MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfcn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cncfcn 24752
Description: Relate complex function continuity to topological continuity. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfcn.2 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
cncfcn.3 𝐾 = (𝐽 β†Ύt 𝐴)
cncfcn.4 𝐿 = (𝐽 β†Ύt 𝐡)
Assertion
Ref Expression
cncfcn ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐴–cn→𝐡) = (𝐾 Cn 𝐿))
Proof of Theorem cncfcn
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . 3 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))
2 eqid 2724 . . 3 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))
3 eqid 2724 . . 3 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)))
4 eqid 2724 . . 3 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
51, 2, 3, 4cncfmet 24751 . 2 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐴–cn→𝐡) = ((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))) Cn (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))))
6 cncfcn.3 . . . 4 𝐾 = (𝐽 β†Ύt 𝐴)
7 cnxmet 24611 . . . . 5 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
8 simpl 482 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
9 cncfcn.2 . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
109cnfldtopn 24620 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
111, 10, 3metrest 24355 . . . . 5 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐴 βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))))
127, 8, 11sylancr 586 . . . 4 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))))
136, 12eqtrid 2776 . . 3 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ 𝐾 = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))))
14 cncfcn.4 . . . 4 𝐿 = (𝐽 β†Ύt 𝐡)
15 simpr 484 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ 𝐡 βŠ† β„‚)
162, 10, 4metrest 24355 . . . . 5 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))))
177, 15, 16sylancr 586 . . . 4 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))))
1814, 17eqtrid 2776 . . 3 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ 𝐿 = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))))
1913, 18oveq12d 7419 . 2 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐾 Cn 𝐿) = ((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))) Cn (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))))
205, 19eqtr4d 2767 1 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐴–cn→𝐡) = (𝐾 Cn 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3940   Γ— cxp 5664   β†Ύ cres 5668   ∘ ccom 5670  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  β„‚cc 11104   βˆ’ cmin 11441  abscabs 15178   β†Ύt crest 17365  TopOpenctopn 17366  βˆžMetcxmet 21213  MetOpencmopn 21218  β„‚fldccnfld 21228   Cn ccn 23050  β€“cnβ†’ccncf 24718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-fz 13482  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-rest 17367  df-topn 17368  df-topgen 17388  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-cnfld 21229  df-top 22718  df-topon 22735  df-bases 22771  df-cn 23053  df-cnp 23054  df-cncf 24720
This theorem is referenced by:  cncfcn1  24753  cncfmptc  24754  cncfmptid  24755  cncfmpt2f  24757  cdivcncf  24763  abscncfALT  24767  cncfcnvcn  24768  cnrehmeo  24800  cnrehmeoOLD  24801  mulcncf  25296  cncombf  25509  cnmbf  25510  cnlimc  25739  dvcn  25773  dvcnvrelem2  25873  dvcnvre  25874  ftc1cn  25900  psercn  26280  abelth  26295  logcn  26497  dvloglem  26498  efopnlem2  26507  cxpcn  26595  cxpcnOLD  26596  resqrtcn  26600  sqrtcn  26601  loglesqrt  26609  ftalem3  26923  cxpcncf1  34096  ivthALT  35710  knoppcnlem10  35868  knoppcnlem11  35869  ftc1cnnc  37050  areacirclem2  37067  areacirclem4  37069  fsumcncf  45079  ioccncflimc  45086  cncfuni  45087  icocncflimc  45090  cncfdmsn  45091  cncfiooicclem1  45094  cncfiooicc  45095  cxpcncf2  45100  itgsubsticclem  45176  dirkercncflem2  45305  dirkercncflem4  45307  dirkercncf  45308  fourierdlem32  45340  fourierdlem33  45341  fourierdlem62  45369  fourierdlem93  45400  fourierdlem101  45408  fouriercn  45433
  Copyright terms: Public domain W3C validator