Theorem segconeu 36991

Description: Existential uniqueness version of segconeq 36990. (Contributed by Scott Fenton, 19-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
segconeu	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ∃!𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))

Distinct variable groups:   𝑁,𝑟   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝐶,𝑟   𝐷,𝑟

Proof of Theorem segconeu

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		simpr2 1214	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))
3		simpr1 1213	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)))
4		axsegcon 29562	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1399	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ∃𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
6		simpl23 1272	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → 𝐶 ≠ 𝐷)
7		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
8		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
9	6, 7, 8	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)))
10	9	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))))
11		simp1 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
12		simp22r 1312	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
13		simp21l 1309	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
14		simp21r 1310	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
15		simp22l 1311	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
16		simp3l 1220	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁))
17		simp3r 1221	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))
18		segconeq 36990	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑟 = 𝑠))
19	11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	syl133anc 1421	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑟 = 𝑠))
20	10, 19	syld 48	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑟 = 𝑠))
21	20	3expa 1136	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑟 = 𝑠))
22	21	ralrimivva 3209	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ∀𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁)(((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑟 = 𝑠))
23		opeq2 4846	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ⟨𝐶, 𝑟⟩ = ⟨𝐶, 𝑠⟩)
24	23	breq2d 5120	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ↔ 𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩))
25		opeq2 4846	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ⟨𝐷, 𝑟⟩ = ⟨𝐷, 𝑠⟩)
26	25	breq1d 5118	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
27	24, 26	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)))
28	27	reu4 3692	. 2 ⊢ (∃!𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (∃𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ ∀𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁)(((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑟 = 𝑠)))
29	5, 22, 28	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ∃!𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  ∃!wreu 3367  ⟨cop 4840   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  ℕcn 12375  𝔼cee 29522   Btwn cbtwn 29523  Cgrccgr 29524

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-clim 15699  df-sum 15898  df-ee 29525  df-btwn 29526  df-cgr 29527  df-ofs 36963

This theorem is used by:  transportcl  37013  transportprops  37014