Theorem thinccisod 49447

Description: Two thin categories are isomorphic if the induced preorders are order-isomorphic (deduction form). Example 3.26(2) of [Adamek] p. 33. (Contributed by Zhi Wang, 22-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
thinccisod.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
thinccisod.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑋)
thinccisod.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑌)
thinccisod.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝑋)
thinccisod.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝑌)
thinccisod.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
thinccisod.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
thinccisod.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
thinccisod.xt	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ThinCat)
thinccisod.yt	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ThinCat)
thinccisod.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑅–1-1-onto→𝑆)
thinccisod.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) → ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))

Assertion

Ref	Expression
thinccisod	⊢ (𝜑 → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem thinccisod

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		thinccisod.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑅–1-1-onto→𝑆)
2		f1of 6803	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑅–1-1-onto→𝑆 → 𝐹:𝑅⟶𝑆)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑅⟶𝑆)
4		thinccisod.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑋)
5		fvexd 6876	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑋) ∈ V)
6	4, 5	eqeltrid 2833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
7	3, 6	fexd 7204	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
8		thinccisod.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) → ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))
9	8	ralrimivva 3181	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))
10	9, 1	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) ∧ 𝐹:𝑅–1-1-onto→𝑆))
11		fveq1 6860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
12		fveq1 6860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
13	11, 12	oveq12d 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘𝑥)𝐽(𝑓‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
14	13	eqeq1d 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓‘𝑥)𝐽(𝑓‘𝑦)) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))
15	14	bibi2d 342	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝑓‘𝑥)𝐽(𝑓‘𝑦)) = ∅) ↔ ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)))
16	15	2ralbidv 3202	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝑓‘𝑥)𝐽(𝑓‘𝑦)) = ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)))
17		f1oeq1 6791	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝑅–1-1-onto→𝑆 ↔ 𝐹:𝑅–1-1-onto→𝑆))
18	16, 17	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝑓‘𝑥)𝐽(𝑓‘𝑦)) = ∅) ∧ 𝑓:𝑅–1-1-onto→𝑆) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) ∧ 𝐹:𝑅–1-1-onto→𝑆)))
19	7, 10, 18	spcedv 3567	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝑓‘𝑥)𝐽(𝑓‘𝑦)) = ∅) ∧ 𝑓:𝑅–1-1-onto→𝑆))
20		thinccisod.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
21		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
22		thinccisod.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑌)
23		thinccisod.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝑋)
24		thinccisod.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝑌)
25		thinccisod.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
26		thinccisod.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
27		thinccisod.xt	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ThinCat)
28	27	thinccd 49416	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Cat)
29	26, 28	elind 4166	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
30	20, 21, 25	catcbas 18070	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Cat))
31	29, 30	eleqtrrd 2832	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
32		thinccisod.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
33		thinccisod.yt	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ThinCat)
34	33	thinccd 49416	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Cat)
35	32, 34	elind 4166	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
36	35, 30	eleqtrrd 2832	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
37	20, 21, 4, 22, 23, 24, 25, 31, 36, 27, 33	thincciso 49446	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ ∃𝑓(∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝑓‘𝑥)𝐽(𝑓‘𝑦)) = ∅) ∧ 𝑓:𝑅–1-1-onto→𝑆)))
38	19, 37	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  Vcvv 3450   ∩ cin 3916  ∅c0 4299   class class class wbr 5110  ⟶wf 6510  –1-1-onto→wf1o 6513  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  Hom chom 17238  Catccat 17632   ≃_𝑐 ccic 17764  CatCatccatc 18067  ThinCatcthinc 49410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-hom 17251  df-cco 17252  df-cat 17636  df-cid 17637  df-sect 17716  df-inv 17717  df-iso 17718  df-cic 17765  df-func 17827  df-idfu 17828  df-cofu 17829  df-full 17875  df-fth 17876  df-catc 18068  df-thinc 49411

This theorem is referenced by:  oduoppcciso  49559