HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmcoplb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmcoplb 29965
Description: A lower bound for the norm of a continuous linear Hilbert space operator. Theorem 3.5(ii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmcoplb ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ∈ ContOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝐴)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝐴)))

Proof of Theorem nmcoplb
StepHypRef Expression
1 elin 3859 . . 3 (𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp) ↔ (𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ∈ ContOp))
2 fveq1 6673 . . . . . . . 8 (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (𝑇𝐴) = (if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝐴))
32fveq2d 6678 . . . . . . 7 (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (norm‘(𝑇𝐴)) = (norm‘(if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝐴)))
4 fveq2 6674 . . . . . . . 8 (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (normop𝑇) = (normop‘if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))))
54oveq1d 7185 . . . . . . 7 (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → ((normop𝑇) · (norm𝐴)) = ((normop‘if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))) · (norm𝐴)))
63, 5breq12d 5043 . . . . . 6 (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → ((norm‘(𝑇𝐴)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝐴)) ↔ (norm‘(if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝐴)) ≤ ((normop‘if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))) · (norm𝐴))))
76imbi2d 344 . . . . 5 (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → ((𝐴 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝐴)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝐴))) ↔ (𝐴 ∈ ℋ → (norm‘(if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝐴)) ≤ ((normop‘if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))) · (norm𝐴)))))
8 idlnop 29927 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ ℋ) ∈ LinOp
9 idcnop 29916 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ ℋ) ∈ ContOp
10 elin 3859 . . . . . . . . . 10 (( I ↾ ℋ) ∈ (LinOp ∩ ContOp) ↔ (( I ↾ ℋ) ∈ LinOp ∧ ( I ↾ ℋ) ∈ ContOp))
118, 9, 10mpbir2an 711 . . . . . . . . 9 ( I ↾ ℋ) ∈ (LinOp ∩ ContOp)
1211elimel 4483 . . . . . . . 8 if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ (LinOp ∩ ContOp)
13 elin 3859 . . . . . . . 8 (if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ (LinOp ∩ ContOp) ↔ (if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp ∧ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ ContOp))
1412, 13mpbi 233 . . . . . . 7 (if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp ∧ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ ContOp)
1514simpli 487 . . . . . 6 if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp
1614simpri 489 . . . . . 6 if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ ContOp
1715, 16nmcoplbi 29963 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℋ → (norm‘(if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝐴)) ≤ ((normop‘if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))) · (norm𝐴)))
187, 17dedth 4472 . . . 4 (𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → (𝐴 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝐴)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝐴))))
1918imp 410 . . 3 ((𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp) ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝐴)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝐴)))
201, 19sylanbr 585 . 2 (((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ∈ ContOp) ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝐴)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝐴)))
21203impa 1111 1 ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ∈ ContOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝐴)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  cin 3842  ifcif 4414   class class class wbr 5030   I cid 5428  cres 5527  cfv 6339  (class class class)co 7170   · cmul 10620  cle 10754  chba 28854  normcno 28858  normopcnop 28880  ContOpccop 28881  LinOpclo 28882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-hilex 28934  ax-hfvadd 28935  ax-hvcom 28936  ax-hvass 28937  ax-hv0cl 28938  ax-hvaddid 28939  ax-hfvmul 28940  ax-hvmulid 28941  ax-hvmulass 28942  ax-hvdistr1 28943  ax-hvdistr2 28944  ax-hvmul0 28945  ax-hfi 29014  ax-his1 29017  ax-his2 29018  ax-his3 29019  ax-his4 29020
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-sup 8979  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-rp 12473  df-seq 13461  df-exp 13522  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-grpo 28428  df-gid 28429  df-ablo 28480  df-vc 28494  df-nv 28527  df-va 28530  df-ba 28531  df-sm 28532  df-0v 28533  df-nmcv 28535  df-hnorm 28903  df-hba 28904  df-hvsub 28906  df-nmop 29774  df-cnop 29775  df-lnop 29776  df-unop 29778
This theorem is referenced by:  lnopconi  29969
  Copyright terms: Public domain W3C validator