Theorem rrxtopn 47430

Description: The topology of the generalized real Euclidean space. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
rrxtopn.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
rrxtopn	⊢ (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (MetOpen‘(𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2)))))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼,𝑔,𝑥   𝑓,𝑉,𝑔,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑓, 𝑔)

Proof of Theorem rrxtopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxtopn.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
3	2	rrxval 25717	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (ℝ^‘𝐼) = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
4	1, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ^‘𝐼) = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
5	4	fveq2d 6894	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (TopOpen‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
6		ovex 7457	. . . . 5 ⊢ (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ V
7		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
8		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
9		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (TopOpen‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
10	7, 8, 9	tcphtopn 25556	. . . . 5 ⊢ ((ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ V → (TopOpen‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (MetOpen‘(dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))))
11	6, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (MetOpen‘(dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (MetOpen‘(dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))))
13	4	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (ℝ^‘𝐼))
14	13	fveq2d 6894	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (dist‘(ℝ^‘𝐼)))
15	14	fveq2d 6894	. . 3 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘(dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))) = (MetOpen‘(dist‘(ℝ^‘𝐼))))
16	5, 12, 15	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (MetOpen‘(dist‘(ℝ^‘𝐼))))
17		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (Base‘(ℝ^‘𝐼))
18	2, 17	rrxds 25723	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2))))) = (dist‘(ℝ^‘𝐼)))
19	1, 18	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2))))) = (dist‘(ℝ^‘𝐼)))
20	19	eqcomd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2))))))
21	20	fveq2d 6894	. 2 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘(dist‘(ℝ^‘𝐼))) = (MetOpen‘(𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2)))))))
22	16, 21	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (MetOpen‘(𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2)))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ∈ cmpo 7426   − cmin 11548  2c2 12404  ↑cexp 14211  √csqrt 15409  Basecbs 17396  distcds 17446  TopOpenctopn 17601   Σ_g cgsu 17620  MetOpencmopn 21677  ℝ_fldcrefld 21919   freeLMod cfrlm 22061  toℂPreHilctcph 25497  ℝ^crrx 25713

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285  ax-addf 11286  ax-mulf 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8185  df-tpos 8251  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-er 8725  df-map 8857  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9362  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-fz 13647  df-seq 14152  df-exp 14212  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-unif 17460  df-hom 17461  df-cco 17462  df-rest 17602  df-topn 17603  df-0g 17621  df-topgen 17623  df-prds 17627  df-pws 17629  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-mhm 18987  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-subg 19342  df-ghm 19437  df-cmn 20005  df-abl 20006  df-mgp 20370  df-rng 20384  df-ur 20417  df-ring 20470  df-cring 20471  df-oppr 20576  df-dvdsr 20596  df-unit 20597  df-invr 20627  df-dvr 20640  df-rhm 20711  df-subrng 20807  df-subrg 20831  df-drng 20991  df-field 20992  df-staf 21105  df-srng 21106  df-lmod 21146  df-lss 21216  df-sra 21457  df-rgmod 21458  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-cnfld 21688  df-refld 21920  df-dsmm 22047  df-frlm 22062  df-top 23221  df-topon 23238  df-bases 23273  df-nm 24910  df-tng 24912  df-tcph 25499  df-rrx 25715

This theorem is used by:  rrxtopnfi  47433