Theorem nicomachus 42918

Description: Nicomachus's Theorem. The sum of the odd numbers from 𝑁↑2 − 𝑁 + 1 to 𝑁↑2 + 𝑁 − 1 is 𝑁↑3. Proof 2 from https://proofwiki.org/wiki/Nicomachus%27s_Theorem. (Contributed by SN, 21-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nicomachus	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(((𝑁↑2) − 𝑁) + ((2 · 𝑘) − 1)) = (𝑁↑3))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem nicomachus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13986	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ∈ Fin)
2		nn0cn 12491	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
3	2	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
4	3	sqcld 14157	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
5	4, 3	subcld 11542	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑁↑2) − 𝑁) ∈ ℂ)
6		2cnd 12296	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 2 ∈ ℂ)
7		elfznn 13558	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
8	7	nncnd 12226	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
9	8	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
10	6, 9	mulcld 11202	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
11		1cnd 11175	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
12	10, 11	subcld 11542	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℂ)
13	1, 5, 12	fsumadd 15767	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(((𝑁↑2) − 𝑁) + ((2 · 𝑘) − 1)) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝑁↑2) − 𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1)))
14		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
15	2	sqcld 14157	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
16	15, 2	subcld 11542	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁↑2) − 𝑁) ∈ ℂ)
17	14, 16	fz1sumconst 42915	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝑁↑2) − 𝑁) = (𝑁 · ((𝑁↑2) − 𝑁)))
18	2, 15, 2	subdid 11643	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 · ((𝑁↑2) − 𝑁)) = ((𝑁 · (𝑁↑2)) − (𝑁 · 𝑁)))
19		df-3 12281	. . . . . . . 8 ⊢ 3 = (2 + 1)
20	19	oveq2i 7407	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁↑3) = (𝑁↑(2 + 1))
21		2nn0 12498	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
23	2, 22	expp1d 14160	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑(2 + 1)) = ((𝑁↑2) · 𝑁))
24	20, 23	eqtrid 2809	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑3) = ((𝑁↑2) · 𝑁))
25	15, 2	mulcomd 11203	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁↑2) · 𝑁) = (𝑁 · (𝑁↑2)))
26	24, 25	eqtr2d 2798	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 · (𝑁↑2)) = (𝑁↑3))
27	2	sqvald 14156	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
28	27	eqcomd 2768	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 · 𝑁) = (𝑁↑2))
29	26, 28	oveq12d 7414	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 · (𝑁↑2)) − (𝑁 · 𝑁)) = ((𝑁↑3) − (𝑁↑2)))
30	17, 18, 29	3eqtrd 2801	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝑁↑2) − 𝑁) = ((𝑁↑3) − (𝑁↑2)))
31		oddnumth 42917	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1) = (𝑁↑2))
32	30, 31	oveq12d 7414	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝑁↑2) − 𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1)) = (((𝑁↑3) − (𝑁↑2)) + (𝑁↑2)))
33		3nn0 12499	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℕ0)
35	2, 34	expcld 14159	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑3) ∈ ℂ)
36	35, 15	npcand 11546	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁↑3) − (𝑁↑2)) + (𝑁↑2)) = (𝑁↑3))
37	13, 32, 36	3eqtrd 2801	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(((𝑁↑2) − 𝑁) + ((2 · 𝑘) − 1)) = (𝑁↑3))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  1c1 11074   + caddc 11076   · cmul 11078   − cmin 11414  2c2 12272  3c3 12273  ℕ₀cn0 12481  ...cfz 13512  ↑cexp 14074  Σcsu 15713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9388  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-rp 12994  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-seq 14015  df-exp 14075  df-fac 14287  df-bc 14316  df-hash 14344  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-clim 15515  df-sum 15714

This theorem is referenced by:  sumcubes  42919