Theorem nmcopex 31965

Description: The norm of a continuous linear Hilbert space operator exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmcopex	⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ∈ ContOp) → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nmcopex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3933	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp) ↔ (𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ∈ ContOp))
2		fveq2 6861	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (normop‘𝑇) = (normop‘if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))))
3	2	eleq1d 2814	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ↔ (normop‘if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))) ∈ ℝ))
4		idlnop 31928	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ↾ ℋ) ∈ LinOp
5		idcnop 31917	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ↾ ℋ) ∈ ContOp
6		elin 3933	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ ℋ) ∈ (LinOp ∩ ContOp) ↔ (( I ↾ ℋ) ∈ LinOp ∧ ( I ↾ ℋ) ∈ ContOp))
7	4, 5, 6	mpbir2an 711	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ ℋ) ∈ (LinOp ∩ ContOp)
8	7	elimel 4561	. . . . . 6 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ (LinOp ∩ ContOp)
9		elin 3933	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ (LinOp ∩ ContOp) ↔ (if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp ∧ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ ContOp))
10	8, 9	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ (if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp ∧ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ ContOp)
11	10	simpli 483	. . . 4 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp
12	10	simpri 485	. . . 4 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ ContOp
13	11, 12	nmcopexi 31963	. . 3 ⊢ (normop‘if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))) ∈ ℝ
14	3, 13	dedth 4550	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
15	1, 14	sylbir 235	1 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ∈ ContOp) → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3916  ifcif 4491   I cid 5535   ↾ cres 5643  ‘cfv 6514  ℝcr 11074   ℋchba 30855  norm_opcnop 30881  ContOpccop 30882  LinOpclo 30883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-hilex 30935  ax-hfvadd 30936  ax-hvcom 30937  ax-hvass 30938  ax-hv0cl 30939  ax-hvaddid 30940  ax-hfvmul 30941  ax-hvmulid 30942  ax-hvmulass 30943  ax-hvdistr2 30945  ax-hvmul0 30946  ax-hfi 31015  ax-his1 31018  ax-his2 31019  ax-his3 31020  ax-his4 31021

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-hnorm 30904  df-hvsub 30907  df-nmop 31775  df-cnop 31776  df-lnop 31777  df-unop 31779

This theorem is referenced by:  lnopconi  31970  lnopcnbd  31972