![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > madulid | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Multiplying the adjunct of a matrix with the matrix results in the identity matrix multiplied with the determinant of the matrix. See Proposition 4.16 in [Lang] p. 518. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.) |
Ref | Expression |
---|---|
madurid.a | โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) |
madurid.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ด) |
madurid.j | โข ๐ฝ = (๐ maAdju ๐ ) |
madurid.d | โข ๐ท = (๐ maDet ๐ ) |
madurid.i | โข 1 = (1rโ๐ด) |
madurid.t | โข ยท = (.rโ๐ด) |
madurid.s | โข โ = ( ยท๐ โ๐ด) |
Ref | Expression |
---|---|
madulid | โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ ((๐ฝโ๐) ยท ๐) = ((๐ทโ๐) โ 1 )) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | simpr 484 | . . . . 5 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ ๐ โ CRing) | |
2 | madurid.a | . . . . . . . 8 โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) | |
3 | madurid.j | . . . . . . . 8 โข ๐ฝ = (๐ maAdju ๐ ) | |
4 | madurid.b | . . . . . . . 8 โข ๐ต = (Baseโ๐ด) | |
5 | 2, 3, 4 | maduf 22542 | . . . . . . 7 โข (๐ โ CRing โ ๐ฝ:๐ตโถ๐ต) |
6 | 5 | ffvelcdmda 7094 | . . . . . 6 โข ((๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ฝโ๐) โ ๐ต) |
7 | 6 | ancoms 458 | . . . . 5 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ (๐ฝโ๐) โ ๐ต) |
8 | simpl 482 | . . . . 5 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ ๐ โ ๐ต) | |
9 | madurid.t | . . . . . 6 โข ยท = (.rโ๐ด) | |
10 | 2, 4, 9 | mattposm 22360 | . . . . 5 โข ((๐ โ CRing โง (๐ฝโ๐) โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ tpos ((๐ฝโ๐) ยท ๐) = (tpos ๐ ยท tpos (๐ฝโ๐))) |
11 | 1, 7, 8, 10 | syl3anc 1369 | . . . 4 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ tpos ((๐ฝโ๐) ยท ๐) = (tpos ๐ ยท tpos (๐ฝโ๐))) |
12 | 2, 3, 4 | madutpos 22543 | . . . . . 6 โข ((๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ฝโtpos ๐) = tpos (๐ฝโ๐)) |
13 | 12 | ancoms 458 | . . . . 5 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ (๐ฝโtpos ๐) = tpos (๐ฝโ๐)) |
14 | 13 | oveq2d 7436 | . . . 4 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ (tpos ๐ ยท (๐ฝโtpos ๐)) = (tpos ๐ ยท tpos (๐ฝโ๐))) |
15 | 2, 4 | mattposcl 22354 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ต โ tpos ๐ โ ๐ต) |
16 | madurid.d | . . . . . 6 โข ๐ท = (๐ maDet ๐ ) | |
17 | madurid.i | . . . . . 6 โข 1 = (1rโ๐ด) | |
18 | madurid.s | . . . . . 6 โข โ = ( ยท๐ โ๐ด) | |
19 | 2, 4, 3, 16, 17, 9, 18 | madurid 22545 | . . . . 5 โข ((tpos ๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ (tpos ๐ ยท (๐ฝโtpos ๐)) = ((๐ทโtpos ๐) โ 1 )) |
20 | 15, 19 | sylan 579 | . . . 4 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ (tpos ๐ ยท (๐ฝโtpos ๐)) = ((๐ทโtpos ๐) โ 1 )) |
21 | 11, 14, 20 | 3eqtr2d 2774 | . . 3 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ tpos ((๐ฝโ๐) ยท ๐) = ((๐ทโtpos ๐) โ 1 )) |
22 | 21 | tposeqd 8234 | . 2 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ tpos tpos ((๐ฝโ๐) ยท ๐) = tpos ((๐ทโtpos ๐) โ 1 )) |
23 | 2, 4 | matrcl 22311 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ต โ (๐ โ Fin โง ๐ โ V)) |
24 | 23 | simpld 494 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ต โ ๐ โ Fin) |
25 | crngring 20184 | . . . . 5 โข (๐ โ CRing โ ๐ โ Ring) | |
26 | 2 | matring 22344 | . . . . 5 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring) โ ๐ด โ Ring) |
27 | 24, 25, 26 | syl2an 595 | . . . 4 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ ๐ด โ Ring) |
28 | 4, 9 | ringcl 20189 | . . . 4 โข ((๐ด โ Ring โง (๐ฝโ๐) โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ฝโ๐) ยท ๐) โ ๐ต) |
29 | 27, 7, 8, 28 | syl3anc 1369 | . . 3 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ ((๐ฝโ๐) ยท ๐) โ ๐ต) |
30 | 2, 4 | mattpostpos 22355 | . . 3 โข (((๐ฝโ๐) ยท ๐) โ ๐ต โ tpos tpos ((๐ฝโ๐) ยท ๐) = ((๐ฝโ๐) ยท ๐)) |
31 | 29, 30 | syl 17 | . 2 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ tpos tpos ((๐ฝโ๐) ยท ๐) = ((๐ฝโ๐) ยท ๐)) |
32 | eqid 2728 | . . . . . . 7 โข (Baseโ๐ ) = (Baseโ๐ ) | |
33 | 16, 2, 4, 32 | mdetf 22496 | . . . . . 6 โข (๐ โ CRing โ ๐ท:๐ตโถ(Baseโ๐ )) |
34 | 33 | adantl 481 | . . . . 5 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ ๐ท:๐ตโถ(Baseโ๐ )) |
35 | 15 | adantr 480 | . . . . 5 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ tpos ๐ โ ๐ต) |
36 | 34, 35 | ffvelcdmd 7095 | . . . 4 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ (๐ทโtpos ๐) โ (Baseโ๐ )) |
37 | 4, 17 | ringidcl 20201 | . . . . 5 โข (๐ด โ Ring โ 1 โ ๐ต) |
38 | 27, 37 | syl 17 | . . . 4 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ 1 โ ๐ต) |
39 | 2, 4, 32, 18 | mattposvs 22356 | . . . 4 โข (((๐ทโtpos ๐) โ (Baseโ๐ ) โง 1 โ ๐ต) โ tpos ((๐ทโtpos ๐) โ 1 ) = ((๐ทโtpos ๐) โ tpos 1 )) |
40 | 36, 38, 39 | syl2anc 583 | . . 3 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ tpos ((๐ทโtpos ๐) โ 1 ) = ((๐ทโtpos ๐) โ tpos 1 )) |
41 | 16, 2, 4 | mdettpos 22512 | . . . . 5 โข ((๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ทโtpos ๐) = (๐ทโ๐)) |
42 | 41 | ancoms 458 | . . . 4 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ (๐ทโtpos ๐) = (๐ทโ๐)) |
43 | 2, 17 | mattpos1 22357 | . . . . 5 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring) โ tpos 1 = 1 ) |
44 | 24, 25, 43 | syl2an 595 | . . . 4 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ tpos 1 = 1 ) |
45 | 42, 44 | oveq12d 7438 | . . 3 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ ((๐ทโtpos ๐) โ tpos 1 ) = ((๐ทโ๐) โ 1 )) |
46 | 40, 45 | eqtrd 2768 | . 2 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ tpos ((๐ทโtpos ๐) โ 1 ) = ((๐ทโ๐) โ 1 )) |
47 | 22, 31, 46 | 3eqtr3d 2776 | 1 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ ((๐ฝโ๐) ยท ๐) = ((๐ทโ๐) โ 1 )) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1534 โ wcel 2099 Vcvv 3471 โถwf 6544 โcfv 6548 (class class class)co 7420 tpos ctpos 8230 Fincfn 8963 Basecbs 17179 .rcmulr 17233 ยท๐ cvsca 17236 1rcur 20120 Ringcrg 20172 CRingccrg 20173 Mat cmat 22306 maDet cmdat 22485 maAdju cmadu 22533 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5429 ax-un 7740 ax-cnex 11194 ax-resscn 11195 ax-1cn 11196 ax-icn 11197 ax-addcl 11198 ax-addrcl 11199 ax-mulcl 11200 ax-mulrcl 11201 ax-mulcom 11202 ax-addass 11203 ax-mulass 11204 ax-distr 11205 ax-i2m1 11206 ax-1ne0 11207 ax-1rid 11208 ax-rnegex 11209 ax-rrecex 11210 ax-cnre 11211 ax-pre-lttri 11212 ax-pre-lttrn 11213 ax-pre-ltadd 11214 ax-pre-mulgt0 11215 ax-addf 11217 ax-mulf 11218 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-xor 1506 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3373 df-reu 3374 df-rab 3430 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-tp 4634 df-op 4636 df-ot 4638 df-uni 4909 df-int 4950 df-iun 4998 df-iin 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5576 df-eprel 5582 df-po 5590 df-so 5591 df-fr 5633 df-se 5634 df-we 5635 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-rn 5689 df-res 5690 df-ima 5691 df-pred 6305 df-ord 6372 df-on 6373 df-lim 6374 df-suc 6375 df-iota 6500 df-fun 6550 df-fn 6551 df-f 6552 df-f1 6553 df-fo 6554 df-f1o 6555 df-fv 6556 df-isom 6557 df-riota 7376 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-of 7685 df-om 7871 df-1st 7993 df-2nd 7994 df-supp 8166 df-tpos 8231 df-frecs 8286 df-wrecs 8317 df-recs 8391 df-rdg 8430 df-1o 8486 df-2o 8487 df-er 8724 df-map 8846 df-pm 8847 df-ixp 8916 df-en 8964 df-dom 8965 df-sdom 8966 df-fin 8967 df-fsupp 9386 df-sup 9465 df-oi 9533 df-card 9962 df-pnf 11280 df-mnf 11281 df-xr 11282 df-ltxr 11283 df-le 11284 df-sub 11476 df-neg 11477 df-div 11902 df-nn 12243 df-2 12305 df-3 12306 df-4 12307 df-5 12308 df-6 12309 df-7 12310 df-8 12311 df-9 12312 df-n0 12503 df-xnn0 12575 df-z 12589 df-dec 12708 df-uz 12853 df-rp 13007 df-fz 13517 df-fzo 13660 df-seq 13999 df-exp 14059 df-hash 14322 df-word 14497 df-lsw 14545 df-concat 14553 df-s1 14578 df-substr 14623 df-pfx 14653 df-splice 14732 df-reverse 14741 df-s2 14831 df-struct 17115 df-sets 17132 df-slot 17150 df-ndx 17162 df-base 17180 df-ress 17209 df-plusg 17245 df-mulr 17246 df-starv 17247 df-sca 17248 df-vsca 17249 df-ip 17250 df-tset 17251 df-ple 17252 df-ds 17254 df-unif 17255 df-hom 17256 df-cco 17257 df-0g 17422 df-gsum 17423 df-prds 17428 df-pws 17430 df-mre 17565 df-mrc 17566 df-acs 17568 df-mgm 18599 df-sgrp 18678 df-mnd 18694 df-mhm 18739 df-submnd 18740 df-efmnd 18820 df-grp 18892 df-minusg 18893 df-sbg 18894 df-mulg 19023 df-subg 19077 df-ghm 19167 df-gim 19212 df-cntz 19267 df-oppg 19296 df-symg 19321 df-pmtr 19396 df-psgn 19445 df-evpm 19446 df-cmn 19736 df-abl 19737 df-mgp 20074 df-rng 20092 df-ur 20121 df-ring 20174 df-cring 20175 df-oppr 20272 df-dvdsr 20295 df-unit 20296 df-invr 20326 df-dvr 20339 df-rhm 20410 df-subrng 20482 df-subrg 20507 df-drng 20625 df-lmod 20744 df-lss 20815 df-sra 21057 df-rgmod 21058 df-cnfld 21279 df-zring 21372 df-zrh 21428 df-dsmm 21665 df-frlm 21680 df-mamu 22285 df-mat 22307 df-mdet 22486 df-madu 22535 |
This theorem is referenced by: matinv 22578 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |