![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > madulid | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Multiplying the adjunct of a matrix with the matrix results in the identity matrix multiplied with the determinant of the matrix. See Proposition 4.16 in [Lang] p. 518. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.) |
Ref | Expression |
---|---|
madurid.a | โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) |
madurid.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ด) |
madurid.j | โข ๐ฝ = (๐ maAdju ๐ ) |
madurid.d | โข ๐ท = (๐ maDet ๐ ) |
madurid.i | โข 1 = (1rโ๐ด) |
madurid.t | โข ยท = (.rโ๐ด) |
madurid.s | โข โ = ( ยท๐ โ๐ด) |
Ref | Expression |
---|---|
madulid | โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ ((๐ฝโ๐) ยท ๐) = ((๐ทโ๐) โ 1 )) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | simpr 484 | . . . . 5 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ ๐ โ CRing) | |
2 | madurid.a | . . . . . . . 8 โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) | |
3 | madurid.j | . . . . . . . 8 โข ๐ฝ = (๐ maAdju ๐ ) | |
4 | madurid.b | . . . . . . . 8 โข ๐ต = (Baseโ๐ด) | |
5 | 2, 3, 4 | maduf 22487 | . . . . . . 7 โข (๐ โ CRing โ ๐ฝ:๐ตโถ๐ต) |
6 | 5 | ffvelcdmda 7077 | . . . . . 6 โข ((๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ฝโ๐) โ ๐ต) |
7 | 6 | ancoms 458 | . . . . 5 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ (๐ฝโ๐) โ ๐ต) |
8 | simpl 482 | . . . . 5 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ ๐ โ ๐ต) | |
9 | madurid.t | . . . . . 6 โข ยท = (.rโ๐ด) | |
10 | 2, 4, 9 | mattposm 22305 | . . . . 5 โข ((๐ โ CRing โง (๐ฝโ๐) โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ tpos ((๐ฝโ๐) ยท ๐) = (tpos ๐ ยท tpos (๐ฝโ๐))) |
11 | 1, 7, 8, 10 | syl3anc 1368 | . . . 4 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ tpos ((๐ฝโ๐) ยท ๐) = (tpos ๐ ยท tpos (๐ฝโ๐))) |
12 | 2, 3, 4 | madutpos 22488 | . . . . . 6 โข ((๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ฝโtpos ๐) = tpos (๐ฝโ๐)) |
13 | 12 | ancoms 458 | . . . . 5 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ (๐ฝโtpos ๐) = tpos (๐ฝโ๐)) |
14 | 13 | oveq2d 7418 | . . . 4 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ (tpos ๐ ยท (๐ฝโtpos ๐)) = (tpos ๐ ยท tpos (๐ฝโ๐))) |
15 | 2, 4 | mattposcl 22299 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ต โ tpos ๐ โ ๐ต) |
16 | madurid.d | . . . . . 6 โข ๐ท = (๐ maDet ๐ ) | |
17 | madurid.i | . . . . . 6 โข 1 = (1rโ๐ด) | |
18 | madurid.s | . . . . . 6 โข โ = ( ยท๐ โ๐ด) | |
19 | 2, 4, 3, 16, 17, 9, 18 | madurid 22490 | . . . . 5 โข ((tpos ๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ (tpos ๐ ยท (๐ฝโtpos ๐)) = ((๐ทโtpos ๐) โ 1 )) |
20 | 15, 19 | sylan 579 | . . . 4 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ (tpos ๐ ยท (๐ฝโtpos ๐)) = ((๐ทโtpos ๐) โ 1 )) |
21 | 11, 14, 20 | 3eqtr2d 2770 | . . 3 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ tpos ((๐ฝโ๐) ยท ๐) = ((๐ทโtpos ๐) โ 1 )) |
22 | 21 | tposeqd 8210 | . 2 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ tpos tpos ((๐ฝโ๐) ยท ๐) = tpos ((๐ทโtpos ๐) โ 1 )) |
23 | 2, 4 | matrcl 22256 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ต โ (๐ โ Fin โง ๐ โ V)) |
24 | 23 | simpld 494 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ต โ ๐ โ Fin) |
25 | crngring 20146 | . . . . 5 โข (๐ โ CRing โ ๐ โ Ring) | |
26 | 2 | matring 22289 | . . . . 5 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring) โ ๐ด โ Ring) |
27 | 24, 25, 26 | syl2an 595 | . . . 4 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ ๐ด โ Ring) |
28 | 4, 9 | ringcl 20151 | . . . 4 โข ((๐ด โ Ring โง (๐ฝโ๐) โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ฝโ๐) ยท ๐) โ ๐ต) |
29 | 27, 7, 8, 28 | syl3anc 1368 | . . 3 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ ((๐ฝโ๐) ยท ๐) โ ๐ต) |
30 | 2, 4 | mattpostpos 22300 | . . 3 โข (((๐ฝโ๐) ยท ๐) โ ๐ต โ tpos tpos ((๐ฝโ๐) ยท ๐) = ((๐ฝโ๐) ยท ๐)) |
31 | 29, 30 | syl 17 | . 2 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ tpos tpos ((๐ฝโ๐) ยท ๐) = ((๐ฝโ๐) ยท ๐)) |
32 | eqid 2724 | . . . . . . 7 โข (Baseโ๐ ) = (Baseโ๐ ) | |
33 | 16, 2, 4, 32 | mdetf 22441 | . . . . . 6 โข (๐ โ CRing โ ๐ท:๐ตโถ(Baseโ๐ )) |
34 | 33 | adantl 481 | . . . . 5 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ ๐ท:๐ตโถ(Baseโ๐ )) |
35 | 15 | adantr 480 | . . . . 5 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ tpos ๐ โ ๐ต) |
36 | 34, 35 | ffvelcdmd 7078 | . . . 4 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ (๐ทโtpos ๐) โ (Baseโ๐ )) |
37 | 4, 17 | ringidcl 20161 | . . . . 5 โข (๐ด โ Ring โ 1 โ ๐ต) |
38 | 27, 37 | syl 17 | . . . 4 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ 1 โ ๐ต) |
39 | 2, 4, 32, 18 | mattposvs 22301 | . . . 4 โข (((๐ทโtpos ๐) โ (Baseโ๐ ) โง 1 โ ๐ต) โ tpos ((๐ทโtpos ๐) โ 1 ) = ((๐ทโtpos ๐) โ tpos 1 )) |
40 | 36, 38, 39 | syl2anc 583 | . . 3 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ tpos ((๐ทโtpos ๐) โ 1 ) = ((๐ทโtpos ๐) โ tpos 1 )) |
41 | 16, 2, 4 | mdettpos 22457 | . . . . 5 โข ((๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ทโtpos ๐) = (๐ทโ๐)) |
42 | 41 | ancoms 458 | . . . 4 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ (๐ทโtpos ๐) = (๐ทโ๐)) |
43 | 2, 17 | mattpos1 22302 | . . . . 5 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring) โ tpos 1 = 1 ) |
44 | 24, 25, 43 | syl2an 595 | . . . 4 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ tpos 1 = 1 ) |
45 | 42, 44 | oveq12d 7420 | . . 3 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ ((๐ทโtpos ๐) โ tpos 1 ) = ((๐ทโ๐) โ 1 )) |
46 | 40, 45 | eqtrd 2764 | . 2 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ tpos ((๐ทโtpos ๐) โ 1 ) = ((๐ทโ๐) โ 1 )) |
47 | 22, 31, 46 | 3eqtr3d 2772 | 1 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ CRing) โ ((๐ฝโ๐) ยท ๐) = ((๐ทโ๐) โ 1 )) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 Vcvv 3466 โถwf 6530 โcfv 6534 (class class class)co 7402 tpos ctpos 8206 Fincfn 8936 Basecbs 17149 .rcmulr 17203 ยท๐ cvsca 17206 1rcur 20082 Ringcrg 20134 CRingccrg 20135 Mat cmat 22251 maDet cmdat 22430 maAdju cmadu 22478 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-rep 5276 ax-sep 5290 ax-nul 5297 ax-pow 5354 ax-pr 5418 ax-un 7719 ax-cnex 11163 ax-resscn 11164 ax-1cn 11165 ax-icn 11166 ax-addcl 11167 ax-addrcl 11168 ax-mulcl 11169 ax-mulrcl 11170 ax-mulcom 11171 ax-addass 11172 ax-mulass 11173 ax-distr 11174 ax-i2m1 11175 ax-1ne0 11176 ax-1rid 11177 ax-rnegex 11178 ax-rrecex 11179 ax-cnre 11180 ax-pre-lttri 11181 ax-pre-lttrn 11182 ax-pre-ltadd 11183 ax-pre-mulgt0 11184 ax-addf 11186 ax-mulf 11187 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-xor 1505 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3960 df-nul 4316 df-if 4522 df-pw 4597 df-sn 4622 df-pr 4624 df-tp 4626 df-op 4628 df-ot 4630 df-uni 4901 df-int 4942 df-iun 4990 df-iin 4991 df-br 5140 df-opab 5202 df-mpt 5223 df-tr 5257 df-id 5565 df-eprel 5571 df-po 5579 df-so 5580 df-fr 5622 df-se 5623 df-we 5624 df-xp 5673 df-rel 5674 df-cnv 5675 df-co 5676 df-dm 5677 df-rn 5678 df-res 5679 df-ima 5680 df-pred 6291 df-ord 6358 df-on 6359 df-lim 6360 df-suc 6361 df-iota 6486 df-fun 6536 df-fn 6537 df-f 6538 df-f1 6539 df-fo 6540 df-f1o 6541 df-fv 6542 df-isom 6543 df-riota 7358 df-ov 7405 df-oprab 7406 df-mpo 7407 df-of 7664 df-om 7850 df-1st 7969 df-2nd 7970 df-supp 8142 df-tpos 8207 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-1o 8462 df-2o 8463 df-er 8700 df-map 8819 df-pm 8820 df-ixp 8889 df-en 8937 df-dom 8938 df-sdom 8939 df-fin 8940 df-fsupp 9359 df-sup 9434 df-oi 9502 df-card 9931 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11445 df-neg 11446 df-div 11871 df-nn 12212 df-2 12274 df-3 12275 df-4 12276 df-5 12277 df-6 12278 df-7 12279 df-8 12280 df-9 12281 df-n0 12472 df-xnn0 12544 df-z 12558 df-dec 12677 df-uz 12822 df-rp 12976 df-fz 13486 df-fzo 13629 df-seq 13968 df-exp 14029 df-hash 14292 df-word 14467 df-lsw 14515 df-concat 14523 df-s1 14548 df-substr 14593 df-pfx 14623 df-splice 14702 df-reverse 14711 df-s2 14801 df-struct 17085 df-sets 17102 df-slot 17120 df-ndx 17132 df-base 17150 df-ress 17179 df-plusg 17215 df-mulr 17216 df-starv 17217 df-sca 17218 df-vsca 17219 df-ip 17220 df-tset 17221 df-ple 17222 df-ds 17224 df-unif 17225 df-hom 17226 df-cco 17227 df-0g 17392 df-gsum 17393 df-prds 17398 df-pws 17400 df-mre 17535 df-mrc 17536 df-acs 17538 df-mgm 18569 df-sgrp 18648 df-mnd 18664 df-mhm 18709 df-submnd 18710 df-efmnd 18790 df-grp 18862 df-minusg 18863 df-sbg 18864 df-mulg 18992 df-subg 19046 df-ghm 19135 df-gim 19180 df-cntz 19229 df-oppg 19258 df-symg 19283 df-pmtr 19358 df-psgn 19407 df-evpm 19408 df-cmn 19698 df-abl 19699 df-mgp 20036 df-rng 20054 df-ur 20083 df-ring 20136 df-cring 20137 df-oppr 20232 df-dvdsr 20255 df-unit 20256 df-invr 20286 df-dvr 20299 df-rhm 20370 df-subrng 20442 df-subrg 20467 df-drng 20585 df-lmod 20704 df-lss 20775 df-sra 21017 df-rgmod 21018 df-cnfld 21235 df-zring 21323 df-zrh 21379 df-dsmm 21616 df-frlm 21631 df-mamu 22230 df-mat 22252 df-mdet 22431 df-madu 22480 |
This theorem is referenced by: matinv 22523 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |