Theorem madulid 22588

Description: Multiplying the adjunct of a matrix with the matrix results in the identity matrix multiplied with the determinant of the matrix. See Proposition 4.16 in [Lang] p. 518. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
madurid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
madurid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
madurid.j	⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
madurid.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
madurid.i	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
madurid.t	⊢ · = (.r‘𝐴)
madurid.s	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
madulid	⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = ((𝐷‘𝑀) ∙ 1 ))

Proof of Theorem madulid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ CRing)
2		madurid.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		madurid.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
4		madurid.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
5	2, 3, 4	maduf 22584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐽:𝐵⟶𝐵)
6	5	ffvelcdmda 7028	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵)
7	6	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵)
8		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑀 ∈ 𝐵)
9		madurid.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝐴)
10	2, 4, 9	mattposm 22402	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → tpos ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = (tpos 𝑀 · tpos (𝐽‘𝑀)))
11	1, 7, 8, 10	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = (tpos 𝑀 · tpos (𝐽‘𝑀)))
12	2, 3, 4	madutpos 22585	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐽‘tpos 𝑀) = tpos (𝐽‘𝑀))
13	12	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐽‘tpos 𝑀) = tpos (𝐽‘𝑀))
14	13	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (tpos 𝑀 · (𝐽‘tpos 𝑀)) = (tpos 𝑀 · tpos (𝐽‘𝑀)))
15	2, 4	mattposcl 22396	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → tpos 𝑀 ∈ 𝐵)
16		madurid.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
17		madurid.i	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
18		madurid.s	. . . . . 6 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
19	2, 4, 3, 16, 17, 9, 18	madurid 22587	. . . . 5 ⊢ ((tpos 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (tpos 𝑀 · (𝐽‘tpos 𝑀)) = ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ 1 ))
20	15, 19	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (tpos 𝑀 · (𝐽‘tpos 𝑀)) = ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ 1 ))
21	11, 14, 20	3eqtr2d 2778	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ 1 ))
22	21	tposeqd 8170	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos tpos ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = tpos ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ 1 ))
23	2, 4	matrcl 22355	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
24	23	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
25		crngring 20184	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
26	2	matring 22386	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
27	24, 25, 26	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
28	4, 9	ringcl 20189	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) ∈ 𝐵)
29	27, 7, 8, 28	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) ∈ 𝐵)
30	2, 4	mattpostpos 22397	. . 3 ⊢ (((𝐽‘𝑀) · 𝑀) ∈ 𝐵 → tpos tpos ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = ((𝐽‘𝑀) · 𝑀))
31	29, 30	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos tpos ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = ((𝐽‘𝑀) · 𝑀))
32		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
33	16, 2, 4, 32	mdetf 22538	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐷:𝐵⟶(Base‘𝑅))
34	33	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐷:𝐵⟶(Base‘𝑅))
35	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos 𝑀 ∈ 𝐵)
36	34, 35	ffvelcdmd 7029	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐷‘tpos 𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
37	4, 17	ringidcl 20204	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
38	27, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 1 ∈ 𝐵)
39	2, 4, 32, 18	mattposvs 22398	. . . 4 ⊢ (((𝐷‘tpos 𝑀) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ 𝐵) → tpos ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ 1 ) = ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ tpos 1 ))
40	36, 38, 39	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ 1 ) = ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ tpos 1 ))
41	16, 2, 4	mdettpos 22554	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘tpos 𝑀) = (𝐷‘𝑀))
42	41	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐷‘tpos 𝑀) = (𝐷‘𝑀))
43	2, 17	mattpos1 22399	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → tpos 1 = 1 )
44	24, 25, 43	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos 1 = 1 )
45	42, 44	oveq12d 7376	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ tpos 1 ) = ((𝐷‘𝑀) ∙ 1 ))
46	40, 45	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ 1 ) = ((𝐷‘𝑀) ∙ 1 ))
47	22, 31, 46	3eqtr3d 2780	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = ((𝐷‘𝑀) ∙ 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  tpos ctpos 8166  Fincfn 8884  Basecbs 17137  ._rcmulr 17179   ·_𝑠 cvsca 17182  1_rcur 20120  Ringcrg 20172  CRingccrg 20173   Mat cmat 22350   maDet cmdat 22527   maAdju cmadu 22575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-addf 11106  ax-mulf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1514  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-sup 9346  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-dec 12609  df-uz 12753  df-rp 12907  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-seq 13926  df-exp 13986  df-hash 14255  df-word 14438  df-lsw 14487  df-concat 14495  df-s1 14521  df-substr 14566  df-pfx 14596  df-splice 14674  df-reverse 14683  df-s2 14772  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-starv 17193  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-ip 17196  df-tset 17197  df-ple 17198  df-ds 17200  df-unif 17201  df-hom 17202  df-cco 17203  df-0g 17362  df-gsum 17363  df-prds 17368  df-pws 17370  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18709  df-submnd 18710  df-efmnd 18795  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-ghm 19146  df-gim 19192  df-cntz 19250  df-oppg 19279  df-symg 19303  df-pmtr 19375  df-psgn 19424  df-evpm 19425  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20275  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-rhm 20410  df-subrng 20481  df-subrg 20505  df-drng 20666  df-lmod 20815  df-lss 20885  df-sra 21127  df-rgmod 21128  df-cnfld 21312  df-zring 21404  df-zrh 21460  df-dsmm 21689  df-frlm 21704  df-mamu 22334  df-mat 22351  df-mdet 22528  df-madu 22577

This theorem is referenced by:  matinv  22620