MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgghm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgghm2 20193
Description: The powers of a group element give a homomorphism from to a group. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgghm2.m · = (.g𝑅)
mulgghm2.f 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
mulgghm2.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
mulgghm2 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) → 𝐹 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑅,𝑛   · ,𝑛   1 ,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem mulgghm2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
2 zringgrp 20171 . . 3 ring ∈ Grp
31, 2jctil 523 . 2 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) → (ℤring ∈ Grp ∧ 𝑅 ∈ Grp))
4 mulgghm2.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 mulgghm2.m . . . . . . 7 · = (.g𝑅)
64, 5mulgcl 18240 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 1𝐵) → (𝑛 · 1 ) ∈ 𝐵)
763expa 1115 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 1𝐵) → (𝑛 · 1 ) ∈ 𝐵)
87an32s 651 . . . 4 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 1 ) ∈ 𝐵)
9 mulgghm2.f . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
108, 9fmptd 6859 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) → 𝐹:ℤ⟶𝐵)
11 eqid 2801 . . . . . . . . 9 (+g𝑅) = (+g𝑅)
124, 5, 11mulgdir 18254 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 1𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 1 ) = ((𝑥 · 1 )(+g𝑅)(𝑦 · 1 )))
13123exp2 1351 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Grp → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℤ → ( 1𝐵 → ((𝑥 + 𝑦) · 1 ) = ((𝑥 · 1 )(+g𝑅)(𝑦 · 1 ))))))
1413imp42 430 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 1𝐵) → ((𝑥 + 𝑦) · 1 ) = ((𝑥 · 1 )(+g𝑅)(𝑦 · 1 )))
1514an32s 651 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝑦) · 1 ) = ((𝑥 · 1 )(+g𝑅)(𝑦 · 1 )))
16 zaddcl 12014 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
1716adantl 485 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
18 oveq1 7146 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑥 + 𝑦) → (𝑛 · 1 ) = ((𝑥 + 𝑦) · 1 ))
19 ovex 7172 . . . . . . 7 ((𝑥 + 𝑦) · 1 ) ∈ V
2018, 9, 19fvmpt 6749 . . . . . 6 ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝑥 + 𝑦) · 1 ))
2117, 20syl 17 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝑥 + 𝑦) · 1 ))
22 oveq1 7146 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑥 → (𝑛 · 1 ) = (𝑥 · 1 ))
23 ovex 7172 . . . . . . . 8 (𝑥 · 1 ) ∈ V
2422, 9, 23fvmpt 6749 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → (𝐹𝑥) = (𝑥 · 1 ))
25 oveq1 7146 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑦 → (𝑛 · 1 ) = (𝑦 · 1 ))
26 ovex 7172 . . . . . . . 8 (𝑦 · 1 ) ∈ V
2725, 9, 26fvmpt 6749 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℤ → (𝐹𝑦) = (𝑦 · 1 ))
2824, 27oveqan12d 7158 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝐹𝑥)(+g𝑅)(𝐹𝑦)) = ((𝑥 · 1 )(+g𝑅)(𝑦 · 1 )))
2928adantl 485 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝐹𝑥)(+g𝑅)(𝐹𝑦)) = ((𝑥 · 1 )(+g𝑅)(𝑦 · 1 )))
3015, 21, 293eqtr4d 2846 . . . 4 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑅)(𝐹𝑦)))
3130ralrimivva 3159 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑅)(𝐹𝑦)))
3210, 31jca 515 . 2 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) → (𝐹:ℤ⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑅)(𝐹𝑦))))
33 zringbas 20172 . . 3 ℤ = (Base‘ℤring)
34 zringplusg 20173 . . 3 + = (+g‘ℤring)
3533, 4, 34, 11isghm 18353 . 2 (𝐹 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅) ↔ ((ℤring ∈ Grp ∧ 𝑅 ∈ Grp) ∧ (𝐹:ℤ⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑅)(𝐹𝑦)))))
363, 32, 35sylanbrc 586 1 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) → 𝐹 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  cmpt 5113  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139   + caddc 10533  cz 11973  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  Grpcgrp 18098  .gcmg 18219   GrpHom cghm 18350  ringzring 20166
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-seq 13369  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-mulg 18220  df-subg 18271  df-ghm 18351  df-cmn 18903  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-cring 19296  df-subrg 19529  df-cnfld 20095  df-zring 20167
This theorem is referenced by:  mulgrhm  20194  frgpcyg  20268
  Copyright terms: Public domain W3C validator