Theorem nicomachus 42567

Description: Nicomachus's Theorem. The sum of the odd numbers from 𝑁↑2 − 𝑁 + 1 to 𝑁↑2 + 𝑁 − 1 is 𝑁↑3. Proof 2 from https://proofwiki.org/wiki/Nicomachus%27s_Theorem. (Contributed by SN, 21-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nicomachus	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(((𝑁↑2) − 𝑁) + ((2 · 𝑘) − 1)) = (𝑁↑3))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem nicomachus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13896	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ∈ Fin)
2		nn0cn 12411	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
4	3	sqcld 14067	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
5	4, 3	subcld 11492	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑁↑2) − 𝑁) ∈ ℂ)
6		2cnd 12223	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 2 ∈ ℂ)
7		elfznn 13469	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
8	7	nncnd 12161	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
9	8	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
10	6, 9	mulcld 11152	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
11		1cnd 11127	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
12	10, 11	subcld 11492	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℂ)
13	1, 5, 12	fsumadd 15663	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(((𝑁↑2) − 𝑁) + ((2 · 𝑘) − 1)) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝑁↑2) − 𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1)))
14		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
15	2	sqcld 14067	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
16	15, 2	subcld 11492	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁↑2) − 𝑁) ∈ ℂ)
17	14, 16	fz1sumconst 42564	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝑁↑2) − 𝑁) = (𝑁 · ((𝑁↑2) − 𝑁)))
18	2, 15, 2	subdid 11593	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 · ((𝑁↑2) − 𝑁)) = ((𝑁 · (𝑁↑2)) − (𝑁 · 𝑁)))
19		df-3 12209	. . . . . . . 8 ⊢ 3 = (2 + 1)
20	19	oveq2i 7369	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁↑3) = (𝑁↑(2 + 1))
21		2nn0 12418	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
23	2, 22	expp1d 14070	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑(2 + 1)) = ((𝑁↑2) · 𝑁))
24	20, 23	eqtrid 2783	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑3) = ((𝑁↑2) · 𝑁))
25	15, 2	mulcomd 11153	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁↑2) · 𝑁) = (𝑁 · (𝑁↑2)))
26	24, 25	eqtr2d 2772	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 · (𝑁↑2)) = (𝑁↑3))
27	2	sqvald 14066	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
28	27	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 · 𝑁) = (𝑁↑2))
29	26, 28	oveq12d 7376	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 · (𝑁↑2)) − (𝑁 · 𝑁)) = ((𝑁↑3) − (𝑁↑2)))
30	17, 18, 29	3eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝑁↑2) − 𝑁) = ((𝑁↑3) − (𝑁↑2)))
31		oddnumth 42566	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1) = (𝑁↑2))
32	30, 31	oveq12d 7376	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝑁↑2) − 𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1)) = (((𝑁↑3) − (𝑁↑2)) + (𝑁↑2)))
33		3nn0 12419	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℕ0)
35	2, 34	expcld 14069	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑3) ∈ ℂ)
36	35, 15	npcand 11496	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁↑3) − (𝑁↑2)) + (𝑁↑2)) = (𝑁↑3))
37	13, 32, 36	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(((𝑁↑2) − 𝑁) + ((2 · 𝑘) − 1)) = (𝑁↑3))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031   − cmin 11364  2c2 12200  3c3 12201  ℕ₀cn0 12401  ...cfz 13423  ↑cexp 13984  Σcsu 15609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-exp 13985  df-fac 14197  df-bc 14226  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-sum 15610

This theorem is referenced by:  sumcubes  42568