Theorem aaliou3r 26712

Description: The sum presented above is convergent, which means that the "Liouville number" is indeed real. (Contributed by Ender Ting, 21-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
aaliou3r	⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑ -(!‘𝑘)) ∈ ℝ

Proof of Theorem aaliou3r

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. 2 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↦ (2↑ -(!‘𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (2↑ -(!‘𝑗)))
2		fveq2 6911	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (!‘𝑘) = (!‘𝑖))
3	2	negeqd 11581	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → -(!‘𝑘) = -(!‘𝑖))
4	3	oveq2d 7462	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (2↑ -(!‘𝑘)) = (2↑ -(!‘𝑖)))
5	4	cbvsumv 15895	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑ -(!‘𝑘)) = Σ𝑖 ∈ ℕ (2↑ -(!‘𝑖))
6		fveq2 6911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (!‘𝑗) = (!‘𝑖))
7	6	negeqd 11581	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → -(!‘𝑗) = -(!‘𝑖))
8	7	oveq2d 7462	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (2↑ -(!‘𝑗)) = (2↑ -(!‘𝑖)))
9		ovex 7479	. . . . . 6 ⊢ (2↑ -(!‘𝑖)) ∈ V
10	8, 1, 9	fvmpt 7019	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (2↑ -(!‘𝑗)))‘𝑖) = (2↑ -(!‘𝑖)))
11	10	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → (2↑ -(!‘𝑖)) = ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (2↑ -(!‘𝑗)))‘𝑖))
12	11	sumeq2i 15897	. . 3 ⊢ Σ𝑖 ∈ ℕ (2↑ -(!‘𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ℕ ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (2↑ -(!‘𝑗)))‘𝑖)
13	5, 12	eqtri 2786	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑ -(!‘𝑘)) = Σ𝑖 ∈ ℕ ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (2↑ -(!‘𝑗)))‘𝑖)
14		eqid 2763	. 2 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑙)((𝑗 ∈ ℕ ↦ (2↑ -(!‘𝑗)))‘𝑖)) = (𝑙 ∈ ℕ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑙)((𝑗 ∈ ℕ ↦ (2↑ -(!‘𝑗)))‘𝑖))
15	1, 13, 14	aaliou3lem4 26706	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑ -(!‘𝑘)) ∈ ℝ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℝcr 11229  1c1 11231   -cneg 11572  ℕcn 12365  2c2 12427  ...cfz 13669  ↑cexp 14234  !cfa 14447  Σcsu 15885

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-pm 8881  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-rp 13151  df-ioc 13511  df-ico 13512  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-fl 13962  df-seq 14175  df-exp 14235  df-fac 14448  df-hash 14505  df-shft 15252  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-limsup 15670  df-clim 15687  df-rlim 15688  df-sum 15886

This theorem is used by:  numtowerdt  48131