Theorem madulid 22770

Description: Multiplying the adjunct of a matrix with the matrix results in the identity matrix multiplied with the determinant of the matrix. See Proposition 4.16 in [Lang] p. 518. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
madurid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
madurid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
madurid.j	⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
madurid.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
madurid.i	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
madurid.t	⊢ · = (.r‘𝐴)
madurid.s	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
madulid	⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = ((𝐷‘𝑀) ∙ 1 ))

Proof of Theorem madulid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ CRing)
2		madurid.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		madurid.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
4		madurid.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
5	2, 3, 4	maduf 22766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐽:𝐵⟶𝐵)
6	5	ffvelcdmda 7080	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵)
7	6	ancoms 463	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵)
8		simpl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑀 ∈ 𝐵)
9		madurid.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝐴)
10	2, 4, 9	mattposm 22584	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → tpos ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = (tpos 𝑀 · tpos (𝐽‘𝑀)))
11	1, 7, 8, 10	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = (tpos 𝑀 · tpos (𝐽‘𝑀)))
12	2, 3, 4	madutpos 22767	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐽‘tpos 𝑀) = tpos (𝐽‘𝑀))
13	12	ancoms 463	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐽‘tpos 𝑀) = tpos (𝐽‘𝑀))
14	13	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (tpos 𝑀 · (𝐽‘tpos 𝑀)) = (tpos 𝑀 · tpos (𝐽‘𝑀)))
15	2, 4	mattposcl 22578	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → tpos 𝑀 ∈ 𝐵)
16		madurid.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
17		madurid.i	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
18		madurid.s	. . . . . 6 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
19	2, 4, 3, 16, 17, 9, 18	madurid 22769	. . . . 5 ⊢ ((tpos 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (tpos 𝑀 · (𝐽‘tpos 𝑀)) = ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ 1 ))
20	15, 19	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (tpos 𝑀 · (𝐽‘tpos 𝑀)) = ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ 1 ))
21	11, 14, 20	3eqtr2d 2810	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ 1 ))
22	21	tposeqd 8224	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos tpos ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = tpos ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ 1 ))
23	2, 4	matrcl 22537	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
24	23	simpld 499	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
25		crngring 20326	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
26	2	matring 22568	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
27	24, 25, 26	syl2an 607	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
28	4, 9	ringcl 20331	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) ∈ 𝐵)
29	27, 7, 8, 28	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) ∈ 𝐵)
30	2, 4	mattpostpos 22579	. . 3 ⊢ (((𝐽‘𝑀) · 𝑀) ∈ 𝐵 → tpos tpos ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = ((𝐽‘𝑀) · 𝑀))
31	29, 30	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos tpos ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = ((𝐽‘𝑀) · 𝑀))
32		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
33	16, 2, 4, 32	mdetf 22720	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐷:𝐵⟶(Base‘𝑅))
34	33	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐷:𝐵⟶(Base‘𝑅))
35	15	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos 𝑀 ∈ 𝐵)
36	34, 35	ffvelcdmd 7081	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐷‘tpos 𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
37	4, 17	ringidcl 20347	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
38	27, 37	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 1 ∈ 𝐵)
39	2, 4, 32, 18	mattposvs 22580	. . . 4 ⊢ (((𝐷‘tpos 𝑀) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ 𝐵) → tpos ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ 1 ) = ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ tpos 1 ))
40	36, 38, 39	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ 1 ) = ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ tpos 1 ))
41	16, 2, 4	mdettpos 22736	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘tpos 𝑀) = (𝐷‘𝑀))
42	41	ancoms 463	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐷‘tpos 𝑀) = (𝐷‘𝑀))
43	2, 17	mattpos1 22581	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → tpos 1 = 1 )
44	24, 25, 43	syl2an 607	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos 1 = 1 )
45	42, 44	oveq12d 7429	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ tpos 1 ) = ((𝐷‘𝑀) ∙ 1 ))
46	40, 45	eqtrd 2804	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ 1 ) = ((𝐷‘𝑀) ∙ 1 ))
47	22, 31, 46	3eqtr3d 2812	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = ((𝐷‘𝑀) ∙ 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  tpos ctpos 8220  Fincfn 8942  Basecbs 17268  ._rcmulr 17310   ·_𝑠 cvsca 17313  1_rcur 20262  Ringcrg 20314  CRingccrg 20315   Mat cmat 22532   maDet cmdat 22709   maAdju cmadu 22757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-addf 11178  ax-mulf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-xor 1539  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-sup 9401  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-exp 14097  df-hash 14366  df-word 14550  df-lsw 14599  df-concat 14607  df-s1 14633  df-substr 14678  df-pfx 14708  df-splice 14786  df-reverse 14795  df-s2 14884  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-prds 17499  df-pws 17501  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-submnd 18841  df-efmnd 18927  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-ghm 19283  df-gim 19328  df-cntz 19386  df-oppg 19415  df-symg 19439  df-pmtr 19511  df-psgn 19560  df-evpm 19561  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-cring 20317  df-oppr 20418  df-dvdsr 20438  df-unit 20439  df-invr 20469  df-dvr 20482  df-rhm 20553  df-subrng 20630  df-subrg 20654  df-drng 20814  df-lmod 20960  df-lss 21030  df-sra 21271  df-rgmod 21272  df-cnfld 21491  df-zring 21565  df-zrh 21621  df-dsmm 21850  df-frlm 21865  df-mamu 22516  df-mat 22533  df-mdet 22710  df-madu 22759

This theorem is referenced by:  matinv  22802