Theorem zringplusg 21371

Description: The addition operation of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringplusg	⊢ + = (+g‘ℤring)

Proof of Theorem zringplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 12545	. 2 ⊢ ℤ ∈ V
2		df-zring 21364	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
3		cnfldadd 21277	. . 3 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
4	2, 3	ressplusg 17261	. 2 ⊢ (ℤ ∈ V → + = (+g‘ℤring))
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ + = (+g‘ℤring)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  ‘cfv 6514   + caddc 11078  ℤcz 12536  +_gcplusg 17227  ℂ_fldccnfld 21271  ℤ_ringczring 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-cnfld 21272  df-zring 21364

This theorem is referenced by:  zringlpirlem3  21381  zringinvg  21382  expghm  21392  mulgghm2  21393  pzriprnglem4  21401  pzriprnglem10  21407  pzriprng1ALT  21413  zlmlmod  21439  cygznlem3  21486  elrgspnlem1  33200  zringfrac  33532  zrhcntr  33976  qqhghm  33985  qqhrhm  33986  aks6d1c5lem1  42131  aks6d1c5lem2  42133  aks6d1c6isolem2  42170  mzpmfp  42742  2zlidl  48232  zlmodzxzadd  48350