Theorem pcoptcl 24970

Description: A constant function is a path from 𝑌 to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pcopt.1	⊢ 𝑃 = ((0[,]1) × {𝑌})

Assertion

Ref	Expression
pcoptcl	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑃‘0) = 𝑌 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌))

Proof of Theorem pcoptcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcopt.1	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((0[,]1) × {𝑌})
2		iitopon 24821	. . . 4 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
3		cnconst2 23219	. . . 4 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → ((0[,]1) × {𝑌}) ∈ (II Cn 𝐽))
4	2, 3	mp3an1 1450	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → ((0[,]1) × {𝑌}) ∈ (II Cn 𝐽))
5	1, 4	eqeltrid 2838	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ (II Cn 𝐽))
6	1	fveq1i 6876	. . 3 ⊢ (𝑃‘0) = (((0[,]1) × {𝑌})‘0)
7		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝑋)
8		0elunit 13484	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
9		fvconst2g 7193	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑌})‘0) = 𝑌)
10	7, 8, 9	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (((0[,]1) × {𝑌})‘0) = 𝑌)
11	6, 10	eqtrid 2782	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝑃‘0) = 𝑌)
12	1	fveq1i 6876	. . 3 ⊢ (𝑃‘1) = (((0[,]1) × {𝑌})‘1)
13		1elunit 13485	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
14		fvconst2g 7193	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑌})‘1) = 𝑌)
15	7, 13, 14	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (((0[,]1) × {𝑌})‘1) = 𝑌)
16	12, 15	eqtrid 2782	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝑃‘1) = 𝑌)
17	5, 11, 16	3jca 1128	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑃‘0) = 𝑌 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {csn 4601   × cxp 5652  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  0cc0 11127  1c1 11128  [,]cicc 13363  TopOnctopon 22846   Cn ccn 23160  IIcii 24817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9452  df-inf 9453  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13126  df-xadd 13127  df-xmul 13128  df-icc 13367  df-seq 14018  df-exp 14078  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-topgen 17455  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-top 22830  df-topon 22847  df-bases 22882  df-cn 23163  df-cnp 23164  df-ii 24819

This theorem is referenced by:  pcopt  24971  pcopt2  24972  pcorevlem  24975  pi1grplem  24998  sconnpi1  35207  cvxsconn  35211