![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > lnopcnbd | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A linear operator is continuous iff it is bounded. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
lnopcnbd | โข (๐ โ LinOp โ (๐ โ ContOp โ ๐ โ BndLinOp)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | nmcopex 31020 | . . . 4 โข ((๐ โ LinOp โง ๐ โ ContOp) โ (normopโ๐) โ โ) | |
2 | 1 | ex 414 | . . 3 โข (๐ โ LinOp โ (๐ โ ContOp โ (normopโ๐) โ โ)) |
3 | elbdop2 30862 | . . . 4 โข (๐ โ BndLinOp โ (๐ โ LinOp โง (normopโ๐) โ โ)) | |
4 | 3 | baibr 538 | . . 3 โข (๐ โ LinOp โ ((normopโ๐) โ โ โ ๐ โ BndLinOp)) |
5 | 2, 4 | sylibd 238 | . 2 โข (๐ โ LinOp โ (๐ โ ContOp โ ๐ โ BndLinOp)) |
6 | nmopre 30861 | . . . 4 โข (๐ โ BndLinOp โ (normopโ๐) โ โ) | |
7 | nmbdoplb 31016 | . . . . 5 โข ((๐ โ BndLinOp โง ๐ฆ โ โ) โ (normโโ(๐โ๐ฆ)) โค ((normopโ๐) ยท (normโโ๐ฆ))) | |
8 | 7 | ralrimiva 3140 | . . . 4 โข (๐ โ BndLinOp โ โ๐ฆ โ โ (normโโ(๐โ๐ฆ)) โค ((normopโ๐) ยท (normโโ๐ฆ))) |
9 | oveq1 7368 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ = (normopโ๐) โ (๐ฅ ยท (normโโ๐ฆ)) = ((normopโ๐) ยท (normโโ๐ฆ))) | |
10 | 9 | breq2d 5121 | . . . . . 6 โข (๐ฅ = (normopโ๐) โ ((normโโ(๐โ๐ฆ)) โค (๐ฅ ยท (normโโ๐ฆ)) โ (normโโ(๐โ๐ฆ)) โค ((normopโ๐) ยท (normโโ๐ฆ)))) |
11 | 10 | ralbidv 3171 | . . . . 5 โข (๐ฅ = (normopโ๐) โ (โ๐ฆ โ โ (normโโ(๐โ๐ฆ)) โค (๐ฅ ยท (normโโ๐ฆ)) โ โ๐ฆ โ โ (normโโ(๐โ๐ฆ)) โค ((normopโ๐) ยท (normโโ๐ฆ)))) |
12 | 11 | rspcev 3583 | . . . 4 โข (((normopโ๐) โ โ โง โ๐ฆ โ โ (normโโ(๐โ๐ฆ)) โค ((normopโ๐) ยท (normโโ๐ฆ))) โ โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ (normโโ(๐โ๐ฆ)) โค (๐ฅ ยท (normโโ๐ฆ))) |
13 | 6, 8, 12 | syl2anc 585 | . . 3 โข (๐ โ BndLinOp โ โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ (normโโ(๐โ๐ฆ)) โค (๐ฅ ยท (normโโ๐ฆ))) |
14 | lnopcon 31026 | . . 3 โข (๐ โ LinOp โ (๐ โ ContOp โ โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ (normโโ(๐โ๐ฆ)) โค (๐ฅ ยท (normโโ๐ฆ)))) | |
15 | 13, 14 | syl5ibr 246 | . 2 โข (๐ โ LinOp โ (๐ โ BndLinOp โ ๐ โ ContOp)) |
16 | 5, 15 | impbid 211 | 1 โข (๐ โ LinOp โ (๐ โ ContOp โ ๐ โ BndLinOp)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 = wceq 1542 โ wcel 2107 โwral 3061 โwrex 3070 class class class wbr 5109 โcfv 6500 (class class class)co 7361 โcr 11058 ยท cmul 11064 โค cle 11198 โchba 29910 normโcno 29914 normopcnop 29936 ContOpccop 29937 LinOpclo 29938 BndLinOpcbo 29939 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5246 ax-sep 5260 ax-nul 5267 ax-pow 5324 ax-pr 5388 ax-un 7676 ax-inf2 9585 ax-cc 10379 ax-cnex 11115 ax-resscn 11116 ax-1cn 11117 ax-icn 11118 ax-addcl 11119 ax-addrcl 11120 ax-mulcl 11121 ax-mulrcl 11122 ax-mulcom 11123 ax-addass 11124 ax-mulass 11125 ax-distr 11126 ax-i2m1 11127 ax-1ne0 11128 ax-1rid 11129 ax-rnegex 11130 ax-rrecex 11131 ax-cnre 11132 ax-pre-lttri 11133 ax-pre-lttrn 11134 ax-pre-ltadd 11135 ax-pre-mulgt0 11136 ax-pre-sup 11137 ax-addf 11138 ax-mulf 11139 ax-hilex 29990 ax-hfvadd 29991 ax-hvcom 29992 ax-hvass 29993 ax-hv0cl 29994 ax-hvaddid 29995 ax-hfvmul 29996 ax-hvmulid 29997 ax-hvmulass 29998 ax-hvdistr1 29999 ax-hvdistr2 30000 ax-hvmul0 30001 ax-hfi 30070 ax-his1 30073 ax-his2 30074 ax-his3 30075 ax-his4 30076 ax-hcompl 30193 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3449 df-sbc 3744 df-csb 3860 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3933 df-nul 4287 df-if 4491 df-pw 4566 df-sn 4591 df-pr 4593 df-tp 4595 df-op 4597 df-uni 4870 df-int 4912 df-iun 4960 df-iin 4961 df-br 5110 df-opab 5172 df-mpt 5193 df-tr 5227 df-id 5535 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5592 df-se 5593 df-we 5594 df-xp 5643 df-rel 5644 df-cnv 5645 df-co 5646 df-dm 5647 df-rn 5648 df-res 5649 df-ima 5650 df-pred 6257 df-ord 6324 df-on 6325 df-lim 6326 df-suc 6327 df-iota 6452 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-isom 6509 df-riota 7317 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-of 7621 df-om 7807 df-1st 7925 df-2nd 7926 df-supp 8097 df-frecs 8216 df-wrecs 8247 df-recs 8321 df-rdg 8360 df-1o 8416 df-2o 8417 df-oadd 8420 df-omul 8421 df-er 8654 df-map 8773 df-pm 8774 df-ixp 8842 df-en 8890 df-dom 8891 df-sdom 8892 df-fin 8893 df-fsupp 9312 df-fi 9355 df-sup 9386 df-inf 9387 df-oi 9454 df-card 9883 df-acn 9886 df-pnf 11199 df-mnf 11200 df-xr 11201 df-ltxr 11202 df-le 11203 df-sub 11395 df-neg 11396 df-div 11821 df-nn 12162 df-2 12224 df-3 12225 df-4 12226 df-5 12227 df-6 12228 df-7 12229 df-8 12230 df-9 12231 df-n0 12422 df-z 12508 df-dec 12627 df-uz 12772 df-q 12882 df-rp 12924 df-xneg 13041 df-xadd 13042 df-xmul 13043 df-ioo 13277 df-ico 13279 df-icc 13280 df-fz 13434 df-fzo 13577 df-fl 13706 df-seq 13916 df-exp 13977 df-hash 14240 df-cj 14993 df-re 14994 df-im 14995 df-sqrt 15129 df-abs 15130 df-clim 15379 df-rlim 15380 df-sum 15580 df-struct 17027 df-sets 17044 df-slot 17062 df-ndx 17074 df-base 17092 df-ress 17121 df-plusg 17154 df-mulr 17155 df-starv 17156 df-sca 17157 df-vsca 17158 df-ip 17159 df-tset 17160 df-ple 17161 df-ds 17163 df-unif 17164 df-hom 17165 df-cco 17166 df-rest 17312 df-topn 17313 df-0g 17331 df-gsum 17332 df-topgen 17333 df-pt 17334 df-prds 17337 df-xrs 17392 df-qtop 17397 df-imas 17398 df-xps 17400 df-mre 17474 df-mrc 17475 df-acs 17477 df-mgm 18505 df-sgrp 18554 df-mnd 18565 df-submnd 18610 df-mulg 18881 df-cntz 19105 df-cmn 19572 df-psmet 20811 df-xmet 20812 df-met 20813 df-bl 20814 df-mopn 20815 df-fbas 20816 df-fg 20817 df-cnfld 20820 df-top 22266 df-topon 22283 df-topsp 22305 df-bases 22319 df-cld 22393 df-ntr 22394 df-cls 22395 df-nei 22472 df-cn 22601 df-cnp 22602 df-lm 22603 df-haus 22689 df-tx 22936 df-hmeo 23129 df-fil 23220 df-fm 23312 df-flim 23313 df-flf 23314 df-xms 23696 df-ms 23697 df-tms 23698 df-cfil 24642 df-cau 24643 df-cmet 24644 df-grpo 29484 df-gid 29485 df-ginv 29486 df-gdiv 29487 df-ablo 29536 df-vc 29550 df-nv 29583 df-va 29586 df-ba 29587 df-sm 29588 df-0v 29589 df-vs 29590 df-nmcv 29591 df-ims 29592 df-dip 29692 df-ssp 29713 df-ph 29804 df-cbn 29854 df-hnorm 29959 df-hba 29960 df-hvsub 29962 df-hlim 29963 df-hcau 29964 df-sh 30198 df-ch 30212 df-oc 30243 df-ch0 30244 df-shs 30299 df-pjh 30386 df-h0op 30739 df-nmop 30830 df-cnop 30831 df-lnop 30832 df-bdop 30833 df-unop 30834 df-hmop 30835 |
This theorem is referenced by: lncnopbd 31028 lnopcnre 31030 hmopidmchi 31142 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |