MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcoptcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcoptcl 25067
Description: A constant function is a path from 𝑌 to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pcopt.1 𝑃 = ((0[,]1) × {𝑌})
Assertion
Ref Expression
pcoptcl ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑃‘0) = 𝑌 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌))

Proof of Theorem pcoptcl
StepHypRef Expression
1 pcopt.1 . . 3 𝑃 = ((0[,]1) × {𝑌})
2 iitopon 24918 . . . 4 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
3 cnconst2 23306 . . . 4 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → ((0[,]1) × {𝑌}) ∈ (II Cn 𝐽))
42, 3mp3an1 1447 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → ((0[,]1) × {𝑌}) ∈ (II Cn 𝐽))
51, 4eqeltrid 2842 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → 𝑃 ∈ (II Cn 𝐽))
61fveq1i 6907 . . 3 (𝑃‘0) = (((0[,]1) × {𝑌})‘0)
7 simpr 484 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → 𝑌𝑋)
8 0elunit 13505 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
9 fvconst2g 7221 . . . 4 ((𝑌𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑌})‘0) = 𝑌)
107, 8, 9sylancl 586 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (((0[,]1) × {𝑌})‘0) = 𝑌)
116, 10eqtrid 2786 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (𝑃‘0) = 𝑌)
121fveq1i 6907 . . 3 (𝑃‘1) = (((0[,]1) × {𝑌})‘1)
13 1elunit 13506 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
14 fvconst2g 7221 . . . 4 ((𝑌𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑌})‘1) = 𝑌)
157, 13, 14sylancl 586 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (((0[,]1) × {𝑌})‘1) = 𝑌)
1612, 15eqtrid 2786 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (𝑃‘1) = 𝑌)
175, 11, 163jca 1127 1 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑃‘0) = 𝑌 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  {csn 4630   × cxp 5686  cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  1c1 11153  [,]cicc 13386  TopOnctopon 22931   Cn ccn 23247  IIcii 24914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-icc 13390  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-topgen 17489  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-top 22915  df-topon 22932  df-bases 22968  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-ii 24916
This theorem is referenced by:  pcopt  25068  pcopt2  25069  pcorevlem  25072  pi1grplem  25095  sconnpi1  35223  cvxsconn  35227
  Copyright terms: Public domain W3C validator