MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfcn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cncfcn 24425
Description: Relate complex function continuity to topological continuity. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfcn.2 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
cncfcn.3 𝐾 = (𝐽 β†Ύt 𝐴)
cncfcn.4 𝐿 = (𝐽 β†Ύt 𝐡)
Assertion
Ref Expression
cncfcn ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐴–cn→𝐡) = (𝐾 Cn 𝐿))
Proof of Theorem cncfcn
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . 3 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))
2 eqid 2732 . . 3 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))
3 eqid 2732 . . 3 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)))
4 eqid 2732 . . 3 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
51, 2, 3, 4cncfmet 24424 . 2 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐴–cn→𝐡) = ((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))) Cn (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))))
6 cncfcn.3 . . . 4 𝐾 = (𝐽 β†Ύt 𝐴)
7 cnxmet 24288 . . . . 5 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
8 simpl 483 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
9 cncfcn.2 . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
109cnfldtopn 24297 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
111, 10, 3metrest 24032 . . . . 5 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐴 βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))))
127, 8, 11sylancr 587 . . . 4 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))))
136, 12eqtrid 2784 . . 3 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ 𝐾 = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))))
14 cncfcn.4 . . . 4 𝐿 = (𝐽 β†Ύt 𝐡)
15 simpr 485 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ 𝐡 βŠ† β„‚)
162, 10, 4metrest 24032 . . . . 5 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))))
177, 15, 16sylancr 587 . . . 4 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))))
1814, 17eqtrid 2784 . . 3 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ 𝐿 = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))))
1913, 18oveq12d 7426 . 2 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐾 Cn 𝐿) = ((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))) Cn (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))))
205, 19eqtr4d 2775 1 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐴–cn→𝐡) = (𝐾 Cn 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3948   Γ— cxp 5674   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107   βˆ’ cmin 11443  abscabs 15180   β†Ύt crest 17365  TopOpenctopn 17366  βˆžMetcxmet 20928  MetOpencmopn 20933  β„‚fldccnfld 20943   Cn ccn 22727  β€“cnβ†’ccncf 24391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-fz 13484  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-rest 17367  df-topn 17368  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-cncf 24393
This theorem is referenced by:  cncfcn1  24426  cncfmptc  24427  cncfmptid  24428  cncfmpt2f  24430  cdivcncf  24436  abscncfALT  24439  cncfcnvcn  24440  cnrehmeo  24468  cncombf  25174  cnmbf  25175  cnlimc  25404  dvcn  25437  dvcnvrelem2  25534  dvcnvre  25535  ftc1cn  25559  psercn  25937  abelth  25952  logcn  26154  dvloglem  26155  efopnlem2  26164  cxpcn  26250  resqrtcn  26254  sqrtcn  26255  loglesqrt  26263  ftalem3  26576  cxpcncf1  33602  gg-cnrehmeo  35166  gg-mulcncf  35168  gg-cxpcn  35179  ivthALT  35215  knoppcnlem10  35373  knoppcnlem11  35374  ftc1cnnc  36555  areacirclem2  36572  areacirclem4  36574  fsumcncf  44584  ioccncflimc  44591  cncfuni  44592  icocncflimc  44595  cncfdmsn  44596  cncfiooicclem1  44599  cncfiooicc  44600  cxpcncf2  44605  itgsubsticclem  44681  dirkercncflem2  44810  dirkercncflem4  44812  dirkercncf  44813  fourierdlem32  44845  fourierdlem33  44846  fourierdlem62  44874  fourierdlem93  44905  fourierdlem101  44913  fouriercn  44938
  Copyright terms: Public domain W3C validator