Theorem segconeu 36402

Description: Existential uniqueness version of segconeq 36401. (Contributed by Scott Fenton, 19-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
segconeu	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ∃!𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))

Distinct variable groups:   𝑁,𝑟   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝐶,𝑟   𝐷,𝑟

Proof of Theorem segconeu

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		simpr2 1212	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))
3		simpr1 1211	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)))
4		axsegcon 29218	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1396	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ∃𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
6		simpl23 1270	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → 𝐶 ≠ 𝐷)
7		simprl 782	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
8		simprr 784	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
9	6, 7, 8	3jca 1144	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)))
10	9	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))))
11		simp1 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
12		simp22r 1310	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
13		simp21l 1307	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
14		simp21r 1308	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
15		simp22l 1309	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
16		simp3l 1218	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁))
17		simp3r 1219	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))
18		segconeq 36401	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑟 = 𝑠))
19	11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	syl133anc 1418	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑟 = 𝑠))
20	10, 19	syld 48	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑟 = 𝑠))
21	20	3expa 1134	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑟 = 𝑠))
22	21	ralrimivva 3214	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ∀𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁)(((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑟 = 𝑠))
23		opeq2 4843	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ⟨𝐶, 𝑟⟩ = ⟨𝐶, 𝑠⟩)
24	23	breq2d 5125	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ↔ 𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩))
25		opeq2 4843	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ⟨𝐷, 𝑟⟩ = ⟨𝐷, 𝑠⟩)
26	25	breq1d 5123	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
27	24, 26	anbi12d 643	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)))
28	27	reu4 3703	. 2 ⊢ (∃!𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (∃𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ ∀𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁)(((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑟 = 𝑠)))
29	5, 22, 28	sylanbrc 594	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ∃!𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  ∃!wreu 3374  ⟨cop 4600   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  ℕcn 12233  𝔼cee 29178   Btwn cbtwn 29179  Cgrccgr 29180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15539  df-sum 15738  df-ee 29181  df-btwn 29182  df-cgr 29183  df-ofs 36374

This theorem is referenced by:  transportcl  36424  transportprops  36425