Theorem zrhcntr 34278

Description: The canonical representation of an integer 𝑁 in a ring 𝑅 is in the centralizer of the ring's multiplicative monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhcntr.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
zrhcntr.2	⊢ 𝐶 = (Cntr‘𝑀)
zrhcntr.3	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhcntr.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
zrhcntr.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zrhcntr	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝑁) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem zrhcntr

Dummy variables 𝑖 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6869	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝐿‘𝑚) = (𝐿‘𝑁))
2	1	eleq1d 2849	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝐿‘𝑚) ∈ 𝐶 ↔ (𝐿‘𝑁) ∈ 𝐶))
3		fveq2 6869	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝐿‘𝑖) = (𝐿‘0))
4	3	eleq1d 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 0 → ((𝐿‘𝑖) ∈ 𝐶 ↔ (𝐿‘0) ∈ 𝐶))
5		fveq2 6869	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝐿‘𝑖) = (𝐿‘𝑛))
6	5	eleq1d 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ((𝐿‘𝑖) ∈ 𝐶 ↔ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶))
7		fveq2 6869	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → (𝐿‘𝑖) = (𝐿‘(𝑛 + 1)))
8	7	eleq1d 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → ((𝐿‘𝑖) ∈ 𝐶 ↔ (𝐿‘(𝑛 + 1)) ∈ 𝐶))
9		fveq2 6869	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝐿‘𝑖) = (𝐿‘𝑚))
10	9	eleq1d 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → ((𝐿‘𝑖) ∈ 𝐶 ↔ (𝐿‘𝑚) ∈ 𝐶))
11		zrhcntr.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12		zrhcntr.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
13		eqid 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
14	12, 13	zrh0 21567	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘0) = (0g‘𝑅))
15	11, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘0) = (0g‘𝑅))
16		eqid 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
17	16, 13	ring0cl 20319	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
18	11, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
19	15, 18	eqeltrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘0) ∈ (Base‘𝑅))
20		eqid 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
21	11	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
22		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
23	16, 20, 13, 21, 22	ringlzd 20347	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅))
24	16, 20, 13, 21, 22	ringrzd 20348	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
25	23, 24	eqtr4d 2802	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
26	15	oveq1d 7413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘0)(.r‘𝑅)𝑥) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥))
27	26	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐿‘0)(.r‘𝑅)𝑥) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥))
28	15	oveq2d 7414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘0)) = (𝑥(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
29	28	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘0)) = (𝑥(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
30	25, 27, 29	3eqtr4d 2809	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐿‘0)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘0)))
31	30	ralrimiva 3156	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐿‘0)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘0)))
32		zrhcntr.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
33	32, 16	mgpbas 20193	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
34	32, 20	mgpplusg 20192	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
35		zrhcntr.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (Cntr‘𝑀)
36	33, 34, 35	elcntr 19372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿‘0) ∈ 𝐶 ↔ ((𝐿‘0) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐿‘0)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘0))))
37	19, 31, 36	sylanbrc 592	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘0) ∈ 𝐶)
38	12	zrhrhm 21565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
39		rhmghm 20534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
40	11, 38, 39	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
41	40	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
42		simplr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → 𝑛 ∈ ℕ0)
43	42	nn0zd 12595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → 𝑛 ∈ ℤ)
44		1zzd 12604	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → 1 ∈ ℤ)
45		zringbas 21507	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
46		zringplusg 21508	. . . . . . . . . 10 ⊢ + = (+g‘ℤring)
47		eqid 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
48	45, 46, 47	ghmlin 19263	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐿‘(𝑛 + 1)) = ((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(𝐿‘1)))
49	41, 43, 44, 48	syl3anc 1392	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → (𝐿‘(𝑛 + 1)) = ((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(𝐿‘1)))
50		eqid 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
51	12, 50	zrh1 21566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r‘𝑅))
52	11, 51	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘1) = (1r‘𝑅))
53	52	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → (𝐿‘1) = (1r‘𝑅))
54	53	oveq2d 7414	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → ((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(𝐿‘1)) = ((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
55	49, 54	eqtrd 2799	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → (𝐿‘(𝑛 + 1)) = ((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
56	11	ringgrpd 20294	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
57	56	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → 𝑅 ∈ Grp)
58	33	cntrss 19373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Cntr‘𝑀) ⊆ (Base‘𝑅)
59	35, 58	eqsstri 3984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅)
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
61	60	sselda 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → (𝐿‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
62	16, 50	ringidcl 20317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
63	11, 62	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
64	63	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
65	16, 47, 57, 61, 64	grpcld 18991	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → ((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
66	33, 34, 35	cntri 19374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘𝑛)))
67	66	adantll 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘𝑛)))
68	11	ad3antrrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
69		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
70	16, 20, 50, 68, 69	ringlidmd 20324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
71	16, 20, 50, 68, 69	ringridmd 20325	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑥)
72	70, 71	eqtr4d 2802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
73	67, 72	oveq12d 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥)) = ((𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘𝑛))(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))))
74	61	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐿‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
75	68, 62	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
76	16, 47, 20, 68, 74, 75, 69	ringdird 20316	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑥) = (((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥)))
77	16, 47, 20, 68, 69, 74, 75	ringdid 20315	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = ((𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘𝑛))(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))))
78	73, 76, 77	3eqtr4d 2809	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
79	78	ralrimiva 3156	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
80	33, 34, 35	elcntr 19372	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐶 ↔ (((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)))))
81	65, 79, 80	sylanbrc 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → ((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐶)
82	55, 81	eqeltrd 2864	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → (𝐿‘(𝑛 + 1)) ∈ 𝐶)
83	4, 6, 8, 10, 37, 82	nn0indd 12672	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐿‘𝑚) ∈ 𝐶)
84	83	ralrimiva 3156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝐿‘𝑚) ∈ 𝐶)
85	84	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝐿‘𝑚) ∈ 𝐶)
86		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
87	2, 85, 86	rspcdva 3584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿‘𝑁) ∈ 𝐶)
88	45, 16	rhmf 20535	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑅))
89	11, 38, 88	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑅))
90	89	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑅))
91		zrhcntr.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
92	91	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
93	90, 92	ffvelcdmd 7068	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿‘𝑁) ∈ (Base‘𝑅))
94		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
95	11	ad2antrr 736	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
96		fveq2 6869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = -𝑁 → (𝐿‘𝑚) = (𝐿‘-𝑁))
97	96	eleq1d 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = -𝑁 → ((𝐿‘𝑚) ∈ 𝐶 ↔ (𝐿‘-𝑁) ∈ 𝐶))
98	84	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝐿‘𝑚) ∈ 𝐶)
99		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ0)
100	97, 98, 99	rspcdva 3584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿‘-𝑁) ∈ 𝐶)
101	33, 34, 35	elcntr 19372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿‘-𝑁) ∈ 𝐶 ↔ ((𝐿‘-𝑁) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐿‘-𝑁)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘-𝑁))))
102	100, 101	sylib 220	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐿‘-𝑁) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐿‘-𝑁)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘-𝑁))))
103	102	simpld 498	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿‘-𝑁) ∈ (Base‘𝑅))
104	103	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐿‘-𝑁) ∈ (Base‘𝑅))
105		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
106	16, 20, 94, 95, 104, 105	ringmneg1 20356	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((invg‘𝑅)‘(𝐿‘-𝑁))(.r‘𝑅)𝑥) = ((invg‘𝑅)‘((𝐿‘-𝑁)(.r‘𝑅)𝑥)))
107	91	zcnd 12680	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
108	107	ad2antrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑁 ∈ ℂ)
109	108	negnegd 11535	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → --𝑁 = 𝑁)
110	91	znegcld 12681	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -𝑁 ∈ ℤ)
111		zringinvg 21519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-𝑁 ∈ ℤ → --𝑁 = ((invg‘ℤring)‘-𝑁))
112	110, 111	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → --𝑁 = ((invg‘ℤring)‘-𝑁))
113	112	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → --𝑁 = ((invg‘ℤring)‘-𝑁))
114	109, 113	eqtr3d 2801	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑁 = ((invg‘ℤring)‘-𝑁))
115	114	fveq2d 6873	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐿‘𝑁) = (𝐿‘((invg‘ℤring)‘-𝑁)))
116	95, 38, 39	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
117	110	ad2antrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → -𝑁 ∈ ℤ)
118		eqid 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
119	45, 118, 94	ghminv 19265	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅) ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿‘((invg‘ℤring)‘-𝑁)) = ((invg‘𝑅)‘(𝐿‘-𝑁)))
120	116, 117, 119	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐿‘((invg‘ℤring)‘-𝑁)) = ((invg‘𝑅)‘(𝐿‘-𝑁)))
121	115, 120	eqtrd 2799	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐿‘𝑁) = ((invg‘𝑅)‘(𝐿‘-𝑁)))
122	121	oveq1d 7413	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐿‘𝑁)(.r‘𝑅)𝑥) = (((invg‘𝑅)‘(𝐿‘-𝑁))(.r‘𝑅)𝑥))
123	16, 20, 94, 95, 105, 104	ringmneg2 20357	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐿‘-𝑁))) = ((invg‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘-𝑁))))
124	121	oveq2d 7414	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘𝑁)) = (𝑥(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐿‘-𝑁))))
125	102	simprd 499	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐿‘-𝑁)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘-𝑁)))
126	125	r19.21bi 3256	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐿‘-𝑁)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘-𝑁)))
127	126	fveq2d 6873	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘((𝐿‘-𝑁)(.r‘𝑅)𝑥)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘-𝑁))))
128	123, 124, 127	3eqtr4d 2809	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘𝑁)) = ((invg‘𝑅)‘((𝐿‘-𝑁)(.r‘𝑅)𝑥)))
129	106, 122, 128	3eqtr4d 2809	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐿‘𝑁)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘𝑁)))
130	129	ralrimiva 3156	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐿‘𝑁)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘𝑁)))
131	33, 34, 35	elcntr 19372	. . 3 ⊢ ((𝐿‘𝑁) ∈ 𝐶 ↔ ((𝐿‘𝑁) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐿‘𝑁)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘𝑁))))
132	93, 130, 131	sylanbrc 592	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿‘𝑁) ∈ 𝐶)
133		elznn0 12585	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
134	91, 133	sylib 220	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
135	134	simprd 499	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
136	87, 132, 135	mpjaodan 971	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝑁) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ∀wral 3078   ⊆ wss 3906  ⟶wf 6519  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078  -cneg 11417  ℕ₀cn0 12483  ℤcz 12570  Basecbs 17247  +_gcplusg 17288  ._rcmulr 17289  0_gc0g 17470  Grpcgrp 18977  inv_gcminusg 18978   GrpHom cghm 19255  Cntrccntr 19358  mulGrpcmgp 20188  1_rcur 20233  Ringcrg 20285   RingHom crh 20520  ℤ_ringczring 21500  ℤRHomczrh 21553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-fz 13515  df-seq 14017  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-starv 17303  df-tset 17307  df-ple 17308  df-ds 17310  df-unif 17311  df-0g 17472  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-mhm 18819  df-grp 18980  df-minusg 18981  df-mulg 19112  df-subg 19167  df-ghm 19256  df-cntz 19359  df-cntr 19360  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20189  df-rng 20201  df-ur 20234  df-ring 20287  df-cring 20288  df-rhm 20523  df-subrng 20598  df-subrg 20622  df-cnfld 21427  df-zring 21501  df-zrh 21557

This theorem is referenced by: (None)