Theorem tcphphl 25134

Description: Augmentation of a subcomplex pre-Hilbert space with a norm does not affect whether it is still a pre-Hilbert space (because all the original components are the same). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
tcphval.n	⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tcphphl	⊢ (𝑊 ∈ PreHil ↔ 𝐺 ∈ PreHil)

Proof of Theorem tcphphl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2731	. . 3 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
2		tcphval.n	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
3		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4	2, 3	tcphbas 25126	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝐺)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑊) = (Base‘𝐺))
6		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
7	2, 6	tchplusg 25127	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝐺)
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (+g‘𝑊) = (+g‘𝐺))
9	8	oveqdr 7422	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
10		eqidd 2731	. . 3 ⊢ (⊤ → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
11		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
12	2, 11	tcphsca 25130	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝐺)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝐺))
14		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
15		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
16	2, 15	tcphvsca 25131	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝐺)
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝐺))
18	17	oveqdr 7422	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐺)𝑦))
19		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
20	2, 19	tcphip 25132	. . . . 5 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝐺)
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝐺))
22	21	oveqdr 7422	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖‘𝐺)𝑦))
23	1, 5, 9, 10, 13, 14, 18, 22	phlpropd 21570	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑊 ∈ PreHil ↔ 𝐺 ∈ PreHil))
24	23	mptru 1547	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil ↔ 𝐺 ∈ PreHil)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6519  Basecbs 17185  +_gcplusg 17226  Scalarcsca 17229   ·_𝑠 cvsca 17230  ·_𝑖cip 17231  PreHilcphl 21539  toℂPreHilctcph 25074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163  ax-pre-sup 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-er 8682  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-sup 9411  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-div 11852  df-nn 12198  df-2 12260  df-3 12261  df-4 12262  df-5 12263  df-6 12264  df-7 12265  df-8 12266  df-9 12267  df-n0 12459  df-z 12546  df-dec 12666  df-uz 12810  df-rp 12966  df-seq 13977  df-exp 14037  df-cj 15075  df-re 15076  df-im 15077  df-sqrt 15211  df-abs 15212  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ds 17248  df-0g 17410  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18716  df-grp 18874  df-ghm 19151  df-mgp 20056  df-ur 20097  df-ring 20150  df-lmod 20774  df-lmhm 20935  df-lvec 21016  df-sra 21086  df-rgmod 21087  df-phl 21541  df-tng 24478  df-tcph 25076

This theorem is referenced by:  tcphcph  25144