Theorem thinccisod 48849

Description: Two thin categories are isomorphic if the induced preorders are order-isomorphic (deduction form). Example 3.26(2) of [Adamek] p. 33. (Contributed by Zhi Wang, 22-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
thinccisod.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
thinccisod.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑋)
thinccisod.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑌)
thinccisod.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝑋)
thinccisod.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝑌)
thinccisod.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
thinccisod.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
thinccisod.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
thinccisod.xt	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ThinCat)
thinccisod.yt	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ThinCat)
thinccisod.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑅–1-1-onto→𝑆)
thinccisod.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) → ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))

Assertion

Ref	Expression
thinccisod	⊢ (𝜑 → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem thinccisod

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		thinccisod.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑅–1-1-onto→𝑆)
2		f1of 6848	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑅–1-1-onto→𝑆 → 𝐹:𝑅⟶𝑆)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑅⟶𝑆)
4		thinccisod.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑋)
5		fvexd 6921	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑋) ∈ V)
6	4, 5	eqeltrid 2842	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
7	3, 6	fexd 7246	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
8		thinccisod.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) → ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))
9	8	ralrimivva 3199	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))
10	9, 1	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) ∧ 𝐹:𝑅–1-1-onto→𝑆))
11		fveq1 6905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
12		fveq1 6905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
13	11, 12	oveq12d 7448	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘𝑥)𝐽(𝑓‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
14	13	eqeq1d 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓‘𝑥)𝐽(𝑓‘𝑦)) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))
15	14	bibi2d 342	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝑓‘𝑥)𝐽(𝑓‘𝑦)) = ∅) ↔ ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)))
16	15	2ralbidv 3218	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝑓‘𝑥)𝐽(𝑓‘𝑦)) = ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)))
17		f1oeq1 6836	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝑅–1-1-onto→𝑆 ↔ 𝐹:𝑅–1-1-onto→𝑆))
18	16, 17	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝑓‘𝑥)𝐽(𝑓‘𝑦)) = ∅) ∧ 𝑓:𝑅–1-1-onto→𝑆) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) ∧ 𝐹:𝑅–1-1-onto→𝑆)))
19	7, 10, 18	spcedv 3597	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝑓‘𝑥)𝐽(𝑓‘𝑦)) = ∅) ∧ 𝑓:𝑅–1-1-onto→𝑆))
20		thinccisod.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
21		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
22		thinccisod.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑌)
23		thinccisod.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝑋)
24		thinccisod.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝑌)
25		thinccisod.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
26		thinccisod.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
27		thinccisod.xt	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ThinCat)
28	27	thinccd 48824	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Cat)
29	26, 28	elind 4209	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
30	20, 21, 25	catcbas 18154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Cat))
31	29, 30	eleqtrrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
32		thinccisod.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
33		thinccisod.yt	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ThinCat)
34	33	thinccd 48824	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Cat)
35	32, 34	elind 4209	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
36	35, 30	eleqtrrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
37	20, 21, 4, 22, 23, 24, 25, 31, 36, 27, 33	thincciso 48848	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ ∃𝑓(∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝑓‘𝑥)𝐽(𝑓‘𝑦)) = ∅) ∧ 𝑓:𝑅–1-1-onto→𝑆)))
38	19, 37	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1536  ∃wex 1775   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058  Vcvv 3477   ∩ cin 3961  ∅c0 4338   class class class wbr 5147  ⟶wf 6558  –1-1-onto→wf1o 6561  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  Hom chom 17308  Catccat 17708   ≃_𝑐 ccic 17842  CatCatccatc 18151  ThinCatcthinc 48818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-hom 17321  df-cco 17322  df-cat 17712  df-cid 17713  df-sect 17794  df-inv 17795  df-iso 17796  df-cic 17843  df-func 17908  df-idfu 17909  df-cofu 17910  df-full 17957  df-fth 17958  df-catc 18152  df-thinc 48819

This theorem is referenced by:  oduoppcciso  48881