Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0iun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0iun 43011
 Description: Sum of nonnegative extended reals over a disjoint indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0iun.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0iun.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
sge0iun.x 𝑋 = 𝑥𝐴 𝐵
sge0iun.f (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0iun.dj (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
Assertion
Ref Expression
sge0iun (𝜑 → (Σ^𝐹) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝐹𝐵)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝑊   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem sge0iun
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0iun.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 sge0iun.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
3 sge0iun.dj . . 3 (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
4 sge0iun.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
54adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
653adant3 1129 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
7 ssiun2 4957 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
87adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
9 sge0iun.x . . . . . . . 8 𝑋 = 𝑥𝐴 𝐵
109eqcomi 2833 . . . . . . 7 𝑥𝐴 𝐵 = 𝑋
118, 10sseqtrdi 4003 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑋)
12113adant3 1129 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝐵𝑋)
13 simp3 1135 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
1412, 13sseldd 3954 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝑦𝑋)
156, 14ffvelrnd 6845 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝐹𝑦) ∈ (0[,]+∞))
161, 2, 3, 15sge0iunmpt 43010 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑦 𝑥𝐴 𝐵 ↦ (𝐹𝑦))) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))))))
179feq2i 6497 . . . . . 6 (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ↔ 𝐹: 𝑥𝐴 𝐵⟶(0[,]+∞))
1817a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ↔ 𝐹: 𝑥𝐴 𝐵⟶(0[,]+∞)))
194, 18mpbid 235 . . . 4 (𝜑𝐹: 𝑥𝐴 𝐵⟶(0[,]+∞))
2019feqmptd 6726 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑦 𝑥𝐴 𝐵 ↦ (𝐹𝑦)))
2120fveq2d 6667 . 2 (𝜑 → (Σ^𝐹) = (Σ^‘(𝑦 𝑥𝐴 𝐵 ↦ (𝐹𝑦))))
225, 11fssresd 6537 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝐵):𝐵⟶(0[,]+∞))
2322feqmptd 6726 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝐵) = (𝑦𝐵 ↦ ((𝐹𝐵)‘𝑦)))
24 fvres 6682 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵 → ((𝐹𝐵)‘𝑦) = (𝐹𝑦))
2524mpteq2ia 5144 . . . . . . 7 (𝑦𝐵 ↦ ((𝐹𝐵)‘𝑦)) = (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))
2625a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑦𝐵 ↦ ((𝐹𝐵)‘𝑦)) = (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦)))
2723, 26eqtrd 2859 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝐵) = (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦)))
2827fveq2d 6667 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (Σ^‘(𝐹𝐵)) = (Σ^‘(𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))))
2928mpteq2dva 5148 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝐹𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦)))))
3029fveq2d 6667 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝐹𝐵)))) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))))))
3116, 21, 303eqtr4d 2869 1 (𝜑 → (Σ^𝐹) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝐹𝐵)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ⊆ wss 3919  ∪ ciun 4905  Disj wdisj 5018   ↦ cmpt 5133   ↾ cres 5545  ⟶wf 6341  ‘cfv 6345  (class class class)co 7151  0cc0 10537  +∞cpnf 10672  [,]cicc 12740  Σ^csumge0 42954 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-inf2 9103  ax-ac2 9885  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-disj 5019  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-isom 6354  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-oadd 8104  df-er 8287  df-map 8406  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-sup 8905  df-oi 8973  df-card 9367  df-acn 9370  df-ac 9542  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-xadd 12507  df-ico 12743  df-icc 12744  df-fz 12897  df-fzo 13040  df-seq 13376  df-exp 13437  df-hash 13698  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-sum 15045  df-sumge0 42955 This theorem is referenced by:  psmeasurelem  43062
 Copyright terms: Public domain W3C validator