Theorem telfsumo2 15459

Description: Sum of a telescoping series. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
telfsumo.1	⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐴 = 𝐵)
telfsumo.2	⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
telfsumo.3	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐷)
telfsumo.4	⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐸)
telfsumo.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
telfsumo.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
telfsumo2	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝐷(𝑗)   𝐸(𝑗)

Proof of Theorem telfsumo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		telfsumo.1	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐴 = 𝐵)
2	1	negeqd 11161	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → -𝐴 = -𝐵)
3		telfsumo.2	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
4	3	negeqd 11161	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → -𝐴 = -𝐶)
5		telfsumo.3	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐷)
6	5	negeqd 11161	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → -𝐴 = -𝐷)
7		telfsumo.4	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐸)
8	7	negeqd 11161	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → -𝐴 = -𝐸)
9		telfsumo.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10		telfsumo.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
11	10	negcld 11265	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → -𝐴 ∈ ℂ)
12	2, 4, 6, 8, 9, 11	telfsumo 15458	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(-𝐵 − -𝐶) = (-𝐷 − -𝐸))
13	10	ralrimiva 3106	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
14		elfzofz 13347	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
15	1	eleq1d 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
16	15	rspccva 3556	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
17	13, 14, 16	syl2an 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
18		fzofzp1 13428	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
19	3	eleq1d 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
20	19	rspccva 3556	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
21	13, 18, 20	syl2an 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
22	17, 21	neg2subd 11295	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (-𝐵 − -𝐶) = (𝐶 − 𝐵))
23	22	sumeq2dv 15359	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(-𝐵 − -𝐶) = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 − 𝐵))
24	5	eleq1d 2821	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐷 ∈ ℂ))
25		eluzfz1 13208	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
26	9, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
27	24, 13, 26	rspcdva 3559	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
28	7	eleq1d 2821	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐸 ∈ ℂ))
29		eluzfz2 13209	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
30	9, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
31	28, 13, 30	rspcdva 3559	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
32	27, 31	neg2subd 11295	. 2 ⊢ (𝜑 → (-𝐷 − -𝐸) = (𝐸 − 𝐷))
33	12, 23, 32	3eqtr3d 2785	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ‘cfv 6423  (class class class)co 7260  ℂcc 10816  1c1 10819   + caddc 10821   − cmin 11151  -cneg 11152  ℤ_≥cuz 12527  ...cfz 13184  ..^cfzo 13327  Σcsu 15341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7571  ax-inf2 9345  ax-cnex 10874  ax-resscn 10875  ax-1cn 10876  ax-icn 10877  ax-addcl 10878  ax-addrcl 10879  ax-mulcl 10880  ax-mulrcl 10881  ax-mulcom 10882  ax-addass 10883  ax-mulass 10884  ax-distr 10885  ax-i2m1 10886  ax-1ne0 10887  ax-1rid 10888  ax-rnegex 10889  ax-rrecex 10890  ax-cnre 10891  ax-pre-lttri 10892  ax-pre-lttrn 10893  ax-pre-ltadd 10894  ax-pre-mulgt0 10895  ax-pre-sup 10896

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3429  df-sbc 3717  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-se 5541  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6259  df-on 6260  df-lim 6261  df-suc 6262  df-iota 6381  df-fun 6425  df-fn 6426  df-f 6427  df-f1 6428  df-fo 6429  df-f1o 6430  df-fv 6431  df-isom 6432  df-riota 7217  df-ov 7263  df-oprab 7264  df-mpo 7265  df-om 7693  df-1st 7809  df-2nd 7810  df-frecs 8073  df-wrecs 8104  df-recs 8178  df-rdg 8217  df-1o 8272  df-er 8461  df-en 8697  df-dom 8698  df-sdom 8699  df-fin 8700  df-sup 9147  df-oi 9215  df-card 9644  df-pnf 10958  df-mnf 10959  df-xr 10960  df-ltxr 10961  df-le 10962  df-sub 11153  df-neg 11154  df-div 11579  df-nn 11920  df-2 11982  df-3 11983  df-n0 12180  df-z 12266  df-uz 12528  df-rp 12676  df-fz 13185  df-fzo 13328  df-seq 13666  df-exp 13727  df-hash 13989  df-cj 14754  df-re 14755  df-im 14756  df-sqrt 14890  df-abs 14891  df-clim 15141  df-sum 15342

This theorem is referenced by:  telfsum2  15461  dvfsumle  25128  dvfsumabs  25130  advlogexp  25753