Theorem thinccisod 49288

Description: Two thin categories are isomorphic if the induced preorders are order-isomorphic (deduction form). Example 3.26(2) of [Adamek] p. 33. (Contributed by Zhi Wang, 22-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
thinccisod.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
thinccisod.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑋)
thinccisod.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑌)
thinccisod.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝑋)
thinccisod.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝑌)
thinccisod.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
thinccisod.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
thinccisod.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
thinccisod.xt	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ThinCat)
thinccisod.yt	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ThinCat)
thinccisod.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑅–1-1-onto→𝑆)
thinccisod.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) → ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))

Assertion

Ref	Expression
thinccisod	⊢ (𝜑 → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem thinccisod

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		thinccisod.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑅–1-1-onto→𝑆)
2		f1of 6817	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑅–1-1-onto→𝑆 → 𝐹:𝑅⟶𝑆)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑅⟶𝑆)
4		thinccisod.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑋)
5		fvexd 6890	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑋) ∈ V)
6	4, 5	eqeltrid 2838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
7	3, 6	fexd 7218	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
8		thinccisod.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) → ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))
9	8	ralrimivva 3187	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))
10	9, 1	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) ∧ 𝐹:𝑅–1-1-onto→𝑆))
11		fveq1 6874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
12		fveq1 6874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
13	11, 12	oveq12d 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘𝑥)𝐽(𝑓‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
14	13	eqeq1d 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓‘𝑥)𝐽(𝑓‘𝑦)) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))
15	14	bibi2d 342	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝑓‘𝑥)𝐽(𝑓‘𝑦)) = ∅) ↔ ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)))
16	15	2ralbidv 3205	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝑓‘𝑥)𝐽(𝑓‘𝑦)) = ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)))
17		f1oeq1 6805	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝑅–1-1-onto→𝑆 ↔ 𝐹:𝑅–1-1-onto→𝑆))
18	16, 17	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝑓‘𝑥)𝐽(𝑓‘𝑦)) = ∅) ∧ 𝑓:𝑅–1-1-onto→𝑆) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) ∧ 𝐹:𝑅–1-1-onto→𝑆)))
19	7, 10, 18	spcedv 3577	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝑓‘𝑥)𝐽(𝑓‘𝑦)) = ∅) ∧ 𝑓:𝑅–1-1-onto→𝑆))
20		thinccisod.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
21		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
22		thinccisod.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑌)
23		thinccisod.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝑋)
24		thinccisod.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝑌)
25		thinccisod.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
26		thinccisod.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
27		thinccisod.xt	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ThinCat)
28	27	thinccd 49257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Cat)
29	26, 28	elind 4175	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
30	20, 21, 25	catcbas 18112	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Cat))
31	29, 30	eleqtrrd 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
32		thinccisod.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
33		thinccisod.yt	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ThinCat)
34	33	thinccd 49257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Cat)
35	32, 34	elind 4175	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
36	35, 30	eleqtrrd 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
37	20, 21, 4, 22, 23, 24, 25, 31, 36, 27, 33	thincciso 49287	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ ∃𝑓(∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝑓‘𝑥)𝐽(𝑓‘𝑦)) = ∅) ∧ 𝑓:𝑅–1-1-onto→𝑆)))
38	19, 37	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  Vcvv 3459   ∩ cin 3925  ∅c0 4308   class class class wbr 5119  ⟶wf 6526  –1-1-onto→wf1o 6529  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  Basecbs 17226  Hom chom 17280  Catccat 17674   ≃_𝑐 ccic 17806  CatCatccatc 18109  ThinCatcthinc 49251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8717  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-fz 13523  df-struct 17164  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-hom 17293  df-cco 17294  df-cat 17678  df-cid 17679  df-sect 17758  df-inv 17759  df-iso 17760  df-cic 17807  df-func 17869  df-idfu 17870  df-cofu 17871  df-full 17917  df-fth 17918  df-catc 18110  df-thinc 49252

This theorem is referenced by:  oduoppcciso  49391