Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nicomachus Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nicomachus 42874
Description: Nicomachus's Theorem. The sum of the odd numbers from 𝑁↑2 − 𝑁 + 1 to 𝑁↑2 + 𝑁 − 1 is 𝑁↑3. Proof 2 from https://proofwiki.org/wiki/Nicomachus%27s_Theorem. (Contributed by SN, 21-Mar-2025.)
Assertion
Ref Expression
nicomachus (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(((𝑁↑2) − 𝑁) + ((2 · 𝑘) − 1)) = (𝑁↑3))
Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem nicomachus
StepHypRef Expression
1 fzfid 13981 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ∈ Fin)
2 nn0cn 12486 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
32adantr 484 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
43sqcld 14152 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
54, 3subcld 11537 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑁↑2) − 𝑁) ∈ ℂ)
6 2cnd 12291 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 2 ∈ ℂ)
7 elfznn 13553 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
87nncnd 12221 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
98adantl 485 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
106, 9mulcld 11197 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
11 1cnd 11170 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
1210, 11subcld 11537 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℂ)
131, 5, 12fsumadd 15748 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(((𝑁↑2) − 𝑁) + ((2 · 𝑘) − 1)) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝑁↑2) − 𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1)))
14 id 22 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)
152sqcld 14152 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
1615, 2subcld 11537 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁↑2) − 𝑁) ∈ ℂ)
1714, 16fz1sumconst 42871 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝑁↑2) − 𝑁) = (𝑁 · ((𝑁↑2) − 𝑁)))
182, 15, 2subdid 11638 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 · ((𝑁↑2) − 𝑁)) = ((𝑁 · (𝑁↑2)) − (𝑁 · 𝑁)))
19 df-3 12276 . . . . . . . 8 3 = (2 + 1)
2019oveq2i 7401 . . . . . . 7 (𝑁↑3) = (𝑁↑(2 + 1))
21 2nn0 12493 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
232, 22expp1d 14155 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑(2 + 1)) = ((𝑁↑2) · 𝑁))
2420, 23eqtrid 2808 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑3) = ((𝑁↑2) · 𝑁))
2515, 2mulcomd 11198 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁↑2) · 𝑁) = (𝑁 · (𝑁↑2)))
2624, 25eqtr2d 2797 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 · (𝑁↑2)) = (𝑁↑3))
272sqvald 14151 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
2827eqcomd 2767 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 · 𝑁) = (𝑁↑2))
2926, 28oveq12d 7408 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 · (𝑁↑2)) − (𝑁 · 𝑁)) = ((𝑁↑3) − (𝑁↑2)))
3017, 18, 293eqtrd 2800 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝑁↑2) − 𝑁) = ((𝑁↑3) − (𝑁↑2)))
31 oddnumth 42873 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1) = (𝑁↑2))
3230, 31oveq12d 7408 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝑁↑2) − 𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1)) = (((𝑁↑3) − (𝑁↑2)) + (𝑁↑2)))
33 3nn0 12494 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
3433a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℕ0)
352, 34expcld 14154 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑3) ∈ ℂ)
3635, 15npcand 11541 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁↑3) − (𝑁↑2)) + (𝑁↑2)) = (𝑁↑3))
3713, 32, 363eqtrd 2800 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(((𝑁↑2) − 𝑁) + ((2 · 𝑘) − 1)) = (𝑁↑3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1559  wcel 2141  (class class class)co 7390  cc 11066  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073  cmin 11409  2c2 12267  3c3 12268  0cn0 12476  ...cfz 13507  cexp 14069  Σcsu 15694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-inf2 9591  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-er 8671  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9383  df-oi 9453  df-card 9892  df-pnf 11213  df-mnf 11214  df-xr 11215  df-ltxr 11216  df-le 11217  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11840  df-nn 12206  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12477  df-z 12564  df-uz 12835  df-rp 12989  df-fz 13508  df-fzo 13655  df-seq 14010  df-exp 14070  df-fac 14282  df-bc 14311  df-hash 14339  df-cj 15107  df-re 15108  df-im 15109  df-sqrt 15243  df-abs 15244  df-clim 15496  df-sum 15695
This theorem is referenced by:  sumcubes  42875
  Copyright terms: Public domain W3C validator