Theorem sge0iun 46806

Description: Sum of nonnegative extended reals over a disjoint indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0iun.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0iun.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
sge0iun.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵
sge0iun.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0iun.dj	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sge0iun	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝑊   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem sge0iun

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0iun.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0iun.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		sge0iun.dj	. . 3 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
4		sge0iun.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
6	5	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
7		ssiun2 5005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
8	7	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
9		sge0iun.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵
10	9	eqcomi 2746	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝑋
11	8, 10	sseqtrdi 3976	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
12	11	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
13		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
14	12, 13	sseldd 3936	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝑋)
15	6, 14	ffvelcdmd 7041	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
16	1, 2, 3, 15	sge0iunmpt 46805	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦))) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦))))))
17	9	feq2i 6664	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ↔ 𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵⟶(0[,]+∞))
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ↔ 𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵⟶(0[,]+∞)))
19	4, 18	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵⟶(0[,]+∞))
20	19	feqmptd 6912	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦)))
21	20	fveq2d 6848	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = (Σ^‘(𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦))))
22	5, 11	fssresd 6711	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶(0[,]+∞))
23	22	feqmptd 6912	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)))
24		fvres 6863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
25	24	mpteq2ia 5195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦))
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦)))
27	23, 26	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦)))
28	27	fveq2d 6848	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵)) = (Σ^‘(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦))))
29	28	mpteq2dva 5193	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦)))))
30	29	fveq2d 6848	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵)))) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑦))))))
31	16, 21, 30	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  ∪ ciun 4948  Disj wdisj 5067   ↦ cmpt 5181   ↾ cres 5636  ⟶wf 6498  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  0cc0 11040  +∞cpnf 11177  [,]cicc 13278  Σ^{^}csumge0 46749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-inf2 9564  ax-ac2 10387  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-sup 9359  df-oi 9429  df-card 9865  df-acn 9868  df-ac 10040  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-rp 12920  df-xadd 13041  df-ico 13281  df-icc 13282  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-seq 13939  df-exp 13999  df-hash 14268  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173  df-clim 15425  df-sum 15624  df-sumge0 46750

This theorem is referenced by:  psmeasurelem  46857