Theorem segconeu 36055

Description: Existential uniqueness version of segconeq 36054. (Contributed by Scott Fenton, 19-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
segconeu	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ∃!𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))

Distinct variable groups:   𝑁,𝑟   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝐶,𝑟   𝐷,𝑟

Proof of Theorem segconeu

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		simpr2 1196	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))
3		simpr1 1195	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)))
4		axsegcon 28905	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ∃𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
6		simpl23 1254	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → 𝐶 ≠ 𝐷)
7		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
8		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
9	6, 7, 8	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)))
10	9	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))))
11		simp1 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
12		simp22r 1294	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
13		simp21l 1291	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
14		simp21r 1292	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
15		simp22l 1293	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
16		simp3l 1202	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁))
17		simp3r 1203	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))
18		segconeq 36054	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑟 = 𝑠))
19	11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	syl133anc 1395	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑟 = 𝑠))
20	10, 19	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑟 = 𝑠))
21	20	3expa 1118	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑟 = 𝑠))
22	21	ralrimivva 3175	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ∀𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁)(((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑟 = 𝑠))
23		opeq2 4823	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ⟨𝐶, 𝑟⟩ = ⟨𝐶, 𝑠⟩)
24	23	breq2d 5101	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ↔ 𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩))
25		opeq2 4823	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ⟨𝐷, 𝑟⟩ = ⟨𝐷, 𝑠⟩)
26	25	breq1d 5099	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
27	24, 26	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)))
28	27	reu4 3685	. 2 ⊢ (∃!𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (∃𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ ∀𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁)(((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑟 = 𝑠)))
29	5, 22, 28	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ∃!𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  ∃!wreu 3344  ⟨cop 4579   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  ℕcn 12125  𝔼cee 28866   Btwn cbtwn 28867  Cgrccgr 28868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594  df-ee 28869  df-btwn 28870  df-cgr 28871  df-ofs 36027

This theorem is referenced by:  transportcl  36077  transportprops  36078