Theorem lnopcnbd 30925

Description: A linear operator is continuous iff it is bounded. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lnopcnbd	⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇 ∈ ContOp ↔ 𝑇 ∈ BndLinOp))

Proof of Theorem lnopcnbd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmcopex 30918	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ∈ ContOp) → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
2	1	ex 413	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇 ∈ ContOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ))
3		elbdop2 30760	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp ↔ (𝑇 ∈ LinOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ))
4	3	baibr 537	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ↔ 𝑇 ∈ BndLinOp))
5	2, 4	sylibd 238	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇 ∈ ContOp → 𝑇 ∈ BndLinOp))
6		nmopre 30759	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
7		nmbdoplb 30914	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ BndLinOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)))
8	7	ralrimiva 3143	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)))
9		oveq1 7363	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (normop‘𝑇) → (𝑥 · (normℎ‘𝑦)) = ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)))
10	9	breq2d 5117	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (normop‘𝑇) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)) ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦))))
11	10	ralbidv 3174	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (normop‘𝑇) → (∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦))))
12	11	rspcev 3581	. . . 4 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)))
13	6, 8, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)))
14		lnopcon 30924	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇 ∈ ContOp ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦))))
15	13, 14	syl5ibr 245	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ ContOp))
16	5, 15	impbid 211	1 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇 ∈ ContOp ↔ 𝑇 ∈ BndLinOp))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7356  ℝcr 11049   · cmul 11055   ≤ cle 11189   ℋchba 29808  norm_ℎcno 29812  norm_opcnop 29834  ContOpccop 29835  LinOpclo 29836  BndLinOpcbo 29837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-inf2 9576  ax-cc 10370  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127  ax-pre-sup 11128  ax-addf 11129  ax-mulf 11130  ax-hilex 29888  ax-hfvadd 29889  ax-hvcom 29890  ax-hvass 29891  ax-hv0cl 29892  ax-hvaddid 29893  ax-hfvmul 29894  ax-hvmulid 29895  ax-hvmulass 29896  ax-hvdistr1 29897  ax-hvdistr2 29898  ax-hvmul0 29899  ax-hfi 29968  ax-his1 29971  ax-his2 29972  ax-his3 29973  ax-his4 29974  ax-hcompl 30091

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7616  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-supp 8092  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-omul 8416  df-er 8647  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8835  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fsupp 9305  df-fi 9346  df-sup 9377  df-inf 9378  df-oi 9445  df-card 9874  df-acn 9877  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11812  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-4 12217  df-5 12218  df-6 12219  df-7 12220  df-8 12221  df-9 12222  df-n0 12413  df-z 12499  df-dec 12618  df-uz 12763  df-q 12873  df-rp 12915  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13267  df-ico 13269  df-icc 13270  df-fz 13424  df-fzo 13567  df-fl 13696  df-seq 13906  df-exp 13967  df-hash 14230  df-cj 14983  df-re 14984  df-im 14985  df-sqrt 15119  df-abs 15120  df-clim 15369  df-rlim 15370  df-sum 15570  df-struct 17018  df-sets 17035  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-ress 17112  df-plusg 17145  df-mulr 17146  df-starv 17147  df-sca 17148  df-vsca 17149  df-ip 17150  df-tset 17151  df-ple 17152  df-ds 17154  df-unif 17155  df-hom 17156  df-cco 17157  df-rest 17303  df-topn 17304  df-0g 17322  df-gsum 17323  df-topgen 17324  df-pt 17325  df-prds 17328  df-xrs 17383  df-qtop 17388  df-imas 17389  df-xps 17391  df-mre 17465  df-mrc 17466  df-acs 17468  df-mgm 18496  df-sgrp 18545  df-mnd 18556  df-submnd 18601  df-mulg 18871  df-cntz 19095  df-cmn 19562  df-psmet 20786  df-xmet 20787  df-met 20788  df-bl 20789  df-mopn 20790  df-fbas 20791  df-fg 20792  df-cnfld 20795  df-top 22241  df-topon 22258  df-topsp 22280  df-bases 22294  df-cld 22368  df-ntr 22369  df-cls 22370  df-nei 22447  df-cn 22576  df-cnp 22577  df-lm 22578  df-haus 22664  df-tx 22911  df-hmeo 23104  df-fil 23195  df-fm 23287  df-flim 23288  df-flf 23289  df-xms 23671  df-ms 23672  df-tms 23673  df-cfil 24617  df-cau 24618  df-cmet 24619  df-grpo 29382  df-gid 29383  df-ginv 29384  df-gdiv 29385  df-ablo 29434  df-vc 29448  df-nv 29481  df-va 29484  df-ba 29485  df-sm 29486  df-0v 29487  df-vs 29488  df-nmcv 29489  df-ims 29490  df-dip 29590  df-ssp 29611  df-ph 29702  df-cbn 29752  df-hnorm 29857  df-hba 29858  df-hvsub 29860  df-hlim 29861  df-hcau 29862  df-sh 30096  df-ch 30110  df-oc 30141  df-ch0 30142  df-shs 30197  df-pjh 30284  df-h0op 30637  df-nmop 30728  df-cnop 30729  df-lnop 30730  df-bdop 30731  df-unop 30732  df-hmop 30733

This theorem is referenced by:  lncnopbd  30926  lnopcnre  30928  hmopidmchi  31040