MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgghm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgghm2 21363
Description: The powers of a group element give a homomorphism from โ„ค to a group. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgghm2.m ยท = (.gโ€˜๐‘…)
mulgghm2.f ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท 1 ))
mulgghm2.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
mulgghm2 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง 1 โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐น โˆˆ (โ„คring GrpHom ๐‘…))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘›   ๐‘…,๐‘›   ยท ,๐‘›   1 ,๐‘›
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘›)

Proof of Theorem mulgghm2
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง 1 โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
2 zringgrp 21339 . . 3 โ„คring โˆˆ Grp
31, 2jctil 519 . 2 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง 1 โˆˆ ๐ต) โ†’ (โ„คring โˆˆ Grp โˆง ๐‘… โˆˆ Grp))
4 mulgghm2.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
5 mulgghm2.m . . . . . . 7 ยท = (.gโ€˜๐‘…)
64, 5mulgcl 19018 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘› ยท 1 ) โˆˆ ๐ต)
763expa 1115 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โˆง 1 โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘› ยท 1 ) โˆˆ ๐ต)
87an32s 649 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Grp โˆง 1 โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘› ยท 1 ) โˆˆ ๐ต)
9 mulgghm2.f . . . 4 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท 1 ))
108, 9fmptd 7109 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง 1 โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐น:โ„คโŸถ๐ต)
11 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
124, 5, 11mulgdir 19033 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท 1 ) = ((๐‘ฅ ยท 1 )(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท 1 )))
13123exp2 1351 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Grp โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ ( 1 โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท 1 ) = ((๐‘ฅ ยท 1 )(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท 1 ))))))
1413imp42 426 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Grp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง 1 โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท 1 ) = ((๐‘ฅ ยท 1 )(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท 1 )))
1514an32s 649 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Grp โˆง 1 โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท 1 ) = ((๐‘ฅ ยท 1 )(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท 1 )))
16 zaddcl 12606 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
1716adantl 481 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Grp โˆง 1 โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
18 oveq1 7412 . . . . . . 7 (๐‘› = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘› ยท 1 ) = ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท 1 ))
19 ovex 7438 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท 1 ) โˆˆ V
2018, 9, 19fvmpt 6992 . . . . . 6 ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท 1 ))
2117, 20syl 17 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Grp โˆง 1 โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท 1 ))
22 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘› ยท 1 ) = (๐‘ฅ ยท 1 ))
23 ovex 7438 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ ยท 1 ) โˆˆ V
2422, 9, 23fvmpt 6992 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยท 1 ))
25 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘› ยท 1 ) = (๐‘ฆ ยท 1 ))
26 ovex 7438 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ ยท 1 ) โˆˆ V
2725, 9, 26fvmpt 6992 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท 1 ))
2824, 27oveqan12d 7424 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘…)(๐นโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยท 1 )(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท 1 )))
2928adantl 481 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Grp โˆง 1 โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘…)(๐นโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยท 1 )(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท 1 )))
3015, 21, 293eqtr4d 2776 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Grp โˆง 1 โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘…)(๐นโ€˜๐‘ฆ)))
3130ralrimivva 3194 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง 1 โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐นโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘…)(๐นโ€˜๐‘ฆ)))
3210, 31jca 511 . 2 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง 1 โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐น:โ„คโŸถ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐นโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘…)(๐นโ€˜๐‘ฆ))))
33 zringbas 21340 . . 3 โ„ค = (Baseโ€˜โ„คring)
34 zringplusg 21341 . . 3 + = (+gโ€˜โ„คring)
3533, 4, 34, 11isghm 19141 . 2 (๐น โˆˆ (โ„คring GrpHom ๐‘…) โ†” ((โ„คring โˆˆ Grp โˆง ๐‘… โˆˆ Grp) โˆง (๐น:โ„คโŸถ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐นโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘…)(๐นโ€˜๐‘ฆ)))))
363, 32, 35sylanbrc 582 1 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง 1 โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐น โˆˆ (โ„คring GrpHom ๐‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055   โ†ฆ cmpt 5224  โŸถwf 6533  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   + caddc 11115  โ„คcz 12562  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  Grpcgrp 18863  .gcmg 18995   GrpHom cghm 19138  โ„คringczring 21333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-seq 13973  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-cnfld 21241  df-zring 21334
This theorem is referenced by:  mulgrhm  21364  frgpcyg  21468
  Copyright terms: Public domain W3C validator