Theorem madulid 21250

Description: Multiplying the adjunct of a matrix with the matrix results in the identity matrix multiplied with the determinant of the matrix. See Proposition 4.16 in [Lang] p. 518. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
madurid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
madurid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
madurid.j	⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
madurid.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
madurid.i	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
madurid.t	⊢ · = (.r‘𝐴)
madurid.s	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
madulid	⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = ((𝐷‘𝑀) ∙ 1 ))

Proof of Theorem madulid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ CRing)
2		madurid.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		madurid.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
4		madurid.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
5	2, 3, 4	maduf 21246	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐽:𝐵⟶𝐵)
6	5	ffvelrnda 6828	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵)
7	6	ancoms 462	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵)
8		simpl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑀 ∈ 𝐵)
9		madurid.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝐴)
10	2, 4, 9	mattposm 21064	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → tpos ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = (tpos 𝑀 · tpos (𝐽‘𝑀)))
11	1, 7, 8, 10	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = (tpos 𝑀 · tpos (𝐽‘𝑀)))
12	2, 3, 4	madutpos 21247	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐽‘tpos 𝑀) = tpos (𝐽‘𝑀))
13	12	ancoms 462	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐽‘tpos 𝑀) = tpos (𝐽‘𝑀))
14	13	oveq2d 7151	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (tpos 𝑀 · (𝐽‘tpos 𝑀)) = (tpos 𝑀 · tpos (𝐽‘𝑀)))
15	2, 4	mattposcl 21058	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → tpos 𝑀 ∈ 𝐵)
16		madurid.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
17		madurid.i	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
18		madurid.s	. . . . . 6 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
19	2, 4, 3, 16, 17, 9, 18	madurid 21249	. . . . 5 ⊢ ((tpos 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (tpos 𝑀 · (𝐽‘tpos 𝑀)) = ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ 1 ))
20	15, 19	sylan 583	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (tpos 𝑀 · (𝐽‘tpos 𝑀)) = ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ 1 ))
21	11, 14, 20	3eqtr2d 2839	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ 1 ))
22	21	tposeqd 7878	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos tpos ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = tpos ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ 1 ))
23	2, 4	matrcl 21017	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
24	23	simpld 498	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
25		crngring 19302	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
26	2	matring 21048	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
27	24, 25, 26	syl2an 598	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
28	4, 9	ringcl 19307	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) ∈ 𝐵)
29	27, 7, 8, 28	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) ∈ 𝐵)
30	2, 4	mattpostpos 21059	. . 3 ⊢ (((𝐽‘𝑀) · 𝑀) ∈ 𝐵 → tpos tpos ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = ((𝐽‘𝑀) · 𝑀))
31	29, 30	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos tpos ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = ((𝐽‘𝑀) · 𝑀))
32		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
33	16, 2, 4, 32	mdetf 21200	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐷:𝐵⟶(Base‘𝑅))
34	33	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐷:𝐵⟶(Base‘𝑅))
35	15	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos 𝑀 ∈ 𝐵)
36	34, 35	ffvelrnd 6829	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐷‘tpos 𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
37	4, 17	ringidcl 19314	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
38	27, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 1 ∈ 𝐵)
39	2, 4, 32, 18	mattposvs 21060	. . . 4 ⊢ (((𝐷‘tpos 𝑀) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ 𝐵) → tpos ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ 1 ) = ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ tpos 1 ))
40	36, 38, 39	syl2anc 587	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ 1 ) = ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ tpos 1 ))
41	16, 2, 4	mdettpos 21216	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘tpos 𝑀) = (𝐷‘𝑀))
42	41	ancoms 462	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐷‘tpos 𝑀) = (𝐷‘𝑀))
43	2, 17	mattpos1 21061	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → tpos 1 = 1 )
44	24, 25, 43	syl2an 598	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos 1 = 1 )
45	42, 44	oveq12d 7153	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ tpos 1 ) = ((𝐷‘𝑀) ∙ 1 ))
46	40, 45	eqtrd 2833	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → tpos ((𝐷‘tpos 𝑀) ∙ 1 ) = ((𝐷‘𝑀) ∙ 1 ))
47	22, 31, 46	3eqtr3d 2841	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝐽‘𝑀) · 𝑀) = ((𝐷‘𝑀) ∙ 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  tpos ctpos 7874  Fincfn 8492  Basecbs 16475  ._rcmulr 16558   ·_𝑠 cvsca 16561  1_rcur 19244  Ringcrg 19290  CRingccrg 19291   Mat cmat 21012   maDet cmdat 21189   maAdju cmadu 21237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-word 13858  df-lsw 13906  df-concat 13914  df-s1 13941  df-substr 13994  df-pfx 14024  df-splice 14103  df-reverse 14112  df-s2 14201  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-prds 16713  df-pws 16715  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-efmnd 18026  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-gim 18391  df-cntz 18439  df-oppg 18466  df-symg 18488  df-pmtr 18562  df-psgn 18611  df-evpm 18612  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-dvr 19429  df-rnghom 19463  df-drng 19497  df-subrg 19526  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-cnfld 20092  df-zring 20164  df-zrh 20197  df-dsmm 20421  df-frlm 20436  df-mamu 20991  df-mat 21013  df-mdet 21190  df-madu 21239

This theorem is referenced by:  matinv  21282