HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmcoplb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmcoplb 31021
Description: A lower bound for the norm of a continuous linear Hilbert space operator. Theorem 3.5(ii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmcoplb ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡ โˆˆ ContOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))

Proof of Theorem nmcoplb
StepHypRef Expression
1 elin 3930 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โ†” (๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡ โˆˆ ContOp))
2 fveq1 6845 . . . . . . . 8 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ด) = (if(๐‘‡ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐ด))
32fveq2d 6850 . . . . . . 7 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) = (normโ„Žโ€˜(if(๐‘‡ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐ด)))
4 fveq2 6846 . . . . . . . 8 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) = (normopโ€˜if(๐‘‡ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))))
54oveq1d 7376 . . . . . . 7 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) = ((normopโ€˜if(๐‘‡ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
63, 5breq12d 5122 . . . . . 6 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ†” (normโ„Žโ€˜(if(๐‘‡ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜if(๐‘‡ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด))))
76imbi2d 341 . . . . 5 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด))) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(if(๐‘‡ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜if(๐‘‡ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))))
8 idlnop 30983 . . . . . . . . . 10 ( I โ†พ โ„‹) โˆˆ LinOp
9 idcnop 30972 . . . . . . . . . 10 ( I โ†พ โ„‹) โˆˆ ContOp
10 elin 3930 . . . . . . . . . 10 (( I โ†พ โ„‹) โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โ†” (( I โ†พ โ„‹) โˆˆ LinOp โˆง ( I โ†พ โ„‹) โˆˆ ContOp))
118, 9, 10mpbir2an 710 . . . . . . . . 9 ( I โ†พ โ„‹) โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp)
1211elimel 4559 . . . . . . . 8 if(๐‘‡ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp)
13 elin 3930 . . . . . . . 8 (if(๐‘‡ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โ†” (if(๐‘‡ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ LinOp โˆง if(๐‘‡ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ ContOp))
1412, 13mpbi 229 . . . . . . 7 (if(๐‘‡ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ LinOp โˆง if(๐‘‡ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ ContOp)
1514simpli 485 . . . . . 6 if(๐‘‡ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ LinOp
1614simpri 487 . . . . . 6 if(๐‘‡ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ ContOp
1715, 16nmcoplbi 31019 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(if(๐‘‡ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜if(๐‘‡ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
187, 17dedth 4548 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด))))
1918imp 408 . . 3 ((๐‘‡ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
201, 19sylanbr 583 . 2 (((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡ โˆˆ ContOp) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
21203impa 1111 1 ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡ โˆˆ ContOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โˆฉ cin 3913  ifcif 4490   class class class wbr 5109   I cid 5534   โ†พ cres 5639  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ยท cmul 11064   โ‰ค cle 11198   โ„‹chba 29910  normโ„Žcno 29914  normopcnop 29936  ContOpccop 29937  LinOpclo 29938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-hilex 29990  ax-hfvadd 29991  ax-hvcom 29992  ax-hvass 29993  ax-hv0cl 29994  ax-hvaddid 29995  ax-hfvmul 29996  ax-hvmulid 29997  ax-hvmulass 29998  ax-hvdistr1 29999  ax-hvdistr2 30000  ax-hvmul0 30001  ax-hfi 30070  ax-his1 30073  ax-his2 30074  ax-his3 30075  ax-his4 30076
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-grpo 29484  df-gid 29485  df-ablo 29536  df-vc 29550  df-nv 29583  df-va 29586  df-ba 29587  df-sm 29588  df-0v 29589  df-nmcv 29591  df-hnorm 29959  df-hba 29960  df-hvsub 29962  df-nmop 30830  df-cnop 30831  df-lnop 30832  df-unop 30834
This theorem is referenced by:  lnopconi  31025
  Copyright terms: Public domain W3C validator