MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  telfsumo2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem telfsumo2 15807
Description: Sum of a telescoping series. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
telfsumo.1 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝐵)
telfsumo.2 (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
telfsumo.3 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐷)
telfsumo.4 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐸)
telfsumo.5 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
telfsumo.6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
telfsumo2 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶𝐵) = (𝐸𝐷))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝐷(𝑗)   𝐸(𝑗)

Proof of Theorem telfsumo2
StepHypRef Expression
1 telfsumo.1 . . . 4 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝐵)
21negeqd 11504 . . 3 (𝑘 = 𝑗 → -𝐴 = -𝐵)
3 telfsumo.2 . . . 4 (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
43negeqd 11504 . . 3 (𝑘 = (𝑗 + 1) → -𝐴 = -𝐶)
5 telfsumo.3 . . . 4 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐷)
65negeqd 11504 . . 3 (𝑘 = 𝑀 → -𝐴 = -𝐷)
7 telfsumo.4 . . . 4 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐸)
87negeqd 11504 . . 3 (𝑘 = 𝑁 → -𝐴 = -𝐸)
9 telfsumo.5 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
10 telfsumo.6 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
1110negcld 11608 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → -𝐴 ∈ ℂ)
122, 4, 6, 8, 9, 11telfsumo 15806 . 2 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(-𝐵 − -𝐶) = (-𝐷 − -𝐸))
1310ralrimiva 3136 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
14 elfzofz 13702 . . . . 5 (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
151eleq1d 2811 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
1615rspccva 3607 . . . . 5 ((∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
1713, 14, 16syl2an 594 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
18 fzofzp1 13784 . . . . 5 (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
193eleq1d 2811 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
2019rspccva 3607 . . . . 5 ((∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
2113, 18, 20syl2an 594 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
2217, 21neg2subd 11638 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (-𝐵 − -𝐶) = (𝐶𝐵))
2322sumeq2dv 15707 . 2 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(-𝐵 − -𝐶) = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶𝐵))
245eleq1d 2811 . . . 4 (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐷 ∈ ℂ))
25 eluzfz1 13562 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
269, 25syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
2724, 13, 26rspcdva 3609 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
287eleq1d 2811 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐸 ∈ ℂ))
29 eluzfz2 13563 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
309, 29syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
3128, 13, 30rspcdva 3609 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
3227, 31neg2subd 11638 . 2 (𝜑 → (-𝐷 − -𝐸) = (𝐸𝐷))
3312, 23, 323eqtr3d 2774 1 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶𝐵) = (𝐸𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  cfv 6554  (class class class)co 7424  cc 11156  1c1 11159   + caddc 11161  cmin 11494  -cneg 11495  cuz 12874  ...cfz 13538  ..^cfzo 13681  Σcsu 15690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-clim 15490  df-sum 15691
This theorem is referenced by:  telfsum2  15809  dvfsumle  26045  dvfsumleOLD  26046  dvfsumabs  26048  advlogexp  26682
  Copyright terms: Public domain W3C validator