Theorem nicomachus 43073

Description: Nicomachus's Theorem. The sum of the odd numbers from 𝑁↑2 − 𝑁 + 1 to 𝑁↑2 + 𝑁 − 1 is 𝑁↑3. Proof 2 from https://proofwiki.org/wiki/Nicomachus%27s_Theorem. (Contributed by SN, 21-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nicomachus	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(((𝑁↑2) − 𝑁) + ((2 · 𝑘) − 1)) = (𝑁↑3))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem nicomachus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 14005	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ∈ Fin)
2		nn0cn 12509	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
3	2	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
4	3	sqcld 14176	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
5	4, 3	subcld 11564	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑁↑2) − 𝑁) ∈ ℂ)
6		2cnd 12314	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 2 ∈ ℂ)
7		elfznn 13577	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
8	7	nncnd 12244	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
9	8	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
10	6, 9	mulcld 11224	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
11		1cnd 11197	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
12	10, 11	subcld 11564	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℂ)
13	1, 5, 12	fsumadd 15787	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(((𝑁↑2) − 𝑁) + ((2 · 𝑘) − 1)) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝑁↑2) − 𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1)))
14		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
15	2	sqcld 14176	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
16	15, 2	subcld 11564	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁↑2) − 𝑁) ∈ ℂ)
17	14, 16	fz1sumconst 43070	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝑁↑2) − 𝑁) = (𝑁 · ((𝑁↑2) − 𝑁)))
18	2, 15, 2	subdid 11665	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 · ((𝑁↑2) − 𝑁)) = ((𝑁 · (𝑁↑2)) − (𝑁 · 𝑁)))
19		df-3 12299	. . . . . . . 8 ⊢ 3 = (2 + 1)
20	19	oveq2i 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁↑3) = (𝑁↑(2 + 1))
21		2nn0 12516	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
23	2, 22	expp1d 14179	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑(2 + 1)) = ((𝑁↑2) · 𝑁))
24	20, 23	eqtrid 2810	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑3) = ((𝑁↑2) · 𝑁))
25	15, 2	mulcomd 11225	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁↑2) · 𝑁) = (𝑁 · (𝑁↑2)))
26	24, 25	eqtr2d 2799	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 · (𝑁↑2)) = (𝑁↑3))
27	2	sqvald 14175	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
28	27	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 · 𝑁) = (𝑁↑2))
29	26, 28	oveq12d 7428	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 · (𝑁↑2)) − (𝑁 · 𝑁)) = ((𝑁↑3) − (𝑁↑2)))
30	17, 18, 29	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝑁↑2) − 𝑁) = ((𝑁↑3) − (𝑁↑2)))
31		oddnumth 43072	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1) = (𝑁↑2))
32	30, 31	oveq12d 7428	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝑁↑2) − 𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1)) = (((𝑁↑3) − (𝑁↑2)) + (𝑁↑2)))
33		3nn0 12517	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℕ0)
35	2, 34	expcld 14178	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑3) ∈ ℂ)
36	35, 15	npcand 11568	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁↑3) − (𝑁↑2)) + (𝑁↑2)) = (𝑁↑3))
37	13, 32, 36	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(((𝑁↑2) − 𝑁) + ((2 · 𝑘) − 1)) = (𝑁↑3))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100   − cmin 11436  2c2 12290  3c3 12291  ℕ₀cn0 12499  ...cfz 13530  ↑cexp 14093  Σcsu 15733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-sum 15734

This theorem is referenced by:  sumcubes  43074