Theorem madulid 22702

Description: Multiplying the adjunct of a matrix with the matrix results in the identity matrix multiplied with the determinant of the matrix. See Proposition 4.16 in [Lang] p. 518. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
madurid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
madurid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
madurid.j	⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
madurid.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
madurid.i	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
madurid.t	⊢ · = (.r‘𝐴)
madurid.s	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
madulid	⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = ((𝐷‘𝑀) ∙ 1 ))

Proof of Theorem madulid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ CRing)
2		madurid.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		madurid.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
4		madurid.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
5	2, 3, 4	maduf 22698	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐽:𝐵⟶𝐵)
6	5	ffvelcdmda 7065	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵)
7	6	ancoms 462	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵)
8		simpl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑀 ∈ 𝐵)
9		madurid.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝐴)
10	2, 4, 9	mattposm 22516	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → tpos ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = (tpos 𝑀 · tpos (𝐽‘𝑀)))
11	1, 7, 8, 10	syl3anc 1390	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = (tpos 𝑀 · tpos (𝐽‘𝑀)))
12	2, 3, 4	madutpos 22699	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐽‘tpos 𝑀) = tpos (𝐽‘𝑀))
13	12	ancoms 462	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐽‘tpos 𝑀) = tpos (𝐽‘𝑀))
14	13	oveq2d 7412	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (tpos 𝑀 · (𝐽‘tpos 𝑀)) = (tpos 𝑀 · tpos (𝐽‘𝑀)))
15	2, 4	mattposcl 22510	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → tpos 𝑀 ∈ 𝐵)
16		madurid.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
17		madurid.i	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
18		madurid.s	. . . . . 6 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
19	2, 4, 3, 16, 17, 9, 18	madurid 22701	. . . . 5 ⊢ ((tpos 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (tpos 𝑀 · (𝐽‘tpos 𝑀)) = ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ 1 ))
20	15, 19	sylan 589	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (tpos 𝑀 · (𝐽‘tpos 𝑀)) = ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ 1 ))
21	11, 14, 20	3eqtr2d 2803	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ 1 ))
22	21	tposeqd 8209	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos tpos ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = tpos ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ 1 ))
23	2, 4	matrcl 22469	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
24	23	simpld 498	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
25		crngring 20291	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
26	2	matring 22500	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
27	24, 25, 26	syl2an 605	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
28	4, 9	ringcl 20296	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) ∈ 𝐵)
29	27, 7, 8, 28	syl3anc 1390	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) ∈ 𝐵)
30	2, 4	mattpostpos 22511	. . 3 ⊢ (((𝐽‘𝑀) · 𝑀) ∈ 𝐵 → tpos tpos ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = ((𝐽‘𝑀) · 𝑀))
31	29, 30	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos tpos ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = ((𝐽‘𝑀) · 𝑀))
32		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
33	16, 2, 4, 32	mdetf 22652	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐷:𝐵⟶(Base‘𝑅))
34	33	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐷:𝐵⟶(Base‘𝑅))
35	15	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos 𝑀 ∈ 𝐵)
36	34, 35	ffvelcdmd 7066	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐷‘tpos 𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
37	4, 17	ringidcl 20311	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
38	27, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 1 ∈ 𝐵)
39	2, 4, 32, 18	mattposvs 22512	. . . 4 ⊢ (((𝐷‘tpos 𝑀) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ 𝐵) → tpos ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ 1 ) = ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ tpos 1 ))
40	36, 38, 39	syl2anc 593	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ 1 ) = ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ tpos 1 ))
41	16, 2, 4	mdettpos 22668	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘tpos 𝑀) = (𝐷‘𝑀))
42	41	ancoms 462	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐷‘tpos 𝑀) = (𝐷‘𝑀))
43	2, 17	mattpos1 22513	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → tpos 1 = 1 )
44	24, 25, 43	syl2an 605	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos 1 = 1 )
45	42, 44	oveq12d 7414	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ tpos 1 ) = ((𝐷‘𝑀) ∙ 1 ))
46	40, 45	eqtrd 2797	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ 1 ) = ((𝐷‘𝑀) ∙ 1 ))
47	22, 31, 46	3eqtr3d 2805	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = ((𝐷‘𝑀) ∙ 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  tpos ctpos 8205  Fincfn 8927  Basecbs 17245  ._rcmulr 17287   ·_𝑠 cvsca 17290  1_rcur 20227  Ringcrg 20279  CRingccrg 20280   Mat cmat 22464   maDet cmdat 22641   maAdju cmadu 22689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-addf 11152  ax-mulf 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-xor 1532  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-ot 4591  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-sup 9388  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-xnn0 12555  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-rp 12994  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14344  df-word 14527  df-lsw 14576  df-concat 14584  df-s1 14610  df-substr 14655  df-pfx 14685  df-splice 14763  df-reverse 14772  df-s2 14861  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-prds 17476  df-pws 17478  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-mhm 18817  df-submnd 18818  df-efmnd 18903  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-mulg 19110  df-subg 19165  df-ghm 19254  df-gim 19299  df-cntz 19357  df-oppg 19386  df-symg 19410  df-pmtr 19482  df-psgn 19531  df-evpm 19532  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20228  df-ring 20281  df-cring 20282  df-oppr 20382  df-dvdsr 20402  df-unit 20403  df-invr 20433  df-dvr 20446  df-rhm 20517  df-subrng 20592  df-subrg 20616  df-drng 20777  df-lmod 20926  df-lss 20996  df-sra 21237  df-rgmod 21238  df-cnfld 21422  df-zring 21496  df-zrh 21552  df-dsmm 21781  df-frlm 21796  df-mamu 22448  df-mat 22465  df-mdet 22642  df-madu 22691

This theorem is referenced by:  matinv  22734