Theorem zrhcntr 33962

Description: The canonical representation of an integer 𝑁 in a ring 𝑅 is in the centralizer of the ring's multiplicative monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhcntr.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
zrhcntr.2	⊢ 𝐶 = (Cntr‘𝑀)
zrhcntr.3	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhcntr.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
zrhcntr.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zrhcntr	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝑁) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem zrhcntr

Dummy variables 𝑖 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6822	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝐿‘𝑚) = (𝐿‘𝑁))
2	1	eleq1d 2813	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝐿‘𝑚) ∈ 𝐶 ↔ (𝐿‘𝑁) ∈ 𝐶))
3		fveq2 6822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝐿‘𝑖) = (𝐿‘0))
4	3	eleq1d 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 0 → ((𝐿‘𝑖) ∈ 𝐶 ↔ (𝐿‘0) ∈ 𝐶))
5		fveq2 6822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝐿‘𝑖) = (𝐿‘𝑛))
6	5	eleq1d 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ((𝐿‘𝑖) ∈ 𝐶 ↔ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶))
7		fveq2 6822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → (𝐿‘𝑖) = (𝐿‘(𝑛 + 1)))
8	7	eleq1d 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → ((𝐿‘𝑖) ∈ 𝐶 ↔ (𝐿‘(𝑛 + 1)) ∈ 𝐶))
9		fveq2 6822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝐿‘𝑖) = (𝐿‘𝑚))
10	9	eleq1d 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → ((𝐿‘𝑖) ∈ 𝐶 ↔ (𝐿‘𝑚) ∈ 𝐶))
11		zrhcntr.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12		zrhcntr.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
13		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
14	12, 13	zrh0 21420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘0) = (0g‘𝑅))
15	11, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘0) = (0g‘𝑅))
16		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
17	16, 13	ring0cl 20152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
18	11, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
19	15, 18	eqeltrd 2828	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘0) ∈ (Base‘𝑅))
20		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
21	11	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
22		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
23	16, 20, 13, 21, 22	ringlzd 20180	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅))
24	16, 20, 13, 21, 22	ringrzd 20181	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
25	23, 24	eqtr4d 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
26	15	oveq1d 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘0)(.r‘𝑅)𝑥) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥))
27	26	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐿‘0)(.r‘𝑅)𝑥) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥))
28	15	oveq2d 7365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘0)) = (𝑥(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
29	28	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘0)) = (𝑥(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
30	25, 27, 29	3eqtr4d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐿‘0)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘0)))
31	30	ralrimiva 3121	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐿‘0)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘0)))
32		zrhcntr.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
33	32, 16	mgpbas 20030	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
34	32, 20	mgpplusg 20029	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
35		zrhcntr.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (Cntr‘𝑀)
36	33, 34, 35	elcntr 19209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿‘0) ∈ 𝐶 ↔ ((𝐿‘0) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐿‘0)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘0))))
37	19, 31, 36	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘0) ∈ 𝐶)
38	12	zrhrhm 21418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
39		rhmghm 20369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
40	11, 38, 39	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
41	40	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
42		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → 𝑛 ∈ ℕ0)
43	42	nn0zd 12497	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → 𝑛 ∈ ℤ)
44		1zzd 12506	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → 1 ∈ ℤ)
45		zringbas 21360	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
46		zringplusg 21361	. . . . . . . . . 10 ⊢ + = (+g‘ℤring)
47		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
48	45, 46, 47	ghmlin 19100	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐿‘(𝑛 + 1)) = ((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(𝐿‘1)))
49	41, 43, 44, 48	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → (𝐿‘(𝑛 + 1)) = ((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(𝐿‘1)))
50		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
51	12, 50	zrh1 21419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r‘𝑅))
52	11, 51	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘1) = (1r‘𝑅))
53	52	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → (𝐿‘1) = (1r‘𝑅))
54	53	oveq2d 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → ((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(𝐿‘1)) = ((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
55	49, 54	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → (𝐿‘(𝑛 + 1)) = ((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
56	11	ringgrpd 20127	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
57	56	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → 𝑅 ∈ Grp)
58	33	cntrss 19210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Cntr‘𝑀) ⊆ (Base‘𝑅)
59	35, 58	eqsstri 3982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅)
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
61	60	sselda 3935	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → (𝐿‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
62	16, 50	ringidcl 20150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
63	11, 62	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
64	63	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
65	16, 47, 57, 61, 64	grpcld 18826	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → ((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
66	33, 34, 35	cntri 19211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘𝑛)))
67	66	adantll 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘𝑛)))
68	11	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
69		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
70	16, 20, 50, 68, 69	ringlidmd 20157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
71	16, 20, 50, 68, 69	ringridmd 20158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑥)
72	70, 71	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
73	67, 72	oveq12d 7367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥)) = ((𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘𝑛))(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))))
74	61	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐿‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
75	68, 62	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
76	16, 47, 20, 68, 74, 75, 69	ringdird 20149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑥) = (((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥)))
77	16, 47, 20, 68, 69, 74, 75	ringdid 20148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = ((𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘𝑛))(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))))
78	73, 76, 77	3eqtr4d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
79	78	ralrimiva 3121	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
80	33, 34, 35	elcntr 19209	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐶 ↔ (((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)))))
81	65, 79, 80	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → ((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐶)
82	55, 81	eqeltrd 2828	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → (𝐿‘(𝑛 + 1)) ∈ 𝐶)
83	4, 6, 8, 10, 37, 82	nn0indd 12573	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐿‘𝑚) ∈ 𝐶)
84	83	ralrimiva 3121	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝐿‘𝑚) ∈ 𝐶)
85	84	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝐿‘𝑚) ∈ 𝐶)
86		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
87	2, 85, 86	rspcdva 3578	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿‘𝑁) ∈ 𝐶)
88	45, 16	rhmf 20370	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑅))
89	11, 38, 88	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑅))
90	89	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑅))
91		zrhcntr.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
92	91	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
93	90, 92	ffvelcdmd 7019	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿‘𝑁) ∈ (Base‘𝑅))
94		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
95	11	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
96		fveq2 6822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = -𝑁 → (𝐿‘𝑚) = (𝐿‘-𝑁))
97	96	eleq1d 2813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = -𝑁 → ((𝐿‘𝑚) ∈ 𝐶 ↔ (𝐿‘-𝑁) ∈ 𝐶))
98	84	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝐿‘𝑚) ∈ 𝐶)
99		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ0)
100	97, 98, 99	rspcdva 3578	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿‘-𝑁) ∈ 𝐶)
101	33, 34, 35	elcntr 19209	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿‘-𝑁) ∈ 𝐶 ↔ ((𝐿‘-𝑁) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐿‘-𝑁)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘-𝑁))))
102	100, 101	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐿‘-𝑁) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐿‘-𝑁)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘-𝑁))))
103	102	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿‘-𝑁) ∈ (Base‘𝑅))
104	103	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐿‘-𝑁) ∈ (Base‘𝑅))
105		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
106	16, 20, 94, 95, 104, 105	ringmneg1 20189	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((invg‘𝑅)‘(𝐿‘-𝑁))(.r‘𝑅)𝑥) = ((invg‘𝑅)‘((𝐿‘-𝑁)(.r‘𝑅)𝑥)))
107	91	zcnd 12581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
108	107	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑁 ∈ ℂ)
109	108	negnegd 11466	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → --𝑁 = 𝑁)
110	91	znegcld 12582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -𝑁 ∈ ℤ)
111		zringinvg 21372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-𝑁 ∈ ℤ → --𝑁 = ((invg‘ℤring)‘-𝑁))
112	110, 111	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → --𝑁 = ((invg‘ℤring)‘-𝑁))
113	112	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → --𝑁 = ((invg‘ℤring)‘-𝑁))
114	109, 113	eqtr3d 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑁 = ((invg‘ℤring)‘-𝑁))
115	114	fveq2d 6826	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐿‘𝑁) = (𝐿‘((invg‘ℤring)‘-𝑁)))
116	95, 38, 39	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
117	110	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → -𝑁 ∈ ℤ)
118		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
119	45, 118, 94	ghminv 19102	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅) ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿‘((invg‘ℤring)‘-𝑁)) = ((invg‘𝑅)‘(𝐿‘-𝑁)))
120	116, 117, 119	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐿‘((invg‘ℤring)‘-𝑁)) = ((invg‘𝑅)‘(𝐿‘-𝑁)))
121	115, 120	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐿‘𝑁) = ((invg‘𝑅)‘(𝐿‘-𝑁)))
122	121	oveq1d 7364	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐿‘𝑁)(.r‘𝑅)𝑥) = (((invg‘𝑅)‘(𝐿‘-𝑁))(.r‘𝑅)𝑥))
123	16, 20, 94, 95, 105, 104	ringmneg2 20190	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐿‘-𝑁))) = ((invg‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘-𝑁))))
124	121	oveq2d 7365	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘𝑁)) = (𝑥(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐿‘-𝑁))))
125	102	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐿‘-𝑁)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘-𝑁)))
126	125	r19.21bi 3221	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐿‘-𝑁)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘-𝑁)))
127	126	fveq2d 6826	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘((𝐿‘-𝑁)(.r‘𝑅)𝑥)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘-𝑁))))
128	123, 124, 127	3eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘𝑁)) = ((invg‘𝑅)‘((𝐿‘-𝑁)(.r‘𝑅)𝑥)))
129	106, 122, 128	3eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐿‘𝑁)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘𝑁)))
130	129	ralrimiva 3121	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐿‘𝑁)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘𝑁)))
131	33, 34, 35	elcntr 19209	. . 3 ⊢ ((𝐿‘𝑁) ∈ 𝐶 ↔ ((𝐿‘𝑁) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐿‘𝑁)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘𝑁))))
132	93, 130, 131	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿‘𝑁) ∈ 𝐶)
133		elznn0 12486	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
134	91, 133	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
135	134	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
136	87, 132, 135	mpjaodan 960	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝑁) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3903  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012  -cneg 11348  ℕ₀cn0 12384  ℤcz 12471  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  ._rcmulr 17162  0_gc0g 17343  Grpcgrp 18812  inv_gcminusg 18813   GrpHom cghm 19091  Cntrccntr 19195  mulGrpcmgp 20025  1_rcur 20066  Ringcrg 20118   RingHom crh 20354  ℤ_ringczring 21353  ℤRHomczrh 21406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-addf 11088  ax-mulf 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-seq 13909  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-mulg 18947  df-subg 19002  df-ghm 19092  df-cntz 19196  df-cntr 19197  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-rhm 20357  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-cnfld 21262  df-zring 21354  df-zrh 21410

This theorem is referenced by: (None)