Theorem sge0iun 46876

Description: Sum of nonnegative extended reals over a disjoint indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0iun.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0iun.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
sge0iun.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵
sge0iun.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0iun.dj	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sge0iun	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝑊   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem sge0iun

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0iun.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0iun.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		sge0iun.dj	. . 3 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
4		sge0iun.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5	4	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
6	5	3adant3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
7		ssiun2 4980	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
8	7	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
9		sge0iun.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵
10	9	eqcomi 2750	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝑋
11	8, 10	sseqtrdi 3957	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
12	11	3adant3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
13		simp3 1145	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
14	12, 13	sseldd 3918	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝑋)
15	6, 14	ffvelcdmd 7030	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
16	1, 2, 3, 15	sge0iunmpt 46875	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦))) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦))))))
17	9	feq2i 6651	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ↔ 𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵⟶(0[,]+∞))
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ↔ 𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵⟶(0[,]+∞)))
19	4, 18	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵⟶(0[,]+∞))
20	19	feqmptd 6899	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦)))
21	20	fveq2d 6835	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = (Σ^‘(𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦))))
22	5, 11	fssresd 6698	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶(0[,]+∞))
23	22	feqmptd 6899	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)))
24		fvres 6850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
25	24	mpteq2ia 5170	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦))
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦)))
27	23, 26	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦)))
28	27	fveq2d 6835	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵)) = (Σ^‘(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦))))
29	28	mpteq2dva 5168	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦)))))
30	29	fveq2d 6835	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵)))) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦))))))
31	16, 21, 30	3eqtr4d 2786	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ⊆ wss 3885  ∪ ciun 4924  Disj wdisj 5042   ↦ cmpt 5156   ↾ cres 5623  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  0cc0 11033  +∞cpnf 11171  [,]cicc 13296  Σ^{^}csumge0 46819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-inf2 9557  ax-ac2 10380  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-disj 5043  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9858  df-acn 9861  df-ac 10033  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-xadd 13059  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-sum 15644  df-sumge0 46820

This theorem is referenced by:  psmeasurelem  46927