Theorem pcoptcl 25335

Description: A constant function is a path from 𝑌 to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pcopt.1	⊢ 𝑃 = ((0[,]1) × {𝑌})

Assertion

Ref	Expression
pcoptcl	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑃‘0) = 𝑌 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌))

Proof of Theorem pcoptcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcopt.1	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((0[,]1) × {𝑌})
2		iitopon 25193	. . . 4 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
3		cnconst2 23594	. . . 4 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → ((0[,]1) × {𝑌}) ∈ (II Cn 𝐽))
4	2, 3	mp3an1 1477	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → ((0[,]1) × {𝑌}) ∈ (II Cn 𝐽))
5	1, 4	eqeltrid 2865	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ (II Cn 𝐽))
6	1	fveq1i 6884	. . 3 ⊢ (𝑃‘0) = (((0[,]1) × {𝑌})‘0)
7		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝑋)
8		0elunit 13593	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
9		fvconst2g 7206	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑌})‘0) = 𝑌)
10	7, 8, 9	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (((0[,]1) × {𝑌})‘0) = 𝑌)
11	6, 10	eqtrid 2808	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝑃‘0) = 𝑌)
12	1	fveq1i 6884	. . 3 ⊢ (𝑃‘1) = (((0[,]1) × {𝑌})‘1)
13		1elunit 13594	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
14		fvconst2g 7206	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑌})‘1) = 𝑌)
15	7, 13, 14	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (((0[,]1) × {𝑌})‘1) = 𝑌)
16	12, 15	eqtrid 2808	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝑃‘1) = 𝑌)
17	5, 11, 16	3jca 1146	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑃‘0) = 𝑌 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4584   × cxp 5649  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  0cc0 11193  1c1 11194  [,]cicc 13472  TopOnctopon 23221   Cn ccn 23535  IIcii 25189

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-xneg 13234  df-xadd 13235  df-xmul 13236  df-icc 13476  df-seq 14138  df-exp 14198  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-topgen 17607  df-psmet 21663  df-xmet 21664  df-met 21665  df-bl 21666  df-mopn 21667  df-top 23205  df-topon 23222  df-bases 23257  df-cn 23538  df-cnp 23539  df-ii 25191

This theorem is used by:  pcopt  25336  pcopt2  25337  pcorevlem  25340  pi1grplem  25363  sconnpi1  35983  cvxsconn  35987