Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  segconeu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem segconeu 34050
Description: Existential uniqueness version of segconeq 34049. (Contributed by Scott Fenton, 19-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
segconeu ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶𝐷)) → ∃!𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
Distinct variable groups:   𝑁,𝑟   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝐶,𝑟   𝐷,𝑟

Proof of Theorem segconeu
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶𝐷)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 simpr2 1197 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))
3 simpr1 1196 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)))
4 axsegcon 27018 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
51, 2, 3, 4syl3anc 1373 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶𝐷)) → ∃𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
6 simpl23 1255 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → 𝐶𝐷)
7 simprl 771 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
8 simprr 773 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
96, 7, 83jca 1130 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → (𝐶𝐷 ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)))
109ex 416 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → (𝐶𝐷 ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))))
11 simp1 1138 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
12 simp22r 1295 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
13 simp21l 1292 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
14 simp21r 1293 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
15 simp22l 1294 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
16 simp3l 1203 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁))
17 simp3r 1204 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))
18 segconeq 34049 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐶𝐷 ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑟 = 𝑠))
1911, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18syl133anc 1395 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐶𝐷 ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑟 = 𝑠))
2010, 19syld 47 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶𝐷) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑟 = 𝑠))
21203expa 1120 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑟 = 𝑠))
2221ralrimivva 3112 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶𝐷)) → ∀𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁)(((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑟 = 𝑠))
23 opeq2 4785 . . . . 5 (𝑟 = 𝑠 → ⟨𝐶, 𝑟⟩ = ⟨𝐶, 𝑠⟩)
2423breq2d 5065 . . . 4 (𝑟 = 𝑠 → (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ↔ 𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩))
25 opeq2 4785 . . . . 5 (𝑟 = 𝑠 → ⟨𝐷, 𝑟⟩ = ⟨𝐷, 𝑠⟩)
2625breq1d 5063 . . . 4 (𝑟 = 𝑠 → (⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
2724, 26anbi12d 634 . . 3 (𝑟 = 𝑠 → ((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)))
2827reu4 3644 . 2 (∃!𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (∃𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ ∀𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑠 ∈ (𝔼‘𝑁)(((𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑠⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑠⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑟 = 𝑠)))
295, 22, 28sylanbrc 586 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐶𝐷)) → ∃!𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐶, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑟⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1089  wcel 2110  wne 2940  wral 3061  wrex 3062  ∃!wreu 3063  cop 4547   class class class wbr 5053  cfv 6380  cn 11830  𝔼cee 26979   Btwn cbtwn 26980  Cgrccgr 26981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-sum 15250  df-ee 26982  df-btwn 26983  df-cgr 26984  df-ofs 34022
This theorem is referenced by:  transportcl  34072  transportprops  34073
  Copyright terms: Public domain W3C validator