Theorem lnopcnbd 29584

Description: A linear operator is continuous iff it is bounded. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lnopcnbd	⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇 ∈ ContOp ↔ 𝑇 ∈ BndLinOp))

Proof of Theorem lnopcnbd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmcopex 29577	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ∈ ContOp) → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
2	1	ex 405	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇 ∈ ContOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ))
3		elbdop2 29419	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp ↔ (𝑇 ∈ LinOp ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ))
4	3	baibr 529	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ↔ 𝑇 ∈ BndLinOp))
5	2, 4	sylibd 231	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇 ∈ ContOp → 𝑇 ∈ BndLinOp))
6		nmopre 29418	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
7		nmbdoplb 29573	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ BndLinOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)))
8	7	ralrimiva 3126	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)))
9		oveq1 6977	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (normop‘𝑇) → (𝑥 · (normℎ‘𝑦)) = ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)))
10	9	breq2d 4935	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (normop‘𝑇) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)) ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦))))
11	10	ralbidv 3141	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (normop‘𝑇) → (∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦))))
12	11	rspcev 3529	. . . 4 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)))
13	6, 8, 12	syl2anc 576	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)))
14		lnopcon 29583	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇 ∈ ContOp ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦))))
15	13, 14	syl5ibr 238	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ ContOp))
16	5, 15	impbid 204	1 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇 ∈ ContOp ↔ 𝑇 ∈ BndLinOp))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1507   ∈ wcel 2048  ∀wral 3082  ∃wrex 3083   class class class wbr 4923  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  ℝcr 10326   · cmul 10332   ≤ cle 10467   ℋchba 28465  norm_ℎcno 28469  norm_opcnop 28491  ContOpccop 28492  LinOpclo 28493  BndLinOpcbo 28494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8890  ax-cc 9647  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405  ax-addf 10406  ax-mulf 10407  ax-hilex 28545  ax-hfvadd 28546  ax-hvcom 28547  ax-hvass 28548  ax-hv0cl 28549  ax-hvaddid 28550  ax-hfvmul 28551  ax-hvmulid 28552  ax-hvmulass 28553  ax-hvdistr1 28554  ax-hvdistr2 28555  ax-hvmul0 28556  ax-hfi 28625  ax-his1 28628  ax-his2 28629  ax-his3 28630  ax-his4 28631  ax-hcompl 28748

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-se 5360  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-of 7221  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-supp 7627  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-2o 7898  df-oadd 7901  df-omul 7902  df-er 8081  df-map 8200  df-pm 8201  df-ixp 8252  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-fsupp 8621  df-fi 8662  df-sup 8693  df-inf 8694  df-oi 8761  df-card 9154  df-acn 9157  df-cda 9380  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-n0 11701  df-z 11787  df-dec 11905  df-uz 12052  df-q 12156  df-rp 12198  df-xneg 12317  df-xadd 12318  df-xmul 12319  df-ioo 12551  df-ico 12553  df-icc 12554  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-fl 12970  df-seq 13178  df-exp 13238  df-hash 13499  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-clim 14696  df-rlim 14697  df-sum 14894  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-ress 16337  df-plusg 16424  df-mulr 16425  df-starv 16426  df-sca 16427  df-vsca 16428  df-ip 16429  df-tset 16430  df-ple 16431  df-ds 16433  df-unif 16434  df-hom 16435  df-cco 16436  df-rest 16542  df-topn 16543  df-0g 16561  df-gsum 16562  df-topgen 16563  df-pt 16564  df-prds 16567  df-xrs 16621  df-qtop 16626  df-imas 16627  df-xps 16629  df-mre 16705  df-mrc 16706  df-acs 16708  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-submnd 17794  df-mulg 18002  df-cntz 18208  df-cmn 18658  df-psmet 20229  df-xmet 20230  df-met 20231  df-bl 20232  df-mopn 20233  df-fbas 20234  df-fg 20235  df-cnfld 20238  df-top 21196  df-topon 21213  df-topsp 21235  df-bases 21248  df-cld 21321  df-ntr 21322  df-cls 21323  df-nei 21400  df-cn 21529  df-cnp 21530  df-lm 21531  df-haus 21617  df-tx 21864  df-hmeo 22057  df-fil 22148  df-fm 22240  df-flim 22241  df-flf 22242  df-xms 22623  df-ms 22624  df-tms 22625  df-cfil 23551  df-cau 23552  df-cmet 23553  df-grpo 28037  df-gid 28038  df-ginv 28039  df-gdiv 28040  df-ablo 28089  df-vc 28103  df-nv 28136  df-va 28139  df-ba 28140  df-sm 28141  df-0v 28142  df-vs 28143  df-nmcv 28144  df-ims 28145  df-dip 28245  df-ssp 28266  df-ph 28357  df-cbn 28408  df-hnorm 28514  df-hba 28515  df-hvsub 28517  df-hlim 28518  df-hcau 28519  df-sh 28753  df-ch 28767  df-oc 28798  df-ch0 28799  df-shs 28856  df-pjh 28943  df-h0op 29296  df-nmop 29387  df-cnop 29388  df-lnop 29389  df-bdop 29390  df-unop 29391  df-hmop 29392

This theorem is referenced by:  lncnopbd  29585  lnopcnre  29587  hmopidmchi  29699