Theorem pcoptcl 25397

Description: A constant function is a path from 𝑌 to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pcopt.1	⊢ 𝑃 = ((0[,]1) × {𝑌})

Assertion

Ref	Expression
pcoptcl	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑃‘0) = 𝑌 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌))

Proof of Theorem pcoptcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcopt.1	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((0[,]1) × {𝑌})
2		iitopon 25255	. . . 4 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
3		cnconst2 23656	. . . 4 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → ((0[,]1) × {𝑌}) ∈ (II Cn 𝐽))
4	2, 3	mp3an1 1478	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → ((0[,]1) × {𝑌}) ∈ (II Cn 𝐽))
5	1, 4	eqeltrid 2868	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ (II Cn 𝐽))
6	1	fveq1i 6917	. . 3 ⊢ (𝑃‘0) = (((0[,]1) × {𝑌})‘0)
7		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝑋)
8		0elunit 13640	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
9		fvconst2g 7239	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑌})‘0) = 𝑌)
10	7, 8, 9	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (((0[,]1) × {𝑌})‘0) = 𝑌)
11	6, 10	eqtrid 2810	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝑃‘0) = 𝑌)
12	1	fveq1i 6917	. . 3 ⊢ (𝑃‘1) = (((0[,]1) × {𝑌})‘1)
13		1elunit 13641	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
14		fvconst2g 7239	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑌})‘1) = 𝑌)
15	7, 13, 14	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (((0[,]1) × {𝑌})‘1) = 𝑌)
16	12, 15	eqtrid 2810	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝑃‘1) = 𝑌)
17	5, 11, 16	3jca 1146	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑃‘0) = 𝑌 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {csn 4588   × cxp 5656  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240  [,]cicc 13519  TopOnctopon 23283   Cn ccn 23597  IIcii 25251

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-icc 13523  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-topgen 17664  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-top 23267  df-topon 23284  df-bases 23319  df-cn 23600  df-cnp 23601  df-ii 25253

This theorem is used by:  pcopt  25398  pcopt2  25399  pcorevlem  25402  pi1grplem  25425  sconnpi1  36212  cvxsconn  36216