Theorem cncfcn 23979

Description: Relate complex function continuity to topological continuity. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfcn.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cncfcn.3	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝐴)
cncfcn.4	⊢ 𝐿 = (𝐽 ↾t 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cncfcn	⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→𝐵) = (𝐾 Cn 𝐿))

Proof of Theorem cncfcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	cncfmet 23978	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→𝐵) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) Cn (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
6		cncfcn.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝐴)
7		cnxmet 23842	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
8		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℂ)
9		cncfcn.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
10	9	cnfldtopn 23851	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
11	1, 10, 3	metrest 23586	. . . . 5 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
12	7, 8, 11	sylancr 586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
13	6, 12	eqtrid 2790	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
14		cncfcn.4	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝐽 ↾t 𝐵)
15		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐵 ⊆ ℂ)
16	2, 10, 4	metrest 23586	. . . . 5 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t 𝐵) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))))
17	7, 15, 16	sylancr 586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t 𝐵) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))))
18	14, 17	eqtrid 2790	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐿 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))))
19	13, 18	oveq12d 7273	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐾 Cn 𝐿) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) Cn (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
20	5, 19	eqtr4d 2781	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→𝐵) = (𝐾 Cn 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883   × cxp 5578   ↾ cres 5582   ∘ ccom 5584  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800   − cmin 11135  abscabs 14873   ↾_t crest 17048  TopOpenctopn 17049  ∞Metcxmet 20495  MetOpencmopn 20500  ℂ_fldccnfld 20510   Cn ccn 22283  –cn→ccncf 23945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-fz 13169  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-rest 17050  df-topn 17051  df-topgen 17071  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-bases 22004  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-cncf 23947

This theorem is referenced by:  cncfcn1  23980  cncfmptc  23981  cncfmptid  23982  cncfmpt2f  23984  cdivcncf  23990  abscncfALT  23993  cncfcnvcn  23994  cnrehmeo  24022  cncombf  24727  cnmbf  24728  cnlimc  24957  dvcn  24990  dvcnvrelem2  25087  dvcnvre  25088  ftc1cn  25112  psercn  25490  abelth  25505  logcn  25707  dvloglem  25708  efopnlem2  25717  cxpcn  25803  resqrtcn  25807  sqrtcn  25808  loglesqrt  25816  ftalem3  26129  cxpcncf1  32475  ivthALT  34451  knoppcnlem10  34609  knoppcnlem11  34610  ftc1cnnc  35776  areacirclem2  35793  areacirclem4  35795  fsumcncf  43309  ioccncflimc  43316  cncfuni  43317  icocncflimc  43320  cncfdmsn  43321  cncfiooicclem1  43324  cncfiooicc  43325  cxpcncf2  43330  itgsubsticclem  43406  dirkercncflem2  43535  dirkercncflem4  43537  dirkercncf  43538  fourierdlem32  43570  fourierdlem33  43571  fourierdlem62  43599  fourierdlem93  43630  fourierdlem101  43638  fouriercn  43663