Theorem cncfcn 24950

Description: Relate complex function continuity to topological continuity. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfcn.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cncfcn.3	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝐴)
cncfcn.4	⊢ 𝐿 = (𝐽 ↾t 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cncfcn	⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→𝐵) = (𝐾 Cn 𝐿))

Proof of Theorem cncfcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))
3		eqid 2735	. . 3 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
4		eqid 2735	. . 3 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	cncfmet 24949	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→𝐵) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) Cn (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
6		cncfcn.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝐴)
7		cnxmet 24809	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
8		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℂ)
9		cncfcn.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
10	9	cnfldtopn 24818	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
11	1, 10, 3	metrest 24553	. . . . 5 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
12	7, 8, 11	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
13	6, 12	eqtrid 2787	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
14		cncfcn.4	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝐽 ↾t 𝐵)
15		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐵 ⊆ ℂ)
16	2, 10, 4	metrest 24553	. . . . 5 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t 𝐵) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))))
17	7, 15, 16	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t 𝐵) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))))
18	14, 17	eqtrid 2787	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐿 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))))
19	13, 18	oveq12d 7449	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐾 Cn 𝐿) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) Cn (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
20	5, 19	eqtr4d 2778	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→𝐵) = (𝐾 Cn 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963   × cxp 5687   ↾ cres 5691   ∘ ccom 5693  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151   − cmin 11490  abscabs 15270   ↾_t crest 17467  TopOpenctopn 17468  ∞Metcxmet 21367  MetOpencmopn 21372  ℂ_fldccnfld 21382   Cn ccn 23248  –cn→ccncf 24916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-rest 17469  df-topn 17470  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-cncf 24918

This theorem is referenced by:  cncfcn1  24951  cncfmptc  24952  cncfmptid  24953  cncfmpt2f  24955  cdivcncf  24961  abscncfALT  24965  cncfcnvcn  24966  cnrehmeo  24998  cnrehmeoOLD  24999  mulcncf  25494  cncombf  25707  cnmbf  25708  cnlimc  25938  dvcn  25972  dvcnvrelem2  26072  dvcnvre  26073  ftc1cn  26099  psercn  26485  abelth  26500  logcn  26704  dvloglem  26705  efopnlem2  26714  cxpcn  26802  cxpcnOLD  26803  resqrtcn  26807  sqrtcn  26808  loglesqrt  26819  ftalem3  27133  cxpcncf1  34589  ivthALT  36318  knoppcnlem10  36485  knoppcnlem11  36486  ftc1cnnc  37679  areacirclem2  37696  areacirclem4  37698  fsumcncf  45834  ioccncflimc  45841  cncfuni  45842  icocncflimc  45845  cncfdmsn  45846  cncfiooicclem1  45849  cncfiooicc  45850  cxpcncf2  45855  itgsubsticclem  45931  dirkercncflem2  46060  dirkercncflem4  46062  dirkercncf  46063  fourierdlem32  46095  fourierdlem33  46096  fourierdlem62  46124  fourierdlem93  46155  fourierdlem101  46163  fouriercn  46188