Theorem nmcopex 29587

Description: The norm of a continuous linear Hilbert space operator exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmcopex	⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ∈ ContOp) → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nmcopex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 4058	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp) ↔ (𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ∈ ContOp))
2		fveq2 6499	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (normop‘𝑇) = (normop‘if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))))
3	2	eleq1d 2851	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ↔ (normop‘if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))) ∈ ℝ))
4		idlnop 29550	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ↾ ℋ) ∈ LinOp
5		idcnop 29539	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ↾ ℋ) ∈ ContOp
6		elin 4058	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ ℋ) ∈ (LinOp ∩ ContOp) ↔ (( I ↾ ℋ) ∈ LinOp ∧ ( I ↾ ℋ) ∈ ContOp))
7	4, 5, 6	mpbir2an 698	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ ℋ) ∈ (LinOp ∩ ContOp)
8	7	elimel 4417	. . . . . 6 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ (LinOp ∩ ContOp)
9		elin 4058	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ (LinOp ∩ ContOp) ↔ (if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp ∧ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ ContOp))
10	8, 9	mpbi 222	. . . . 5 ⊢ (if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp ∧ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ ContOp)
11	10	simpli 476	. . . 4 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp
12	10	simpri 478	. . . 4 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ ContOp
13	11, 12	nmcopexi 29585	. . 3 ⊢ (normop‘if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))) ∈ ℝ
14	3, 13	dedth 4406	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
15	1, 14	sylbir 227	1 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ∈ ContOp) → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ∩ cin 3829  ifcif 4350   I cid 5311   ↾ cres 5409  ‘cfv 6188  ℝcr 10334   ℋchba 28475  norm_opcnop 28501  ContOpccop 28502  LinOpclo 28503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413  ax-hilex 28555  ax-hfvadd 28556  ax-hvcom 28557  ax-hvass 28558  ax-hv0cl 28559  ax-hvaddid 28560  ax-hfvmul 28561  ax-hvmulid 28562  ax-hvmulass 28563  ax-hvdistr2 28565  ax-hvmul0 28566  ax-hfi 28635  ax-his1 28638  ax-his2 28639  ax-his3 28640  ax-his4 28641

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-map 8208  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-sup 8701  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-rp 12205  df-seq 13185  df-exp 13245  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-hnorm 28524  df-hvsub 28527  df-nmop 29397  df-cnop 29398  df-lnop 29399  df-unop 29401

This theorem is referenced by:  lnopconi  29592  lnopcnbd  29594