Theorem cncfcn 24418

Description: Relate complex function continuity to topological continuity. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfcn.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cncfcn.3	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝐴)
cncfcn.4	⊢ 𝐿 = (𝐽 ↾t 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cncfcn	⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→𝐵) = (𝐾 Cn 𝐿))

Proof of Theorem cncfcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
2		eqid 2733	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))
3		eqid 2733	. . 3 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
4		eqid 2733	. . 3 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	cncfmet 24417	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→𝐵) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) Cn (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
6		cncfcn.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝐴)
7		cnxmet 24281	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
8		simpl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℂ)
9		cncfcn.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
10	9	cnfldtopn 24290	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
11	1, 10, 3	metrest 24025	. . . . 5 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
12	7, 8, 11	sylancr 588	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
13	6, 12	eqtrid 2785	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
14		cncfcn.4	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝐽 ↾t 𝐵)
15		simpr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐵 ⊆ ℂ)
16	2, 10, 4	metrest 24025	. . . . 5 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t 𝐵) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))))
17	7, 15, 16	sylancr 588	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t 𝐵) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))))
18	14, 17	eqtrid 2785	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐿 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))))
19	13, 18	oveq12d 7424	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐾 Cn 𝐿) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) Cn (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
20	5, 19	eqtr4d 2776	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→𝐵) = (𝐾 Cn 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3948   × cxp 5674   ↾ cres 5678   ∘ ccom 5680  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  ℂcc 11105   − cmin 11441  abscabs 15178   ↾_t crest 17363  TopOpenctopn 17364  ∞Metcxmet 20922  MetOpencmopn 20927  ℂ_fldccnfld 20937   Cn ccn 22720  –cn→ccncf 24384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-fz 13482  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-struct 17077  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-rest 17365  df-topn 17366  df-topgen 17386  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-bases 22441  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-cncf 24386

This theorem is referenced by:  cncfcn1  24419  cncfmptc  24420  cncfmptid  24421  cncfmpt2f  24423  cdivcncf  24429  abscncfALT  24432  cncfcnvcn  24433  cnrehmeo  24461  cncombf  25167  cnmbf  25168  cnlimc  25397  dvcn  25430  dvcnvrelem2  25527  dvcnvre  25528  ftc1cn  25552  psercn  25930  abelth  25945  logcn  26147  dvloglem  26148  efopnlem2  26157  cxpcn  26243  resqrtcn  26247  sqrtcn  26248  loglesqrt  26256  ftalem3  26569  cxpcncf1  33596  gg-cnrehmeo  35160  gg-mulcncf  35162  gg-cxpcn  35173  ivthALT  35209  knoppcnlem10  35367  knoppcnlem11  35368  ftc1cnnc  36549  areacirclem2  36566  areacirclem4  36568  fsumcncf  44581  ioccncflimc  44588  cncfuni  44589  icocncflimc  44592  cncfdmsn  44593  cncfiooicclem1  44596  cncfiooicc  44597  cxpcncf2  44602  itgsubsticclem  44678  dirkercncflem2  44807  dirkercncflem4  44809  dirkercncf  44810  fourierdlem32  44842  fourierdlem33  44843  fourierdlem62  44871  fourierdlem93  44902  fourierdlem101  44910  fouriercn  44935