Theorem tcphphl 25215

Description: Augmentation of a subcomplex pre-Hilbert space with a norm does not affect whether it is still a pre-Hilbert space (because all the original components are the same). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
tcphval.n	⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tcphphl	⊢ (𝑊 ∈ PreHil ↔ 𝐺 ∈ PreHil)

Proof of Theorem tcphphl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2742	. . 3 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
2		tcphval.n	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
3		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4	2, 3	tcphbas 25207	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝐺)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑊) = (Base‘𝐺))
6		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
7	2, 6	tchplusg 25208	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝐺)
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (+g‘𝑊) = (+g‘𝐺))
9	8	oveqdr 7387	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
10		eqidd 2742	. . 3 ⊢ (⊤ → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
11		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
12	2, 11	tcphsca 25211	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝐺)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝐺))
14		eqid 2741	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
15		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
16	2, 15	tcphvsca 25212	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝐺)
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝐺))
18	17	oveqdr 7387	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐺)𝑦))
19		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
20	2, 19	tcphip 25213	. . . . 5 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝐺)
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝐺))
22	21	oveqdr 7387	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖‘𝐺)𝑦))
23	1, 5, 9, 10, 13, 14, 18, 22	phlpropd 21633	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑊 ∈ PreHil ↔ 𝐺 ∈ PreHil))
24	23	mptru 1555	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil ↔ 𝐺 ∈ PreHil)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548  ⊤wtru 1549   ∈ wcel 2121  ‘cfv 6488  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215  Scalarcsca 17218   ·_𝑠 cvsca 17219  ·_𝑖cip 17220  PreHilcphl 21602  toℂPreHilctcph 25155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111  ax-pre-sup 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-div 11804  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-rp 12938  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ds 17237  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-grp 18907  df-ghm 19183  df-mgp 20116  df-ur 20157  df-ring 20210  df-lmod 20855  df-lmhm 21015  df-lvec 21096  df-sra 21166  df-rgmod 21167  df-phl 21604  df-tng 24570  df-tcph 25157

This theorem is referenced by:  tcphcph  25225