Theorem cncfcn 24902

Description: Relate complex function continuity to topological continuity. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfcn.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cncfcn.3	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝐴)
cncfcn.4	⊢ 𝐿 = (𝐽 ↾t 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cncfcn	⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→𝐵) = (𝐾 Cn 𝐿))

Proof of Theorem cncfcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
2		eqid 2740	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))
3		eqid 2740	. . 3 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
4		eqid 2740	. . 3 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	cncfmet 24901	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→𝐵) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) Cn (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
6		cncfcn.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝐴)
7		cnxmet 24762	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
8		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℂ)
9		cncfcn.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
10	9	cnfldtopn 24771	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
11	1, 10, 3	metrest 24514	. . . . 5 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
12	7, 8, 11	sylancr 593	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
13	6, 12	eqtrid 2787	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
14		cncfcn.4	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝐽 ↾t 𝐵)
15		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐵 ⊆ ℂ)
16	2, 10, 4	metrest 24514	. . . . 5 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t 𝐵) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))))
17	7, 15, 16	sylancr 593	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t 𝐵) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))))
18	14, 17	eqtrid 2787	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐿 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))))
19	13, 18	oveq12d 7381	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐾 Cn 𝐿) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) Cn (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
20	5, 19	eqtr4d 2778	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→𝐵) = (𝐾 Cn 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3890   × cxp 5623   ↾ cres 5627   ∘ ccom 5629  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034   − cmin 11375  abscabs 15194   ↾_t crest 17381  TopOpenctopn 17382  ∞Metcxmet 21339  MetOpencmopn 21344  ℂ_fldccnfld 21354   Cn ccn 23214  –cn→ccncf 24868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-xneg 13061  df-xadd 13062  df-xmul 13063  df-fz 13460  df-seq 13962  df-exp 14022  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-rest 17383  df-topn 17384  df-topgen 17404  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-bl 21349  df-mopn 21350  df-cnfld 21355  df-top 22884  df-topon 22901  df-bases 22936  df-cn 23217  df-cnp 23218  df-cncf 24870

This theorem is referenced by:  cncfcn1  24903  cncfmptc  24904  cncfmptid  24905  cncfmpt2f  24907  cdivcncf  24913  abscncfALT  24916  cncfcnvcn  24917  cnrehmeo  24945  mulcncf  25438  cncombf  25650  cnmbf  25651  cnlimc  25880  dvcn  25913  dvcnvrelem2  26010  dvcnvre  26011  ftc1cn  26035  psercn  26416  abelth  26431  logcn  26636  dvloglem  26637  efopnlem2  26646  cxpcn  26734  resqrtcn  26738  sqrtcn  26739  loglesqrt  26750  ftalem3  27063  cxpcncf1  34786  ivthALT  36570  knoppcnlem10  36815  knoppcnlem11  36816  ftc1cnnc  38066  areacirclem2  38083  areacirclem4  38085  fsumcncf  46328  ioccncflimc  46335  cncfuni  46336  icocncflimc  46339  cncfdmsn  46340  cncfiooicclem1  46343  cncfiooicc  46344  cxpcncf2  46349  itgsubsticclem  46425  dirkercncflem2  46554  dirkercncflem4  46556  dirkercncf  46557  fourierdlem32  46589  fourierdlem33  46590  fourierdlem62  46618  fourierdlem93  46649  fourierdlem101  46657  fouriercn  46682