Theorem thinccisod 49423

Description: Two thin categories are isomorphic if the induced preorders are order-isomorphic (deduction form). Example 3.26(2) of [Adamek] p. 33. (Contributed by Zhi Wang, 22-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
thinccisod.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
thinccisod.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑋)
thinccisod.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑌)
thinccisod.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝑋)
thinccisod.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝑌)
thinccisod.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
thinccisod.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
thinccisod.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
thinccisod.xt	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ThinCat)
thinccisod.yt	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ThinCat)
thinccisod.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑅–1-1-onto→𝑆)
thinccisod.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) → ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))

Assertion

Ref	Expression
thinccisod	⊢ (𝜑 → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem thinccisod

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		thinccisod.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑅–1-1-onto→𝑆)
2		f1of 6802	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑅–1-1-onto→𝑆 → 𝐹:𝑅⟶𝑆)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑅⟶𝑆)
4		thinccisod.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑋)
5		fvexd 6875	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑋) ∈ V)
6	4, 5	eqeltrid 2833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
7	3, 6	fexd 7203	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
8		thinccisod.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) → ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))
9	8	ralrimivva 3181	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))
10	9, 1	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) ∧ 𝐹:𝑅–1-1-onto→𝑆))
11		fveq1 6859	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
12		fveq1 6859	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
13	11, 12	oveq12d 7407	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘𝑥)𝐽(𝑓‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
14	13	eqeq1d 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓‘𝑥)𝐽(𝑓‘𝑦)) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))
15	14	bibi2d 342	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝑓‘𝑥)𝐽(𝑓‘𝑦)) = ∅) ↔ ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)))
16	15	2ralbidv 3202	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝑓‘𝑥)𝐽(𝑓‘𝑦)) = ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)))
17		f1oeq1 6790	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝑅–1-1-onto→𝑆 ↔ 𝐹:𝑅–1-1-onto→𝑆))
18	16, 17	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝑓‘𝑥)𝐽(𝑓‘𝑦)) = ∅) ∧ 𝑓:𝑅–1-1-onto→𝑆) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) ∧ 𝐹:𝑅–1-1-onto→𝑆)))
19	7, 10, 18	spcedv 3567	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝑓‘𝑥)𝐽(𝑓‘𝑦)) = ∅) ∧ 𝑓:𝑅–1-1-onto→𝑆))
20		thinccisod.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
21		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
22		thinccisod.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑌)
23		thinccisod.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝑋)
24		thinccisod.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝑌)
25		thinccisod.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
26		thinccisod.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
27		thinccisod.xt	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ThinCat)
28	27	thinccd 49392	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Cat)
29	26, 28	elind 4165	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
30	20, 21, 25	catcbas 18069	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Cat))
31	29, 30	eleqtrrd 2832	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
32		thinccisod.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
33		thinccisod.yt	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ThinCat)
34	33	thinccd 49392	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Cat)
35	32, 34	elind 4165	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
36	35, 30	eleqtrrd 2832	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
37	20, 21, 4, 22, 23, 24, 25, 31, 36, 27, 33	thincciso 49422	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ ∃𝑓(∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑅 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ ((𝑓‘𝑥)𝐽(𝑓‘𝑦)) = ∅) ∧ 𝑓:𝑅–1-1-onto→𝑆)))
38	19, 37	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  Vcvv 3450   ∩ cin 3915  ∅c0 4298   class class class wbr 5109  ⟶wf 6509  –1-1-onto→wf1o 6512  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  Basecbs 17185  Hom chom 17237  Catccat 17631   ≃_𝑐 ccic 17763  CatCatccatc 18066  ThinCatcthinc 49386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-er 8673  df-map 8803  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-fz 13475  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-hom 17250  df-cco 17251  df-cat 17635  df-cid 17636  df-sect 17715  df-inv 17716  df-iso 17717  df-cic 17764  df-func 17826  df-idfu 17827  df-cofu 17828  df-full 17874  df-fth 17875  df-catc 18067  df-thinc 49387

This theorem is referenced by:  oduoppcciso  49535