MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgghm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgghm2 20330
Description: The powers of a group element give a homomorphism from to a group. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgghm2.m · = (.g𝑅)
mulgghm2.f 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
mulgghm2.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
mulgghm2 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) → 𝐹 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑅,𝑛   · ,𝑛   1 ,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem mulgghm2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
2 zringgrp 20308 . . 3 ring ∈ Grp
31, 2jctil 520 . 2 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) → (ℤring ∈ Grp ∧ 𝑅 ∈ Grp))
4 mulgghm2.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 mulgghm2.m . . . . . . 7 · = (.g𝑅)
64, 5mulgcl 18004 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 1𝐵) → (𝑛 · 1 ) ∈ 𝐵)
763expa 1111 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 1𝐵) → (𝑛 · 1 ) ∈ 𝐵)
87an32s 648 . . . 4 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 1 ) ∈ 𝐵)
9 mulgghm2.f . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
108, 9fmptd 6748 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) → 𝐹:ℤ⟶𝐵)
11 eqid 2797 . . . . . . . . 9 (+g𝑅) = (+g𝑅)
124, 5, 11mulgdir 18017 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 1𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 1 ) = ((𝑥 · 1 )(+g𝑅)(𝑦 · 1 )))
13123exp2 1347 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Grp → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℤ → ( 1𝐵 → ((𝑥 + 𝑦) · 1 ) = ((𝑥 · 1 )(+g𝑅)(𝑦 · 1 ))))))
1413imp42 427 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 1𝐵) → ((𝑥 + 𝑦) · 1 ) = ((𝑥 · 1 )(+g𝑅)(𝑦 · 1 )))
1514an32s 648 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝑦) · 1 ) = ((𝑥 · 1 )(+g𝑅)(𝑦 · 1 )))
16 zaddcl 11876 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
1716adantl 482 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
18 oveq1 7030 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑥 + 𝑦) → (𝑛 · 1 ) = ((𝑥 + 𝑦) · 1 ))
19 ovex 7055 . . . . . . 7 ((𝑥 + 𝑦) · 1 ) ∈ V
2018, 9, 19fvmpt 6642 . . . . . 6 ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝑥 + 𝑦) · 1 ))
2117, 20syl 17 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝑥 + 𝑦) · 1 ))
22 oveq1 7030 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑥 → (𝑛 · 1 ) = (𝑥 · 1 ))
23 ovex 7055 . . . . . . . 8 (𝑥 · 1 ) ∈ V
2422, 9, 23fvmpt 6642 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → (𝐹𝑥) = (𝑥 · 1 ))
25 oveq1 7030 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑦 → (𝑛 · 1 ) = (𝑦 · 1 ))
26 ovex 7055 . . . . . . . 8 (𝑦 · 1 ) ∈ V
2725, 9, 26fvmpt 6642 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℤ → (𝐹𝑦) = (𝑦 · 1 ))
2824, 27oveqan12d 7042 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝐹𝑥)(+g𝑅)(𝐹𝑦)) = ((𝑥 · 1 )(+g𝑅)(𝑦 · 1 )))
2928adantl 482 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝐹𝑥)(+g𝑅)(𝐹𝑦)) = ((𝑥 · 1 )(+g𝑅)(𝑦 · 1 )))
3015, 21, 293eqtr4d 2843 . . . 4 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑅)(𝐹𝑦)))
3130ralrimivva 3160 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑅)(𝐹𝑦)))
3210, 31jca 512 . 2 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) → (𝐹:ℤ⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑅)(𝐹𝑦))))
33 zringbas 20309 . . 3 ℤ = (Base‘ℤring)
34 zringplusg 20310 . . 3 + = (+g‘ℤring)
3533, 4, 34, 11isghm 18103 . 2 (𝐹 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅) ↔ ((ℤring ∈ Grp ∧ 𝑅 ∈ Grp) ∧ (𝐹:ℤ⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑅)(𝐹𝑦)))))
363, 32, 35sylanbrc 583 1 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) → 𝐹 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1525  wcel 2083  wral 3107  cmpt 5047  wf 6228  cfv 6232  (class class class)co 7023   + caddc 10393  cz 11835  Basecbs 16316  +gcplusg 16398  Grpcgrp 17865  .gcmg 17985   GrpHom cghm 18100  ringzring 20303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-addf 10469  ax-mulf 10470
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-z 11836  df-dec 11953  df-uz 12098  df-fz 12747  df-seq 13224  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-starv 16413  df-tset 16417  df-ple 16418  df-ds 16420  df-unif 16421  df-0g 16548  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-grp 17868  df-minusg 17869  df-mulg 17986  df-subg 18034  df-ghm 18101  df-cmn 18639  df-mgp 18934  df-ur 18946  df-ring 18993  df-cring 18994  df-subrg 19227  df-cnfld 20232  df-zring 20304
This theorem is referenced by:  mulgrhm  20331  frgpcyg  20406
  Copyright terms: Public domain W3C validator