MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trirecip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trirecip 15805
Description: The sum of the reciprocals of the triangle numbers converge to two. This is Metamath 100 proof #42. (Contributed by Scott Fenton, 23-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
trirecip ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (2 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))) = 2

Proof of Theorem trirecip
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2cnd 12286 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
2 peano2nn 12220 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
3 nnmulcl 12232 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„•)
42, 3mpdan 685 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„•)
54nncnd 12224 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
64nnne0d 12258 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1)) โ‰  0)
71, 5, 6divrecd 11989 . . 3 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (2 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))) = (2 ยท (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1)))))
87sumeq2i 15641 . 2 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (2 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (2 ยท (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))))
9 nnuz 12861 . . . . 5 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
10 1zzd 12589 . . . . 5 (โŠค โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
11 id 22 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ๐‘› = ๐‘˜)
12 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐‘› + 1) = (๐‘˜ + 1))
1311, 12oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐‘› ยท (๐‘› + 1)) = (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1)))
1413oveq2d 7421 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (1 / (๐‘› ยท (๐‘› + 1))) = (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))))
15 eqid 2732 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› ยท (๐‘› + 1)))) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› ยท (๐‘› + 1))))
16 ovex 7438 . . . . . . 7 (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))) โˆˆ V
1714, 15, 16fvmpt 6995 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› ยท (๐‘› + 1))))โ€˜๐‘˜) = (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))))
1817adantl 482 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› ยท (๐‘› + 1))))โ€˜๐‘˜) = (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))))
194nnrecred 12259 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))) โˆˆ โ„)
2019recnd 11238 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))) โˆˆ โ„‚)
2120adantl 482 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))) โˆˆ โ„‚)
2215trireciplem 15804 . . . . . . 7 seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› ยท (๐‘› + 1))))) โ‡ 1
2322a1i 11 . . . . . 6 (โŠค โ†’ seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› ยท (๐‘› + 1))))) โ‡ 1)
24 climrel 15432 . . . . . . 7 Rel โ‡
2524releldmi 5945 . . . . . 6 (seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› ยท (๐‘› + 1))))) โ‡ 1 โ†’ seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› ยท (๐‘› + 1))))) โˆˆ dom โ‡ )
2623, 25syl 17 . . . . 5 (โŠค โ†’ seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› ยท (๐‘› + 1))))) โˆˆ dom โ‡ )
27 2cnd 12286 . . . . 5 (โŠค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
289, 10, 18, 21, 26, 27isummulc2 15704 . . . 4 (โŠค โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1)))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (2 ยท (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1)))))
299, 10, 18, 21, 23isumclim 15699 . . . . 5 (โŠค โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))) = 1)
3029oveq2d 7421 . . . 4 (โŠค โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1)))) = (2 ยท 1))
3128, 30eqtr3d 2774 . . 3 (โŠค โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (2 ยท (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1)))) = (2 ยท 1))
3231mptru 1548 . 2 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (2 ยท (1 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1)))) = (2 ยท 1)
33 2t1e2 12371 . 2 (2 ยท 1) = 2
348, 32, 333eqtri 2764 1 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (2 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))) = 2
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  โŠคwtru 1542   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  dom cdm 5675  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11104  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111   / cdiv 11867  โ„•cn 12208  2c2 12263  seqcseq 13962   โ‡ cli 15424  ฮฃcsu 15628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator