Theorem mulgghm2 20761

Description: The powers of a group element give a homomorphism from ℤ to a group. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgghm2.m	⊢ · = (.g‘𝑅)
mulgghm2.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
mulgghm2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mulgghm2	⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑅,𝑛   · ,𝑛   1 ,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem mulgghm2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
2		zringgrp 20738	. . 3 ⊢ ℤring ∈ Grp
3	1, 2	jctil 520	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → (ℤring ∈ Grp ∧ 𝑅 ∈ Grp))
4		mulgghm2.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		mulgghm2.m	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝑅)
6	4, 5	mulgcl 18780	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 1 ) ∈ 𝐵)
7	6	3expa 1117	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 1 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 1 ) ∈ 𝐵)
8	7	an32s 649	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 1 ) ∈ 𝐵)
9		mulgghm2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
10	8, 9	fmptd 7020	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → 𝐹:ℤ⟶𝐵)
11		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
12	4, 5, 11	mulgdir 18794	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 1 ) = ((𝑥 · 1 )(+g‘𝑅)(𝑦 · 1 )))
13	12	3exp2 1353	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℤ → ( 1 ∈ 𝐵 → ((𝑥 + 𝑦) · 1 ) = ((𝑥 · 1 )(+g‘𝑅)(𝑦 · 1 ))))))
14	13	imp42 427	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 1 ∈ 𝐵) → ((𝑥 + 𝑦) · 1 ) = ((𝑥 · 1 )(+g‘𝑅)(𝑦 · 1 )))
15	14	an32s 649	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝑦) · 1 ) = ((𝑥 · 1 )(+g‘𝑅)(𝑦 · 1 )))
16		zaddcl 12420	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
17	16	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
18		oveq1 7315	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑥 + 𝑦) → (𝑛 · 1 ) = ((𝑥 + 𝑦) · 1 ))
19		ovex 7341	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 + 𝑦) · 1 ) ∈ V
20	18, 9, 19	fvmpt 6907	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝑥 + 𝑦) · 1 ))
21	17, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝑥 + 𝑦) · 1 ))
22		oveq1 7315	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑛 · 1 ) = (𝑥 · 1 ))
23		ovex 7341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 · 1 ) ∈ V
24	22, 9, 23	fvmpt 6907	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝐹‘𝑥) = (𝑥 · 1 ))
25		oveq1 7315	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (𝑛 · 1 ) = (𝑦 · 1 ))
26		ovex 7341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 · 1 ) ∈ V
27	25, 9, 26	fvmpt 6907	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 · 1 ))
28	24, 27	oveqan12d 7327	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑦)) = ((𝑥 · 1 )(+g‘𝑅)(𝑦 · 1 )))
29	28	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑦)) = ((𝑥 · 1 )(+g‘𝑅)(𝑦 · 1 )))
30	15, 21, 29	3eqtr4d 2785	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑦)))
31	30	ralrimivva 3192	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑦)))
32	10, 31	jca 512	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → (𝐹:ℤ⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑦))))
33		zringbas 20739	. . 3 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
34		zringplusg 20740	. . 3 ⊢ + = (+g‘ℤring)
35	33, 4, 34, 11	isghm 18893	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅) ↔ ((ℤring ∈ Grp ∧ 𝑅 ∈ Grp) ∧ (𝐹:ℤ⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑦)))))
36	3, 32, 35	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1538   ∈ wcel 2103  ∀wral 3060   ↦ cmpt 5163  ⟶wf 6454  ‘cfv 6458  (class class class)co 7308   + caddc 10934  ℤcz 12379  Basecbs 16971  +_gcplusg 17021  Grpcgrp 18636  ._gcmg 18759   GrpHom cghm 18890  ℤ_ringczring 20733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1968  ax-7 2008  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2134  ax-11 2151  ax-12 2168  ax-ext 2706  ax-rep 5217  ax-sep 5231  ax-nul 5238  ax-pow 5296  ax-pr 5360  ax-un 7621  ax-cnex 10987  ax-resscn 10988  ax-1cn 10989  ax-icn 10990  ax-addcl 10991  ax-addrcl 10992  ax-mulcl 10993  ax-mulrcl 10994  ax-mulcom 10995  ax-addass 10996  ax-mulass 10997  ax-distr 10998  ax-i2m1 10999  ax-1ne0 11000  ax-1rid 11001  ax-rnegex 11002  ax-rrecex 11003  ax-cnre 11004  ax-pre-lttri 11005  ax-pre-lttrn 11006  ax-pre-ltadd 11007  ax-pre-mulgt0 11008  ax-addf 11010  ax-mulf 11011

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2813  df-nfc 2885  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3339  df-reu 3340  df-rab 3357  df-v 3438  df-sbc 3721  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4844  df-iun 4932  df-br 5081  df-opab 5143  df-mpt 5164  df-tr 5198  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7265  df-ov 7311  df-oprab 7312  df-mpo 7313  df-om 7749  df-1st 7867  df-2nd 7868  df-frecs 8132  df-wrecs 8163  df-recs 8237  df-rdg 8276  df-1o 8332  df-er 8534  df-en 8770  df-dom 8771  df-sdom 8772  df-fin 8773  df-pnf 11071  df-mnf 11072  df-xr 11073  df-ltxr 11074  df-le 11075  df-sub 11267  df-neg 11268  df-nn 12034  df-2 12096  df-3 12097  df-4 12098  df-5 12099  df-6 12100  df-7 12101  df-8 12102  df-9 12103  df-n0 12294  df-z 12380  df-dec 12498  df-uz 12643  df-fz 13300  df-seq 13782  df-struct 16907  df-sets 16924  df-slot 16942  df-ndx 16954  df-base 16972  df-ress 17001  df-plusg 17034  df-mulr 17035  df-starv 17036  df-tset 17040  df-ple 17041  df-ds 17043  df-unif 17044  df-0g 17211  df-mgm 18385  df-sgrp 18434  df-mnd 18445  df-grp 18639  df-minusg 18640  df-mulg 18760  df-subg 18811  df-ghm 18891  df-cmn 19447  df-mgp 19780  df-ur 19797  df-ring 19844  df-cring 19845  df-subrg 20085  df-cnfld 20661  df-zring 20734

This theorem is referenced by:  mulgrhm  20762  frgpcyg  20844