sin5tlem4 - Mathbox for Ender Ting

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Theorem sin5tlem4 48015

Description: Lemma 4 for quintupled angle sine calculation: expanding lemma 3 result to difference of polynomials. (Contributed by Ender Ting, 17-Apr-2026.)

**Assertion**
Ref	Expression
sin5tlem4	⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · (2 · (𝑀 · 𝑁))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))))

**Proof of Theorem sin5tlem4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		sin5tlem3 48014	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · (2 · (𝑀 · 𝑁))) = (((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) − (3 · (1 − (𝑀↑2)))) · (2 · 𝑀)))
2		4cn 12431	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 4 ∈ ℂ)
4		1cnd 11305	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
5		2cnd 12424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
6		sqcl 14264	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
7	5, 6	mulcld 11332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (2 · (𝑀↑2)) ∈ ℂ)
8	4, 7	subcld 11672	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (1 − (2 · (𝑀↑2))) ∈ ℂ)
9		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 𝑀 ∈ ℂ)
10		4nn0 12628	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ₀
11	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 4 ∈ ℕ₀)
12	9, 11	expcld 14292	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑4) ∈ ℂ)
13	8, 12	addcld 11331	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) ∈ ℂ)
14	3, 13	mulcld 11332	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) ∈ ℂ)
15		3cn 12427	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 3 ∈ ℂ)
17	4, 6	subcld 11672	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (1 − (𝑀↑2)) ∈ ℂ)
18	16, 17	mulcld 11332	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (3 · (1 − (𝑀↑2))) ∈ ℂ)
19	5, 9	mulcld 11332	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
20	14, 18, 19	subdird 11776	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) − (3 · (1 − (𝑀↑2)))) · (2 · 𝑀)) = (((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) · (2 · 𝑀)) − ((3 · (1 − (𝑀↑2))) · (2 · 𝑀))))
21	3, 13, 5, 9	mul4d 11525	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) · (2 · 𝑀)) = ((4 · 2) · (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀)))
22		4t2e8 12514	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
23	22	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (4 · 2) = 8)
24	23	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((4 · 2) · (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀)) = (8 · (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀)))
25	4, 12, 7	addsubd 11693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 + (𝑀↑4)) − (2 · (𝑀↑2))) = ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)))
26	25	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) = ((1 + (𝑀↑4)) − (2 · (𝑀↑2))))
27	26	oveq1d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀) = (((1 + (𝑀↑4)) − (2 · (𝑀↑2))) · 𝑀))
28	4, 12	addcld 11331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (1 + (𝑀↑4)) ∈ ℂ)
29	28, 7, 9	subdird 11776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((1 + (𝑀↑4)) − (2 · (𝑀↑2))) · 𝑀) = (((1 + (𝑀↑4)) · 𝑀) − ((2 · (𝑀↑2)) · 𝑀)))
30		5nn0 12629	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℕ₀
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 5 ∈ ℕ₀)
32	9, 31	expcld 14292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑5) ∈ ℂ)
33		mullid 11310	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (1 · 𝑀) = 𝑀)
34	9, 11	expp1d 14293	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑(4 + 1)) = ((𝑀↑4) · 𝑀))
35		4p1e5 12491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (4 + 1) = 5
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (4 + 1) = 5)
37	36	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑(4 + 1)) = (𝑀↑5))
38	34, 37	eqtr3d 2797	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀↑4) · 𝑀) = (𝑀↑5))
39	33, 38	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 · 𝑀) + ((𝑀↑4) · 𝑀)) = (𝑀 + (𝑀↑5)))
40	4, 9, 12, 39	joinlmuladdmuld 11339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 + (𝑀↑4)) · 𝑀) = (𝑀 + (𝑀↑5)))
41	9, 32, 40	comraddd 11527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 + (𝑀↑4)) · 𝑀) = ((𝑀↑5) + 𝑀))
42	5, 6, 9	mulassd 11335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((2 · (𝑀↑2)) · 𝑀) = (2 · ((𝑀↑2) · 𝑀)))
43		2nn0 12626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 2 ∈ ℕ₀)
45	9, 44	expp1d 14293	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑(2 + 1)) = ((𝑀↑2) · 𝑀))
46		2p1e3 12487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 + 1) = 3
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (2 + 1) = 3)
48	47	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑(2 + 1)) = (𝑀↑3))
49	45, 48	eqtr3d 2797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀↑2) · 𝑀) = (𝑀↑3))
50	49	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (2 · ((𝑀↑2) · 𝑀)) = (2 · (𝑀↑3)))
51	42, 50	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((2 · (𝑀↑2)) · 𝑀) = (2 · (𝑀↑3)))
52	41, 51	oveq12d 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((1 + (𝑀↑4)) · 𝑀) − ((2 · (𝑀↑2)) · 𝑀)) = (((𝑀↑5) + 𝑀) − (2 · (𝑀↑3))))
53	27, 29, 52	3eqtrd 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀) = (((𝑀↑5) + 𝑀) − (2 · (𝑀↑3))))
54	53	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀)) = (8 · (((𝑀↑5) + 𝑀) − (2 · (𝑀↑3)))))
55		8cn 12443	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℂ
56	55	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 8 ∈ ℂ)
57	32, 9	addcld 11331	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀↑5) + 𝑀) ∈ ℂ)
58		3nn0 12627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 3 ∈ ℕ₀)
60	9, 59	expcld 14292	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
61	5, 60	mulcld 11332	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (2 · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
62	56, 57, 61	subdid 11775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · (((𝑀↑5) + 𝑀) − (2 · (𝑀↑3)))) = ((8 · ((𝑀↑5) + 𝑀)) − (8 · (2 · (𝑀↑3)))))
63	56, 5, 60	mulassd 11335	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · 2) · (𝑀↑3)) = (8 · (2 · (𝑀↑3))))
64	63	eqcomd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · (2 · (𝑀↑3))) = ((8 · 2) · (𝑀↑3)))
65	64	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · ((𝑀↑5) + 𝑀)) − (8 · (2 · (𝑀↑3)))) = ((8 · ((𝑀↑5) + 𝑀)) − ((8 · 2) · (𝑀↑3))))
66	54, 62, 65	3eqtrd 2799	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀)) = ((8 · ((𝑀↑5) + 𝑀)) − ((8 · 2) · (𝑀↑3))))
67	56, 32, 9	adddid 11336	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · ((𝑀↑5) + 𝑀)) = ((8 · (𝑀↑5)) + (8 · 𝑀)))
68		8t2e16 12937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 · 2) = ;16
69	68	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · 2) = ;16)
70	69	oveq1d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · 2) · (𝑀↑3)) = (;16 · (𝑀↑3)))
71	67, 70	oveq12d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · ((𝑀↑5) + 𝑀)) − ((8 · 2) · (𝑀↑3))) = (((8 · (𝑀↑5)) + (8 · 𝑀)) − (;16 · (𝑀↑3))))
72	24, 66, 71	3eqtrd 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((4 · 2) · (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀)) = (((8 · (𝑀↑5)) + (8 · 𝑀)) − (;16 · (𝑀↑3))))
73	56, 32	mulcld 11332	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · (𝑀↑5)) ∈ ℂ)
74	56, 9	mulcld 11332	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · 𝑀) ∈ ℂ)
75		16nn0 12835	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;16 ∈ ℕ₀
76	75	nn0cni 12621	. . . . . . . . 9 ⊢ ;16 ∈ ℂ
77	76	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ;16 ∈ ℂ)
78	77, 60	mulcld 11332	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;16 · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
79	73, 74, 78	addsubd 11693	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · (𝑀↑5)) + (8 · 𝑀)) − (;16 · (𝑀↑3))) = (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)))
80	21, 72, 79	3eqtrd 2799	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) · (2 · 𝑀)) = (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)))
81	16, 17, 5, 9	mul4d 11525	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((3 · (1 − (𝑀↑2))) · (2 · 𝑀)) = ((3 · 2) · ((1 − (𝑀↑2)) · 𝑀)))
82		3t2e6 12511	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
83	82	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (3 · 2) = 6)
84	4, 6, 9	subdird 11776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 − (𝑀↑2)) · 𝑀) = ((1 · 𝑀) − ((𝑀↑2) · 𝑀)))
85	33, 49	oveq12d 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 · 𝑀) − ((𝑀↑2) · 𝑀)) = (𝑀 − (𝑀↑3)))
86	84, 85	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 − (𝑀↑2)) · 𝑀) = (𝑀 − (𝑀↑3)))
87	83, 86	oveq12d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((3 · 2) · ((1 − (𝑀↑2)) · 𝑀)) = (6 · (𝑀 − (𝑀↑3))))
88		6cn 12437	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
89	88	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 6 ∈ ℂ)
90	89, 9, 60	subdid 11775	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (6 · (𝑀 − (𝑀↑3))) = ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3))))
91	81, 87, 90	3eqtrd 2799	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((3 · (1 − (𝑀↑2))) · (2 · 𝑀)) = ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3))))
92	80, 91	oveq12d 7438	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) · (2 · 𝑀)) − ((3 · (1 − (𝑀↑2))) · (2 · 𝑀))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))))
93	20, 92	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) − (3 · (1 − (𝑀↑2)))) · (2 · 𝑀)) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))))
94	93	3ad2ant2 1152	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) − (3 · (1 − (𝑀↑2)))) · (2 · 𝑀)) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))))
95	1, 94	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · (2 · (𝑀 · 𝑁))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ∧ w3a 1103 = wceq 1569 ∈ wcel 2144 (class class class)co 7420 ℂcc 11201 1c1 11204 + caddc 11206 · cmul 11208 − cmin 11544 2c2 12400 3c3 12401 4c4 12402 5c5 12403 6c6 12404 8c8 12406 ℕ₀cn0 12609 cdc 12817 ↑cexp 14207

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1827 ax-4 1841 ax-5 1942 ax-6 1999 ax-7 2040 ax-8 2146 ax-9 2154 ax-10 2177 ax-11 2193 ax-12 2212 ax-ext 2732 ax-sep 5248 ax-nul 5259 ax-pow 5326 ax-pr 5390 ax-un 7751 ax-cnex 11259 ax-resscn 11260 ax-1cn 11261 ax-icn 11262 ax-addcl 11263 ax-addrcl 11264 ax-mulcl 11265 ax-mulrcl 11266 ax-mulcom 11267 ax-addass 11268 ax-mulass 11269 ax-distr 11270 ax-i2m1 11271 ax-1ne0 11272 ax-1rid 11273 ax-rnegex 11274 ax-rrecex 11275 ax-cnre 11276 ax-pre-lttri 11277 ax-pre-lttrn 11278 ax-pre-ltadd 11279 ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1572 df-fal 1582 df-ex 1812 df-nf 1816 df-sb 2099 df-mo 2564 df-eu 2594 df-clab 2739 df-cleq 2752 df-clel 2835 df-nfc 2909 df-ne 2956 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3365 df-reu 3366 df-rab 3413 df-v 3452 df-sbc 3739 df-csb 3847 df-ss 3896 df-pss 4014 df-dif 4047 df-in 4091 df-un 4151 df-nul 4279 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4835 df-uni 4867 df-iun 4952 df-br 5103 df-opab 5167 df-mpt 5186 df-tr 5212 df-id 5545 df-eprel 5550 df-po 5558 df-so 5559 df-fr 5603 df-we 5605 df-xp 5656 df-rel 5657 df-cnv 5658 df-co 5659 df-dm 5660 df-rn 5661 df-res 5662 df-ima 5663 df-pred 6304 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6494 df-fun 6540 df-fn 6541 df-f 6542 df-f1 6543 df-fo 6544 df-f1o 6545 df-fv 6546 df-riota 7377 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-om 7878 df-2nd 8002 df-frecs 8302 df-wrecs 8333 df-recs 8382 df-rdg 8421 df-er 8720 df-en 8977 df-dom 8978 df-sdom 8979 df-pnf 11348 df-mnf 11349 df-xr 11350 df-ltxr 11351 df-le 11352 df-sub 11546 df-neg 11547 df-div 11977 df-nn 12339 df-2 12408 df-3 12409 df-4 12410 df-5 12411 df-6 12412 df-7 12413 df-8 12414 df-9 12415 df-n0 12610 df-z 12697 df-dec 12818 df-uz 12969 df-seq 14148 df-exp 14208

This theorem is used by: sin5tlem5 48016

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