Theorem nmcoplb 32497

Description: A lower bound for the norm of a continuous linear Hilbert space operator. Theorem 3.5(ii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmcoplb	⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ∈ ContOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))

Proof of Theorem nmcoplb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3918	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp) ↔ (𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ∈ ContOp))
2		fveq1 6881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (𝑇‘𝐴) = (if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝐴))
3	2	fveq2d 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (normℎ‘(𝑇‘𝐴)) = (normℎ‘(if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝐴)))
4		fveq2 6882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (normop‘𝑇) = (normop‘if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))))
5	4	oveq1d 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) = ((normop‘if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))) · (normℎ‘𝐴)))
6	3, 5	breq12d 5120	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → ((normℎ‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) ↔ (normℎ‘(if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝐴)) ≤ ((normop‘if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))) · (normℎ‘𝐴))))
7	6	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → ((𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴))) ↔ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝐴)) ≤ ((normop‘if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))) · (normℎ‘𝐴)))))
8		idlnop 32459	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ↾ ℋ) ∈ LinOp
9		idcnop 32448	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ↾ ℋ) ∈ ContOp
10		elin 3918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( I ↾ ℋ) ∈ (LinOp ∩ ContOp) ↔ (( I ↾ ℋ) ∈ LinOp ∧ ( I ↾ ℋ) ∈ ContOp))
11	8, 9, 10	mpbir2an 724	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ↾ ℋ) ∈ (LinOp ∩ ContOp)
12	11	elimel 4555	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ (LinOp ∩ ContOp)
13		elin 3918	. . . . . . . 8 ⊢ (if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ (LinOp ∩ ContOp) ↔ (if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp ∧ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ ContOp))
14	12, 13	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ (if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp ∧ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ ContOp)
15	14	simpli 489	. . . . . 6 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp
16	14	simpri 491	. . . . . 6 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ ContOp
17	15, 16	nmcoplbi 32495	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝐴)) ≤ ((normop‘if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))) · (normℎ‘𝐴)))
18	7, 17	dedth 4544	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴))))
19	18	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp) ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))
20	1, 19	sylanbr 594	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ∈ ContOp) ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))
21	20	3impa 1127	1 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ∈ ContOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3901  ifcif 4485   class class class wbr 5107   I cid 5553   ↾ cres 5661  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   · cmul 11132   ≤ cle 11271   ℋchba 31386  norm_ℎcno 31390  norm_opcnop 31412  ContOpccop 31413  LinOpclo 31414

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-hilex 31466  ax-hfvadd 31467  ax-hvcom 31468  ax-hvass 31469  ax-hv0cl 31470  ax-hvaddid 31471  ax-hfvmul 31472  ax-hvmulid 31473  ax-hvmulass 31474  ax-hvdistr1 31475  ax-hvdistr2 31476  ax-hvmul0 31477  ax-hfi 31546  ax-his1 31549  ax-his2 31550  ax-his3 31551  ax-his4 31552

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-seq 14068  df-exp 14128  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-grpo 30960  df-gid 30961  df-ablo 31012  df-vc 31026  df-nv 31059  df-va 31062  df-ba 31063  df-sm 31064  df-0v 31065  df-nmcv 31067  df-hnorm 31435  df-hba 31436  df-hvsub 31438  df-nmop 32306  df-cnop 32307  df-lnop 32308  df-unop 32310

This theorem is used by:  lnopconi  32501