Theorem madulid 22623

Description: Multiplying the adjunct of a matrix with the matrix results in the identity matrix multiplied with the determinant of the matrix. See Proposition 4.16 in [Lang] p. 518. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
madurid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
madurid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
madurid.j	⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
madurid.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
madurid.i	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
madurid.t	⊢ · = (.r‘𝐴)
madurid.s	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
madulid	⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = ((𝐷‘𝑀) ∙ 1 ))

Proof of Theorem madulid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ CRing)
2		madurid.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		madurid.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
4		madurid.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
5	2, 3, 4	maduf 22619	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐽:𝐵⟶𝐵)
6	5	ffvelcdmda 7031	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵)
7	6	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵)
8		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑀 ∈ 𝐵)
9		madurid.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝐴)
10	2, 4, 9	mattposm 22437	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → tpos ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = (tpos 𝑀 · tpos (𝐽‘𝑀)))
11	1, 7, 8, 10	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = (tpos 𝑀 · tpos (𝐽‘𝑀)))
12	2, 3, 4	madutpos 22620	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐽‘tpos 𝑀) = tpos (𝐽‘𝑀))
13	12	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐽‘tpos 𝑀) = tpos (𝐽‘𝑀))
14	13	oveq2d 7377	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (tpos 𝑀 · (𝐽‘tpos 𝑀)) = (tpos 𝑀 · tpos (𝐽‘𝑀)))
15	2, 4	mattposcl 22431	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → tpos 𝑀 ∈ 𝐵)
16		madurid.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
17		madurid.i	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
18		madurid.s	. . . . . 6 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
19	2, 4, 3, 16, 17, 9, 18	madurid 22622	. . . . 5 ⊢ ((tpos 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (tpos 𝑀 · (𝐽‘tpos 𝑀)) = ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ 1 ))
20	15, 19	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (tpos 𝑀 · (𝐽‘tpos 𝑀)) = ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ 1 ))
21	11, 14, 20	3eqtr2d 2778	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ 1 ))
22	21	tposeqd 8173	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos tpos ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = tpos ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ 1 ))
23	2, 4	matrcl 22390	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
24	23	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
25		crngring 20220	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
26	2	matring 22421	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
27	24, 25, 26	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
28	4, 9	ringcl 20225	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) ∈ 𝐵)
29	27, 7, 8, 28	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) ∈ 𝐵)
30	2, 4	mattpostpos 22432	. . 3 ⊢ (((𝐽‘𝑀) · 𝑀) ∈ 𝐵 → tpos tpos ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = ((𝐽‘𝑀) · 𝑀))
31	29, 30	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos tpos ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = ((𝐽‘𝑀) · 𝑀))
32		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
33	16, 2, 4, 32	mdetf 22573	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐷:𝐵⟶(Base‘𝑅))
34	33	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐷:𝐵⟶(Base‘𝑅))
35	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos 𝑀 ∈ 𝐵)
36	34, 35	ffvelcdmd 7032	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐷‘tpos 𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
37	4, 17	ringidcl 20240	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
38	27, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 1 ∈ 𝐵)
39	2, 4, 32, 18	mattposvs 22433	. . . 4 ⊢ (((𝐷‘tpos 𝑀) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ 𝐵) → tpos ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ 1 ) = ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ tpos 1 ))
40	36, 38, 39	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ 1 ) = ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ tpos 1 ))
41	16, 2, 4	mdettpos 22589	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘tpos 𝑀) = (𝐷‘𝑀))
42	41	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐷‘tpos 𝑀) = (𝐷‘𝑀))
43	2, 17	mattpos1 22434	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → tpos 1 = 1 )
44	24, 25, 43	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos 1 = 1 )
45	42, 44	oveq12d 7379	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ tpos 1 ) = ((𝐷‘𝑀) ∙ 1 ))
46	40, 45	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ 1 ) = ((𝐷‘𝑀) ∙ 1 ))
47	22, 31, 46	3eqtr3d 2780	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = ((𝐷‘𝑀) ∙ 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  tpos ctpos 8169  Fincfn 8887  Basecbs 17173  ._rcmulr 17215   ·_𝑠 cvsca 17218  1_rcur 20156  Ringcrg 20208  CRingccrg 20209   Mat cmat 22385   maDet cmdat 22562   maAdju cmadu 22610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-addf 11111  ax-mulf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1514  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-xnn0 12505  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-rp 12937  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-exp 14018  df-hash 14287  df-word 14470  df-lsw 14519  df-concat 14527  df-s1 14553  df-substr 14598  df-pfx 14628  df-splice 14706  df-reverse 14715  df-s2 14804  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-hom 17238  df-cco 17239  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-prds 17404  df-pws 17406  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-efmnd 18831  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-mulg 19038  df-subg 19093  df-ghm 19182  df-gim 19228  df-cntz 19286  df-oppg 19315  df-symg 19339  df-pmtr 19411  df-psgn 19460  df-evpm 19461  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-cring 20211  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-unit 20332  df-invr 20362  df-dvr 20375  df-rhm 20446  df-subrng 20517  df-subrg 20541  df-drng 20702  df-lmod 20851  df-lss 20921  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-cnfld 21348  df-zring 21440  df-zrh 21496  df-dsmm 21725  df-frlm 21740  df-mamu 22369  df-mat 22386  df-mdet 22563  df-madu 22612

This theorem is referenced by:  matinv  22655