Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0iun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0iun 41115
Description: Sum of nonnegative extended reals over a disjoint indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0iun.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0iun.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
sge0iun.x 𝑋 = 𝑥𝐴 𝐵
sge0iun.f (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0iun.dj (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
Assertion
Ref Expression
sge0iun (𝜑 → (Σ^𝐹) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝐹𝐵)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝑊   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem sge0iun
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0iun.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 sge0iun.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
3 sge0iun.dj . . 3 (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
4 sge0iun.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
54adantr 468 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
653adant3 1155 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
7 ssiun2 4755 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
87adantl 469 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
9 sge0iun.x . . . . . . . 8 𝑋 = 𝑥𝐴 𝐵
109eqcomi 2815 . . . . . . 7 𝑥𝐴 𝐵 = 𝑋
118, 10syl6sseq 3848 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑋)
12113adant3 1155 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝐵𝑋)
13 simp3 1161 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
1412, 13sseldd 3799 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝑦𝑋)
156, 14ffvelrnd 6582 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝐹𝑦) ∈ (0[,]+∞))
161, 2, 3, 15sge0iunmpt 41114 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑦 𝑥𝐴 𝐵 ↦ (𝐹𝑦))) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))))))
179feq2i 6248 . . . . . 6 (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ↔ 𝐹: 𝑥𝐴 𝐵⟶(0[,]+∞))
1817a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ↔ 𝐹: 𝑥𝐴 𝐵⟶(0[,]+∞)))
194, 18mpbid 223 . . . 4 (𝜑𝐹: 𝑥𝐴 𝐵⟶(0[,]+∞))
2019feqmptd 6470 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑦 𝑥𝐴 𝐵 ↦ (𝐹𝑦)))
2120fveq2d 6412 . 2 (𝜑 → (Σ^𝐹) = (Σ^‘(𝑦 𝑥𝐴 𝐵 ↦ (𝐹𝑦))))
225, 11fssresd 6286 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝐵):𝐵⟶(0[,]+∞))
2322feqmptd 6470 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝐵) = (𝑦𝐵 ↦ ((𝐹𝐵)‘𝑦)))
24 fvres 6427 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵 → ((𝐹𝐵)‘𝑦) = (𝐹𝑦))
2524mpteq2ia 4934 . . . . . . 7 (𝑦𝐵 ↦ ((𝐹𝐵)‘𝑦)) = (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))
2625a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑦𝐵 ↦ ((𝐹𝐵)‘𝑦)) = (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦)))
2723, 26eqtrd 2840 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝐵) = (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦)))
2827fveq2d 6412 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (Σ^‘(𝐹𝐵)) = (Σ^‘(𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))))
2928mpteq2dva 4938 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝐹𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦)))))
3029fveq2d 6412 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝐹𝐵)))) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))))))
3116, 21, 303eqtr4d 2850 1 (𝜑 → (Σ^𝐹) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝐹𝐵)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156  wss 3769   ciun 4712  Disj wdisj 4812  cmpt 4923  cres 5313  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6874  0cc0 10221  +∞cpnf 10356  [,]cicc 12396  Σ^csumge0 41058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-inf2 8785  ax-ac2 9570  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298  ax-pre-sup 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-disj 4813  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-oadd 7800  df-er 7979  df-map 8094  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-sup 8587  df-oi 8654  df-card 9048  df-acn 9051  df-ac 9222  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-div 10970  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-n0 11560  df-z 11644  df-uz 11905  df-rp 12047  df-xadd 12163  df-ico 12399  df-icc 12400  df-fz 12550  df-fzo 12690  df-seq 13025  df-exp 13084  df-hash 13338  df-cj 14062  df-re 14063  df-im 14064  df-sqrt 14198  df-abs 14199  df-clim 14442  df-sum 14640  df-sumge0 41059
This theorem is referenced by:  psmeasurelem  41166
  Copyright terms: Public domain W3C validator