MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  madulid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem madulid 22546
Description: Multiplying the adjunct of a matrix with the matrix results in the identity matrix multiplied with the determinant of the matrix. See Proposition 4.16 in [Lang] p. 518. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
madurid.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
madurid.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
madurid.j ๐ฝ = (๐‘ maAdju ๐‘…)
madurid.d ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
madurid.i 1 = (1rโ€˜๐ด)
madurid.t ยท = (.rโ€˜๐ด)
madurid.s โˆ™ = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
Assertion
Ref Expression
madulid ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ ((๐ฝโ€˜๐‘€) ยท ๐‘€) = ((๐ทโ€˜๐‘€) โˆ™ 1 ))

Proof of Theorem madulid
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
2 madurid.a . . . . . . . 8 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
3 madurid.j . . . . . . . 8 ๐ฝ = (๐‘ maAdju ๐‘…)
4 madurid.b . . . . . . . 8 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
52, 3, 4maduf 22542 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐ฝ:๐ตโŸถ๐ต)
65ffvelcdmda 7094 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ฝโ€˜๐‘€) โˆˆ ๐ต)
76ancoms 458 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ (๐ฝโ€˜๐‘€) โˆˆ ๐ต)
8 simpl 482 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
9 madurid.t . . . . . 6 ยท = (.rโ€˜๐ด)
102, 4, 9mattposm 22360 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง (๐ฝโ€˜๐‘€) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ tpos ((๐ฝโ€˜๐‘€) ยท ๐‘€) = (tpos ๐‘€ ยท tpos (๐ฝโ€˜๐‘€)))
111, 7, 8, 10syl3anc 1369 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ tpos ((๐ฝโ€˜๐‘€) ยท ๐‘€) = (tpos ๐‘€ ยท tpos (๐ฝโ€˜๐‘€)))
122, 3, 4madutpos 22543 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ฝโ€˜tpos ๐‘€) = tpos (๐ฝโ€˜๐‘€))
1312ancoms 458 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ (๐ฝโ€˜tpos ๐‘€) = tpos (๐ฝโ€˜๐‘€))
1413oveq2d 7436 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ (tpos ๐‘€ ยท (๐ฝโ€˜tpos ๐‘€)) = (tpos ๐‘€ ยท tpos (๐ฝโ€˜๐‘€)))
152, 4mattposcl 22354 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ tpos ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
16 madurid.d . . . . . 6 ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
17 madurid.i . . . . . 6 1 = (1rโ€˜๐ด)
18 madurid.s . . . . . 6 โˆ™ = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
192, 4, 3, 16, 17, 9, 18madurid 22545 . . . . 5 ((tpos ๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ (tpos ๐‘€ ยท (๐ฝโ€˜tpos ๐‘€)) = ((๐ทโ€˜tpos ๐‘€) โˆ™ 1 ))
2015, 19sylan 579 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ (tpos ๐‘€ ยท (๐ฝโ€˜tpos ๐‘€)) = ((๐ทโ€˜tpos ๐‘€) โˆ™ 1 ))
2111, 14, 203eqtr2d 2774 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ tpos ((๐ฝโ€˜๐‘€) ยท ๐‘€) = ((๐ทโ€˜tpos ๐‘€) โˆ™ 1 ))
2221tposeqd 8234 . 2 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ tpos tpos ((๐ฝโ€˜๐‘€) ยท ๐‘€) = tpos ((๐ทโ€˜tpos ๐‘€) โˆ™ 1 ))
232, 4matrcl 22311 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ V))
2423simpld 494 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
25 crngring 20184 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
262matring 22344 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
2724, 25, 26syl2an 595 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
284, 9ringcl 20189 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Ring โˆง (๐ฝโ€˜๐‘€) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐ฝโ€˜๐‘€) ยท ๐‘€) โˆˆ ๐ต)
2927, 7, 8, 28syl3anc 1369 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ ((๐ฝโ€˜๐‘€) ยท ๐‘€) โˆˆ ๐ต)
302, 4mattpostpos 22355 . . 3 (((๐ฝโ€˜๐‘€) ยท ๐‘€) โˆˆ ๐ต โ†’ tpos tpos ((๐ฝโ€˜๐‘€) ยท ๐‘€) = ((๐ฝโ€˜๐‘€) ยท ๐‘€))
3129, 30syl 17 . 2 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ tpos tpos ((๐ฝโ€˜๐‘€) ยท ๐‘€) = ((๐ฝโ€˜๐‘€) ยท ๐‘€))
32 eqid 2728 . . . . . . 7 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
3316, 2, 4, 32mdetf 22496 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐ท:๐ตโŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
3433adantl 481 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ ๐ท:๐ตโŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
3515adantr 480 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ tpos ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
3634, 35ffvelcdmd 7095 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ (๐ทโ€˜tpos ๐‘€) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
374, 17ringidcl 20201 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Ring โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
3827, 37syl 17 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
392, 4, 32, 18mattposvs 22356 . . . 4 (((๐ทโ€˜tpos ๐‘€) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง 1 โˆˆ ๐ต) โ†’ tpos ((๐ทโ€˜tpos ๐‘€) โˆ™ 1 ) = ((๐ทโ€˜tpos ๐‘€) โˆ™ tpos 1 ))
4036, 38, 39syl2anc 583 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ tpos ((๐ทโ€˜tpos ๐‘€) โˆ™ 1 ) = ((๐ทโ€˜tpos ๐‘€) โˆ™ tpos 1 ))
4116, 2, 4mdettpos 22512 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ทโ€˜tpos ๐‘€) = (๐ทโ€˜๐‘€))
4241ancoms 458 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ (๐ทโ€˜tpos ๐‘€) = (๐ทโ€˜๐‘€))
432, 17mattpos1 22357 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ tpos 1 = 1 )
4424, 25, 43syl2an 595 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ tpos 1 = 1 )
4542, 44oveq12d 7438 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ ((๐ทโ€˜tpos ๐‘€) โˆ™ tpos 1 ) = ((๐ทโ€˜๐‘€) โˆ™ 1 ))
4640, 45eqtrd 2768 . 2 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ tpos ((๐ทโ€˜tpos ๐‘€) โˆ™ 1 ) = ((๐ทโ€˜๐‘€) โˆ™ 1 ))
4722, 31, 463eqtr3d 2776 1 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ ((๐ฝโ€˜๐‘€) ยท ๐‘€) = ((๐ทโ€˜๐‘€) โˆ™ 1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  Vcvv 3471  โŸถwf 6544  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  tpos ctpos 8230  Fincfn 8963  Basecbs 17179  .rcmulr 17233   ยท๐‘  cvsca 17236  1rcur 20120  Ringcrg 20172  CRingccrg 20173   Mat cmat 22306   maDet cmdat 22485   maAdju cmadu 22533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-xor 1506  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-tpos 8231  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-map 8846  df-pm 8847  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-word 14497  df-lsw 14545  df-concat 14553  df-s1 14578  df-substr 14623  df-pfx 14653  df-splice 14732  df-reverse 14741  df-s2 14831  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-efmnd 18820  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-gim 19212  df-cntz 19267  df-oppg 19296  df-symg 19321  df-pmtr 19396  df-psgn 19445  df-evpm 19446  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-rhm 20410  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-drng 20625  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-cnfld 21279  df-zring 21372  df-zrh 21428  df-dsmm 21665  df-frlm 21680  df-mamu 22285  df-mat 22307  df-mdet 22486  df-madu 22535
This theorem is referenced by:  matinv  22578
  Copyright terms: Public domain W3C validator