MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trirecip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trirecip 15815
Description: The sum of the reciprocals of the triangle numbers converge to two. This is Metamath 100 proof #42. (Contributed by Scott Fenton, 23-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
trirecip ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (2 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))) = 2

Proof of Theorem trirecip
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2cnd 12294 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
2 peano2nn 12228 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
3 nnmulcl 12240 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„•)
42, 3mpdan 684 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„•)
54nncnd 12232 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
64nnne0d 12266 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1)) โ‰  0)
71, 5, 6divrecd 11997 . . 3 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (2 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))) = (2 ยท (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1)))))
87sumeq2i 15651 . 2 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (2 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (2 ยท (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))))
9 nnuz 12869 . . . . 5 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
10 1zzd 12597 . . . . 5 (โŠค โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
11 id 22 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ๐‘› = ๐‘˜)
12 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐‘› + 1) = (๐‘˜ + 1))
1311, 12oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐‘› ยท (๐‘› + 1)) = (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1)))
1413oveq2d 7421 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (1 / (๐‘› ยท (๐‘› + 1))) = (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))))
15 eqid 2726 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› ยท (๐‘› + 1)))) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› ยท (๐‘› + 1))))
16 ovex 7438 . . . . . . 7 (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))) โˆˆ V
1714, 15, 16fvmpt 6992 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› ยท (๐‘› + 1))))โ€˜๐‘˜) = (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))))
1817adantl 481 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› ยท (๐‘› + 1))))โ€˜๐‘˜) = (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))))
194nnrecred 12267 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))) โˆˆ โ„)
2019recnd 11246 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))) โˆˆ โ„‚)
2120adantl 481 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))) โˆˆ โ„‚)
2215trireciplem 15814 . . . . . . 7 seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› ยท (๐‘› + 1))))) โ‡ 1
2322a1i 11 . . . . . 6 (โŠค โ†’ seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› ยท (๐‘› + 1))))) โ‡ 1)
24 climrel 15442 . . . . . . 7 Rel โ‡
2524releldmi 5941 . . . . . 6 (seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› ยท (๐‘› + 1))))) โ‡ 1 โ†’ seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› ยท (๐‘› + 1))))) โˆˆ dom โ‡ )
2623, 25syl 17 . . . . 5 (โŠค โ†’ seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› ยท (๐‘› + 1))))) โˆˆ dom โ‡ )
27 2cnd 12294 . . . . 5 (โŠค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
289, 10, 18, 21, 26, 27isummulc2 15714 . . . 4 (โŠค โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1)))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (2 ยท (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1)))))
299, 10, 18, 21, 23isumclim 15709 . . . . 5 (โŠค โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))) = 1)
3029oveq2d 7421 . . . 4 (โŠค โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1)))) = (2 ยท 1))
3128, 30eqtr3d 2768 . . 3 (โŠค โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (2 ยท (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1)))) = (2 ยท 1))
3231mptru 1540 . 2 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (2 ยท (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1)))) = (2 ยท 1)
33 2t1e2 12379 . 2 (2 ยท 1) = 2
348, 32, 333eqtri 2758 1 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (2 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))) = 2
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  โŠคwtru 1534   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  dom cdm 5669  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  seqcseq 13972   โ‡ cli 15434  ฮฃcsu 15638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator