Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nicomachus Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nicomachus 41937
Description: Nicomachus's Theorem. The sum of the odd numbers from ๐‘โ†‘2 โˆ’ ๐‘ + 1 to ๐‘โ†‘2 + ๐‘ โˆ’ 1 is ๐‘โ†‘3. Proof 2 from https://proofwiki.org/wiki/Nicomachus%27s_Theorem. (Contributed by SN, 21-Mar-2025.)
Assertion
Ref Expression
nicomachus (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(((๐‘โ†‘2) โˆ’ ๐‘) + ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1)) = (๐‘โ†‘3))
Distinct variable group:   ๐‘˜,๐‘

Proof of Theorem nicomachus
StepHypRef Expression
1 fzfid 13970 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (1...๐‘) โˆˆ Fin)
2 nn0cn 12512 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
32adantr 479 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
43sqcld 14140 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
54, 3subcld 11601 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐‘โ†‘2) โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„‚)
6 2cnd 12320 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
7 elfznn 13562 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
87nncnd 12258 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
98adantl 480 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
106, 9mulcld 11264 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
11 1cnd 11239 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
1210, 11subcld 11601 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
131, 5, 12fsumadd 15718 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(((๐‘โ†‘2) โˆ’ ๐‘) + ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1)) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((๐‘โ†‘2) โˆ’ ๐‘) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1)))
14 id 22 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
152sqcld 14140 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
1615, 2subcld 11601 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘โ†‘2) โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„‚)
1714, 16fz1sumconst 41934 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((๐‘โ†‘2) โˆ’ ๐‘) = (๐‘ ยท ((๐‘โ†‘2) โˆ’ ๐‘)))
182, 15, 2subdid 11700 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ ยท ((๐‘โ†‘2) โˆ’ ๐‘)) = ((๐‘ ยท (๐‘โ†‘2)) โˆ’ (๐‘ ยท ๐‘)))
19 df-3 12306 . . . . . . . 8 3 = (2 + 1)
2019oveq2i 7427 . . . . . . 7 (๐‘โ†‘3) = (๐‘โ†‘(2 + 1))
21 2nn0 12519 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„•0
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
232, 22expp1d 14143 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘โ†‘(2 + 1)) = ((๐‘โ†‘2) ยท ๐‘))
2420, 23eqtrid 2777 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘โ†‘3) = ((๐‘โ†‘2) ยท ๐‘))
2515, 2mulcomd 11265 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘โ†‘2) ยท ๐‘) = (๐‘ ยท (๐‘โ†‘2)))
2624, 25eqtr2d 2766 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ ยท (๐‘โ†‘2)) = (๐‘โ†‘3))
272sqvald 14139 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘โ†‘2) = (๐‘ ยท ๐‘))
2827eqcomd 2731 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ ยท ๐‘) = (๐‘โ†‘2))
2926, 28oveq12d 7434 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ ยท (๐‘โ†‘2)) โˆ’ (๐‘ ยท ๐‘)) = ((๐‘โ†‘3) โˆ’ (๐‘โ†‘2)))
3017, 18, 293eqtrd 2769 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((๐‘โ†‘2) โˆ’ ๐‘) = ((๐‘โ†‘3) โˆ’ (๐‘โ†‘2)))
31 oddnumth 41936 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1) = (๐‘โ†‘2))
3230, 31oveq12d 7434 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((๐‘โ†‘2) โˆ’ ๐‘) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1)) = (((๐‘โ†‘3) โˆ’ (๐‘โ†‘2)) + (๐‘โ†‘2)))
33 3nn0 12520 . . . . 5 3 โˆˆ โ„•0
3433a1i 11 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 3 โˆˆ โ„•0)
352, 34expcld 14142 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘โ†‘3) โˆˆ โ„‚)
3635, 15npcand 11605 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐‘โ†‘3) โˆ’ (๐‘โ†‘2)) + (๐‘โ†‘2)) = (๐‘โ†‘3))
3713, 32, 363eqtrd 2769 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(((๐‘โ†‘2) โˆ’ ๐‘) + ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1)) = (๐‘โ†‘3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7416  โ„‚cc 11136  1c1 11139   + caddc 11141   ยท cmul 11143   โˆ’ cmin 11474  2c2 12297  3c3 12298  โ„•0cn0 12502  ...cfz 13516  โ†‘cexp 14058  ฮฃcsu 15664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665
This theorem is referenced by:  sumcubes  41938
  Copyright terms: Public domain W3C validator