sin5tlem4 - Mathbox for Ender Ting

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Theorem sin5tlem4 47866

Description: Lemma 4 for quintupled angle sine calculation: expanding lemma 3 result to difference of polynomials. (Contributed by Ender Ting, 17-Apr-2026.)

**Assertion**
Ref	Expression
sin5tlem4	⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · (2 · (𝑀 · 𝑁))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))))

**Proof of Theorem sin5tlem4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		sin5tlem3 47865	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · (2 · (𝑀 · 𝑁))) = (((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) − (3 · (1 − (𝑀↑2)))) · (2 · 𝑀)))
2		4cn 12409	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 4 ∈ ℂ)
4		1cnd 11283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
5		2cnd 12402	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
6		sqcl 14241	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
7	5, 6	mulcld 11310	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (2 · (𝑀↑2)) ∈ ℂ)
8	4, 7	subcld 11650	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (1 − (2 · (𝑀↑2))) ∈ ℂ)
9		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 𝑀 ∈ ℂ)
10		4nn0 12606	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ₀
11	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 4 ∈ ℕ₀)
12	9, 11	expcld 14269	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑4) ∈ ℂ)
13	8, 12	addcld 11309	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) ∈ ℂ)
14	3, 13	mulcld 11310	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) ∈ ℂ)
15		3cn 12405	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 3 ∈ ℂ)
17	4, 6	subcld 11650	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (1 − (𝑀↑2)) ∈ ℂ)
18	16, 17	mulcld 11310	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (3 · (1 − (𝑀↑2))) ∈ ℂ)
19	5, 9	mulcld 11310	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
20	14, 18, 19	subdird 11754	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) − (3 · (1 − (𝑀↑2)))) · (2 · 𝑀)) = (((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) · (2 · 𝑀)) − ((3 · (1 − (𝑀↑2))) · (2 · 𝑀))))
21	3, 13, 5, 9	mul4d 11503	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) · (2 · 𝑀)) = ((4 · 2) · (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀)))
22		4t2e8 12492	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
23	22	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (4 · 2) = 8)
24	23	oveq1d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((4 · 2) · (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀)) = (8 · (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀)))
25	4, 12, 7	addsubd 11671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 + (𝑀↑4)) − (2 · (𝑀↑2))) = ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)))
26	25	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) = ((1 + (𝑀↑4)) − (2 · (𝑀↑2))))
27	26	oveq1d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀) = (((1 + (𝑀↑4)) − (2 · (𝑀↑2))) · 𝑀))
28	4, 12	addcld 11309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (1 + (𝑀↑4)) ∈ ℂ)
29	28, 7, 9	subdird 11754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((1 + (𝑀↑4)) − (2 · (𝑀↑2))) · 𝑀) = (((1 + (𝑀↑4)) · 𝑀) − ((2 · (𝑀↑2)) · 𝑀)))
30		5nn0 12607	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℕ₀
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 5 ∈ ℕ₀)
32	9, 31	expcld 14269	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑5) ∈ ℂ)
33		mullid 11288	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (1 · 𝑀) = 𝑀)
34	9, 11	expp1d 14270	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑(4 + 1)) = ((𝑀↑4) · 𝑀))
35		4p1e5 12469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (4 + 1) = 5
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (4 + 1) = 5)
37	36	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑(4 + 1)) = (𝑀↑5))
38	34, 37	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀↑4) · 𝑀) = (𝑀↑5))
39	33, 38	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 · 𝑀) + ((𝑀↑4) · 𝑀)) = (𝑀 + (𝑀↑5)))
40	4, 9, 12, 39	joinlmuladdmuld 11317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 + (𝑀↑4)) · 𝑀) = (𝑀 + (𝑀↑5)))
41	9, 32, 40	comraddd 11505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 + (𝑀↑4)) · 𝑀) = ((𝑀↑5) + 𝑀))
42	5, 6, 9	mulassd 11313	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((2 · (𝑀↑2)) · 𝑀) = (2 · ((𝑀↑2) · 𝑀)))
43		2nn0 12604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 2 ∈ ℕ₀)
45	9, 44	expp1d 14270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑(2 + 1)) = ((𝑀↑2) · 𝑀))
46		2p1e3 12465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 + 1) = 3
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (2 + 1) = 3)
48	47	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑(2 + 1)) = (𝑀↑3))
49	45, 48	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀↑2) · 𝑀) = (𝑀↑3))
50	49	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (2 · ((𝑀↑2) · 𝑀)) = (2 · (𝑀↑3)))
51	42, 50	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((2 · (𝑀↑2)) · 𝑀) = (2 · (𝑀↑3)))
52	41, 51	oveq12d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((1 + (𝑀↑4)) · 𝑀) − ((2 · (𝑀↑2)) · 𝑀)) = (((𝑀↑5) + 𝑀) − (2 · (𝑀↑3))))
53	27, 29, 52	3eqtrd 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀) = (((𝑀↑5) + 𝑀) − (2 · (𝑀↑3))))
54	53	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀)) = (8 · (((𝑀↑5) + 𝑀) − (2 · (𝑀↑3)))))
55		8cn 12421	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℂ
56	55	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 8 ∈ ℂ)
57	32, 9	addcld 11309	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀↑5) + 𝑀) ∈ ℂ)
58		3nn0 12605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 3 ∈ ℕ₀)
60	9, 59	expcld 14269	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
61	5, 60	mulcld 11310	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (2 · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
62	56, 57, 61	subdid 11753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · (((𝑀↑5) + 𝑀) − (2 · (𝑀↑3)))) = ((8 · ((𝑀↑5) + 𝑀)) − (8 · (2 · (𝑀↑3)))))
63	56, 5, 60	mulassd 11313	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · 2) · (𝑀↑3)) = (8 · (2 · (𝑀↑3))))
64	63	eqcomd 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · (2 · (𝑀↑3))) = ((8 · 2) · (𝑀↑3)))
65	64	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · ((𝑀↑5) + 𝑀)) − (8 · (2 · (𝑀↑3)))) = ((8 · ((𝑀↑5) + 𝑀)) − ((8 · 2) · (𝑀↑3))))
66	54, 62, 65	3eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀)) = ((8 · ((𝑀↑5) + 𝑀)) − ((8 · 2) · (𝑀↑3))))
67	56, 32, 9	adddid 11314	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · ((𝑀↑5) + 𝑀)) = ((8 · (𝑀↑5)) + (8 · 𝑀)))
68		8t2e16 12915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 · 2) = ;16
69	68	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · 2) = ;16)
70	69	oveq1d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · 2) · (𝑀↑3)) = (;16 · (𝑀↑3)))
71	67, 70	oveq12d 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · ((𝑀↑5) + 𝑀)) − ((8 · 2) · (𝑀↑3))) = (((8 · (𝑀↑5)) + (8 · 𝑀)) − (;16 · (𝑀↑3))))
72	24, 66, 71	3eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((4 · 2) · (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀)) = (((8 · (𝑀↑5)) + (8 · 𝑀)) − (;16 · (𝑀↑3))))
73	56, 32	mulcld 11310	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · (𝑀↑5)) ∈ ℂ)
74	56, 9	mulcld 11310	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · 𝑀) ∈ ℂ)
75		16nn0 12813	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;16 ∈ ℕ₀
76	75	nn0cni 12599	. . . . . . . . 9 ⊢ ;16 ∈ ℂ
77	76	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ;16 ∈ ℂ)
78	77, 60	mulcld 11310	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;16 · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
79	73, 74, 78	addsubd 11671	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · (𝑀↑5)) + (8 · 𝑀)) − (;16 · (𝑀↑3))) = (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)))
80	21, 72, 79	3eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) · (2 · 𝑀)) = (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)))
81	16, 17, 5, 9	mul4d 11503	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((3 · (1 − (𝑀↑2))) · (2 · 𝑀)) = ((3 · 2) · ((1 − (𝑀↑2)) · 𝑀)))
82		3t2e6 12489	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
83	82	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (3 · 2) = 6)
84	4, 6, 9	subdird 11754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 − (𝑀↑2)) · 𝑀) = ((1 · 𝑀) − ((𝑀↑2) · 𝑀)))
85	33, 49	oveq12d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 · 𝑀) − ((𝑀↑2) · 𝑀)) = (𝑀 − (𝑀↑3)))
86	84, 85	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 − (𝑀↑2)) · 𝑀) = (𝑀 − (𝑀↑3)))
87	83, 86	oveq12d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((3 · 2) · ((1 − (𝑀↑2)) · 𝑀)) = (6 · (𝑀 − (𝑀↑3))))
88		6cn 12415	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
89	88	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 6 ∈ ℂ)
90	89, 9, 60	subdid 11753	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (6 · (𝑀 − (𝑀↑3))) = ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3))))
91	81, 87, 90	3eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((3 · (1 − (𝑀↑2))) · (2 · 𝑀)) = ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3))))
92	80, 91	oveq12d 7430	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) · (2 · 𝑀)) − ((3 · (1 − (𝑀↑2))) · (2 · 𝑀))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))))
93	20, 92	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) − (3 · (1 − (𝑀↑2)))) · (2 · 𝑀)) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))))
94	93	3ad2ant2 1152	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) − (3 · (1 − (𝑀↑2)))) · (2 · 𝑀)) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))))
95	1, 94	eqtrd 2796	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · (2 · (𝑀 · 𝑁))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 (class class class)co 7412 ℂcc 11179 1c1 11182 + caddc 11184 · cmul 11186 − cmin 11522 2c2 12378 3c3 12379 4c4 12380 5c5 12381 6c6 12382 8c8 12384 ℕ₀cn0 12587 cdc 12795 ↑cexp 14184

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2733 ax-sep 5249 ax-nul 5260 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7740 ax-cnex 11237 ax-resscn 11238 ax-1cn 11239 ax-icn 11240 ax-addcl 11241 ax-addrcl 11242 ax-mulcl 11243 ax-mulrcl 11244 ax-mulcom 11245 ax-addass 11246 ax-mulass 11247 ax-distr 11248 ax-i2m1 11249 ax-1ne0 11250 ax-1rid 11251 ax-rnegex 11252 ax-rrecex 11253 ax-cnre 11254 ax-pre-lttri 11255 ax-pre-lttrn 11256 ax-pre-ltadd 11257 ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3063 df-ral 3078 df-rex 3088 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3453 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4868 df-iun 4953 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6297 df-ord 6358 df-on 6359 df-lim 6360 df-suc 6361 df-iota 6487 df-fun 6533 df-fn 6534 df-f 6535 df-f1 6536 df-fo 6537 df-f1o 6538 df-fv 6539 df-riota 7369 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-om 7867 df-2nd 7991 df-frecs 8283 df-wrecs 8314 df-recs 8363 df-rdg 8402 df-er 8701 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-pnf 11326 df-mnf 11327 df-xr 11328 df-ltxr 11329 df-le 11330 df-sub 11524 df-neg 11525 df-div 11955 df-nn 12317 df-2 12386 df-3 12387 df-4 12388 df-5 12389 df-6 12390 df-7 12391 df-8 12392 df-9 12393 df-n0 12588 df-z 12675 df-dec 12796 df-uz 12947 df-seq 14125 df-exp 14185

This theorem is used by: sin5tlem5 47867

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