Theorem telfsumo2 15764

Description: Sum of a telescoping series. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
telfsumo.1	⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐴 = 𝐵)
telfsumo.2	⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
telfsumo.3	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐷)
telfsumo.4	⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐸)
telfsumo.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
telfsumo.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
telfsumo2	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝐷(𝑗)   𝐸(𝑗)

Proof of Theorem telfsumo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		telfsumo.1	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐴 = 𝐵)
2	1	negeqd 11385	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → -𝐴 = -𝐵)
3		telfsumo.2	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
4	3	negeqd 11385	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → -𝐴 = -𝐶)
5		telfsumo.3	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐷)
6	5	negeqd 11385	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → -𝐴 = -𝐷)
7		telfsumo.4	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐸)
8	7	negeqd 11385	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → -𝐴 = -𝐸)
9		telfsumo.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10		telfsumo.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
11	10	negcld 11490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → -𝐴 ∈ ℂ)
12	2, 4, 6, 8, 9, 11	telfsumo 15763	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(-𝐵 − -𝐶) = (-𝐷 − -𝐸))
13	10	ralrimiva 3132	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
14		elfzofz 13628	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
15	1	eleq1d 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
16	15	rspccva 3566	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
17	13, 14, 16	syl2an 602	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
18		fzofzp1 13717	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
19	3	eleq1d 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
20	19	rspccva 3566	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
21	13, 18, 20	syl2an 602	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
22	17, 21	neg2subd 11520	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (-𝐵 − -𝐶) = (𝐶 − 𝐵))
23	22	sumeq2dv 15662	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(-𝐵 − -𝐶) = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 − 𝐵))
24	5	eleq1d 2825	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐷 ∈ ℂ))
25		eluzfz1 13483	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
26	9, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
27	24, 13, 26	rspcdva 3568	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
28	7	eleq1d 2825	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐸 ∈ ℂ))
29		eluzfz2 13484	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
30	9, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
31	28, 13, 30	rspcdva 3568	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
32	27, 31	neg2subd 11520	. 2 ⊢ (𝜑 → (-𝐷 − -𝐸) = (𝐸 − 𝐷))
33	12, 23, 32	3eqtr3d 2783	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  1c1 11037   + caddc 11039   − cmin 11375  -cneg 11376  ℤ_≥cuz 12786  ...cfz 13459  ..^cfzo 13606  Σcsu 15646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-exp 14022  df-hash 14291  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-clim 15448  df-sum 15647

This theorem is referenced by:  telfsum2  15766  dvfsumle  26013  dvfsumabs  26015  advlogexp  26644