MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1dim0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1dim0 21732
Description: The zero of the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 15-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
Assertion
Ref Expression
mat1dim0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (0g𝐴) = {⟨𝑂, (0g𝑅)⟩})

Proof of Theorem mat1dim0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snfi 8918 . . . . . 6 {𝐸} ∈ Fin
21a1i 11 . . . . 5 (𝐸𝑉 → {𝐸} ∈ Fin)
32anim2i 618 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑅 ∈ Ring ∧ {𝐸} ∈ Fin))
43ancomd 463 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → ({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
5 mat1dim.a . . . 4 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
6 eqid 2737 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
75, 6mat0op 21678 . . 3 (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g𝐴) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (0g𝑅)))
84, 7syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (0g𝐴) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (0g𝑅)))
9 simpr 486 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐸𝑉)
10 fvexd 6849 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (0g𝑅) ∈ V)
11 eqid 2737 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (0g𝑅)) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (0g𝑅))
12 eqidd 2738 . . . . 5 (𝑥 = 𝐸 → (0g𝑅) = (0g𝑅))
13 eqidd 2738 . . . . 5 (𝑦 = 𝐸 → (0g𝑅) = (0g𝑅))
1411, 12, 13mposn 8020 . . . 4 ((𝐸𝑉𝐸𝑉 ∧ (0g𝑅) ∈ V) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (0g𝑅)) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (0g𝑅)⟩})
15 mat1dim.o . . . . . . 7 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
1615eqcomi 2746 . . . . . 6 𝐸, 𝐸⟩ = 𝑂
1716opeq1i 4828 . . . . 5 ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (0g𝑅)⟩ = ⟨𝑂, (0g𝑅)⟩
1817sneqi 4592 . . . 4 {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (0g𝑅)⟩} = {⟨𝑂, (0g𝑅)⟩}
1914, 18eqtrdi 2793 . . 3 ((𝐸𝑉𝐸𝑉 ∧ (0g𝑅) ∈ V) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (0g𝑅)) = {⟨𝑂, (0g𝑅)⟩})
209, 9, 10, 19syl3anc 1371 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (0g𝑅)) = {⟨𝑂, (0g𝑅)⟩})
218, 20eqtrd 2777 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (0g𝐴) = {⟨𝑂, (0g𝑅)⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3443  {csn 4581  cop 4587  cfv 6488  (class class class)co 7346  cmpo 7348  Fincfn 8813  Basecbs 17014  0gc0g 17252  Ringcrg 19882   Mat cmat 21664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5237  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659  ax-cnex 11037  ax-resscn 11038  ax-1cn 11039  ax-icn 11040  ax-addcl 11041  ax-addrcl 11042  ax-mulcl 11043  ax-mulrcl 11044  ax-mulcom 11045  ax-addass 11046  ax-mulass 11047  ax-distr 11048  ax-i2m1 11049  ax-1ne0 11050  ax-1rid 11051  ax-rnegex 11052  ax-rrecex 11053  ax-cnre 11054  ax-pre-lttri 11055  ax-pre-lttrn 11056  ax-pre-ltadd 11057  ax-pre-mulgt0 11058
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3924  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4861  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-tr 5218  df-id 5525  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5582  df-we 5584  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-pred 6246  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7302  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7790  df-1st 7908  df-2nd 7909  df-frecs 8176  df-wrecs 8207  df-recs 8281  df-rdg 8320  df-1o 8376  df-er 8578  df-map 8697  df-ixp 8766  df-en 8814  df-dom 8815  df-sdom 8816  df-fin 8817  df-sup 9308  df-pnf 11121  df-mnf 11122  df-xr 11123  df-ltxr 11124  df-le 11125  df-sub 11317  df-neg 11318  df-nn 12084  df-2 12146  df-3 12147  df-4 12148  df-5 12149  df-6 12150  df-7 12151  df-8 12152  df-9 12153  df-n0 12344  df-z 12430  df-dec 12548  df-uz 12693  df-fz 13350  df-struct 16950  df-sets 16967  df-slot 16985  df-ndx 16997  df-base 17015  df-ress 17044  df-plusg 17077  df-mulr 17078  df-sca 17080  df-vsca 17081  df-ip 17082  df-tset 17083  df-ple 17084  df-ds 17086  df-hom 17088  df-cco 17089  df-0g 17254  df-prds 17260  df-pws 17262  df-mgm 18428  df-sgrp 18477  df-mnd 18488  df-grp 18681  df-minusg 18682  df-sbg 18683  df-subg 18853  df-mgp 19820  df-ur 19837  df-ring 19884  df-subrg 20131  df-lmod 20235  df-lss 20304  df-sra 20544  df-rgmod 20545  df-dsmm 21049  df-frlm 21064  df-mat 21665
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator