Theorem trirecip 15836

Description: The sum of the reciprocals of the triangle numbers converge to two. This is Metamath 100 proof #42. (Contributed by Scott Fenton, 23-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
trirecip	⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) = 2

Proof of Theorem trirecip

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 12271	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
2		peano2nn 12205	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
3		nnmulcl 12217	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝑘 · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
4	2, 3	mpdan 687	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
5	4	nncnd 12209	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 · (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
6	4	nnne0d 12243	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 · (𝑘 + 1)) ≠ 0)
7	1, 5, 6	divrecd 11968	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) = (2 · (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1)))))
8	7	sumeq2i 15671	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (2 · (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))))
9		nnuz 12843	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
10		1zzd 12571	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
11		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝑛 = 𝑘)
12		oveq1 7397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + 1) = (𝑘 + 1))
13	11, 12	oveq12d 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · (𝑛 + 1)) = (𝑘 · (𝑘 + 1)))
14	13	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))))
15		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
16		ovex 7423	. . . . . . 7 ⊢ (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) ∈ V
17	14, 15, 16	fvmpt 6971	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))‘𝑘) = (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))))
18	17	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))‘𝑘) = (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))))
19	4	nnrecred 12244	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11209	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
21	20	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
22	15	trireciplem 15835	. . . . . . 7 ⊢ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ⇝ 1
23	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ⇝ 1)
24		climrel 15465	. . . . . . 7 ⊢ Rel ⇝
25	24	releldmi 5915	. . . . . 6 ⊢ (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ⇝ 1 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∈ dom ⇝ )
26	23, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∈ dom ⇝ )
27		2cnd 12271	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
28	9, 10, 18, 21, 26, 27	isummulc2 15735	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (2 · (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1)))))
29	9, 10, 18, 21, 23	isumclim 15730	. . . . 5 ⊢ (⊤ → Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) = 1)
30	29	oveq2d 7406	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1)))) = (2 · 1))
31	28, 30	eqtr3d 2767	. . 3 ⊢ (⊤ → Σ𝑘 ∈ ℕ (2 · (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1)))) = (2 · 1))
32	31	mptru 1547	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2 · (1 / (𝑘 · (𝑘 + 1)))) = (2 · 1)
33		2t1e2 12351	. 2 ⊢ (2 · 1) = 2
34	8, 32, 33	3eqtri 2757	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2 / (𝑘 · (𝑘 + 1))) = 2

Syntax hints:   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  dom cdm 5641  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   / cdiv 11842  ℕcn 12193  2c2 12248  seqcseq 13973   ⇝ cli 15457  Σcsu 15659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660

This theorem is referenced by: (None)