Theorem trirecip 15841

Description: The sum of the reciprocals of the triangle numbers converge to two. This is Metamath 100 proof #42. (Contributed by Scott Fenton, 23-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
trirecip	⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) = 2

Proof of Theorem trirecip

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 12320	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
2		peano2nn 12254	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
3		nnmulcl 12266	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝑘 · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
4	2, 3	mpdan 685	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
5	4	nncnd 12258	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 · (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
6	4	nnne0d 12292	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 · (𝑘 + 1)) ≠ 0)
7	1, 5, 6	divrecd 12023	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) = (2 · (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1)))))
8	7	sumeq2i 15677	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (2 · (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))))
9		nnuz 12895	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
10		1zzd 12623	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
11		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝑛 = 𝑘)
12		oveq1 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + 1) = (𝑘 + 1))
13	11, 12	oveq12d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · (𝑛 + 1)) = (𝑘 · (𝑘 + 1)))
14	13	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))))
15		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
16		ovex 7449	. . . . . . 7 ⊢ (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) ∈ V
17	14, 15, 16	fvmpt 7000	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))‘𝑘) = (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))))
18	17	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))‘𝑘) = (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))))
19	4	nnrecred 12293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11272	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
21	20	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
22	15	trireciplem 15840	. . . . . . 7 ⊢ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ⇝ 1
23	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ⇝ 1)
24		climrel 15468	. . . . . . 7 ⊢ Rel ⇝
25	24	releldmi 5944	. . . . . 6 ⊢ (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ⇝ 1 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∈ dom ⇝ )
26	23, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∈ dom ⇝ )
27		2cnd 12320	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
28	9, 10, 18, 21, 26, 27	isummulc2 15740	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (2 · (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1)))))
29	9, 10, 18, 21, 23	isumclim 15735	. . . . 5 ⊢ (⊤ → Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) = 1)
30	29	oveq2d 7432	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1)))) = (2 · 1))
31	28, 30	eqtr3d 2767	. . 3 ⊢ (⊤ → Σ𝑘 ∈ ℕ (2 · (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1)))) = (2 · 1))
32	31	mptru 1540	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2 · (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1)))) = (2 · 1)
33		2t1e2 12405	. 2 ⊢ (2 · 1) = 2
34	8, 32, 33	3eqtri 2757	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) = 2

Syntax hints:   = wceq 1533  ⊤wtru 1534   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  dom cdm 5672  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  ℂcc 11136  1c1 11139   + caddc 11141   · cmul 11143   / cdiv 11901  ℕcn 12242  2c2 12297  seqcseq 13998   ⇝ cli 15460  Σcsu 15664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665

This theorem is referenced by: (None)