Theorem sin5tlem4 47346

Description: Lemma 4 for quintupled angle sine calculation: expanding lemma 3 result to difference of polynomials. (Contributed by Ender Ting, 17-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sin5tlem4	⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · (2 · (𝑀 · 𝑁))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))))

Proof of Theorem sin5tlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sin5tlem3 47345	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · (2 · (𝑀 · 𝑁))) = (((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) − (3 · (1 − (𝑀↑2)))) · (2 · 𝑀)))
2		4cn 12264	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 4 ∈ ℂ)
4		1cnd 11137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
5		2cnd 12257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
6		sqcl 14078	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
7	5, 6	mulcld 11163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (2 · (𝑀↑2)) ∈ ℂ)
8	4, 7	subcld 11503	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (1 − (2 · (𝑀↑2))) ∈ ℂ)
9		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 𝑀 ∈ ℂ)
10		4nn0 12454	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ0
11	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 4 ∈ ℕ0)
12	9, 11	expcld 14106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑4) ∈ ℂ)
13	8, 12	addcld 11162	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) ∈ ℂ)
14	3, 13	mulcld 11163	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) ∈ ℂ)
15		3cn 12260	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 3 ∈ ℂ)
17	4, 6	subcld 11503	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (1 − (𝑀↑2)) ∈ ℂ)
18	16, 17	mulcld 11163	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (3 · (1 − (𝑀↑2))) ∈ ℂ)
19	5, 9	mulcld 11163	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
20	14, 18, 19	subdird 11605	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) − (3 · (1 − (𝑀↑2)))) · (2 · 𝑀)) = (((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) · (2 · 𝑀)) − ((3 · (1 − (𝑀↑2))) · (2 · 𝑀))))
21	3, 13, 5, 9	mul4d 11356	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) · (2 · 𝑀)) = ((4 · 2) · (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀)))
22		4t2e8 12342	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
23	22	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (4 · 2) = 8)
24	23	oveq1d 7378	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((4 · 2) · (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀)) = (8 · (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀)))
25	4, 12, 7	addsubd 11524	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 + (𝑀↑4)) − (2 · (𝑀↑2))) = ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)))
26	25	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) = ((1 + (𝑀↑4)) − (2 · (𝑀↑2))))
27	26	oveq1d 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀) = (((1 + (𝑀↑4)) − (2 · (𝑀↑2))) · 𝑀))
28	4, 12	addcld 11162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (1 + (𝑀↑4)) ∈ ℂ)
29	28, 7, 9	subdird 11605	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((1 + (𝑀↑4)) − (2 · (𝑀↑2))) · 𝑀) = (((1 + (𝑀↑4)) · 𝑀) − ((2 · (𝑀↑2)) · 𝑀)))
30		5nn0 12455	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℕ0
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 5 ∈ ℕ0)
32	9, 31	expcld 14106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑5) ∈ ℂ)
33		mullid 11141	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (1 · 𝑀) = 𝑀)
34	9, 11	expp1d 14107	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑(4 + 1)) = ((𝑀↑4) · 𝑀))
35		4p1e5 12320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (4 + 1) = 5
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (4 + 1) = 5)
37	36	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑(4 + 1)) = (𝑀↑5))
38	34, 37	eqtr3d 2777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀↑4) · 𝑀) = (𝑀↑5))
39	33, 38	oveq12d 7381	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 · 𝑀) + ((𝑀↑4) · 𝑀)) = (𝑀 + (𝑀↑5)))
40	4, 9, 12, 39	joinlmuladdmuld 11170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 + (𝑀↑4)) · 𝑀) = (𝑀 + (𝑀↑5)))
41	9, 32, 40	comraddd 11358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 + (𝑀↑4)) · 𝑀) = ((𝑀↑5) + 𝑀))
42	5, 6, 9	mulassd 11166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((2 · (𝑀↑2)) · 𝑀) = (2 · ((𝑀↑2) · 𝑀)))
43		2nn0 12452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ0
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 2 ∈ ℕ0)
45	9, 44	expp1d 14107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑(2 + 1)) = ((𝑀↑2) · 𝑀))
46		2p1e3 12316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 + 1) = 3
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (2 + 1) = 3)
48	47	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑(2 + 1)) = (𝑀↑3))
49	45, 48	eqtr3d 2777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀↑2) · 𝑀) = (𝑀↑3))
50	49	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (2 · ((𝑀↑2) · 𝑀)) = (2 · (𝑀↑3)))
51	42, 50	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((2 · (𝑀↑2)) · 𝑀) = (2 · (𝑀↑3)))
52	41, 51	oveq12d 7381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((1 + (𝑀↑4)) · 𝑀) − ((2 · (𝑀↑2)) · 𝑀)) = (((𝑀↑5) + 𝑀) − (2 · (𝑀↑3))))
53	27, 29, 52	3eqtrd 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀) = (((𝑀↑5) + 𝑀) − (2 · (𝑀↑3))))
54	53	oveq2d 7379	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀)) = (8 · (((𝑀↑5) + 𝑀) − (2 · (𝑀↑3)))))
55		8cn 12276	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℂ
56	55	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 8 ∈ ℂ)
57	32, 9	addcld 11162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀↑5) + 𝑀) ∈ ℂ)
58		3nn0 12453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℕ0
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 3 ∈ ℕ0)
60	9, 59	expcld 14106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
61	5, 60	mulcld 11163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (2 · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
62	56, 57, 61	subdid 11604	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · (((𝑀↑5) + 𝑀) − (2 · (𝑀↑3)))) = ((8 · ((𝑀↑5) + 𝑀)) − (8 · (2 · (𝑀↑3)))))
63	56, 5, 60	mulassd 11166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · 2) · (𝑀↑3)) = (8 · (2 · (𝑀↑3))))
64	63	eqcomd 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · (2 · (𝑀↑3))) = ((8 · 2) · (𝑀↑3)))
65	64	oveq2d 7379	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · ((𝑀↑5) + 𝑀)) − (8 · (2 · (𝑀↑3)))) = ((8 · ((𝑀↑5) + 𝑀)) − ((8 · 2) · (𝑀↑3))))
66	54, 62, 65	3eqtrd 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀)) = ((8 · ((𝑀↑5) + 𝑀)) − ((8 · 2) · (𝑀↑3))))
67	56, 32, 9	adddid 11167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · ((𝑀↑5) + 𝑀)) = ((8 · (𝑀↑5)) + (8 · 𝑀)))
68		8t2e16 12757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 · 2) = ;16
69	68	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · 2) = ;16)
70	69	oveq1d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · 2) · (𝑀↑3)) = (;16 · (𝑀↑3)))
71	67, 70	oveq12d 7381	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · ((𝑀↑5) + 𝑀)) − ((8 · 2) · (𝑀↑3))) = (((8 · (𝑀↑5)) + (8 · 𝑀)) − (;16 · (𝑀↑3))))
72	24, 66, 71	3eqtrd 2779	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((4 · 2) · (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀)) = (((8 · (𝑀↑5)) + (8 · 𝑀)) − (;16 · (𝑀↑3))))
73	56, 32	mulcld 11163	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · (𝑀↑5)) ∈ ℂ)
74	56, 9	mulcld 11163	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · 𝑀) ∈ ℂ)
75		1nn0 12451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
76		6nn0 12456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ ℕ0
77	75, 76	deccl 12657	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
78	77	nn0cni 12447	. . . . . . . . 9 ⊢ ;16 ∈ ℂ
79	78	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ;16 ∈ ℂ)
80	79, 60	mulcld 11163	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;16 · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
81	73, 74, 80	addsubd 11524	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · (𝑀↑5)) + (8 · 𝑀)) − (;16 · (𝑀↑3))) = (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)))
82	21, 72, 81	3eqtrd 2779	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) · (2 · 𝑀)) = (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)))
83	16, 17, 5, 9	mul4d 11356	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((3 · (1 − (𝑀↑2))) · (2 · 𝑀)) = ((3 · 2) · ((1 − (𝑀↑2)) · 𝑀)))
84		3t2e6 12340	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
85	84	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (3 · 2) = 6)
86	4, 6, 9	subdird 11605	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 − (𝑀↑2)) · 𝑀) = ((1 · 𝑀) − ((𝑀↑2) · 𝑀)))
87	33, 49	oveq12d 7381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 · 𝑀) − ((𝑀↑2) · 𝑀)) = (𝑀 − (𝑀↑3)))
88	86, 87	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 − (𝑀↑2)) · 𝑀) = (𝑀 − (𝑀↑3)))
89	85, 88	oveq12d 7381	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((3 · 2) · ((1 − (𝑀↑2)) · 𝑀)) = (6 · (𝑀 − (𝑀↑3))))
90		6cn 12270	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
91	90	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 6 ∈ ℂ)
92	91, 9, 60	subdid 11604	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (6 · (𝑀 − (𝑀↑3))) = ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3))))
93	83, 89, 92	3eqtrd 2779	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((3 · (1 − (𝑀↑2))) · (2 · 𝑀)) = ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3))))
94	82, 93	oveq12d 7381	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) · (2 · 𝑀)) − ((3 · (1 − (𝑀↑2))) · (2 · 𝑀))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))))
95	20, 94	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) − (3 · (1 − (𝑀↑2)))) · (2 · 𝑀)) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))))
96	95	3ad2ant2 1140	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) − (3 · (1 − (𝑀↑2)))) · (2 · 𝑀)) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))))
97	1, 96	eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · (2 · (𝑀 · 𝑁))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041   − cmin 11375  2c2 12234  3c3 12235  4c4 12236  5c5 12237  6c6 12238  8c8 12240  ℕ₀cn0 12435  ;cdc 12642  ↑cexp 14021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-seq 13962  df-exp 14022

This theorem is referenced by:  sin5tlem5  47347