Theorem nicomachus 42325

Description: Nicomachus's Theorem. The sum of the odd numbers from 𝑁↑2 − 𝑁 + 1 to 𝑁↑2 + 𝑁 − 1 is 𝑁↑3. Proof 2 from https://proofwiki.org/wiki/Nicomachus%27s_Theorem. (Contributed by SN, 21-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nicomachus	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(((𝑁↑2) − 𝑁) + ((2 · 𝑘) − 1)) = (𝑁↑3))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem nicomachus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 14011	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ∈ Fin)
2		nn0cn 12534	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
4	3	sqcld 14181	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
5	4, 3	subcld 11618	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑁↑2) − 𝑁) ∈ ℂ)
6		2cnd 12342	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 2 ∈ ℂ)
7		elfznn 13590	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
8	7	nncnd 12280	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
9	8	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
10	6, 9	mulcld 11279	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
11		1cnd 11254	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
12	10, 11	subcld 11618	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℂ)
13	1, 5, 12	fsumadd 15773	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(((𝑁↑2) − 𝑁) + ((2 · 𝑘) − 1)) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝑁↑2) − 𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1)))
14		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
15	2	sqcld 14181	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
16	15, 2	subcld 11618	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁↑2) − 𝑁) ∈ ℂ)
17	14, 16	fz1sumconst 42322	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝑁↑2) − 𝑁) = (𝑁 · ((𝑁↑2) − 𝑁)))
18	2, 15, 2	subdid 11717	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 · ((𝑁↑2) − 𝑁)) = ((𝑁 · (𝑁↑2)) − (𝑁 · 𝑁)))
19		df-3 12328	. . . . . . . 8 ⊢ 3 = (2 + 1)
20	19	oveq2i 7442	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁↑3) = (𝑁↑(2 + 1))
21		2nn0 12541	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
23	2, 22	expp1d 14184	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑(2 + 1)) = ((𝑁↑2) · 𝑁))
24	20, 23	eqtrid 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑3) = ((𝑁↑2) · 𝑁))
25	15, 2	mulcomd 11280	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁↑2) · 𝑁) = (𝑁 · (𝑁↑2)))
26	24, 25	eqtr2d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 · (𝑁↑2)) = (𝑁↑3))
27	2	sqvald 14180	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
28	27	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 · 𝑁) = (𝑁↑2))
29	26, 28	oveq12d 7449	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 · (𝑁↑2)) − (𝑁 · 𝑁)) = ((𝑁↑3) − (𝑁↑2)))
30	17, 18, 29	3eqtrd 2779	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝑁↑2) − 𝑁) = ((𝑁↑3) − (𝑁↑2)))
31		oddnumth 42324	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1) = (𝑁↑2))
32	30, 31	oveq12d 7449	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝑁↑2) − 𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1)) = (((𝑁↑3) − (𝑁↑2)) + (𝑁↑2)))
33		3nn0 12542	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℕ0)
35	2, 34	expcld 14183	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑3) ∈ ℂ)
36	35, 15	npcand 11622	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁↑3) − (𝑁↑2)) + (𝑁↑2)) = (𝑁↑3))
37	13, 32, 36	3eqtrd 2779	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(((𝑁↑2) − 𝑁) + ((2 · 𝑘) − 1)) = (𝑁↑3))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   − cmin 11490  2c2 12319  3c3 12320  ℕ₀cn0 12524  ...cfz 13544  ↑cexp 14099  Σcsu 15719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720

This theorem is referenced by:  sumcubes  42326