Theorem trirecip 15770

Description: The sum of the reciprocals of the triangle numbers converge to two. This is Metamath 100 proof #42. (Contributed by Scott Fenton, 23-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
trirecip	⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) = 2

Proof of Theorem trirecip

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 12206	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
2		peano2nn 12140	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
3		nnmulcl 12152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝑘 · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
4	2, 3	mpdan 687	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
5	4	nncnd 12144	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 · (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
6	4	nnne0d 12178	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 · (𝑘 + 1)) ≠ 0)
7	1, 5, 6	divrecd 11903	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) = (2 · (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1)))))
8	7	sumeq2i 15605	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (2 · (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))))
9		nnuz 12778	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
10		1zzd 12506	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
11		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝑛 = 𝑘)
12		oveq1 7356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + 1) = (𝑘 + 1))
13	11, 12	oveq12d 7367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · (𝑛 + 1)) = (𝑘 · (𝑘 + 1)))
14	13	oveq2d 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))))
15		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
16		ovex 7382	. . . . . . 7 ⊢ (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) ∈ V
17	14, 15, 16	fvmpt 6930	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))‘𝑘) = (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))))
18	17	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))‘𝑘) = (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))))
19	4	nnrecred 12179	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11143	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
21	20	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
22	15	trireciplem 15769	. . . . . . 7 ⊢ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ⇝ 1
23	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ⇝ 1)
24		climrel 15399	. . . . . . 7 ⊢ Rel ⇝
25	24	releldmi 5890	. . . . . 6 ⊢ (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ⇝ 1 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∈ dom ⇝ )
26	23, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∈ dom ⇝ )
27		2cnd 12206	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
28	9, 10, 18, 21, 26, 27	isummulc2 15669	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (2 · (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1)))))
29	9, 10, 18, 21, 23	isumclim 15664	. . . . 5 ⊢ (⊤ → Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) = 1)
30	29	oveq2d 7365	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1)))) = (2 · 1))
31	28, 30	eqtr3d 2766	. . 3 ⊢ (⊤ → Σ𝑘 ∈ ℕ (2 · (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1)))) = (2 · 1))
32	31	mptru 1547	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2 · (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1)))) = (2 · 1)
33		2t1e2 12286	. 2 ⊢ (2 · 1) = 2
34	8, 32, 33	3eqtri 2756	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) = 2

Syntax hints:   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173  dom cdm 5619  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014   / cdiv 11777  ℕcn 12128  2c2 12183  seqcseq 13908   ⇝ cli 15391  Σcsu 15593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594

This theorem is referenced by: (None)