𝑋⟶ℝ)
706, 48, 50fmptdf 7118 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝑋𝐵):𝑋⟶ℝ)
7170adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (𝑘𝑋𝐵):𝑋⟶ℝ)
72 eqid 2731 . . . . . 6 X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))
7366, 67, 69, 71, 72vonn0hoi 45845 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) = ∏𝑗𝑋 (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))))
7464, 73eqtrd 2771 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ∏𝑗𝑋 (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))))
7540, 37eqeltrd 2832 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗) ∈ ℝ)
7652, 49eqeltrd 2832 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗) ∈ ℝ)
77 volicore 45756 . . . . . . 7 ((((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗) ∈ ℝ ∧ ((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗) ∈ ℝ) → (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) ∈ ℝ)
7875, 76, 77syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑋) → (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) ∈ ℝ)
7965, 78fprodrecl 15904 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑗𝑋 (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) ∈ ℝ)
8079adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∏𝑗𝑋 (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) ∈ ℝ)
8174, 80eqeltrd 2832 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
8223, 81syldan 590 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
8321, 82pm2.61dan 810 1 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wnf 1784  wcel 2105  wne 2939  csb 3893  c0 4322  cmpt 5231  dom cdm 5676  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  Xcixp 8897  Fincfn 8945  cr 11115  0cc0 11116  [,)cico 13333  cprod 15856  volcvol 25312  volncvoln 45713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cc 10436  ax-ac2 10464  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195  ax-mulf 11196
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-oadd 8476  df-omul 8477  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-dju 9902  df-card 9940  df-acn 9943  df-ac 10117  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-prod 15857  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-rest 17375  df-0g 17394  df-topgen 17396  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-subg 19046  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-drng 20585  df-psmet 21225  df-xmet 21226  df-met 21227  df-bl 21228  df-mopn 21229  df-cnfld 21234  df-top 22716  df-topon 22733  df-bases 22769  df-cmp 23211  df-ovol 25313  df-vol 25314  df-salg 45484  df-sumge0 45538  df-mea 45625  df-ome 45665  df-caragen 45667  df-ovoln 45712  df-voln 45714
This theorem is referenced by:  vonioolem2  45856  vonicclem2  45859
  Copyright terms: Public domain W3C validator