Theorem sge0iun 46855

Description: Sum of nonnegative extended reals over a disjoint indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0iun.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0iun.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
sge0iun.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵
sge0iun.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0iun.dj	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sge0iun	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝑊   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem sge0iun

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0iun.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0iun.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		sge0iun.dj	. . 3 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
4		sge0iun.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
6	5	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
7		ssiun2 4991	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
8	7	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
9		sge0iun.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵
10	9	eqcomi 2746	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝑋
11	8, 10	sseqtrdi 3963	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
12	11	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
13		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
14	12, 13	sseldd 3923	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝑋)
15	6, 14	ffvelcdmd 7029	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
16	1, 2, 3, 15	sge0iunmpt 46854	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦))) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦))))))
17	9	feq2i 6652	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ↔ 𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵⟶(0[,]+∞))
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ↔ 𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵⟶(0[,]+∞)))
19	4, 18	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵⟶(0[,]+∞))
20	19	feqmptd 6900	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦)))
21	20	fveq2d 6836	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = (Σ^‘(𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦))))
22	5, 11	fssresd 6699	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶(0[,]+∞))
23	22	feqmptd 6900	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)))
24		fvres 6851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
25	24	mpteq2ia 5181	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦))
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦)))
27	23, 26	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦)))
28	27	fveq2d 6836	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵)) = (Σ^‘(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦))))
29	28	mpteq2dva 5179	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦)))))
30	29	fveq2d 6836	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵)))) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦))))))
31	16, 21, 30	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  ∪ ciun 4934  Disj wdisj 5053   ↦ cmpt 5167   ↾ cres 5624  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  0cc0 11027  +∞cpnf 11165  [,]cicc 13290  Σ^{^}csumge0 46798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-ac2 10374  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-oi 9416  df-card 9852  df-acn 9855  df-ac 10027  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-xadd 13053  df-ico 13293  df-icc 13294  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-seq 13953  df-exp 14013  df-hash 14282  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15439  df-sum 15638  df-sumge0 46799

This theorem is referenced by:  psmeasurelem  46906