Theorem mat1dim0 21822

Description: The zero of the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 15-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1dim.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
mat1dim0	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (0g‘𝐴) = {⟨𝑂, (0g‘𝑅)⟩})

Proof of Theorem mat1dim0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snfi 8988	. . . . . 6 ⊢ {𝐸} ∈ Fin
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → {𝐸} ∈ Fin)
3	2	anim2i 617	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑅 ∈ Ring ∧ {𝐸} ∈ Fin))
4	3	ancomd 462	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
5		mat1dim.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
6		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7	5, 6	mat0op 21768	. . 3 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘𝐴) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (0g‘𝑅)))
8	4, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (0g‘𝐴) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (0g‘𝑅)))
9		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐸 ∈ 𝑉)
10		fvexd 6857	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (0g‘𝑅) ∈ V)
11		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (0g‘𝑅)) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (0g‘𝑅))
12		eqidd 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅))
13		eqidd 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅))
14	11, 12, 13	mposn 8035	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ (0g‘𝑅) ∈ V) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (0g‘𝑅)) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (0g‘𝑅)⟩})
15		mat1dim.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
16	15	eqcomi 2745	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ = 𝑂
17	16	opeq1i 4833	. . . . 5 ⊢ ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (0g‘𝑅)⟩ = ⟨𝑂, (0g‘𝑅)⟩
18	17	sneqi 4597	. . . 4 ⊢ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (0g‘𝑅)⟩} = {⟨𝑂, (0g‘𝑅)⟩}
19	14, 18	eqtrdi 2792	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ (0g‘𝑅) ∈ V) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (0g‘𝑅)) = {⟨𝑂, (0g‘𝑅)⟩})
20	9, 9, 10, 19	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (0g‘𝑅)) = {⟨𝑂, (0g‘𝑅)⟩})
21	8, 20	eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (0g‘𝐴) = {⟨𝑂, (0g‘𝑅)⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3445  {csn 4586  ⟨cop 4592  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359  Fincfn 8883  Basecbs 17083  0_gc0g 17321  Ringcrg 19964   Mat cmat 21754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-mat 21755

This theorem is referenced by: (None)