MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trirecip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trirecip 15072
Description: The sum of the reciprocals of the triangle numbers converge to two. This is Metamath 100 proof #42. (Contributed by Scott Fenton, 23-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
trirecip Σ𝑘 ∈ ℕ (2 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) = 2

Proof of Theorem trirecip
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2cnd 11512 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
2 peano2nn 11447 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
3 nnmulcl 11458 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝑘 · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
42, 3mpdan 674 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
54nncnd 11451 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 · (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
64nnne0d 11484 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 · (𝑘 + 1)) ≠ 0)
71, 5, 6divrecd 11214 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → (2 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) = (2 · (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1)))))
87sumeq2i 14910 . 2 Σ𝑘 ∈ ℕ (2 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (2 · (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))))
9 nnuz 12089 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
10 1zzd 11820 . . . . 5 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
11 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘𝑛 = 𝑘)
12 oveq1 6977 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + 1) = (𝑘 + 1))
1311, 12oveq12d 6988 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · (𝑛 + 1)) = (𝑘 · (𝑘 + 1)))
1413oveq2d 6986 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))))
15 eqid 2772 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
16 ovex 7002 . . . . . . 7 (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) ∈ V
1714, 15, 16fvmpt 6589 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))‘𝑘) = (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))))
1817adantl 474 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))‘𝑘) = (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))))
194nnrecred 11485 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
2019recnd 10462 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
2120adantl 474 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
2215trireciplem 15071 . . . . . . 7 seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ⇝ 1
2322a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ⇝ 1)
24 climrel 14704 . . . . . . 7 Rel ⇝
2524releldmi 5655 . . . . . 6 (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ⇝ 1 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∈ dom ⇝ )
2623, 25syl 17 . . . . 5 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∈ dom ⇝ )
27 2cnd 11512 . . . . 5 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
289, 10, 18, 21, 26, 27isummulc2 14971 . . . 4 (⊤ → (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (2 · (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1)))))
299, 10, 18, 21, 23isumclim 14966 . . . . 5 (⊤ → Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) = 1)
3029oveq2d 6986 . . . 4 (⊤ → (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1)))) = (2 · 1))
3128, 30eqtr3d 2810 . . 3 (⊤ → Σ𝑘 ∈ ℕ (2 · (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1)))) = (2 · 1))
3231mptru 1514 . 2 Σ𝑘 ∈ ℕ (2 · (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1)))) = (2 · 1)
33 2t1e2 11604 . 2 (2 · 1) = 2
348, 32, 333eqtri 2800 1 Σ𝑘 ∈ ℕ (2 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) = 2
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1507  wtru 1508  wcel 2050   class class class wbr 4923  cmpt 5002  dom cdm 5401  cfv 6182  (class class class)co 6970  cc 10327  1c1 10330   + caddc 10332   · cmul 10334   / cdiv 11092  cn 11433  2c2 11489  seqcseq 13178  cli 14696  Σcsu 14897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8892  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406  ax-pre-sup 10407
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-se 5361  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-1o 7899  df-oadd 7903  df-er 8083  df-pm 8203  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-fin 8304  df-sup 8695  df-inf 8696  df-oi 8763  df-card 9156  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-div 11093  df-nn 11434  df-2 11497  df-3 11498  df-n0 11702  df-z 11788  df-uz 12053  df-rp 12199  df-fz 12703  df-fzo 12844  df-fl 12971  df-seq 13179  df-exp 13239  df-hash 13500  df-shft 14281  df-cj 14313  df-re 14314  df-im 14315  df-sqrt 14449  df-abs 14450  df-clim 14700  df-rlim 14701  df-sum 14898
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator