Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nicomachus Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nicomachus 42346
Description: Nicomachus's Theorem. The sum of the odd numbers from 𝑁↑2 − 𝑁 + 1 to 𝑁↑2 + 𝑁 − 1 is 𝑁↑3. Proof 2 from https://proofwiki.org/wiki/Nicomachus%27s_Theorem. (Contributed by SN, 21-Mar-2025.)
Assertion
Ref Expression
nicomachus (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(((𝑁↑2) − 𝑁) + ((2 · 𝑘) − 1)) = (𝑁↑3))
Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem nicomachus
StepHypRef Expression
1 fzfid 14014 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ∈ Fin)
2 nn0cn 12536 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
32adantr 480 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
43sqcld 14184 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
54, 3subcld 11620 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑁↑2) − 𝑁) ∈ ℂ)
6 2cnd 12344 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 2 ∈ ℂ)
7 elfznn 13593 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
87nncnd 12282 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
98adantl 481 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
106, 9mulcld 11281 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
11 1cnd 11256 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
1210, 11subcld 11620 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℂ)
131, 5, 12fsumadd 15776 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(((𝑁↑2) − 𝑁) + ((2 · 𝑘) − 1)) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝑁↑2) − 𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1)))
14 id 22 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)
152sqcld 14184 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
1615, 2subcld 11620 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁↑2) − 𝑁) ∈ ℂ)
1714, 16fz1sumconst 42343 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝑁↑2) − 𝑁) = (𝑁 · ((𝑁↑2) − 𝑁)))
182, 15, 2subdid 11719 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 · ((𝑁↑2) − 𝑁)) = ((𝑁 · (𝑁↑2)) − (𝑁 · 𝑁)))
19 df-3 12330 . . . . . . . 8 3 = (2 + 1)
2019oveq2i 7442 . . . . . . 7 (𝑁↑3) = (𝑁↑(2 + 1))
21 2nn0 12543 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
232, 22expp1d 14187 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑(2 + 1)) = ((𝑁↑2) · 𝑁))
2420, 23eqtrid 2789 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑3) = ((𝑁↑2) · 𝑁))
2515, 2mulcomd 11282 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁↑2) · 𝑁) = (𝑁 · (𝑁↑2)))
2624, 25eqtr2d 2778 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 · (𝑁↑2)) = (𝑁↑3))
272sqvald 14183 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
2827eqcomd 2743 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 · 𝑁) = (𝑁↑2))
2926, 28oveq12d 7449 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 · (𝑁↑2)) − (𝑁 · 𝑁)) = ((𝑁↑3) − (𝑁↑2)))
3017, 18, 293eqtrd 2781 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝑁↑2) − 𝑁) = ((𝑁↑3) − (𝑁↑2)))
31 oddnumth 42345 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1) = (𝑁↑2))
3230, 31oveq12d 7449 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝑁↑2) − 𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1)) = (((𝑁↑3) − (𝑁↑2)) + (𝑁↑2)))
33 3nn0 12544 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
3433a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℕ0)
352, 34expcld 14186 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑3) ∈ ℂ)
3635, 15npcand 11624 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁↑3) − (𝑁↑2)) + (𝑁↑2)) = (𝑁↑3))
3713, 32, 363eqtrd 2781 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(((𝑁↑2) − 𝑁) + ((2 · 𝑘) − 1)) = (𝑁↑3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  (class class class)co 7431  cc 11153  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492  2c2 12321  3c3 12322  0cn0 12526  ...cfz 13547  cexp 14102  Σcsu 15722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723
This theorem is referenced by:  sumcubes  42347
  Copyright terms: Public domain W3C validator