Theorem thinccisod 49079

Description: Two thin categories are isomorphic if the induced preorders are order-isomorphic (deduction form). Example 3.26(2) of [Adamek] p. 33. (Contributed by Zhi Wang, 22-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
thinccisod.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
thinccisod.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑋)
thinccisod.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑌)
thinccisod.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝑋)
thinccisod.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝑌)
thinccisod.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
thinccisod.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
thinccisod.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
thinccisod.xt	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ThinCat)
thinccisod.yt	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ThinCat)
thinccisod.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑅–1-1-onto→𝑆)
thinccisod.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) → ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))

Assertion

Ref	Expression
thinccisod	⊢ (𝜑 → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem thinccisod

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		thinccisod.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑅–1-1-onto→𝑆)
2		f1of 6846	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑅–1-1-onto→𝑆 → 𝐹:𝑅⟶𝑆)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑅⟶𝑆)
4		thinccisod.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑋)
5		fvexd 6919	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑋) ∈ V)
6	4, 5	eqeltrid 2844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
7	3, 6	fexd 7245	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
8		thinccisod.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) → ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))
9	8	ralrimivva 3201	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))
10	9, 1	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) ∧ 𝐹:𝑅–1-1-onto→𝑆))
11		fveq1 6903	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
12		fveq1 6903	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
13	11, 12	oveq12d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘𝑥)𝐽(𝑓‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
14	13	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓‘𝑥)𝐽(𝑓‘𝑦)) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))
15	14	bibi2d 342	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝑓‘𝑥)𝐽(𝑓‘𝑦)) = ∅) ↔ ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)))
16	15	2ralbidv 3220	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝑓‘𝑥)𝐽(𝑓‘𝑦)) = ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)))
17		f1oeq1 6834	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝑅–1-1-onto→𝑆 ↔ 𝐹:𝑅–1-1-onto→𝑆))
18	16, 17	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝑓‘𝑥)𝐽(𝑓‘𝑦)) = ∅) ∧ 𝑓:𝑅–1-1-onto→𝑆) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) ∧ 𝐹:𝑅–1-1-onto→𝑆)))
19	7, 10, 18	spcedv 3597	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝑓‘𝑥)𝐽(𝑓‘𝑦)) = ∅) ∧ 𝑓:𝑅–1-1-onto→𝑆))
20		thinccisod.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
21		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
22		thinccisod.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑌)
23		thinccisod.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝑋)
24		thinccisod.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝑌)
25		thinccisod.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
26		thinccisod.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
27		thinccisod.xt	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ThinCat)
28	27	thinccd 49049	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Cat)
29	26, 28	elind 4199	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
30	20, 21, 25	catcbas 18142	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Cat))
31	29, 30	eleqtrrd 2843	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
32		thinccisod.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
33		thinccisod.yt	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ThinCat)
34	33	thinccd 49049	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Cat)
35	32, 34	elind 4199	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
36	35, 30	eleqtrrd 2843	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
37	20, 21, 4, 22, 23, 24, 25, 31, 36, 27, 33	thincciso 49078	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ ∃𝑓(∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝑓‘𝑥)𝐽(𝑓‘𝑦)) = ∅) ∧ 𝑓:𝑅–1-1-onto→𝑆)))
38	19, 37	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  ∀wral 3060  Vcvv 3479   ∩ cin 3949  ∅c0 4332   class class class wbr 5141  ⟶wf 6555  –1-1-onto→wf1o 6558  ‘cfv 6559  (class class class)co 7429  Basecbs 17243  Hom chom 17304  Catccat 17703   ≃_𝑐 ccic 17835  CatCatccatc 18139  ThinCatcthinc 49043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-supp 8182  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8502  df-er 8741  df-map 8864  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-nn 12263  df-2 12325  df-3 12326  df-4 12327  df-5 12328  df-6 12329  df-7 12330  df-8 12331  df-9 12332  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13544  df-struct 17180  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17244  df-hom 17317  df-cco 17318  df-cat 17707  df-cid 17708  df-sect 17787  df-inv 17788  df-iso 17789  df-cic 17836  df-func 17899  df-idfu 17900  df-cofu 17901  df-full 17947  df-fth 17948  df-catc 18140  df-thinc 49044

This theorem is referenced by:  oduoppcciso  49146