MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqnn 26931
Description: All primes of the form 4𝑘 + 1 are sums of squares of two positive integers. (Contributed by AV, 11-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
2sqnn ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑃,𝑦

Proof of Theorem 2sqnn
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqnn0 26930 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
2 elnn0 12470 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ ℕ0 ↔ (𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0))
3 elnn0 12470 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℕ0 ↔ (𝑏 ∈ ℕ ∨ 𝑏 = 0))
4 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥↑2) = (𝑎↑2))
54oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑎 → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝑎↑2) + (𝑦↑2)))
65eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑎 → (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑦↑2))))
7 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑏 → (𝑦↑2) = (𝑏↑2))
87oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑏 → ((𝑎↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
98eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑏 → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑦↑2)) ↔ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))))
106, 9rspc2ev 3623 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
11103expia 1121 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
1211a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
1312expcom 414 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))))
14 sq0i 14153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 0 → (𝑎↑2) = 0)
1514adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 = 0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝑎↑2) = 0)
1615oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 = 0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (0 + (𝑏↑2)))
17 nncn 12216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℂ)
1817sqcld 14105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ ℕ → (𝑏↑2) ∈ ℂ)
1918addlidd 11411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ ℕ → (0 + (𝑏↑2)) = (𝑏↑2))
2019adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 = 0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (0 + (𝑏↑2)) = (𝑏↑2))
2116, 20eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 = 0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑏↑2))
2221eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 = 0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) ↔ 𝑃 = (𝑏↑2)))
23 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 = (𝑏↑2) → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑏↑2) ∈ ℙ))
2423adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝑃 = (𝑏↑2)) → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑏↑2) ∈ ℙ))
25 nnz 12575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℤ)
26 sqnprm 16635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 ∈ ℤ → ¬ (𝑏↑2) ∈ ℙ)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 ∈ ℕ → ¬ (𝑏↑2) ∈ ℙ)
2827pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ ℕ → ((𝑏↑2) ∈ ℙ → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
2928adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝑃 = (𝑏↑2)) → ((𝑏↑2) ∈ ℙ → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
3024, 29sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝑃 = (𝑏↑2)) → (𝑃 ∈ ℙ → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
3130ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ ℕ → (𝑃 = (𝑏↑2) → (𝑃 ∈ ℙ → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
3231adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 = 0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝑃 = (𝑏↑2) → (𝑃 ∈ ℙ → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
3322, 32sylbid 239 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 = 0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → (𝑃 ∈ ℙ → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
3433com23 86 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 = 0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
3534expcom 414 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ℕ → (𝑎 = 0 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))))
3613, 35jaod 857 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ℕ → ((𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))))
37 sq0i 14153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 0 → (𝑏↑2) = 0)
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏 = 0 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → (𝑏↑2) = 0)
3938oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 = 0 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑎↑2) + 0))
40 nncn 12216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ ℂ)
4140sqcld 14105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 ∈ ℕ → (𝑎↑2) ∈ ℂ)
4241addridd 11410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ ℕ → ((𝑎↑2) + 0) = (𝑎↑2))
4342adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 = 0 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((𝑎↑2) + 0) = (𝑎↑2))
4439, 43eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 = 0 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑎↑2))
4544eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 = 0 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) ↔ 𝑃 = (𝑎↑2)))
46 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 = (𝑎↑2) → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑎↑2) ∈ ℙ))
4746adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑃 = (𝑎↑2)) → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑎↑2) ∈ ℙ))
48 nnz 12575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ ℤ)
49 sqnprm 16635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 ∈ ℤ → ¬ (𝑎↑2) ∈ ℙ)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 ∈ ℕ → ¬ (𝑎↑2) ∈ ℙ)
5150pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 ∈ ℕ → ((𝑎↑2) ∈ ℙ → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
5251adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑃 = (𝑎↑2)) → ((𝑎↑2) ∈ ℙ → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
5347, 52sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑃 = (𝑎↑2)) → (𝑃 ∈ ℙ → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
5453ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℕ → (𝑃 = (𝑎↑2) → (𝑃 ∈ ℙ → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
5554adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 = 0 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → (𝑃 = (𝑎↑2) → (𝑃 ∈ ℙ → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
5645, 55sylbid 239 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 = 0 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → (𝑃 ∈ ℙ → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
5756com23 86 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 = 0 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
5857ex 413 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 0 → (𝑎 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))))
5914, 37oveqan12rd 7425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 = 0 ∧ 𝑎 = 0) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (0 + 0))
60 00id 11385 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + 0) = 0
6159, 60eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 = 0 ∧ 𝑎 = 0) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 0)
6261eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 = 0 ∧ 𝑎 = 0) → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) ↔ 𝑃 = 0))
63 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 = 0 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 0 ∈ ℙ))
64 0nprm 16611 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ¬ 0 ∈ ℙ
6564pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ∈ ℙ → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
6663, 65syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 = 0 → (𝑃 ∈ ℙ → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
6762, 66syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 = 0 ∧ 𝑎 = 0) → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → (𝑃 ∈ ℙ → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
6867com23 86 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 = 0 ∧ 𝑎 = 0) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
6968ex 413 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 0 → (𝑎 = 0 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))))
7058, 69jaod 857 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 0 → ((𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))))
7136, 70jaoi 855 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∨ 𝑏 = 0) → ((𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))))
723, 71sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))))
7372com12 32 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0) → (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))))
742, 73sylbi 216 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))))
7574imp 407 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
7675com12 32 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0) → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
7776adantr 481 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0) → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
7877rexlimdvv 3210 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
791, 78mpd 15 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3070  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  cn 12208  2c2 12263  4c4 12265  0cn0 12468  cz 12554   mod cmo 13830  cexp 14023  cprime 16604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-phi 16695  df-pc 16766  df-gz 16859  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-imas 17450  df-qus 17451  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-nsg 18998  df-eqg 18999  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-srg 20003  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-rnghom 20243  df-nzr 20284  df-drng 20309  df-field 20310  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-lidl 20779  df-rsp 20780  df-2idl 20849  df-rlreg 20891  df-domn 20892  df-idom 20893  df-cnfld 20937  df-zring 21010  df-zrh 21044  df-zn 21047  df-assa 21399  df-asp 21400  df-ascl 21401  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-evls 21626  df-evl 21627  df-psr1 21695  df-vr1 21696  df-ply1 21697  df-coe1 21698  df-evl1 21826  df-mdeg 25561  df-deg1 25562  df-mon1 25639  df-uc1p 25640  df-q1p 25641  df-r1p 25642  df-lgs 26787
This theorem is referenced by:  2sqreunnlem1  26941
  Copyright terms: Public domain W3C validator