MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcoptcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcoptcl 24537
Description: A constant function is a path from π‘Œ to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pcopt.1 𝑃 = ((0[,]1) Γ— {π‘Œ})
Assertion
Ref Expression
pcoptcl ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘ƒβ€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘ƒβ€˜1) = π‘Œ))

Proof of Theorem pcoptcl
StepHypRef Expression
1 pcopt.1 . . 3 𝑃 = ((0[,]1) Γ— {π‘Œ})
2 iitopon 24395 . . . 4 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
3 cnconst2 22787 . . . 4 ((II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ ((0[,]1) Γ— {π‘Œ}) ∈ (II Cn 𝐽))
42, 3mp3an1 1449 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ ((0[,]1) Γ— {π‘Œ}) ∈ (II Cn 𝐽))
51, 4eqeltrid 2838 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ 𝑃 ∈ (II Cn 𝐽))
61fveq1i 6893 . . 3 (π‘ƒβ€˜0) = (((0[,]1) Γ— {π‘Œ})β€˜0)
7 simpr 486 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
8 0elunit 13446 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
9 fvconst2g 7203 . . . 4 ((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (((0[,]1) Γ— {π‘Œ})β€˜0) = π‘Œ)
107, 8, 9sylancl 587 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ (((0[,]1) Γ— {π‘Œ})β€˜0) = π‘Œ)
116, 10eqtrid 2785 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ (π‘ƒβ€˜0) = π‘Œ)
121fveq1i 6893 . . 3 (π‘ƒβ€˜1) = (((0[,]1) Γ— {π‘Œ})β€˜1)
13 1elunit 13447 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
14 fvconst2g 7203 . . . 4 ((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ (((0[,]1) Γ— {π‘Œ})β€˜1) = π‘Œ)
157, 13, 14sylancl 587 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ (((0[,]1) Γ— {π‘Œ})β€˜1) = π‘Œ)
1612, 15eqtrid 2785 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ (π‘ƒβ€˜1) = π‘Œ)
175, 11, 163jca 1129 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘ƒβ€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘ƒβ€˜1) = π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {csn 4629   Γ— cxp 5675  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111  [,]cicc 13327  TopOnctopon 22412   Cn ccn 22728  IIcii 24391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-icc 13331  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-ii 24393
This theorem is referenced by:  pcopt  24538  pcopt2  24539  pcorevlem  24542  pi1grplem  24565  sconnpi1  34230  cvxsconn  34234
  Copyright terms: Public domain W3C validator