Theorem sge0iun 45945

Description: Sum of nonnegative extended reals over a disjoint indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0iun.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0iun.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
sge0iun.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵
sge0iun.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0iun.dj	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sge0iun	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝑊   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem sge0iun

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0iun.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0iun.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		sge0iun.dj	. . 3 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
4		sge0iun.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5	4	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
6	5	3adant3 1129	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
7		ssiun2 5051	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
8	7	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
9		sge0iun.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵
10	9	eqcomi 2734	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝑋
11	8, 10	sseqtrdi 4027	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
12	11	3adant3 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
13		simp3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
14	12, 13	sseldd 3977	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝑋)
15	6, 14	ffvelcdmd 7094	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
16	1, 2, 3, 15	sge0iunmpt 45944	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦))) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦))))))
17	9	feq2i 6715	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ↔ 𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵⟶(0[,]+∞))
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ↔ 𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵⟶(0[,]+∞)))
19	4, 18	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵⟶(0[,]+∞))
20	19	feqmptd 6966	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦)))
21	20	fveq2d 6900	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = (Σ^‘(𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦))))
22	5, 11	fssresd 6764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶(0[,]+∞))
23	22	feqmptd 6966	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)))
24		fvres 6915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
25	24	mpteq2ia 5252	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦))
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦)))
27	23, 26	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦)))
28	27	fveq2d 6900	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵)) = (Σ^‘(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦))))
29	28	mpteq2dva 5249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦)))))
30	29	fveq2d 6900	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵)))) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦))))))
31	16, 21, 30	3eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3944  ∪ ciun 4997  Disj wdisj 5114   ↦ cmpt 5232   ↾ cres 5680  ⟶wf 6545  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  0cc0 11140  +∞cpnf 11277  [,]cicc 13362  Σ^{^}csumge0 45888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-ac2 10488  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-acn 9967  df-ac 10141  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-xadd 13128  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-sum 15669  df-sumge0 45889

This theorem is referenced by:  psmeasurelem  45996