MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfcn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cncfcn 24823
Description: Relate complex function continuity to topological continuity. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfcn.2 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
cncfcn.3 𝐾 = (𝐽 β†Ύt 𝐴)
cncfcn.4 𝐿 = (𝐽 β†Ύt 𝐡)
Assertion
Ref Expression
cncfcn ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐴–cn→𝐡) = (𝐾 Cn 𝐿))
Proof of Theorem cncfcn
StepHypRef Expression
1 eqid 2727 . . 3 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))
2 eqid 2727 . . 3 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))
3 eqid 2727 . . 3 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)))
4 eqid 2727 . . 3 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
51, 2, 3, 4cncfmet 24822 . 2 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐴–cn→𝐡) = ((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))) Cn (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))))
6 cncfcn.3 . . . 4 𝐾 = (𝐽 β†Ύt 𝐴)
7 cnxmet 24682 . . . . 5 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
8 simpl 482 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
9 cncfcn.2 . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
109cnfldtopn 24691 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
111, 10, 3metrest 24426 . . . . 5 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐴 βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))))
127, 8, 11sylancr 586 . . . 4 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))))
136, 12eqtrid 2779 . . 3 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ 𝐾 = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))))
14 cncfcn.4 . . . 4 𝐿 = (𝐽 β†Ύt 𝐡)
15 simpr 484 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ 𝐡 βŠ† β„‚)
162, 10, 4metrest 24426 . . . . 5 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))))
177, 15, 16sylancr 586 . . . 4 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))))
1814, 17eqtrid 2779 . . 3 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ 𝐿 = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))))
1913, 18oveq12d 7432 . 2 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐾 Cn 𝐿) = ((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))) Cn (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))))
205, 19eqtr4d 2770 1 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐴–cn→𝐡) = (𝐾 Cn 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3944   Γ— cxp 5670   β†Ύ cres 5674   ∘ ccom 5676  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11130   βˆ’ cmin 11468  abscabs 15207   β†Ύt crest 17395  TopOpenctopn 17396  βˆžMetcxmet 21257  MetOpencmopn 21262  β„‚fldccnfld 21272   Cn ccn 23121  β€“cnβ†’ccncf 24789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13118  df-xadd 13119  df-xmul 13120  df-fz 13511  df-seq 13993  df-exp 14053  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-struct 17109  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-rest 17397  df-topn 17398  df-topgen 17418  df-psmet 21264  df-xmet 21265  df-met 21266  df-bl 21267  df-mopn 21268  df-cnfld 21273  df-top 22789  df-topon 22806  df-bases 22842  df-cn 23124  df-cnp 23125  df-cncf 24791
This theorem is referenced by:  cncfcn1  24824  cncfmptc  24825  cncfmptid  24826  cncfmpt2f  24828  cdivcncf  24834  abscncfALT  24838  cncfcnvcn  24839  cnrehmeo  24871  cnrehmeoOLD  24872  mulcncf  25367  cncombf  25580  cnmbf  25581  cnlimc  25810  dvcn  25844  dvcnvrelem2  25944  dvcnvre  25945  ftc1cn  25971  psercn  26356  abelth  26371  logcn  26574  dvloglem  26575  efopnlem2  26584  cxpcn  26672  cxpcnOLD  26673  resqrtcn  26677  sqrtcn  26678  loglesqrt  26686  ftalem3  27000  cxpcncf1  34217  ivthALT  35809  knoppcnlem10  35967  knoppcnlem11  35968  ftc1cnnc  37154  areacirclem2  37171  areacirclem4  37173  fsumcncf  45238  ioccncflimc  45245  cncfuni  45246  icocncflimc  45249  cncfdmsn  45250  cncfiooicclem1  45253  cncfiooicc  45254  cxpcncf2  45259  itgsubsticclem  45335  dirkercncflem2  45464  dirkercncflem4  45466  dirkercncf  45467  fourierdlem32  45499  fourierdlem33  45500  fourierdlem62  45528  fourierdlem93  45559  fourierdlem101  45567  fouriercn  45592
  Copyright terms: Public domain W3C validator