Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zrhcntr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zrhcntr 33980
Description: The canonical representation of an integer 𝑁 in a ring 𝑅 is in the centralizer of the ring's multiplicative monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
zrhcntr.1 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
zrhcntr.2 𝐶 = (Cntr‘𝑀)
zrhcntr.3 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhcntr.4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
zrhcntr.5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
zrhcntr (𝜑 → (𝐿𝑁) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem zrhcntr
Dummy variables 𝑖 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6906 . . . 4 (𝑚 = 𝑁 → (𝐿𝑚) = (𝐿𝑁))
21eleq1d 2826 . . 3 (𝑚 = 𝑁 → ((𝐿𝑚) ∈ 𝐶 ↔ (𝐿𝑁) ∈ 𝐶))
3 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑖 = 0 → (𝐿𝑖) = (𝐿‘0))
43eleq1d 2826 . . . . . 6 (𝑖 = 0 → ((𝐿𝑖) ∈ 𝐶 ↔ (𝐿‘0) ∈ 𝐶))
5 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑛 → (𝐿𝑖) = (𝐿𝑛))
65eleq1d 2826 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑛 → ((𝐿𝑖) ∈ 𝐶 ↔ (𝐿𝑛) ∈ 𝐶))
7 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑖 = (𝑛 + 1) → (𝐿𝑖) = (𝐿‘(𝑛 + 1)))
87eleq1d 2826 . . . . . 6 (𝑖 = (𝑛 + 1) → ((𝐿𝑖) ∈ 𝐶 ↔ (𝐿‘(𝑛 + 1)) ∈ 𝐶))
9 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑚 → (𝐿𝑖) = (𝐿𝑚))
109eleq1d 2826 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑚 → ((𝐿𝑖) ∈ 𝐶 ↔ (𝐿𝑚) ∈ 𝐶))
11 zrhcntr.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
12 zrhcntr.3 . . . . . . . . . 10 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
13 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (0g𝑅) = (0g𝑅)
1412, 13zrh0 21524 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘0) = (0g𝑅))
1511, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐿‘0) = (0g𝑅))
16 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1716, 13ring0cl 20264 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
1811, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
1915, 18eqeltrd 2841 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿‘0) ∈ (Base‘𝑅))
20 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑅) = (.r𝑅)
2111adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
22 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
2316, 20, 13, 21, 22ringlzd 20292 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑥) = (0g𝑅))
2416, 20, 13, 21, 22ringrzd 20293 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
2523, 24eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑥) = (𝑥(.r𝑅)(0g𝑅)))
2615oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐿‘0)(.r𝑅)𝑥) = ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑥))
2726adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐿‘0)(.r𝑅)𝑥) = ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑥))
2815oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥(.r𝑅)(𝐿‘0)) = (𝑥(.r𝑅)(0g𝑅)))
2928adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑅)(𝐿‘0)) = (𝑥(.r𝑅)(0g𝑅)))
3025, 27, 293eqtr4d 2787 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐿‘0)(.r𝑅)𝑥) = (𝑥(.r𝑅)(𝐿‘0)))
3130ralrimiva 3146 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐿‘0)(.r𝑅)𝑥) = (𝑥(.r𝑅)(𝐿‘0)))
32 zrhcntr.1 . . . . . . . . 9 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
3332, 16mgpbas 20142 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
3432, 20mgpplusg 20141 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (+g𝑀)
35 zrhcntr.2 . . . . . . . 8 𝐶 = (Cntr‘𝑀)
3633, 34, 35elcntr 19348 . . . . . . 7 ((𝐿‘0) ∈ 𝐶 ↔ ((𝐿‘0) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐿‘0)(.r𝑅)𝑥) = (𝑥(.r𝑅)(𝐿‘0))))
3719, 31, 36sylanbrc 583 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿‘0) ∈ 𝐶)
3812zrhrhm 21522 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
39 rhmghm 20484 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
4011, 38, 393syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
4140ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿𝑛) ∈ 𝐶) → 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
42 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿𝑛) ∈ 𝐶) → 𝑛 ∈ ℕ0)
4342nn0zd 12639 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿𝑛) ∈ 𝐶) → 𝑛 ∈ ℤ)
44 1zzd 12648 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿𝑛) ∈ 𝐶) → 1 ∈ ℤ)
45 zringbas 21464 . . . . . . . . . 10 ℤ = (Base‘ℤring)
46 zringplusg 21465 . . . . . . . . . 10 + = (+g‘ℤring)
47 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4845, 46, 47ghmlin 19239 . . . . . . . . 9 ((𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐿‘(𝑛 + 1)) = ((𝐿𝑛)(+g𝑅)(𝐿‘1)))
4941, 43, 44, 48syl3anc 1373 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿𝑛) ∈ 𝐶) → (𝐿‘(𝑛 + 1)) = ((𝐿𝑛)(+g𝑅)(𝐿‘1)))
50 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (1r𝑅) = (1r𝑅)
5112, 50zrh1 21523 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r𝑅))
5211, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿‘1) = (1r𝑅))
5352ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿𝑛) ∈ 𝐶) → (𝐿‘1) = (1r𝑅))
5453oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿𝑛) ∈ 𝐶) → ((𝐿𝑛)(+g𝑅)(𝐿‘1)) = ((𝐿𝑛)(+g𝑅)(1r𝑅)))
5549, 54eqtrd 2777 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿𝑛) ∈ 𝐶) → (𝐿‘(𝑛 + 1)) = ((𝐿𝑛)(+g𝑅)(1r𝑅)))
5611ringgrpd 20239 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
5756ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿𝑛) ∈ 𝐶) → 𝑅 ∈ Grp)
5833cntrss 19349 . . . . . . . . . . . 12 (Cntr‘𝑀) ⊆ (Base‘𝑅)
5935, 58eqsstri 4030 . . . . . . . . . . 11 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅)
6059a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
6160sselda 3983 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿𝑛) ∈ 𝐶) → (𝐿𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
6216, 50ringidcl 20262 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
6311, 62syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
6463ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿𝑛) ∈ 𝐶) → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
6516, 47, 57, 61, 64grpcld 18965 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿𝑛) ∈ 𝐶) → ((𝐿𝑛)(+g𝑅)(1r𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
6633, 34, 35cntri 19350 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐿𝑛) ∈ 𝐶𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐿𝑛)(.r𝑅)𝑥) = (𝑥(.r𝑅)(𝐿𝑛)))
6766adantll 714 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐿𝑛)(.r𝑅)𝑥) = (𝑥(.r𝑅)(𝐿𝑛)))
6811ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
69 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
7016, 20, 50, 68, 69ringlidmd 20269 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑥) = 𝑥)
7116, 20, 50, 68, 69ringridmd 20270 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑅)(1r𝑅)) = 𝑥)
7270, 71eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑥) = (𝑥(.r𝑅)(1r𝑅)))
7367, 72oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐿𝑛)(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)((1r𝑅)(.r𝑅)𝑥)) = ((𝑥(.r𝑅)(𝐿𝑛))(+g𝑅)(𝑥(.r𝑅)(1r𝑅))))
7461adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐿𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
7568, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
7616, 47, 20, 68, 74, 75, 69ringdird 20261 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐿𝑛)(+g𝑅)(1r𝑅))(.r𝑅)𝑥) = (((𝐿𝑛)(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)((1r𝑅)(.r𝑅)𝑥)))
7716, 47, 20, 68, 69, 74, 75ringdid 20260 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑅)((𝐿𝑛)(+g𝑅)(1r𝑅))) = ((𝑥(.r𝑅)(𝐿𝑛))(+g𝑅)(𝑥(.r𝑅)(1r𝑅))))
7873, 76, 773eqtr4d 2787 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐿𝑛)(+g𝑅)(1r𝑅))(.r𝑅)𝑥) = (𝑥(.r𝑅)((𝐿𝑛)(+g𝑅)(1r𝑅))))
7978ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿𝑛) ∈ 𝐶) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(((𝐿𝑛)(+g𝑅)(1r𝑅))(.r𝑅)𝑥) = (𝑥(.r𝑅)((𝐿𝑛)(+g𝑅)(1r𝑅))))
8033, 34, 35elcntr 19348 . . . . . . . 8 (((𝐿𝑛)(+g𝑅)(1r𝑅)) ∈ 𝐶 ↔ (((𝐿𝑛)(+g𝑅)(1r𝑅)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(((𝐿𝑛)(+g𝑅)(1r𝑅))(.r𝑅)𝑥) = (𝑥(.r𝑅)((𝐿𝑛)(+g𝑅)(1r𝑅)))))
8165, 79, 80sylanbrc 583 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿𝑛) ∈ 𝐶) → ((𝐿𝑛)(+g𝑅)(1r𝑅)) ∈ 𝐶)
8255, 81eqeltrd 2841 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿𝑛) ∈ 𝐶) → (𝐿‘(𝑛 + 1)) ∈ 𝐶)
834, 6, 8, 10, 37, 82nn0indd 12715 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐿𝑚) ∈ 𝐶)
8483ralrimiva 3146 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝐿𝑚) ∈ 𝐶)
8584adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝐿𝑚) ∈ 𝐶)
86 simpr 484 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
872, 85, 86rspcdva 3623 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿𝑁) ∈ 𝐶)
8845, 16rhmf 20485 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑅))
8911, 38, 883syl 18 . . . . 5 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑅))
9089adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑅))
91 zrhcntr.5 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
9291adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
9390, 92ffvelcdmd 7105 . . 3 ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿𝑁) ∈ (Base‘𝑅))
94 eqid 2737 . . . . . 6 (invg𝑅) = (invg𝑅)
9511ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
96 fveq2 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = -𝑁 → (𝐿𝑚) = (𝐿‘-𝑁))
9796eleq1d 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = -𝑁 → ((𝐿𝑚) ∈ 𝐶 ↔ (𝐿‘-𝑁) ∈ 𝐶))
9884adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝐿𝑚) ∈ 𝐶)
99 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ0)
10097, 98, 99rspcdva 3623 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿‘-𝑁) ∈ 𝐶)
10133, 34, 35elcntr 19348 . . . . . . . . 9 ((𝐿‘-𝑁) ∈ 𝐶 ↔ ((𝐿‘-𝑁) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐿‘-𝑁)(.r𝑅)𝑥) = (𝑥(.r𝑅)(𝐿‘-𝑁))))
102100, 101sylib 218 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐿‘-𝑁) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐿‘-𝑁)(.r𝑅)𝑥) = (𝑥(.r𝑅)(𝐿‘-𝑁))))
103102simpld 494 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿‘-𝑁) ∈ (Base‘𝑅))
104103adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐿‘-𝑁) ∈ (Base‘𝑅))
105 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
10616, 20, 94, 95, 104, 105ringmneg1 20301 . . . . 5 (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((invg𝑅)‘(𝐿‘-𝑁))(.r𝑅)𝑥) = ((invg𝑅)‘((𝐿‘-𝑁)(.r𝑅)𝑥)))
10791zcnd 12723 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
108107ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑁 ∈ ℂ)
109108negnegd 11611 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → --𝑁 = 𝑁)
11091znegcld 12724 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -𝑁 ∈ ℤ)
111 zringinvg 21476 . . . . . . . . . . 11 (-𝑁 ∈ ℤ → --𝑁 = ((invg‘ℤring)‘-𝑁))
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → --𝑁 = ((invg‘ℤring)‘-𝑁))
113112ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → --𝑁 = ((invg‘ℤring)‘-𝑁))
114109, 113eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑁 = ((invg‘ℤring)‘-𝑁))
115114fveq2d 6910 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐿𝑁) = (𝐿‘((invg‘ℤring)‘-𝑁)))
11695, 38, 393syl 18 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
117110ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → -𝑁 ∈ ℤ)
118 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
11945, 118, 94ghminv 19241 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅) ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿‘((invg‘ℤring)‘-𝑁)) = ((invg𝑅)‘(𝐿‘-𝑁)))
120116, 117, 119syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐿‘((invg‘ℤring)‘-𝑁)) = ((invg𝑅)‘(𝐿‘-𝑁)))
121115, 120eqtrd 2777 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐿𝑁) = ((invg𝑅)‘(𝐿‘-𝑁)))
122121oveq1d 7446 . . . . 5 (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐿𝑁)(.r𝑅)𝑥) = (((invg𝑅)‘(𝐿‘-𝑁))(.r𝑅)𝑥))
12316, 20, 94, 95, 105, 104ringmneg2 20302 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑅)((invg𝑅)‘(𝐿‘-𝑁))) = ((invg𝑅)‘(𝑥(.r𝑅)(𝐿‘-𝑁))))
124121oveq2d 7447 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑅)(𝐿𝑁)) = (𝑥(.r𝑅)((invg𝑅)‘(𝐿‘-𝑁))))
125102simprd 495 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐿‘-𝑁)(.r𝑅)𝑥) = (𝑥(.r𝑅)(𝐿‘-𝑁)))
126125r19.21bi 3251 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐿‘-𝑁)(.r𝑅)𝑥) = (𝑥(.r𝑅)(𝐿‘-𝑁)))
127126fveq2d 6910 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg𝑅)‘((𝐿‘-𝑁)(.r𝑅)𝑥)) = ((invg𝑅)‘(𝑥(.r𝑅)(𝐿‘-𝑁))))
128123, 124, 1273eqtr4d 2787 . . . . 5 (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑅)(𝐿𝑁)) = ((invg𝑅)‘((𝐿‘-𝑁)(.r𝑅)𝑥)))
129106, 122, 1283eqtr4d 2787 . . . 4 (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐿𝑁)(.r𝑅)𝑥) = (𝑥(.r𝑅)(𝐿𝑁)))
130129ralrimiva 3146 . . 3 ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐿𝑁)(.r𝑅)𝑥) = (𝑥(.r𝑅)(𝐿𝑁)))
13133, 34, 35elcntr 19348 . . 3 ((𝐿𝑁) ∈ 𝐶 ↔ ((𝐿𝑁) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐿𝑁)(.r𝑅)𝑥) = (𝑥(.r𝑅)(𝐿𝑁))))
13293, 130, 131sylanbrc 583 . 2 ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿𝑁) ∈ 𝐶)
133 elznn0 12628 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
13491, 133sylib 218 . . 3 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
135134simprd 495 . 2 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
13687, 132, 135mpjaodan 961 1 (𝜑 → (𝐿𝑁) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wss 3951  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  -cneg 11493  0cn0 12526  cz 12613  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  0gc0g 17484  Grpcgrp 18951  invgcminusg 18952   GrpHom cghm 19230  Cntrccntr 19334  mulGrpcmgp 20137  1rcur 20178  Ringcrg 20230   RingHom crh 20469  ringczring 21457  ℤRHomczrh 21510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cntr 19336  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-zrh 21514
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator