MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trirecip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trirecip 15841
Description: The sum of the reciprocals of the triangle numbers converge to two. This is Metamath 100 proof #42. (Contributed by Scott Fenton, 23-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
trirecip ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (2 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))) = 2

Proof of Theorem trirecip
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2cnd 12320 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
2 peano2nn 12254 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
3 nnmulcl 12266 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„•)
42, 3mpdan 685 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„•)
54nncnd 12258 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
64nnne0d 12292 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1)) โ‰  0)
71, 5, 6divrecd 12023 . . 3 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (2 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))) = (2 ยท (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1)))))
87sumeq2i 15677 . 2 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (2 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (2 ยท (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))))
9 nnuz 12895 . . . . 5 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
10 1zzd 12623 . . . . 5 (โŠค โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
11 id 22 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ๐‘› = ๐‘˜)
12 oveq1 7423 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐‘› + 1) = (๐‘˜ + 1))
1311, 12oveq12d 7434 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐‘› ยท (๐‘› + 1)) = (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1)))
1413oveq2d 7432 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (1 / (๐‘› ยท (๐‘› + 1))) = (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))))
15 eqid 2725 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› ยท (๐‘› + 1)))) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› ยท (๐‘› + 1))))
16 ovex 7449 . . . . . . 7 (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))) โˆˆ V
1714, 15, 16fvmpt 7000 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› ยท (๐‘› + 1))))โ€˜๐‘˜) = (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))))
1817adantl 480 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› ยท (๐‘› + 1))))โ€˜๐‘˜) = (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))))
194nnrecred 12293 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))) โˆˆ โ„)
2019recnd 11272 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))) โˆˆ โ„‚)
2120adantl 480 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))) โˆˆ โ„‚)
2215trireciplem 15840 . . . . . . 7 seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› ยท (๐‘› + 1))))) โ‡ 1
2322a1i 11 . . . . . 6 (โŠค โ†’ seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› ยท (๐‘› + 1))))) โ‡ 1)
24 climrel 15468 . . . . . . 7 Rel โ‡
2524releldmi 5944 . . . . . 6 (seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› ยท (๐‘› + 1))))) โ‡ 1 โ†’ seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› ยท (๐‘› + 1))))) โˆˆ dom โ‡ )
2623, 25syl 17 . . . . 5 (โŠค โ†’ seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› ยท (๐‘› + 1))))) โˆˆ dom โ‡ )
27 2cnd 12320 . . . . 5 (โŠค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
289, 10, 18, 21, 26, 27isummulc2 15740 . . . 4 (โŠค โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1)))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (2 ยท (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1)))))
299, 10, 18, 21, 23isumclim 15735 . . . . 5 (โŠค โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))) = 1)
3029oveq2d 7432 . . . 4 (โŠค โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1)))) = (2 ยท 1))
3128, 30eqtr3d 2767 . . 3 (โŠค โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (2 ยท (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1)))) = (2 ยท 1))
3231mptru 1540 . 2 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (2 ยท (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1)))) = (2 ยท 1)
33 2t1e2 12405 . 2 (2 ยท 1) = 2
348, 32, 333eqtri 2757 1 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (2 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))) = 2
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  โŠคwtru 1534   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5143   โ†ฆ cmpt 5226  dom cdm 5672  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  โ„‚cc 11136  1c1 11139   + caddc 11141   ยท cmul 11143   / cdiv 11901  โ„•cn 12242  2c2 12297  seqcseq 13998   โ‡ cli 15460  ฮฃcsu 15664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator