Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0iun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0iun 45945
Description: Sum of nonnegative extended reals over a disjoint indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0iun.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0iun.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
sge0iun.x 𝑋 = 𝑥𝐴 𝐵
sge0iun.f (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0iun.dj (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
Assertion
Ref Expression
sge0iun (𝜑 → (Σ^𝐹) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝐹𝐵)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝑊   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem sge0iun
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0iun.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 sge0iun.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
3 sge0iun.dj . . 3 (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
4 sge0iun.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
54adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
653adant3 1129 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
7 ssiun2 5051 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
87adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
9 sge0iun.x . . . . . . . 8 𝑋 = 𝑥𝐴 𝐵
109eqcomi 2734 . . . . . . 7 𝑥𝐴 𝐵 = 𝑋
118, 10sseqtrdi 4027 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑋)
12113adant3 1129 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝐵𝑋)
13 simp3 1135 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
1412, 13sseldd 3977 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝑦𝑋)
156, 14ffvelcdmd 7094 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝐹𝑦) ∈ (0[,]+∞))
161, 2, 3, 15sge0iunmpt 45944 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑦 𝑥𝐴 𝐵 ↦ (𝐹𝑦))) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))))))
179feq2i 6715 . . . . . 6 (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ↔ 𝐹: 𝑥𝐴 𝐵⟶(0[,]+∞))
1817a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ↔ 𝐹: 𝑥𝐴 𝐵⟶(0[,]+∞)))
194, 18mpbid 231 . . . 4 (𝜑𝐹: 𝑥𝐴 𝐵⟶(0[,]+∞))
2019feqmptd 6966 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑦 𝑥𝐴 𝐵 ↦ (𝐹𝑦)))
2120fveq2d 6900 . 2 (𝜑 → (Σ^𝐹) = (Σ^‘(𝑦 𝑥𝐴 𝐵 ↦ (𝐹𝑦))))
225, 11fssresd 6764 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝐵):𝐵⟶(0[,]+∞))
2322feqmptd 6966 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝐵) = (𝑦𝐵 ↦ ((𝐹𝐵)‘𝑦)))
24 fvres 6915 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵 → ((𝐹𝐵)‘𝑦) = (𝐹𝑦))
2524mpteq2ia 5252 . . . . . . 7 (𝑦𝐵 ↦ ((𝐹𝐵)‘𝑦)) = (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))
2625a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑦𝐵 ↦ ((𝐹𝐵)‘𝑦)) = (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦)))
2723, 26eqtrd 2765 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝐵) = (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦)))
2827fveq2d 6900 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (Σ^‘(𝐹𝐵)) = (Σ^‘(𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))))
2928mpteq2dva 5249 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝐹𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦)))))
3029fveq2d 6900 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝐹𝐵)))) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))))))
3116, 21, 303eqtr4d 2775 1 (𝜑 → (Σ^𝐹) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝐹𝐵)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3944   ciun 4997  Disj wdisj 5114  cmpt 5232  cres 5680  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  0cc0 11140  +∞cpnf 11277  [,]cicc 13362  Σ^csumge0 45888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-ac2 10488  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-acn 9967  df-ac 10141  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-xadd 13128  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-sum 15669  df-sumge0 45889
This theorem is referenced by:  psmeasurelem  45996
  Copyright terms: Public domain W3C validator