Theorem nmcoplb 31917

Description: A lower bound for the norm of a continuous linear Hilbert space operator. Theorem 3.5(ii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmcoplb	⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ∈ ContOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))

Proof of Theorem nmcoplb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3960	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp) ↔ (𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ∈ ContOp))
2		fveq1 6895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (𝑇‘𝐴) = (if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝐴))
3	2	fveq2d 6900	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (normℎ‘(𝑇‘𝐴)) = (normℎ‘(if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝐴)))
4		fveq2 6896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (normop‘𝑇) = (normop‘if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))))
5	4	oveq1d 7434	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) = ((normop‘if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))) · (normℎ‘𝐴)))
6	3, 5	breq12d 5162	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → ((normℎ‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) ↔ (normℎ‘(if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝐴)) ≤ ((normop‘if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))) · (normℎ‘𝐴))))
7	6	imbi2d 339	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → ((𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴))) ↔ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝐴)) ≤ ((normop‘if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))) · (normℎ‘𝐴)))))
8		idlnop 31879	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ↾ ℋ) ∈ LinOp
9		idcnop 31868	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ↾ ℋ) ∈ ContOp
10		elin 3960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( I ↾ ℋ) ∈ (LinOp ∩ ContOp) ↔ (( I ↾ ℋ) ∈ LinOp ∧ ( I ↾ ℋ) ∈ ContOp))
11	8, 9, 10	mpbir2an 709	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ↾ ℋ) ∈ (LinOp ∩ ContOp)
12	11	elimel 4599	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ (LinOp ∩ ContOp)
13		elin 3960	. . . . . . . 8 ⊢ (if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ (LinOp ∩ ContOp) ↔ (if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp ∧ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ ContOp))
14	12, 13	mpbi 229	. . . . . . 7 ⊢ (if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp ∧ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ ContOp)
15	14	simpli 482	. . . . . 6 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp
16	14	simpri 484	. . . . . 6 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ ContOp
17	15, 16	nmcoplbi 31915	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝐴)) ≤ ((normop‘if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))) · (normℎ‘𝐴)))
18	7, 17	dedth 4588	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴))))
19	18	imp 405	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp) ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))
20	1, 19	sylanbr 580	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ∈ ContOp) ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))
21	20	3impa 1107	1 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ∈ ContOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3943  ifcif 4530   class class class wbr 5149   I cid 5575   ↾ cres 5680  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   · cmul 11150   ≤ cle 11286   ℋchba 30806  norm_ℎcno 30810  norm_opcnop 30832  ContOpccop 30833  LinOpclo 30834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223  ax-hilex 30886  ax-hfvadd 30887  ax-hvcom 30888  ax-hvass 30889  ax-hv0cl 30890  ax-hvaddid 30891  ax-hfvmul 30892  ax-hvmulid 30893  ax-hvmulass 30894  ax-hvdistr1 30895  ax-hvdistr2 30896  ax-hvmul0 30897  ax-hfi 30966  ax-his1 30969  ax-his2 30970  ax-his3 30971  ax-his4 30972

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9472  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-seq 14008  df-exp 14068  df-cj 15087  df-re 15088  df-im 15089  df-sqrt 15223  df-abs 15224  df-grpo 30380  df-gid 30381  df-ablo 30432  df-vc 30446  df-nv 30479  df-va 30482  df-ba 30483  df-sm 30484  df-0v 30485  df-nmcv 30487  df-hnorm 30855  df-hba 30856  df-hvsub 30858  df-nmop 31726  df-cnop 31727  df-lnop 31728  df-unop 31730

This theorem is referenced by:  lnopconi  31921