Theorem zrhcntr 34378

Description: The canonical representation of an integer 𝑁 in a ring 𝑅 is in the centralizer of the ring's multiplicative monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhcntr.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
zrhcntr.2	⊢ 𝐶 = (Cntr‘𝑀)
zrhcntr.3	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhcntr.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
zrhcntr.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zrhcntr	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝑁) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem zrhcntr

Dummy variables 𝑖 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6881	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝐿‘𝑚) = (𝐿‘𝑁))
2	1	eleq1d 2847	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝐿‘𝑚) ∈ 𝐶 ↔ (𝐿‘𝑁) ∈ 𝐶))
3		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝐿‘𝑖) = (𝐿‘0))
4	3	eleq1d 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 0 → ((𝐿‘𝑖) ∈ 𝐶 ↔ (𝐿‘0) ∈ 𝐶))
5		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝐿‘𝑖) = (𝐿‘𝑛))
6	5	eleq1d 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ((𝐿‘𝑖) ∈ 𝐶 ↔ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶))
7		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → (𝐿‘𝑖) = (𝐿‘(𝑛 + 1)))
8	7	eleq1d 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → ((𝐿‘𝑖) ∈ 𝐶 ↔ (𝐿‘(𝑛 + 1)) ∈ 𝐶))
9		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝐿‘𝑖) = (𝐿‘𝑚))
10	9	eleq1d 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → ((𝐿‘𝑖) ∈ 𝐶 ↔ (𝐿‘𝑚) ∈ 𝐶))
11		zrhcntr.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12		zrhcntr.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
13		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
14	12, 13	zrh0 21674	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘0) = (0g‘𝑅))
15	11, 14	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘0) = (0g‘𝑅))
16		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
17	16, 13	ring0cl 20357	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
18	11, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
19	15, 18	eqeltrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘0) ∈ (Base‘𝑅))
20		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
21	11	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
22		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
23	16, 20, 13, 21, 22	ringlzd 20385	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅))
24	16, 20, 13, 21, 22	ringrzd 20386	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
25	23, 24	eqtr4d 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
26	15	oveq1d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘0)(.r‘𝑅)𝑥) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥))
27	26	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐿‘0)(.r‘𝑅)𝑥) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥))
28	15	oveq2d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘0)) = (𝑥(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
29	28	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘0)) = (𝑥(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
30	25, 27, 29	3eqtr4d 2807	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐿‘0)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘0)))
31	30	ralrimiva 3156	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐿‘0)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘0)))
32		zrhcntr.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
33	32, 16	mgpbas 20227	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
34	32, 20	mgpplusg 20226	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
35		zrhcntr.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (Cntr‘𝑀)
36	33, 34, 35	elcntr 19406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿‘0) ∈ 𝐶 ↔ ((𝐿‘0) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐿‘0)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘0))))
37	19, 31, 36	sylanbrc 594	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘0) ∈ 𝐶)
38	12	zrhrhm 21672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
39		rhmghm 20573	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
40	11, 38, 39	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
41	40	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
42		simplr 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → 𝑛 ∈ ℕ0)
43	42	nn0zd 12622	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → 𝑛 ∈ ℤ)
44		1zzd 12631	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → 1 ∈ ℤ)
45		zringbas 21614	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
46		zringplusg 21615	. . . . . . . . . 10 ⊢ + = (+g‘ℤring)
47		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
48	45, 46, 47	ghmlin 19297	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐿‘(𝑛 + 1)) = ((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(𝐿‘1)))
49	41, 43, 44, 48	syl3anc 1397	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → (𝐿‘(𝑛 + 1)) = ((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(𝐿‘1)))
50		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
51	12, 50	zrh1 21673	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r‘𝑅))
52	11, 51	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘1) = (1r‘𝑅))
53	52	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → (𝐿‘1) = (1r‘𝑅))
54	53	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → ((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(𝐿‘1)) = ((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
55	49, 54	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → (𝐿‘(𝑛 + 1)) = ((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
56	11	ringgrpd 20330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
57	56	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → 𝑅 ∈ Grp)
58	33	cntrss 19407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Cntr‘𝑀) ⊆ (Base‘𝑅)
59	35, 58	eqsstri 3982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅)
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
61	60	sselda 3936	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → (𝐿‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
62	16, 50	ringidcl 20355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
63	11, 62	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
64	63	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
65	16, 47, 57, 61, 64	grpcld 19020	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → ((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
66	33, 34, 35	cntri 19408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘𝑛)))
67	66	adantll 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘𝑛)))
68	11	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
69		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
70	16, 20, 50, 68, 69	ringlidmd 20362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
71	16, 20, 50, 68, 69	ringridmd 20363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑥)
72	70, 71	eqtr4d 2800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
73	67, 72	oveq12d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥)) = ((𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘𝑛))(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))))
74	61	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐿‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
75	68, 62	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
76	16, 47, 20, 68, 74, 75, 69	ringdird 20353	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑥) = (((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥)))
77	16, 47, 20, 68, 69, 74, 75	ringdid 20352	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = ((𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘𝑛))(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))))
78	73, 76, 77	3eqtr4d 2807	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
79	78	ralrimiva 3156	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
80	33, 34, 35	elcntr 19406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐶 ↔ (((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)))))
81	65, 79, 80	sylanbrc 594	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → ((𝐿‘𝑛)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐶)
82	55, 81	eqeltrd 2862	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿‘𝑛) ∈ 𝐶) → (𝐿‘(𝑛 + 1)) ∈ 𝐶)
83	4, 6, 8, 10, 37, 82	nn0indd 12699	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐿‘𝑚) ∈ 𝐶)
84	83	ralrimiva 3156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝐿‘𝑚) ∈ 𝐶)
85	84	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝐿‘𝑚) ∈ 𝐶)
86		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
87	2, 85, 86	rspcdva 3581	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿‘𝑁) ∈ 𝐶)
88	45, 16	rhmf 20574	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑅))
89	11, 38, 88	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑅))
90	89	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑅))
91		zrhcntr.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
92	91	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
93	90, 92	ffvelcdmd 7080	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿‘𝑁) ∈ (Base‘𝑅))
94		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
95	11	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
96		fveq2 6881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = -𝑁 → (𝐿‘𝑚) = (𝐿‘-𝑁))
97	96	eleq1d 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = -𝑁 → ((𝐿‘𝑚) ∈ 𝐶 ↔ (𝐿‘-𝑁) ∈ 𝐶))
98	84	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝐿‘𝑚) ∈ 𝐶)
99		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ0)
100	97, 98, 99	rspcdva 3581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿‘-𝑁) ∈ 𝐶)
101	33, 34, 35	elcntr 19406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿‘-𝑁) ∈ 𝐶 ↔ ((𝐿‘-𝑁) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐿‘-𝑁)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘-𝑁))))
102	100, 101	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐿‘-𝑁) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐿‘-𝑁)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘-𝑁))))
103	102	simpld 499	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿‘-𝑁) ∈ (Base‘𝑅))
104	103	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐿‘-𝑁) ∈ (Base‘𝑅))
105		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
106	16, 20, 94, 95, 104, 105	ringmneg1 20394	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((invg‘𝑅)‘(𝐿‘-𝑁))(.r‘𝑅)𝑥) = ((invg‘𝑅)‘((𝐿‘-𝑁)(.r‘𝑅)𝑥)))
107	91	zcnd 12707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
108	107	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑁 ∈ ℂ)
109	108	negnegd 11566	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → --𝑁 = 𝑁)
110	91	znegcld 12708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -𝑁 ∈ ℤ)
111		zringinvg 21626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-𝑁 ∈ ℤ → --𝑁 = ((invg‘ℤring)‘-𝑁))
112	110, 111	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → --𝑁 = ((invg‘ℤring)‘-𝑁))
113	112	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → --𝑁 = ((invg‘ℤring)‘-𝑁))
114	109, 113	eqtr3d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑁 = ((invg‘ℤring)‘-𝑁))
115	114	fveq2d 6885	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐿‘𝑁) = (𝐿‘((invg‘ℤring)‘-𝑁)))
116	95, 38, 39	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
117	110	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → -𝑁 ∈ ℤ)
118		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
119	45, 118, 94	ghminv 19299	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅) ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿‘((invg‘ℤring)‘-𝑁)) = ((invg‘𝑅)‘(𝐿‘-𝑁)))
120	116, 117, 119	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐿‘((invg‘ℤring)‘-𝑁)) = ((invg‘𝑅)‘(𝐿‘-𝑁)))
121	115, 120	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐿‘𝑁) = ((invg‘𝑅)‘(𝐿‘-𝑁)))
122	121	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐿‘𝑁)(.r‘𝑅)𝑥) = (((invg‘𝑅)‘(𝐿‘-𝑁))(.r‘𝑅)𝑥))
123	16, 20, 94, 95, 105, 104	ringmneg2 20395	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐿‘-𝑁))) = ((invg‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘-𝑁))))
124	121	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘𝑁)) = (𝑥(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐿‘-𝑁))))
125	102	simprd 500	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐿‘-𝑁)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘-𝑁)))
126	125	r19.21bi 3256	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐿‘-𝑁)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘-𝑁)))
127	126	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘((𝐿‘-𝑁)(.r‘𝑅)𝑥)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘-𝑁))))
128	123, 124, 127	3eqtr4d 2807	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘𝑁)) = ((invg‘𝑅)‘((𝐿‘-𝑁)(.r‘𝑅)𝑥)))
129	106, 122, 128	3eqtr4d 2807	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐿‘𝑁)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘𝑁)))
130	129	ralrimiva 3156	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐿‘𝑁)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘𝑁)))
131	33, 34, 35	elcntr 19406	. . 3 ⊢ ((𝐿‘𝑁) ∈ 𝐶 ↔ ((𝐿‘𝑁) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐿‘𝑁)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝐿‘𝑁))))
132	93, 130, 131	sylanbrc 594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿‘𝑁) ∈ 𝐶)
133		elznn0 12612	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
134	91, 133	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
135	134	simprd 500	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
136	87, 132, 135	mpjaodan 972	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝑁) ∈ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078   ⊆ wss 3904  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  -cneg 11448  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12597  Basecbs 17275  +_gcplusg 17316  ._rcmulr 17317  0_gc0g 17498  Grpcgrp 19006  inv_gcminusg 19007   GrpHom cghm 19289  Cntrccntr 19392  mulGrpcmgp 20222  1_rcur 20269  Ringcrg 20321   RingHom crh 20558  ℤ_ringczring 21607  ℤRHomczrh 21660

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-fz 13542  df-seq 14045  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mhm 18847  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-mulg 19140  df-subg 19195  df-ghm 19290  df-cntz 19393  df-cntr 19394  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-cring 20324  df-rhm 20561  df-subrng 20656  df-subrg 20680  df-cnfld 21534  df-zring 21608  df-zrh 21664

This theorem is used by: (None)