MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcoptcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcoptcl 24229
Description: A constant function is a path from π‘Œ to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pcopt.1 𝑃 = ((0[,]1) Γ— {π‘Œ})
Assertion
Ref Expression
pcoptcl ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘ƒβ€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘ƒβ€˜1) = π‘Œ))

Proof of Theorem pcoptcl
StepHypRef Expression
1 pcopt.1 . . 3 𝑃 = ((0[,]1) Γ— {π‘Œ})
2 iitopon 24087 . . . 4 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
3 cnconst2 22479 . . . 4 ((II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ ((0[,]1) Γ— {π‘Œ}) ∈ (II Cn 𝐽))
42, 3mp3an1 1448 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ ((0[,]1) Γ— {π‘Œ}) ∈ (II Cn 𝐽))
51, 4eqeltrid 2841 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ 𝑃 ∈ (II Cn 𝐽))
61fveq1i 6805 . . 3 (π‘ƒβ€˜0) = (((0[,]1) Γ— {π‘Œ})β€˜0)
7 simpr 486 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
8 0elunit 13247 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
9 fvconst2g 7109 . . . 4 ((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (((0[,]1) Γ— {π‘Œ})β€˜0) = π‘Œ)
107, 8, 9sylancl 587 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ (((0[,]1) Γ— {π‘Œ})β€˜0) = π‘Œ)
116, 10eqtrid 2788 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ (π‘ƒβ€˜0) = π‘Œ)
121fveq1i 6805 . . 3 (π‘ƒβ€˜1) = (((0[,]1) Γ— {π‘Œ})β€˜1)
13 1elunit 13248 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
14 fvconst2g 7109 . . . 4 ((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ (((0[,]1) Γ— {π‘Œ})β€˜1) = π‘Œ)
157, 13, 14sylancl 587 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ (((0[,]1) Γ— {π‘Œ})β€˜1) = π‘Œ)
1612, 15eqtrid 2788 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ (π‘ƒβ€˜1) = π‘Œ)
175, 11, 163jca 1128 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘ƒβ€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘ƒβ€˜1) = π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {csn 4565   Γ— cxp 5598  β€˜cfv 6458  (class class class)co 7307  0cc0 10917  1c1 10918  [,]cicc 13128  TopOnctopon 22104   Cn ccn 22420  IIcii 24083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-map 8648  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-sup 9245  df-inf 9246  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-q 12735  df-rp 12777  df-xneg 12894  df-xadd 12895  df-xmul 12896  df-icc 13132  df-seq 13768  df-exp 13829  df-cj 14855  df-re 14856  df-im 14857  df-sqrt 14991  df-abs 14992  df-topgen 17199  df-psmet 20634  df-xmet 20635  df-met 20636  df-bl 20637  df-mopn 20638  df-top 22088  df-topon 22105  df-bases 22141  df-cn 22423  df-cnp 22424  df-ii 24085
This theorem is referenced by:  pcopt  24230  pcopt2  24231  pcorevlem  24234  pi1grplem  24257  sconnpi1  33246  cvxsconn  33250
  Copyright terms: Public domain W3C validator