MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfcn 22946
Description: Relate complex function continuity to topological continuity. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfcn.2 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cncfcn.3 𝐾 = (𝐽t 𝐴)
cncfcn.4 𝐿 = (𝐽t 𝐵)
Assertion
Ref Expression
cncfcn ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐴cn𝐵) = (𝐾 Cn 𝐿))

Proof of Theorem cncfcn
StepHypRef Expression
1 eqid 2817 . . 3 ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
2 eqid 2817 . . 3 ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))
3 eqid 2817 . . 3 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
4 eqid 2817 . . 3 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
51, 2, 3, 4cncfmet 22945 . 2 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐴cn𝐵) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) Cn (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
6 cncfcn.3 . . . 4 𝐾 = (𝐽t 𝐴)
7 cnxmet 22810 . . . . 5 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
8 simpl 470 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℂ)
9 cncfcn.2 . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
109cnfldtopn 22819 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
111, 10, 3metrest 22563 . . . . 5 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
127, 8, 11sylancr 577 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
136, 12syl5eq 2863 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
14 cncfcn.4 . . . 4 𝐿 = (𝐽t 𝐵)
15 simpr 473 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐵 ⊆ ℂ)
162, 10, 4metrest 22563 . . . . 5 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝐵) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))))
177, 15, 16sylancr 577 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝐵) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))))
1814, 17syl5eq 2863 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐿 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))))
1913, 18oveq12d 6902 . 2 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐾 Cn 𝐿) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) Cn (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
205, 19eqtr4d 2854 1 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐴cn𝐵) = (𝐾 Cn 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157  wss 3780   × cxp 5322  cres 5326  ccom 5328  cfv 6111  (class class class)co 6884  cc 10229  cmin 10561  abscabs 14217  t crest 16306  TopOpenctopn 16307  ∞Metcxmt 19959  MetOpencmopn 19964  fldccnfld 19974   Cn ccn 21263  cnccncf 22913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-cnex 10287  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307  ax-pre-mulgt0 10308  ax-pre-sup 10309
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-om 7306  df-1st 7408  df-2nd 7409  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-1o 7806  df-oadd 7810  df-er 7989  df-map 8104  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-fin 8206  df-sup 8597  df-inf 8598  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-xr 10373  df-ltxr 10374  df-le 10375  df-sub 10563  df-neg 10564  df-div 10980  df-nn 11316  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11580  df-z 11664  df-dec 11780  df-uz 11925  df-q 12028  df-rp 12067  df-xneg 12182  df-xadd 12183  df-xmul 12184  df-fz 12570  df-seq 13045  df-exp 13104  df-cj 14082  df-re 14083  df-im 14084  df-sqrt 14218  df-abs 14219  df-struct 16090  df-ndx 16091  df-slot 16092  df-base 16094  df-plusg 16186  df-mulr 16187  df-starv 16188  df-tset 16192  df-ple 16193  df-ds 16195  df-unif 16196  df-rest 16308  df-topn 16309  df-topgen 16329  df-psmet 19966  df-xmet 19967  df-met 19968  df-bl 19969  df-mopn 19970  df-cnfld 19975  df-top 20933  df-topon 20950  df-bases 20985  df-cn 21266  df-cnp 21267  df-cncf 22915
This theorem is referenced by:  cncfcn1  22947  cncfmptc  22948  cncfmptid  22949  cncfmpt2f  22951  cdivcncf  22954  abscncfALT  22957  cncfcnvcn  22958  cnrehmeo  22986  cncombf  23662  cnmbf  23663  cnlimc  23889  dvcn  23921  dvcnvrelem2  24018  dvcnvre  24019  ftc1cn  24043  psercn  24417  abelth  24432  logcn  24630  dvloglem  24631  efopnlem2  24640  cxpcn  24723  resqrtcn  24727  sqrtcn  24728  loglesqrt  24736  ftalem3  25038  cxpcncf1  31021  ivthALT  32673  knoppcnlem10  32831  knoppcnlem11  32832  ftc1cnnc  33815  areacirclem2  33832  areacirclem4  33834  fsumcncf  40589  ioccncflimc  40596  cncfuni  40597  icocncflimc  40600  cncfdmsn  40601  cncfiooicclem1  40604  cncfiooicc  40605  cxpcncf2  40611  itgsubsticclem  40688  dirkercncflem2  40818  dirkercncflem4  40820  dirkercncf  40821  fourierdlem32  40853  fourierdlem33  40854  fourierdlem62  40882  fourierdlem93  40913  fourierdlem101  40921  fouriercn  40946
  Copyright terms: Public domain W3C validator