Theorem oduoppcciso 49559

Description: The dual of a preordered set and the opposite category are category-isomorphic. Example 3.6(1) of [Adamek] p. 25. (Contributed by Zhi Wang, 22-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
prstcnid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
prstcnid.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
oduoppcbas.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (ProsetToCat‘(ODual‘𝐾)))
oduoppcbas.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oduoppcciso.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
oduoppcciso.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
oduoppcciso.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
oduoppcciso	⊢ (𝜑 → 𝐷( ≃𝑐 ‘(CatCat‘𝑈))𝑂)

Proof of Theorem oduoppcciso

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. 2 ⊢ (CatCat‘𝑈) = (CatCat‘𝑈)
2		eqid 2730	. 2 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
3		eqid 2730	. 2 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
4		eqid 2730	. 2 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
5		eqid 2730	. 2 ⊢ (Hom ‘𝑂) = (Hom ‘𝑂)
6		oduoppcciso.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
7		oduoppcciso.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
8		oduoppcciso.o	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑈)
9		oduoppcbas.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (ProsetToCat‘(ODual‘𝐾)))
10		prstcnid.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
11		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (ODual‘𝐾) = (ODual‘𝐾)
12	11	oduprs 18268	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Proset → (ODual‘𝐾) ∈ Proset )
13	10, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ODual‘𝐾) ∈ Proset )
14	9, 13	prstcthin 49554	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ThinCat)
15		prstcnid.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
16	15, 10	prstcthin 49554	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)
17		oduoppcbas.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
18	17	oppcthin 49431	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ThinCat → 𝑂 ∈ ThinCat)
19	16, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ThinCat)
20		f1oi 6841	. . 3 ⊢ ( I ↾ (Base‘𝐷)):(Base‘𝐷)–1-1-onto→(Base‘𝐷)
21	15, 10, 9, 17	oduoppcbas 49558	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = (Base‘𝑂))
22	21	f1oeq3d 6800	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ (Base‘𝐷)):(Base‘𝐷)–1-1-onto→(Base‘𝐷) ↔ ( I ↾ (Base‘𝐷)):(Base‘𝐷)–1-1-onto→(Base‘𝑂)))
23	20, 22	mpbii 233	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (Base‘𝐷)):(Base‘𝐷)–1-1-onto→(Base‘𝑂))
24		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
25		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (le‘(ODual‘𝐾)) = (le‘(ODual‘𝐾))
26	11, 24, 25	oduleg 18258	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝑥(le‘(ODual‘𝐾))𝑦 ↔ 𝑦(le‘𝐾)𝑥))
27	26	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐷))) → (𝑥(le‘(ODual‘𝐾))𝑦 ↔ 𝑦(le‘𝐾)𝑥))
28	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐷))) → 𝐷 = (ProsetToCat‘(ODual‘𝐾)))
29	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐷))) → 𝐾 ∈ Proset )
30	29, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐷))) → (ODual‘𝐾) ∈ Proset )
31		eqidd 2731	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐷))) → (le‘(ODual‘𝐾)) = (le‘(ODual‘𝐾)))
32	28, 30, 31	prstcleval 49548	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐷))) → (le‘(ODual‘𝐾)) = (le‘𝐷))
33		eqidd 2731	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐷))) → (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷))
34		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐷))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐷))
35		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐷))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐷))
36	28, 30, 32, 33, 34, 35	prstchom 49555	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐷))) → (𝑥(le‘(ODual‘𝐾))𝑦 ↔ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) ≠ ∅))
37	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐷))) → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
38		eqidd 2731	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐷))) → (le‘𝐾) = (le‘𝐾))
39	37, 29, 38	prstcleval 49548	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐷))) → (le‘𝐾) = (le‘𝐶))
40		eqidd 2731	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐷))) → (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶))
41		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
42	17, 41	oppcbas 17686	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
43	21, 42	eqtr4di 2783	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = (Base‘𝐶))
44	43	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐷))) → (Base‘𝐷) = (Base‘𝐶))
45	35, 44	eleqtrd 2831	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐷))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
46	34, 44	eleqtrd 2831	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐷))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
47	37, 29, 39, 40, 45, 46	prstchom 49555	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐷))) → (𝑦(le‘𝐾)𝑥 ↔ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥) ≠ ∅))
48	27, 36, 47	3bitr3d 309	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐷))) → ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) ≠ ∅ ↔ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥) ≠ ∅))
49	48	necon4bid 2971	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐷))) → ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) = ∅ ↔ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥) = ∅))
50		fvresi 7150	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐷) → (( I ↾ (Base‘𝐷))‘𝑥) = 𝑥)
51	50	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐷))) → (( I ↾ (Base‘𝐷))‘𝑥) = 𝑥)
52		fvresi 7150	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (Base‘𝐷) → (( I ↾ (Base‘𝐷))‘𝑦) = 𝑦)
53	52	ad2antll 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐷))) → (( I ↾ (Base‘𝐷))‘𝑦) = 𝑦)
54	51, 53	oveq12d 7408	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐷))) → ((( I ↾ (Base‘𝐷))‘𝑥)(Hom ‘𝑂)(( I ↾ (Base‘𝐷))‘𝑦)) = (𝑥(Hom ‘𝑂)𝑦))
55		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
56	55, 17	oppchom 17683	. . . . 5 ⊢ (𝑥(Hom ‘𝑂)𝑦) = (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)
57	54, 56	eqtrdi 2781	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐷))) → ((( I ↾ (Base‘𝐷))‘𝑥)(Hom ‘𝑂)(( I ↾ (Base‘𝐷))‘𝑦)) = (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥))
58	57	eqeq1d 2732	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐷))) → (((( I ↾ (Base‘𝐷))‘𝑥)(Hom ‘𝑂)(( I ↾ (Base‘𝐷))‘𝑦)) = ∅ ↔ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥) = ∅))
59	49, 58	bitr4d 282	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐷))) → ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) = ∅ ↔ ((( I ↾ (Base‘𝐷))‘𝑥)(Hom ‘𝑂)(( I ↾ (Base‘𝐷))‘𝑦)) = ∅))
60	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 19, 23, 59	thinccisod 49447	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷( ≃𝑐 ‘(CatCat‘𝑈))𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∅c0 4299   class class class wbr 5110   I cid 5535   ↾ cres 5643  –1-1-onto→wf1o 6513  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  lecple 17234  Hom chom 17238  oppCatcoppc 17679   ≃_𝑐 ccic 17764  CatCatccatc 18067  ODualcodu 18254   Proset cproset 18260  ThinCatcthinc 49410  ProsetToCatcprstc 49542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ple 17247  df-hom 17251  df-cco 17252  df-cat 17636  df-cid 17637  df-oppc 17680  df-sect 17716  df-inv 17717  df-iso 17718  df-cic 17765  df-func 17827  df-idfu 17828  df-cofu 17829  df-full 17875  df-fth 17876  df-catc 18068  df-odu 18255  df-proset 18262  df-thinc 49411  df-prstc 49543

This theorem is referenced by: (None)