MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcoptcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcoptcl 24528
Description: A constant function is a path from 𝑌 to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pcopt.1 𝑃 = ((0[,]1) × {𝑌})
Assertion
Ref Expression
pcoptcl ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑃‘0) = 𝑌 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌))

Proof of Theorem pcoptcl
StepHypRef Expression
1 pcopt.1 . . 3 𝑃 = ((0[,]1) × {𝑌})
2 iitopon 24386 . . . 4 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
3 cnconst2 22778 . . . 4 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → ((0[,]1) × {𝑌}) ∈ (II Cn 𝐽))
42, 3mp3an1 1448 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → ((0[,]1) × {𝑌}) ∈ (II Cn 𝐽))
51, 4eqeltrid 2837 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → 𝑃 ∈ (II Cn 𝐽))
61fveq1i 6889 . . 3 (𝑃‘0) = (((0[,]1) × {𝑌})‘0)
7 simpr 485 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → 𝑌𝑋)
8 0elunit 13442 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
9 fvconst2g 7199 . . . 4 ((𝑌𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑌})‘0) = 𝑌)
107, 8, 9sylancl 586 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (((0[,]1) × {𝑌})‘0) = 𝑌)
116, 10eqtrid 2784 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (𝑃‘0) = 𝑌)
121fveq1i 6889 . . 3 (𝑃‘1) = (((0[,]1) × {𝑌})‘1)
13 1elunit 13443 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
14 fvconst2g 7199 . . . 4 ((𝑌𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑌})‘1) = 𝑌)
157, 13, 14sylancl 586 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (((0[,]1) × {𝑌})‘1) = 𝑌)
1612, 15eqtrid 2784 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (𝑃‘1) = 𝑌)
175, 11, 163jca 1128 1 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑃‘0) = 𝑌 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  {csn 4627   × cxp 5673  cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107  [,]cicc 13323  TopOnctopon 22403   Cn ccn 22719  IIcii 24382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-icc 13327  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-topgen 17385  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-ii 24384
This theorem is referenced by:  pcopt  24529  pcopt2  24530  pcorevlem  24533  pi1grplem  24556  sconnpi1  34218  cvxsconn  34222
  Copyright terms: Public domain W3C validator