Theorem sin5tlem4 47590

Description: Lemma 4 for quintupled angle sine calculation: expanding lemma 3 result to difference of polynomials. (Contributed by Ender Ting, 17-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sin5tlem4	⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · (2 · (𝑀 · 𝑁))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))))

Proof of Theorem sin5tlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sin5tlem3 47589	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · (2 · (𝑀 · 𝑁))) = (((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) − (3 · (1 − (𝑀↑2)))) · (2 · 𝑀)))
2		4cn 12327	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 4 ∈ ℂ)
4		1cnd 11203	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
5		2cnd 12320	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
6		sqcl 14156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
7	5, 6	mulcld 11230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (2 · (𝑀↑2)) ∈ ℂ)
8	4, 7	subcld 11570	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (1 − (2 · (𝑀↑2))) ∈ ℂ)
9		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 𝑀 ∈ ℂ)
10		4nn0 12524	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ0
11	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 4 ∈ ℕ0)
12	9, 11	expcld 14184	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑4) ∈ ℂ)
13	8, 12	addcld 11229	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) ∈ ℂ)
14	3, 13	mulcld 11230	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) ∈ ℂ)
15		3cn 12323	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 3 ∈ ℂ)
17	4, 6	subcld 11570	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (1 − (𝑀↑2)) ∈ ℂ)
18	16, 17	mulcld 11230	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (3 · (1 − (𝑀↑2))) ∈ ℂ)
19	5, 9	mulcld 11230	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
20	14, 18, 19	subdird 11672	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) − (3 · (1 − (𝑀↑2)))) · (2 · 𝑀)) = (((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) · (2 · 𝑀)) − ((3 · (1 − (𝑀↑2))) · (2 · 𝑀))))
21	3, 13, 5, 9	mul4d 11423	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) · (2 · 𝑀)) = ((4 · 2) · (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀)))
22		4t2e8 12410	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
23	22	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (4 · 2) = 8)
24	23	oveq1d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((4 · 2) · (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀)) = (8 · (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀)))
25	4, 12, 7	addsubd 11591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 + (𝑀↑4)) − (2 · (𝑀↑2))) = ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)))
26	25	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) = ((1 + (𝑀↑4)) − (2 · (𝑀↑2))))
27	26	oveq1d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀) = (((1 + (𝑀↑4)) − (2 · (𝑀↑2))) · 𝑀))
28	4, 12	addcld 11229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (1 + (𝑀↑4)) ∈ ℂ)
29	28, 7, 9	subdird 11672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((1 + (𝑀↑4)) − (2 · (𝑀↑2))) · 𝑀) = (((1 + (𝑀↑4)) · 𝑀) − ((2 · (𝑀↑2)) · 𝑀)))
30		5nn0 12525	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℕ0
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 5 ∈ ℕ0)
32	9, 31	expcld 14184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑5) ∈ ℂ)
33		mullid 11208	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (1 · 𝑀) = 𝑀)
34	9, 11	expp1d 14185	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑(4 + 1)) = ((𝑀↑4) · 𝑀))
35		4p1e5 12387	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (4 + 1) = 5
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (4 + 1) = 5)
37	36	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑(4 + 1)) = (𝑀↑5))
38	34, 37	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀↑4) · 𝑀) = (𝑀↑5))
39	33, 38	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 · 𝑀) + ((𝑀↑4) · 𝑀)) = (𝑀 + (𝑀↑5)))
40	4, 9, 12, 39	joinlmuladdmuld 11237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 + (𝑀↑4)) · 𝑀) = (𝑀 + (𝑀↑5)))
41	9, 32, 40	comraddd 11425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 + (𝑀↑4)) · 𝑀) = ((𝑀↑5) + 𝑀))
42	5, 6, 9	mulassd 11233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((2 · (𝑀↑2)) · 𝑀) = (2 · ((𝑀↑2) · 𝑀)))
43		2nn0 12522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ0
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 2 ∈ ℕ0)
45	9, 44	expp1d 14185	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑(2 + 1)) = ((𝑀↑2) · 𝑀))
46		2p1e3 12383	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 + 1) = 3
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (2 + 1) = 3)
48	47	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑(2 + 1)) = (𝑀↑3))
49	45, 48	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀↑2) · 𝑀) = (𝑀↑3))
50	49	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (2 · ((𝑀↑2) · 𝑀)) = (2 · (𝑀↑3)))
51	42, 50	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((2 · (𝑀↑2)) · 𝑀) = (2 · (𝑀↑3)))
52	41, 51	oveq12d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((1 + (𝑀↑4)) · 𝑀) − ((2 · (𝑀↑2)) · 𝑀)) = (((𝑀↑5) + 𝑀) − (2 · (𝑀↑3))))
53	27, 29, 52	3eqtrd 2802	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀) = (((𝑀↑5) + 𝑀) − (2 · (𝑀↑3))))
54	53	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀)) = (8 · (((𝑀↑5) + 𝑀) − (2 · (𝑀↑3)))))
55		8cn 12339	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℂ
56	55	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 8 ∈ ℂ)
57	32, 9	addcld 11229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀↑5) + 𝑀) ∈ ℂ)
58		3nn0 12523	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℕ0
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 3 ∈ ℕ0)
60	9, 59	expcld 14184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
61	5, 60	mulcld 11230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (2 · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
62	56, 57, 61	subdid 11671	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · (((𝑀↑5) + 𝑀) − (2 · (𝑀↑3)))) = ((8 · ((𝑀↑5) + 𝑀)) − (8 · (2 · (𝑀↑3)))))
63	56, 5, 60	mulassd 11233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · 2) · (𝑀↑3)) = (8 · (2 · (𝑀↑3))))
64	63	eqcomd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · (2 · (𝑀↑3))) = ((8 · 2) · (𝑀↑3)))
65	64	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · ((𝑀↑5) + 𝑀)) − (8 · (2 · (𝑀↑3)))) = ((8 · ((𝑀↑5) + 𝑀)) − ((8 · 2) · (𝑀↑3))))
66	54, 62, 65	3eqtrd 2802	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀)) = ((8 · ((𝑀↑5) + 𝑀)) − ((8 · 2) · (𝑀↑3))))
67	56, 32, 9	adddid 11234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · ((𝑀↑5) + 𝑀)) = ((8 · (𝑀↑5)) + (8 · 𝑀)))
68		8t2e16 12832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 · 2) = ;16
69	68	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · 2) = ;16)
70	69	oveq1d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · 2) · (𝑀↑3)) = (;16 · (𝑀↑3)))
71	67, 70	oveq12d 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · ((𝑀↑5) + 𝑀)) − ((8 · 2) · (𝑀↑3))) = (((8 · (𝑀↑5)) + (8 · 𝑀)) − (;16 · (𝑀↑3))))
72	24, 66, 71	3eqtrd 2802	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((4 · 2) · (((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4)) · 𝑀)) = (((8 · (𝑀↑5)) + (8 · 𝑀)) − (;16 · (𝑀↑3))))
73	56, 32	mulcld 11230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · (𝑀↑5)) ∈ ℂ)
74	56, 9	mulcld 11230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · 𝑀) ∈ ℂ)
75		1nn0 12521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
76		6nn0 12526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ ℕ0
77	75, 76	deccl 12727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
78	77	nn0cni 12517	. . . . . . . . 9 ⊢ ;16 ∈ ℂ
79	78	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ;16 ∈ ℂ)
80	79, 60	mulcld 11230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;16 · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
81	73, 74, 80	addsubd 11591	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · (𝑀↑5)) + (8 · 𝑀)) − (;16 · (𝑀↑3))) = (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)))
82	21, 72, 81	3eqtrd 2802	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) · (2 · 𝑀)) = (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)))
83	16, 17, 5, 9	mul4d 11423	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((3 · (1 − (𝑀↑2))) · (2 · 𝑀)) = ((3 · 2) · ((1 − (𝑀↑2)) · 𝑀)))
84		3t2e6 12407	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
85	84	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (3 · 2) = 6)
86	4, 6, 9	subdird 11672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 − (𝑀↑2)) · 𝑀) = ((1 · 𝑀) − ((𝑀↑2) · 𝑀)))
87	33, 49	oveq12d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 · 𝑀) − ((𝑀↑2) · 𝑀)) = (𝑀 − (𝑀↑3)))
88	86, 87	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((1 − (𝑀↑2)) · 𝑀) = (𝑀 − (𝑀↑3)))
89	85, 88	oveq12d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((3 · 2) · ((1 − (𝑀↑2)) · 𝑀)) = (6 · (𝑀 − (𝑀↑3))))
90		6cn 12333	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
91	90	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 6 ∈ ℂ)
92	91, 9, 60	subdid 11671	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (6 · (𝑀 − (𝑀↑3))) = ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3))))
93	83, 89, 92	3eqtrd 2802	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((3 · (1 − (𝑀↑2))) · (2 · 𝑀)) = ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3))))
94	82, 93	oveq12d 7430	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) · (2 · 𝑀)) − ((3 · (1 − (𝑀↑2))) · (2 · 𝑀))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))))
95	20, 94	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) − (3 · (1 − (𝑀↑2)))) · (2 · 𝑀)) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))))
96	95	3ad2ant2 1152	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · ((1 − (2 · (𝑀↑2))) + (𝑀↑4))) − (3 · (1 − (𝑀↑2)))) · (2 · 𝑀)) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))))
97	1, 96	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · (2 · (𝑀 · 𝑁))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106   − cmin 11442  2c2 12296  3c3 12297  4c4 12298  5c5 12299  6c6 12300  8c8 12302  ℕ₀cn0 12505  ;cdc 12712  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  sin5tlem5  47591