MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trirecip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trirecip 14801
Description: The sum of the reciprocals of the triangle numbers converge to two. This is Metamath 100 proof #42. (Contributed by Scott Fenton, 23-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
trirecip Σ𝑘 ∈ ℕ (2 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) = 2

Proof of Theorem trirecip
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2cnd 11298 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
2 peano2nn 11237 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
3 nnmulcl 11248 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝑘 · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
42, 3mpdan 667 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
54nncnd 11241 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 · (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
64nnne0d 11270 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 · (𝑘 + 1)) ≠ 0)
71, 5, 6divrecd 11009 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → (2 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) = (2 · (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1)))))
87sumeq2i 14636 . 2 Σ𝑘 ∈ ℕ (2 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (2 · (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))))
9 nnuz 11929 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
10 1zzd 11614 . . . . 5 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
11 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘𝑛 = 𝑘)
12 oveq1 6802 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + 1) = (𝑘 + 1))
1311, 12oveq12d 6813 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · (𝑛 + 1)) = (𝑘 · (𝑘 + 1)))
1413oveq2d 6811 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))))
15 eqid 2771 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
16 ovex 6826 . . . . . . 7 (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) ∈ V
1714, 15, 16fvmpt 6426 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))‘𝑘) = (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))))
1817adantl 467 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))‘𝑘) = (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))))
194nnrecred 11271 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
2019recnd 10273 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
2120adantl 467 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
2215trireciplem 14800 . . . . . . 7 seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ⇝ 1
2322a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ⇝ 1)
24 climrel 14430 . . . . . . 7 Rel ⇝
2524releldmi 5499 . . . . . 6 (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ⇝ 1 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∈ dom ⇝ )
2623, 25syl 17 . . . . 5 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∈ dom ⇝ )
27 2cnd 11298 . . . . 5 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
289, 10, 18, 21, 26, 27isummulc2 14700 . . . 4 (⊤ → (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (2 · (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1)))))
299, 10, 18, 21, 23isumclim 14695 . . . . 5 (⊤ → Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) = 1)
3029oveq2d 6811 . . . 4 (⊤ → (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1)))) = (2 · 1))
3128, 30eqtr3d 2807 . . 3 (⊤ → Σ𝑘 ∈ ℕ (2 · (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1)))) = (2 · 1))
3231trud 1641 . 2 Σ𝑘 ∈ ℕ (2 · (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1)))) = (2 · 1)
33 2t1e2 11382 . 2 (2 · 1) = 2
348, 32, 333eqtri 2797 1 Σ𝑘 ∈ ℕ (2 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) = 2
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1631  wtru 1632  wcel 2145   class class class wbr 4787  cmpt 4864  dom cdm 5250  cfv 6030  (class class class)co 6795  cc 10139  1c1 10142   + caddc 10144   · cmul 10146   / cdiv 10889  cn 11225  2c2 11275  seqcseq 13007  cli 14422  Σcsu 14623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-inf2 8705  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218  ax-pre-sup 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-om 7216  df-1st 7318  df-2nd 7319  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-1o 7716  df-oadd 7720  df-er 7899  df-pm 8015  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-fin 8116  df-sup 8507  df-inf 8508  df-oi 8574  df-card 8968  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-xr 10283  df-ltxr 10284  df-le 10285  df-sub 10473  df-neg 10474  df-div 10890  df-nn 11226  df-2 11284  df-3 11285  df-n0 11499  df-z 11584  df-uz 11893  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-shft 14014  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-sum 14624
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator