Theorem nicomachus 43478

Description: Nicomachus's Theorem. The sum of the odd numbers from 𝑁↑2 − 𝑁 + 1 to 𝑁↑2 + 𝑁 − 1 is 𝑁↑3. Proof 2 from https://proofwiki.org/wiki/Nicomachus%27s_Theorem. (Contributed by SN, 21-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nicomachus	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(((𝑁↑2) − 𝑁) + ((2 · 𝑘) − 1)) = (𝑁↑3))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem nicomachus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 14123	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ∈ Fin)
2		nn0cn 12623	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
3	2	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
4	3	sqcld 14294	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
5	4, 3	subcld 11676	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑁↑2) − 𝑁) ∈ ℂ)
6		2cnd 12428	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 2 ∈ ℂ)
7		elfznn 13694	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
8	7	nncnd 12358	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
9	8	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
10	6, 9	mulcld 11336	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
11		1cnd 11309	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
12	10, 11	subcld 11676	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℂ)
13	1, 5, 12	fsumadd 15915	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(((𝑁↑2) − 𝑁) + ((2 · 𝑘) − 1)) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝑁↑2) − 𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1)))
14		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
15	2	sqcld 14294	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
16	15, 2	subcld 11676	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁↑2) − 𝑁) ∈ ℂ)
17	14, 16	fz1sumconst 43475	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝑁↑2) − 𝑁) = (𝑁 · ((𝑁↑2) − 𝑁)))
18	2, 15, 2	subdid 11779	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 · ((𝑁↑2) − 𝑁)) = ((𝑁 · (𝑁↑2)) − (𝑁 · 𝑁)))
19		df-3 12413	. . . . . . . 8 ⊢ 3 = (2 + 1)
20	19	oveq2i 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁↑3) = (𝑁↑(2 + 1))
21		2nn0 12630	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
23	2, 22	expp1d 14297	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑(2 + 1)) = ((𝑁↑2) · 𝑁))
24	20, 23	eqtrid 2807	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑3) = ((𝑁↑2) · 𝑁))
25	15, 2	mulcomd 11337	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁↑2) · 𝑁) = (𝑁 · (𝑁↑2)))
26	24, 25	eqtr2d 2796	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 · (𝑁↑2)) = (𝑁↑3))
27	2	sqvald 14293	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
28	27	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 · 𝑁) = (𝑁↑2))
29	26, 28	oveq12d 7442	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 · (𝑁↑2)) − (𝑁 · 𝑁)) = ((𝑁↑3) − (𝑁↑2)))
30	17, 18, 29	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝑁↑2) − 𝑁) = ((𝑁↑3) − (𝑁↑2)))
31		oddnumth 43477	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1) = (𝑁↑2))
32	30, 31	oveq12d 7442	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝑁↑2) − 𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1)) = (((𝑁↑3) − (𝑁↑2)) + (𝑁↑2)))
33		3nn0 12631	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℕ0)
35	2, 34	expcld 14296	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑3) ∈ ℂ)
36	35, 15	npcand 11680	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁↑3) − (𝑁↑2)) + (𝑁↑2)) = (𝑁↑3))
37	13, 32, 36	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(((𝑁↑2) − 𝑁) + ((2 · 𝑘) − 1)) = (𝑁↑3))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  1c1 11208   + caddc 11210   · cmul 11212   − cmin 11548  2c2 12404  3c3 12405  ℕ₀cn0 12613  ...cfz 13646  ↑cexp 14211  Σcsu 15862

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-sup 9441  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-rp 13128  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-exp 14212  df-fac 14425  df-bc 14454  df-hash 14482  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-clim 15664  df-sum 15863

This theorem is used by:  sumcubes  43479