Theorem sin5tlem4 47468

Description: Lemma 4 for quintupled angle sine calculation: expanding lemma 3 result to difference of polynomials. (Contributed by Ender Ting, 17-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sin5tlem4	⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · (2 · (𝑀 · 𝑁))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))))

Proof of Theorem sin5tlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sin5tlem3 47467	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · (2 · (𝑀 · 𝑁))) = (((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) − (3 · (1 − (𝑀↑2)))) · (2 · 𝑀)))
2		4cn 12317	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 4 ∈ ℂ)
4		1cnd 11190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
5		2cnd 12310	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
6		sqcl 14145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
7	5, 6	mulcld 11217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (2 · (𝑀↑2)) ∈ ℂ)
8	4, 7	subcld 11557	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (1 − (2 · (𝑀↑2))) ∈ ℂ)
9		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 𝑀 ∈ ℂ)
10		4nn0 12514	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ0
11	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 4 ∈ ℕ0)
12	9, 11	expcld 14173	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑4) ∈ ℂ)
13	8, 12	addcld 11216	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) ∈ ℂ)
14	3, 13	mulcld 11217	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) ∈ ℂ)
15		3cn 12313	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 3 ∈ ℂ)
17	4, 6	subcld 11557	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (1 − (𝑀↑2)) ∈ ℂ)
18	16, 17	mulcld 11217	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (3 · (1 − (𝑀↑2))) ∈ ℂ)
19	5, 9	mulcld 11217	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
20	14, 18, 19	subdird 11659	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) − (3 · (1 − (𝑀↑2)))) · (2 · 𝑀)) = (((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) · (2 · 𝑀)) − ((3 · (1 − (𝑀↑2))) · (2 · 𝑀))))
21	3, 13, 5, 9	mul4d 11410	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) · (2 · 𝑀)) = ((4 · 2) · (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀)))
22		4t2e8 12400	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
23	22	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (4 · 2) = 8)
24	23	oveq1d 7415	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((4 · 2) · (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀)) = (8 · (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀)))
25	4, 12, 7	addsubd 11578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 + (𝑀↑4)) − (2 · (𝑀↑2))) = ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)))
26	25	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) = ((1 + (𝑀↑4)) − (2 · (𝑀↑2))))
27	26	oveq1d 7415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀) = (((1 + (𝑀↑4)) − (2 · (𝑀↑2))) · 𝑀))
28	4, 12	addcld 11216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (1 + (𝑀↑4)) ∈ ℂ)
29	28, 7, 9	subdird 11659	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((1 + (𝑀↑4)) − (2 · (𝑀↑2))) · 𝑀) = (((1 + (𝑀↑4)) · 𝑀) − ((2 · (𝑀↑2)) · 𝑀)))
30		5nn0 12515	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℕ0
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 5 ∈ ℕ0)
32	9, 31	expcld 14173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑5) ∈ ℂ)
33		mullid 11195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (1 · 𝑀) = 𝑀)
34	9, 11	expp1d 14174	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑(4 + 1)) = ((𝑀↑4) · 𝑀))
35		4p1e5 12377	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (4 + 1) = 5
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (4 + 1) = 5)
37	36	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑(4 + 1)) = (𝑀↑5))
38	34, 37	eqtr3d 2802	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀↑4) · 𝑀) = (𝑀↑5))
39	33, 38	oveq12d 7418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 · 𝑀) + ((𝑀↑4) · 𝑀)) = (𝑀 + (𝑀↑5)))
40	4, 9, 12, 39	joinlmuladdmuld 11224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 + (𝑀↑4)) · 𝑀) = (𝑀 + (𝑀↑5)))
41	9, 32, 40	comraddd 11412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 + (𝑀↑4)) · 𝑀) = ((𝑀↑5) + 𝑀))
42	5, 6, 9	mulassd 11220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((2 · (𝑀↑2)) · 𝑀) = (2 · ((𝑀↑2) · 𝑀)))
43		2nn0 12512	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ0
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 2 ∈ ℕ0)
45	9, 44	expp1d 14174	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑(2 + 1)) = ((𝑀↑2) · 𝑀))
46		2p1e3 12373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 + 1) = 3
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (2 + 1) = 3)
48	47	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑(2 + 1)) = (𝑀↑3))
49	45, 48	eqtr3d 2802	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀↑2) · 𝑀) = (𝑀↑3))
50	49	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (2 · ((𝑀↑2) · 𝑀)) = (2 · (𝑀↑3)))
51	42, 50	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((2 · (𝑀↑2)) · 𝑀) = (2 · (𝑀↑3)))
52	41, 51	oveq12d 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((1 + (𝑀↑4)) · 𝑀) − ((2 · (𝑀↑2)) · 𝑀)) = (((𝑀↑5) + 𝑀) − (2 · (𝑀↑3))))
53	27, 29, 52	3eqtrd 2804	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀) = (((𝑀↑5) + 𝑀) − (2 · (𝑀↑3))))
54	53	oveq2d 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀)) = (8 · (((𝑀↑5) + 𝑀) − (2 · (𝑀↑3)))))
55		8cn 12329	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℂ
56	55	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 8 ∈ ℂ)
57	32, 9	addcld 11216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀↑5) + 𝑀) ∈ ℂ)
58		3nn0 12513	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℕ0
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 3 ∈ ℕ0)
60	9, 59	expcld 14173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
61	5, 60	mulcld 11217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (2 · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
62	56, 57, 61	subdid 11658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · (((𝑀↑5) + 𝑀) − (2 · (𝑀↑3)))) = ((8 · ((𝑀↑5) + 𝑀)) − (8 · (2 · (𝑀↑3)))))
63	56, 5, 60	mulassd 11220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · 2) · (𝑀↑3)) = (8 · (2 · (𝑀↑3))))
64	63	eqcomd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · (2 · (𝑀↑3))) = ((8 · 2) · (𝑀↑3)))
65	64	oveq2d 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · ((𝑀↑5) + 𝑀)) − (8 · (2 · (𝑀↑3)))) = ((8 · ((𝑀↑5) + 𝑀)) − ((8 · 2) · (𝑀↑3))))
66	54, 62, 65	3eqtrd 2804	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀)) = ((8 · ((𝑀↑5) + 𝑀)) − ((8 · 2) · (𝑀↑3))))
67	56, 32, 9	adddid 11221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · ((𝑀↑5) + 𝑀)) = ((8 · (𝑀↑5)) + (8 · 𝑀)))
68		8t2e16 12822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 · 2) = ;16
69	68	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · 2) = ;16)
70	69	oveq1d 7415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · 2) · (𝑀↑3)) = (;16 · (𝑀↑3)))
71	67, 70	oveq12d 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · ((𝑀↑5) + 𝑀)) − ((8 · 2) · (𝑀↑3))) = (((8 · (𝑀↑5)) + (8 · 𝑀)) − (;16 · (𝑀↑3))))
72	24, 66, 71	3eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((4 · 2) · (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀)) = (((8 · (𝑀↑5)) + (8 · 𝑀)) − (;16 · (𝑀↑3))))
73	56, 32	mulcld 11217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · (𝑀↑5)) ∈ ℂ)
74	56, 9	mulcld 11217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · 𝑀) ∈ ℂ)
75		1nn0 12511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
76		6nn0 12516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ ℕ0
77	75, 76	deccl 12717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
78	77	nn0cni 12507	. . . . . . . . 9 ⊢ ;16 ∈ ℂ
79	78	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ;16 ∈ ℂ)
80	79, 60	mulcld 11217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;16 · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
81	73, 74, 80	addsubd 11578	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · (𝑀↑5)) + (8 · 𝑀)) − (;16 · (𝑀↑3))) = (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)))
82	21, 72, 81	3eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) · (2 · 𝑀)) = (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)))
83	16, 17, 5, 9	mul4d 11410	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((3 · (1 − (𝑀↑2))) · (2 · 𝑀)) = ((3 · 2) · ((1 − (𝑀↑2)) · 𝑀)))
84		3t2e6 12397	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
85	84	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (3 · 2) = 6)
86	4, 6, 9	subdird 11659	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 − (𝑀↑2)) · 𝑀) = ((1 · 𝑀) − ((𝑀↑2) · 𝑀)))
87	33, 49	oveq12d 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 · 𝑀) − ((𝑀↑2) · 𝑀)) = (𝑀 − (𝑀↑3)))
88	86, 87	eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 − (𝑀↑2)) · 𝑀) = (𝑀 − (𝑀↑3)))
89	85, 88	oveq12d 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((3 · 2) · ((1 − (𝑀↑2)) · 𝑀)) = (6 · (𝑀 − (𝑀↑3))))
90		6cn 12323	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
91	90	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 6 ∈ ℂ)
92	91, 9, 60	subdid 11658	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (6 · (𝑀 − (𝑀↑3))) = ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3))))
93	83, 89, 92	3eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((3 · (1 − (𝑀↑2))) · (2 · 𝑀)) = ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3))))
94	82, 93	oveq12d 7418	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) · (2 · 𝑀)) − ((3 · (1 − (𝑀↑2))) · (2 · 𝑀))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))))
95	20, 94	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) − (3 · (1 − (𝑀↑2)))) · (2 · 𝑀)) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))))
96	95	3ad2ant2 1150	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) − (3 · (1 − (𝑀↑2)))) · (2 · 𝑀)) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))))
97	1, 96	eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · (2 · (𝑀 · 𝑁))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093   − cmin 11429  2c2 12286  3c3 12287  4c4 12288  5c5 12289  6c6 12290  8c8 12292  ℕ₀cn0 12495  ;cdc 12702  ↑cexp 14088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-seq 14029  df-exp 14089

This theorem is referenced by:  sin5tlem5  47469