Theorem tcphphl 25125

Description: Augmentation of a subcomplex pre-Hilbert space with a norm does not affect whether it is still a pre-Hilbert space (because all the original components are the same). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
tcphval.n	⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tcphphl	⊢ (𝑊 ∈ PreHil ↔ 𝐺 ∈ PreHil)

Proof of Theorem tcphphl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2730	. . 3 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
2		tcphval.n	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
3		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4	2, 3	tcphbas 25117	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝐺)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑊) = (Base‘𝐺))
6		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
7	2, 6	tchplusg 25118	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝐺)
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (+g‘𝑊) = (+g‘𝐺))
9	8	oveqdr 7377	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
10		eqidd 2730	. . 3 ⊢ (⊤ → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
11		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
12	2, 11	tcphsca 25121	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝐺)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝐺))
14		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
15		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
16	2, 15	tcphvsca 25122	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝐺)
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝐺))
18	17	oveqdr 7377	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐺)𝑦))
19		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
20	2, 19	tcphip 25123	. . . . 5 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝐺)
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝐺))
22	21	oveqdr 7377	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖‘𝐺)𝑦))
23	1, 5, 9, 10, 13, 14, 18, 22	phlpropd 21562	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑊 ∈ PreHil ↔ 𝐺 ∈ PreHil))
24	23	mptru 1547	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil ↔ 𝐺 ∈ PreHil)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  Scalarcsca 17164   ·_𝑠 cvsca 17165  ·_𝑖cip 17166  PreHilcphl 21531  toℂPreHilctcph 25065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-rp 12894  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ds 17183  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-grp 18815  df-ghm 19092  df-mgp 20026  df-ur 20067  df-ring 20120  df-lmod 20765  df-lmhm 20926  df-lvec 21007  df-sra 21077  df-rgmod 21078  df-phl 21533  df-tng 24470  df-tcph 25067

This theorem is referenced by:  tcphcph  25135