Theorem nmcoplb 32124

Description: A lower bound for the norm of a continuous linear Hilbert space operator. Theorem 3.5(ii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmcoplb	⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ∈ ContOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))

Proof of Theorem nmcoplb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3919	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp) ↔ (𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ∈ ContOp))
2		fveq1 6843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (𝑇‘𝐴) = (if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝐴))
3	2	fveq2d 6848	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (normℎ‘(𝑇‘𝐴)) = (normℎ‘(if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝐴)))
4		fveq2 6844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (normop‘𝑇) = (normop‘if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))))
5	4	oveq1d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) = ((normop‘if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))) · (normℎ‘𝐴)))
6	3, 5	breq12d 5113	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → ((normℎ‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) ↔ (normℎ‘(if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝐴)) ≤ ((normop‘if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))) · (normℎ‘𝐴))))
7	6	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → ((𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴))) ↔ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝐴)) ≤ ((normop‘if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))) · (normℎ‘𝐴)))))
8		idlnop 32086	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ↾ ℋ) ∈ LinOp
9		idcnop 32075	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ↾ ℋ) ∈ ContOp
10		elin 3919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( I ↾ ℋ) ∈ (LinOp ∩ ContOp) ↔ (( I ↾ ℋ) ∈ LinOp ∧ ( I ↾ ℋ) ∈ ContOp))
11	8, 9, 10	mpbir2an 712	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ↾ ℋ) ∈ (LinOp ∩ ContOp)
12	11	elimel 4551	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ (LinOp ∩ ContOp)
13		elin 3919	. . . . . . . 8 ⊢ (if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ (LinOp ∩ ContOp) ↔ (if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp ∧ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ ContOp))
14	12, 13	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ (if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp ∧ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ ContOp)
15	14	simpli 483	. . . . . 6 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp
16	14	simpri 485	. . . . . 6 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ ContOp
17	15, 16	nmcoplbi 32122	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝐴)) ≤ ((normop‘if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))) · (normℎ‘𝐴)))
18	7, 17	dedth 4540	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴))))
19	18	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp) ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))
20	1, 19	sylanbr 583	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ∈ ContOp) ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))
21	20	3impa 1110	1 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ∈ ContOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3902  ifcif 4481   class class class wbr 5100   I cid 5528   ↾ cres 5636  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370   · cmul 11045   ≤ cle 11181   ℋchba 31013  norm_ℎcno 31017  norm_opcnop 31039  ContOpccop 31040  LinOpclo 31041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118  ax-hilex 31093  ax-hfvadd 31094  ax-hvcom 31095  ax-hvass 31096  ax-hv0cl 31097  ax-hvaddid 31098  ax-hfvmul 31099  ax-hvmulid 31100  ax-hvmulass 31101  ax-hvdistr1 31102  ax-hvdistr2 31103  ax-hvmul0 31104  ax-hfi 31173  ax-his1 31176  ax-his2 31177  ax-his3 31178  ax-his4 31179

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-sup 9359  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-rp 12920  df-seq 13939  df-exp 13999  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173  df-grpo 30587  df-gid 30588  df-ablo 30639  df-vc 30653  df-nv 30686  df-va 30689  df-ba 30690  df-sm 30691  df-0v 30692  df-nmcv 30694  df-hnorm 31062  df-hba 31063  df-hvsub 31065  df-nmop 31933  df-cnop 31934  df-lnop 31935  df-unop 31937

This theorem is referenced by:  lnopconi  32128