MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1dim0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1dim0 21058
Description: The zero of the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 15-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
Assertion
Ref Expression
mat1dim0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (0g𝐴) = {⟨𝑂, (0g𝑅)⟩})

Proof of Theorem mat1dim0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snfi 8572 . . . . . 6 {𝐸} ∈ Fin
21a1i 11 . . . . 5 (𝐸𝑉 → {𝐸} ∈ Fin)
32anim2i 618 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑅 ∈ Ring ∧ {𝐸} ∈ Fin))
43ancomd 464 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → ({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
5 mat1dim.a . . . 4 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
6 eqid 2820 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
75, 6mat0op 21004 . . 3 (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g𝐴) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (0g𝑅)))
84, 7syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (0g𝐴) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (0g𝑅)))
9 simpr 487 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐸𝑉)
10 fvexd 6661 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (0g𝑅) ∈ V)
11 eqid 2820 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (0g𝑅)) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (0g𝑅))
12 eqidd 2821 . . . . 5 (𝑥 = 𝐸 → (0g𝑅) = (0g𝑅))
13 eqidd 2821 . . . . 5 (𝑦 = 𝐸 → (0g𝑅) = (0g𝑅))
1411, 12, 13mposn 7776 . . . 4 ((𝐸𝑉𝐸𝑉 ∧ (0g𝑅) ∈ V) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (0g𝑅)) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (0g𝑅)⟩})
15 mat1dim.o . . . . . . 7 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
1615eqcomi 2829 . . . . . 6 𝐸, 𝐸⟩ = 𝑂
1716opeq1i 4782 . . . . 5 ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (0g𝑅)⟩ = ⟨𝑂, (0g𝑅)⟩
1817sneqi 4554 . . . 4 {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (0g𝑅)⟩} = {⟨𝑂, (0g𝑅)⟩}
1914, 18syl6eq 2871 . . 3 ((𝐸𝑉𝐸𝑉 ∧ (0g𝑅) ∈ V) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (0g𝑅)) = {⟨𝑂, (0g𝑅)⟩})
209, 9, 10, 19syl3anc 1367 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (0g𝑅)) = {⟨𝑂, (0g𝑅)⟩})
218, 20eqtrd 2855 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (0g𝐴) = {⟨𝑂, (0g𝑅)⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1083   = wceq 1537  wcel 2114  Vcvv 3473  {csn 4543  cop 4549  cfv 6331  (class class class)co 7133  cmpo 7135  Fincfn 8487  Basecbs 16462  0gc0g 16692  Ringcrg 19276   Mat cmat 20992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-ot 4552  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-ixp 8440  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-sup 8884  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-z 11961  df-dec 12078  df-uz 12223  df-fz 12877  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-hom 16568  df-cco 16569  df-0g 16694  df-prds 16700  df-pws 16702  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-subg 18255  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-subrg 19509  df-lmod 19612  df-lss 19680  df-sra 19920  df-rgmod 19921  df-dsmm 20852  df-frlm 20867  df-mat 20993
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator