Theorem segconeu 34050

Description: Existential uniqueness version of segconeq 34049. (Contributed by Scott Fenton, 19-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
segconeu	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ∃!𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))

Distinct variable groups:   𝑁,𝑟   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝐶,𝑟   𝐷,𝑟

Proof of Theorem segconeu

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		simpr2 1197	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))
3		simpr1 1196	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)))
4		axsegcon 27018	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ∃𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
6		simpl23 1255	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → 𝐶 ≠ 𝐷)
7		simprl 771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
8		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
9	6, 7, 8	3jca 1130	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)))
10	9	ex 416	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))))
11		simp1 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
12		simp22r 1295	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
13		simp21l 1292	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
14		simp21r 1293	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
15		simp22l 1294	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
16		simp3l 1203	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁))
17		simp3r 1204	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))
18		segconeq 34049	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑟 = 𝑠))
19	11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	syl133anc 1395	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑟 = 𝑠))
20	10, 19	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑟 = 𝑠))
21	20	3expa 1120	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑟 = 𝑠))
22	21	ralrimivva 3112	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ∀𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁)(((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑟 = 𝑠))
23		opeq2 4785	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ⟨𝐶, 𝑟⟩ = ⟨𝐶, 𝑠⟩)
24	23	breq2d 5065	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ↔ 𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩))
25		opeq2 4785	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ⟨𝐷, 𝑟⟩ = ⟨𝐷, 𝑠⟩)
26	25	breq1d 5063	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
27	24, 26	anbi12d 634	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)))
28	27	reu4 3644	. 2 ⊢ (∃!𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (∃𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ ∀𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁)(((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑟 = 𝑠)))
29	5, 22, 28	sylanbrc 586	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ∃!𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3062  ∃!wreu 3063  ⟨cop 4547   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  ℕcn 11830  𝔼cee 26979   Btwn cbtwn 26980  Cgrccgr 26981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-sum 15250  df-ee 26982  df-btwn 26983  df-cgr 26984  df-ofs 34022

This theorem is referenced by:  transportcl  34072  transportprops  34073