MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  madulid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem madulid 22491
Description: Multiplying the adjunct of a matrix with the matrix results in the identity matrix multiplied with the determinant of the matrix. See Proposition 4.16 in [Lang] p. 518. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
madurid.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
madurid.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
madurid.j ๐ฝ = (๐‘ maAdju ๐‘…)
madurid.d ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
madurid.i 1 = (1rโ€˜๐ด)
madurid.t ยท = (.rโ€˜๐ด)
madurid.s โˆ™ = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
Assertion
Ref Expression
madulid ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ ((๐ฝโ€˜๐‘€) ยท ๐‘€) = ((๐ทโ€˜๐‘€) โˆ™ 1 ))

Proof of Theorem madulid
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
2 madurid.a . . . . . . . 8 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
3 madurid.j . . . . . . . 8 ๐ฝ = (๐‘ maAdju ๐‘…)
4 madurid.b . . . . . . . 8 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
52, 3, 4maduf 22487 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐ฝ:๐ตโŸถ๐ต)
65ffvelcdmda 7077 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ฝโ€˜๐‘€) โˆˆ ๐ต)
76ancoms 458 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ (๐ฝโ€˜๐‘€) โˆˆ ๐ต)
8 simpl 482 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
9 madurid.t . . . . . 6 ยท = (.rโ€˜๐ด)
102, 4, 9mattposm 22305 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง (๐ฝโ€˜๐‘€) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ tpos ((๐ฝโ€˜๐‘€) ยท ๐‘€) = (tpos ๐‘€ ยท tpos (๐ฝโ€˜๐‘€)))
111, 7, 8, 10syl3anc 1368 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ tpos ((๐ฝโ€˜๐‘€) ยท ๐‘€) = (tpos ๐‘€ ยท tpos (๐ฝโ€˜๐‘€)))
122, 3, 4madutpos 22488 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ฝโ€˜tpos ๐‘€) = tpos (๐ฝโ€˜๐‘€))
1312ancoms 458 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ (๐ฝโ€˜tpos ๐‘€) = tpos (๐ฝโ€˜๐‘€))
1413oveq2d 7418 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ (tpos ๐‘€ ยท (๐ฝโ€˜tpos ๐‘€)) = (tpos ๐‘€ ยท tpos (๐ฝโ€˜๐‘€)))
152, 4mattposcl 22299 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ tpos ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
16 madurid.d . . . . . 6 ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
17 madurid.i . . . . . 6 1 = (1rโ€˜๐ด)
18 madurid.s . . . . . 6 โˆ™ = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
192, 4, 3, 16, 17, 9, 18madurid 22490 . . . . 5 ((tpos ๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ (tpos ๐‘€ ยท (๐ฝโ€˜tpos ๐‘€)) = ((๐ทโ€˜tpos ๐‘€) โˆ™ 1 ))
2015, 19sylan 579 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ (tpos ๐‘€ ยท (๐ฝโ€˜tpos ๐‘€)) = ((๐ทโ€˜tpos ๐‘€) โˆ™ 1 ))
2111, 14, 203eqtr2d 2770 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ tpos ((๐ฝโ€˜๐‘€) ยท ๐‘€) = ((๐ทโ€˜tpos ๐‘€) โˆ™ 1 ))
2221tposeqd 8210 . 2 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ tpos tpos ((๐ฝโ€˜๐‘€) ยท ๐‘€) = tpos ((๐ทโ€˜tpos ๐‘€) โˆ™ 1 ))
232, 4matrcl 22256 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ V))
2423simpld 494 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
25 crngring 20146 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
262matring 22289 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
2724, 25, 26syl2an 595 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
284, 9ringcl 20151 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Ring โˆง (๐ฝโ€˜๐‘€) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐ฝโ€˜๐‘€) ยท ๐‘€) โˆˆ ๐ต)
2927, 7, 8, 28syl3anc 1368 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ ((๐ฝโ€˜๐‘€) ยท ๐‘€) โˆˆ ๐ต)
302, 4mattpostpos 22300 . . 3 (((๐ฝโ€˜๐‘€) ยท ๐‘€) โˆˆ ๐ต โ†’ tpos tpos ((๐ฝโ€˜๐‘€) ยท ๐‘€) = ((๐ฝโ€˜๐‘€) ยท ๐‘€))
3129, 30syl 17 . 2 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ tpos tpos ((๐ฝโ€˜๐‘€) ยท ๐‘€) = ((๐ฝโ€˜๐‘€) ยท ๐‘€))
32 eqid 2724 . . . . . . 7 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
3316, 2, 4, 32mdetf 22441 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐ท:๐ตโŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
3433adantl 481 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ ๐ท:๐ตโŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
3515adantr 480 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ tpos ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
3634, 35ffvelcdmd 7078 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ (๐ทโ€˜tpos ๐‘€) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
374, 17ringidcl 20161 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Ring โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
3827, 37syl 17 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
392, 4, 32, 18mattposvs 22301 . . . 4 (((๐ทโ€˜tpos ๐‘€) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง 1 โˆˆ ๐ต) โ†’ tpos ((๐ทโ€˜tpos ๐‘€) โˆ™ 1 ) = ((๐ทโ€˜tpos ๐‘€) โˆ™ tpos 1 ))
4036, 38, 39syl2anc 583 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ tpos ((๐ทโ€˜tpos ๐‘€) โˆ™ 1 ) = ((๐ทโ€˜tpos ๐‘€) โˆ™ tpos 1 ))
4116, 2, 4mdettpos 22457 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ทโ€˜tpos ๐‘€) = (๐ทโ€˜๐‘€))
4241ancoms 458 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ (๐ทโ€˜tpos ๐‘€) = (๐ทโ€˜๐‘€))
432, 17mattpos1 22302 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ tpos 1 = 1 )
4424, 25, 43syl2an 595 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ tpos 1 = 1 )
4542, 44oveq12d 7420 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ ((๐ทโ€˜tpos ๐‘€) โˆ™ tpos 1 ) = ((๐ทโ€˜๐‘€) โˆ™ 1 ))
4640, 45eqtrd 2764 . 2 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ tpos ((๐ทโ€˜tpos ๐‘€) โˆ™ 1 ) = ((๐ทโ€˜๐‘€) โˆ™ 1 ))
4722, 31, 463eqtr3d 2772 1 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ ((๐ฝโ€˜๐‘€) ยท ๐‘€) = ((๐ทโ€˜๐‘€) โˆ™ 1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3466  โŸถwf 6530  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  tpos ctpos 8206  Fincfn 8936  Basecbs 17149  .rcmulr 17203   ยท๐‘  cvsca 17206  1rcur 20082  Ringcrg 20134  CRingccrg 20135   Mat cmat 22251   maDet cmdat 22430   maAdju cmadu 22478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-ot 4630  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12976  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-exp 14029  df-hash 14292  df-word 14467  df-lsw 14515  df-concat 14523  df-s1 14548  df-substr 14593  df-pfx 14623  df-splice 14702  df-reverse 14711  df-s2 14801  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18709  df-submnd 18710  df-efmnd 18790  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-mulg 18992  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-gim 19180  df-cntz 19229  df-oppg 19258  df-symg 19283  df-pmtr 19358  df-psgn 19407  df-evpm 19408  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-rhm 20370  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-drng 20585  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-sra 21017  df-rgmod 21018  df-cnfld 21235  df-zring 21323  df-zrh 21379  df-dsmm 21616  df-frlm 21631  df-mamu 22230  df-mat 22252  df-mdet 22431  df-madu 22480
This theorem is referenced by:  matinv  22523
  Copyright terms: Public domain W3C validator