Theorem aaliou3r 26552

Description: The sum presented above is convergent, which means that the "Liouville number" is indeed real. (Contributed by Ender Ting, 21-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
aaliou3r	⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ ℝ

Proof of Theorem aaliou3r

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. 2 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑗)))
2		fveq2 6888	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (!‘𝑘) = (!‘𝑖))
3	2	negeqd 11469	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → -(!‘𝑘) = -(!‘𝑖))
4	3	oveq2d 7439	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (2↑-(!‘𝑘)) = (2↑-(!‘𝑖)))
5	4	cbvsumv 15773	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) = Σ𝑖 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑖))
6		fveq2 6888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (!‘𝑗) = (!‘𝑖))
7	6	negeqd 11469	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → -(!‘𝑗) = -(!‘𝑖))
8	7	oveq2d 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (2↑-(!‘𝑗)) = (2↑-(!‘𝑖)))
9		ovex 7456	. . . . . 6 ⊢ (2↑-(!‘𝑖)) ∈ V
10	8, 1, 9	fvmpt 6996	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑗)))‘𝑖) = (2↑-(!‘𝑖)))
11	10	eqcomd 2772	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝑖)) = ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑗)))‘𝑖))
12	11	sumeq2i 15775	. . 3 ⊢ Σ𝑖 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ℕ ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑗)))‘𝑖)
13	5, 12	eqtri 2789	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) = Σ𝑖 ∈ ℕ ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑗)))‘𝑖)
14		eqid 2766	. 2 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑙)((𝑗 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑗)))‘𝑖)) = (𝑙 ∈ ℕ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑙)((𝑗 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑗)))‘𝑖))
15	1, 13, 14	aaliou3lem4 26546	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ ℝ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146   ↦ cmpt 5197  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  1c1 11119  -cneg 11460  ℕcn 12251  2c2 12313  ...cfz 13553  ↑cexp 14117  !cfa 14329  Σcsu 15763

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-pm 8836  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764

This theorem is used by:  nthrucw  47648