MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcphphl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tcphphl 25273
Description: Augmentation of a subcomplex pre-Hilbert space with a norm does not affect whether it is still a pre-Hilbert space (because all the original components are the same). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tcphval.n 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
tcphphl (𝑊 ∈ PreHil ↔ 𝐺 ∈ PreHil)

Proof of Theorem tcphphl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2735 . . 3 (⊤ → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
2 tcphval.n . . . . 5 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
3 eqid 2734 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
42, 3tcphbas 25265 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝐺)
54a1i 11 . . 3 (⊤ → (Base‘𝑊) = (Base‘𝐺))
6 eqid 2734 . . . . . 6 (+g𝑊) = (+g𝑊)
72, 6tchplusg 25266 . . . . 5 (+g𝑊) = (+g𝐺)
87a1i 11 . . . 4 (⊤ → (+g𝑊) = (+g𝐺))
98oveqdr 7473 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(+g𝑊)𝑦) = (𝑥(+g𝐺)𝑦))
10 eqidd 2735 . . 3 (⊤ → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
11 eqid 2734 . . . . 5 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
122, 11tcphsca 25269 . . . 4 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝐺)
1312a1i 11 . . 3 (⊤ → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝐺))
14 eqid 2734 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
15 eqid 2734 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
162, 15tcphvsca 25270 . . . . 5 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝐺)
1716a1i 11 . . . 4 (⊤ → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝐺))
1817oveqdr 7473 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) = (𝑥( ·𝑠𝐺)𝑦))
19 eqid 2734 . . . . . 6 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
202, 19tcphip 25271 . . . . 5 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝐺)
2120a1i 11 . . . 4 (⊤ → (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝐺))
2221oveqdr 7473 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖𝐺)𝑦))
231, 5, 9, 10, 13, 14, 18, 22phlpropd 21691 . 2 (⊤ → (𝑊 ∈ PreHil ↔ 𝐺 ∈ PreHil))
2423mptru 1544 1 (𝑊 ∈ PreHil ↔ 𝐺 ∈ PreHil)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wtru 1538  wcel 2103  cfv 6572  Basecbs 17253  +gcplusg 17306  Scalarcsca 17309   ·𝑠 cvsca 17310  ·𝑖cip 17311  PreHilcphl 21660  toℂPreHilctcph 25213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-pre-sup 11258
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-er 8759  df-map 8882  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-sup 9507  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12550  df-z 12636  df-dec 12755  df-uz 12900  df-rp 13054  df-seq 14049  df-exp 14109  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sqrt 15280  df-abs 15281  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-ress 17283  df-plusg 17319  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ds 17328  df-0g 17496  df-mgm 18673  df-sgrp 18752  df-mnd 18768  df-mhm 18813  df-grp 18971  df-ghm 19248  df-mgp 20157  df-ur 20204  df-ring 20257  df-lmod 20877  df-lmhm 21039  df-lvec 21120  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-phl 21662  df-tng 24611  df-tcph 25215
This theorem is referenced by:  tcphcph  25283
  Copyright terms: Public domain W3C validator