Theorem lnopcnbd 32546

Description: A linear operator is continuous iff it is bounded. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lnopcnbd	⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇 ∈ ContOp ↔ 𝑇 ∈ BndLinOp))

Proof of Theorem lnopcnbd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmcopex 32539	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ∈ ContOp) → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
2	1	ex 418	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇 ∈ ContOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ))
3		elbdop2 32381	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp ↔ (𝑇 ∈ LinOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ))
4	3	baibr 546	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ↔ 𝑇 ∈ BndLinOp))
5	2, 4	sylibd 242	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇 ∈ ContOp → 𝑇 ∈ BndLinOp))
6		nmopre 32380	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
7		nmbdoplb 32535	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ BndLinOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)))
8	7	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)))
9		oveq1 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (normop‘𝑇) → (𝑥 · (normℎ‘𝑦)) = ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)))
10	9	breq2d 5115	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (normop‘𝑇) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)) ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦))))
11	10	ralbidv 3185	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (normop‘𝑇) → (∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦))))
12	11	rspcev 3576	. . . 4 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)))
13	6, 8, 12	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)))
14		lnopcon 32545	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇 ∈ ContOp ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦))))
15	13, 14	imbitrrid 249	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ ContOp))
16	5, 15	impbid 215	1 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇 ∈ ContOp ↔ 𝑇 ∈ BndLinOp))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5103  ‘cfv 6534  (class class class)co 7415  ℝcr 11145   · cmul 11151   ≤ cle 11290   ℋchba 31429  norm_ℎcno 31433  norm_opcnop 31455  ContOpccop 31456  LinOpclo 31457  BndLinOpcbo 31458

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7738  ax-inf2 9624  ax-cc 10459  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225  ax-mulf 11226  ax-hilex 31509  ax-hfvadd 31510  ax-hvcom 31511  ax-hvass 31512  ax-hv0cl 31513  ax-hvaddid 31514  ax-hfvmul 31515  ax-hvmulid 31516  ax-hvmulass 31517  ax-hvdistr1 31518  ax-hvdistr2 31519  ax-hvmul0 31520  ax-hfi 31589  ax-his1 31592  ax-his2 31593  ax-his3 31594  ax-his4 31595  ax-hcompl 31712

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7372  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8161  df-frecs 8282  df-wrecs 8313  df-recs 8362  df-rdg 8401  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-fi 9385  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-card 9966  df-acn 9969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11489  df-neg 11490  df-div 11918  df-nn 12280  df-2 12349  df-3 12350  df-4 12351  df-5 12352  df-6 12353  df-7 12354  df-8 12355  df-9 12356  df-n0 12551  df-z 12638  df-dec 12759  df-uz 12910  df-q 13020  df-rp 13065  df-xneg 13185  df-xadd 13186  df-xmul 13187  df-ioo 13424  df-ico 13426  df-icc 13427  df-fz 13584  df-fzo 13732  df-fl 13875  df-seq 14088  df-exp 14148  df-hash 14417  df-cj 15208  df-re 15209  df-im 15210  df-sqrt 15344  df-abs 15345  df-clim 15597  df-rlim 15598  df-sum 15796  df-struct 17261  df-sets 17278  df-slot 17296  df-ndx 17308  df-base 17324  df-ress 17345  df-plusg 17377  df-mulr 17378  df-starv 17379  df-sca 17380  df-vsca 17381  df-ip 17382  df-tset 17383  df-ple 17384  df-ds 17386  df-unif 17387  df-hom 17388  df-cco 17389  df-rest 17529  df-topn 17530  df-0g 17548  df-gsum 17549  df-topgen 17550  df-pt 17551  df-prds 17554  df-xrs 17610  df-qtop 17615  df-imas 17616  df-xps 17618  df-mre 17692  df-mrc 17693  df-acs 17695  df-mgm 18752  df-sgrp 18844  df-mnd 18860  df-submnd 18915  df-mulg 19214  df-cntz 19467  df-cmn 19932  df-psmet 21606  df-xmet 21607  df-met 21608  df-bl 21609  df-mopn 21610  df-fbas 21611  df-fg 21612  df-cnfld 21615  df-top 23148  df-topon 23165  df-topsp 23187  df-bases 23200  df-cld 23273  df-ntr 23274  df-cls 23275  df-nei 23352  df-cn 23481  df-cnp 23482  df-lm 23483  df-haus 23569  df-tx 23817  df-hmeo 24010  df-fil 24101  df-fm 24193  df-flim 24194  df-flf 24195  df-xms 24575  df-ms 24576  df-tms 24577  df-cfil 25512  df-cau 25513  df-cmet 25514  df-grpo 31003  df-gid 31004  df-ginv 31005  df-gdiv 31006  df-ablo 31055  df-vc 31069  df-nv 31102  df-va 31105  df-ba 31106  df-sm 31107  df-0v 31108  df-vs 31109  df-nmcv 31110  df-ims 31111  df-dip 31211  df-ssp 31232  df-ph 31323  df-cbn 31373  df-hnorm 31478  df-hba 31479  df-hvsub 31481  df-hlim 31482  df-hcau 31483  df-sh 31717  df-ch 31731  df-oc 31762  df-ch0 31763  df-shs 31818  df-pjh 31905  df-h0op 32258  df-nmop 32349  df-cnop 32350  df-lnop 32351  df-bdop 32352  df-unop 32353  df-hmop 32354

This theorem is used by:  lncnopbd  32547  lnopcnre  32549  hmopidmchi  32661