Theorem rrxtopn 47056

Description: The topology of the generalized real Euclidean space. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
rrxtopn.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
rrxtopn	⊢ (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (MetOpen‘(𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2)))))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼,𝑔,𝑥   𝑓,𝑉,𝑔,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑓, 𝑔)

Proof of Theorem rrxtopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxtopn.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
3	2	rrxval 25597	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (ℝ^‘𝐼) = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
4	1, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ^‘𝐼) = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
5	4	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (TopOpen‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
6		ovex 7452	. . . . 5 ⊢ (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ V
7		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
8		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
9		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (TopOpen‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
10	7, 8, 9	tcphtopn 25436	. . . . 5 ⊢ ((ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ V → (TopOpen‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (MetOpen‘(dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))))
11	6, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (MetOpen‘(dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (MetOpen‘(dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))))
13	4	eqcomd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (ℝ^‘𝐼))
14	13	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (dist‘(ℝ^‘𝐼)))
15	14	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘(dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))) = (MetOpen‘(dist‘(ℝ^‘𝐼))))
16	5, 12, 15	3eqtrd 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (MetOpen‘(dist‘(ℝ^‘𝐼))))
17		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (Base‘(ℝ^‘𝐼))
18	2, 17	rrxds 25603	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2))))) = (dist‘(ℝ^‘𝐼)))
19	1, 18	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2))))) = (dist‘(ℝ^‘𝐼)))
20	19	eqcomd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2))))))
21	20	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘(dist‘(ℝ^‘𝐼))) = (MetOpen‘(𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2)))))))
22	16, 21	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (MetOpen‘(𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2)))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ∈ cmpo 7421   − cmin 11456  2c2 12310  ↑cexp 14115  √csqrt 15308  Basecbs 17291  distcds 17341  TopOpenctopn 17496   Σ_g cgsu 17515  MetOpencmopn 21562  ℝ_fldcrefld 21804   freeLMod cfrlm 21946  toℂPreHilctcph 25377  ℝ^crrx 25593

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193  ax-addf 11194  ax-mulf 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13153  df-xadd 13154  df-xmul 13155  df-fz 13552  df-seq 14056  df-exp 14116  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-starv 17347  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-ip 17350  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-unif 17355  df-hom 17356  df-cco 17357  df-rest 17497  df-topn 17498  df-0g 17516  df-topgen 17518  df-prds 17522  df-pws 17524  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-mhm 18878  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-sbg 19049  df-subg 19233  df-ghm 19328  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-rng 20275  df-ur 20308  df-ring 20361  df-cring 20362  df-oppr 20465  df-dvdsr 20485  df-unit 20486  df-invr 20516  df-dvr 20529  df-rhm 20600  df-subrng 20695  df-subrg 20719  df-drng 20879  df-field 20880  df-staf 20992  df-srng 20993  df-lmod 21033  df-lss 21103  df-sra 21344  df-rgmod 21345  df-psmet 21564  df-xmet 21565  df-bl 21567  df-mopn 21568  df-cnfld 21573  df-refld 21805  df-dsmm 21932  df-frlm 21947  df-top 23101  df-topon 23118  df-bases 23153  df-nm 24790  df-tng 24792  df-tcph 25379  df-rrx 25595

This theorem is used by:  rrxtopnfi  47059