Theorem vonhoire 46677

Description: The Lebesgue measure of a n-dimensional half-open interval is a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonhoire.n	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
vonhoire.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
vonhoire.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
vonhoire.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
vonhoire	⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)

Distinct variable group:   𝑘,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem vonhoire

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6861	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → (voln‘𝑋) = (voln‘∅))
2	1	fveq1d 6863	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)))
3	2	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)))
4		ixpeq1 8884	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑘 ∈ ∅ (𝐴[,)𝐵))
5	4	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑘 ∈ ∅ (𝐴[,)𝐵))
6		vonhoire.n	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
7		0fi 9016	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ Fin)
9		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ dom (voln‘∅) = dom (voln‘∅)
10		noel 4304	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ ∅
11	10	pm2.21i 119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ∅) → 𝐴 ∈ ℝ)
13	10	pm2.21i 119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ → 𝐵 ∈ ℝ)
14	13	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ∅) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	6, 8, 9, 12, 14	hoimbl2 46670	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ ∅ (𝐴[,)𝐵) ∈ dom (voln‘∅))
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → X𝑘 ∈ ∅ (𝐴[,)𝐵) ∈ dom (voln‘∅))
17	5, 16	eqeltrd 2829	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ∈ dom (voln‘∅))
18	17	von0val 46676	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = 0)
19	3, 18	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = 0)
20		0red 11184	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 0 ∈ ℝ)
21	19, 20	eqeltrd 2829	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
22		neqne 2934	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
23	22	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
24		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → 𝑗 ∈ 𝑋)
25		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑋
26	6, 25	nfan 1899	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋)
27		nfcv 2892	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
28	27	nfcsb1 3888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴
29	28	nfel1 2909	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ
30	26, 29	nfim 1896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ)
31		eleq1w 2812	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑋 ↔ 𝑗 ∈ 𝑋))
32	31	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋)))
33		csbeq1a 3879	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐴 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
34	33	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ))
35	32, 34	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ)))
36		vonhoire.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
37	30, 35, 36	chvarfv 2241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ)
38		eqid 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
39	27, 28, 33, 38	fvmptf 6992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
40	24, 37, 39	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
41	27	nfcsb1 3888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
42		nfcv 2892	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘ℝ
43	41, 42	nfel 2907	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ
44	26, 43	nfim 1896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
45		csbeq1a 3879	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
46	45	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ))
47	32, 46	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)))
48		vonhoire.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
49	44, 47, 48	chvarfv 2241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
50		eqid 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)
51	27, 41, 45, 50	fvmptf 6992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
52	24, 49, 51	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
53	40, 52	oveq12d 7408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗)) = (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
54	53	ixpeq2dva 8888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗)) = X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
55		nfcv 2892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐴[,)𝐵)
56		nfcv 2892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘[,)
57	28, 56, 41	nfov 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
58	33, 45	oveq12d 7408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴[,)𝐵) = (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
59	55, 57, 58	cbvixp 8890	. . . . . . . . . 10 ⊢ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
60	59	eqcomi 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)
61	60	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵))
62	54, 61	eqtr2d 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗)))
63	62	fveq2d 6865	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ((voln‘𝑋)‘X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))))
64	63	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ((voln‘𝑋)‘X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))))
65		vonhoire.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
66	65	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
67		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
68	6, 36, 38	fmptdf 7092	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℝ)
69	68	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℝ)
70	6, 48, 50	fmptdf 7092	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℝ)
71	70	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℝ)
72		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗)) = X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))
73	66, 67, 69, 71, 72	vonn0hoi 46675	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))) = ∏𝑗 ∈ 𝑋 (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))))
74	64, 73	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ∏𝑗 ∈ 𝑋 (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))))
75	40, 37	eqeltrd 2829	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗) ∈ ℝ)
76	52, 49	eqeltrd 2829	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗) ∈ ℝ)
77		volicore 46586	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗) ∈ ℝ ∧ ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗) ∈ ℝ) → (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))) ∈ ℝ)
78	75, 76, 77	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))) ∈ ℝ)
79	65, 78	fprodrecl 15926	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ 𝑋 (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))) ∈ ℝ)
80	79	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∏𝑗 ∈ 𝑋 (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))) ∈ ℝ)
81	74, 80	eqeltrd 2829	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
82	23, 81	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
83	21, 82	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ⦋csb 3865  ∅c0 4299   ↦ cmpt 5191  dom cdm 5641  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Xcixp 8873  Fincfn 8921  ℝcr 11074  0cc0 11075  [,)cico 13315  ∏cprod 15876  volcvol 25371  volncvoln 46543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cc 10395  ax-ac2 10423  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5078  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9861  df-card 9899  df-acn 9902  df-ac 10076  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-prod 15877  df-rest 17392  df-topgen 17413  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-top 22788  df-topon 22805  df-bases 22840  df-cmp 23281  df-ovol 25372  df-vol 25373  df-salg 46314  df-sumge0 46368  df-mea 46455  df-ome 46495  df-caragen 46497  df-ovoln 46542  df-voln 46544

This theorem is referenced by:  vonioolem2  46686  vonicclem2  46689