Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrxtopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxtopn 42717
 Description: The topology of the generalized real Euclidean space. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
rrxtopn.1 (𝜑𝐼𝑉)
Assertion
Ref Expression
rrxtopn (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (MetOpen‘(𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼,𝑔,𝑥   𝑓,𝑉,𝑔,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rrxtopn
StepHypRef Expression
1 rrxtopn.1 . . . . 5 (𝜑𝐼𝑉)
2 eqid 2820 . . . . . 6 (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
32rrxval 23970 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (ℝ^‘𝐼) = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
41, 3syl 17 . . . 4 (𝜑 → (ℝ^‘𝐼) = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
54fveq2d 6650 . . 3 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (TopOpen‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
6 ovex 7166 . . . . 5 (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ V
7 eqid 2820 . . . . . 6 (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
8 eqid 2820 . . . . . 6 (dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
9 eqid 2820 . . . . . 6 (TopOpen‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (TopOpen‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
107, 8, 9tcphtopn 23809 . . . . 5 ((ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ V → (TopOpen‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (MetOpen‘(dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))))
116, 10ax-mp 5 . . . 4 (TopOpen‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (MetOpen‘(dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
1211a1i 11 . . 3 (𝜑 → (TopOpen‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (MetOpen‘(dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))))
134eqcomd 2826 . . . . 5 (𝜑 → (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (ℝ^‘𝐼))
1413fveq2d 6650 . . . 4 (𝜑 → (dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (dist‘(ℝ^‘𝐼)))
1514fveq2d 6650 . . 3 (𝜑 → (MetOpen‘(dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))) = (MetOpen‘(dist‘(ℝ^‘𝐼))))
165, 12, 153eqtrd 2859 . 2 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (MetOpen‘(dist‘(ℝ^‘𝐼))))
17 eqid 2820 . . . . . 6 (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (Base‘(ℝ^‘𝐼))
182, 17rrxds 23976 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) = (dist‘(ℝ^‘𝐼)))
191, 18syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) = (dist‘(ℝ^‘𝐼)))
2019eqcomd 2826 . . 3 (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))))
2120fveq2d 6650 . 2 (𝜑 → (MetOpen‘(dist‘(ℝ^‘𝐼))) = (MetOpen‘(𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))))))
2216, 21eqtrd 2855 1 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (MetOpen‘(𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3473   ↦ cmpt 5122  ‘cfv 6331  (class class class)co 7133   ∈ cmpo 7135   − cmin 10848  2c2 11671  ↑cexp 13414  √csqrt 14572  Basecbs 16462  distcds 16553  TopOpenctopn 16674   Σg cgsu 16693  MetOpencmopn 20511  ℝfldcrefld 20724   freeLMod cfrlm 20866  toℂPreHilctcph 23751  ℝ^crrx 23966 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593  ax-addf 10594  ax-mulf 10595 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-of 7387  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-supp 7809  df-tpos 7870  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-ixp 8440  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-fsupp 8812  df-sup 8884  df-inf 8885  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-z 11961  df-dec 12078  df-uz 12223  df-q 12328  df-rp 12369  df-xneg 12486  df-xadd 12487  df-xmul 12488  df-fz 12877  df-seq 13354  df-exp 13415  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-hom 16568  df-cco 16569  df-rest 16675  df-topn 16676  df-0g 16694  df-topgen 16696  df-prds 16700  df-pws 16702  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-mhm 17935  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-subg 18255  df-ghm 18335  df-cmn 18887  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-cring 19279  df-oppr 19352  df-dvdsr 19370  df-unit 19371  df-invr 19401  df-dvr 19412  df-rnghom 19446  df-drng 19480  df-field 19481  df-subrg 19509  df-staf 19592  df-srng 19593  df-lmod 19612  df-lss 19680  df-sra 19920  df-rgmod 19921  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-cnfld 20522  df-refld 20725  df-dsmm 20852  df-frlm 20867  df-top 21478  df-topon 21495  df-bases 21530  df-nm 23168  df-tng 23170  df-tcph 23753  df-rrx 23968 This theorem is referenced by:  rrxtopnfi  42720
 Copyright terms: Public domain W3C validator