MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgrle 24760
Description: Given an explicit expression for a polynomial, the degree is at most the highest term in the sum. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrle.1 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
dgrle.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
dgrle.3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
dgrle.4 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘))))
Assertion
Ref Expression
dgrle (𝜑 → (deg‘𝐹) ≤ 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑘,𝑁   𝜑,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑆(𝑧,𝑘)   𝐹(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem dgrle
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrle.1 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 dgrle.2 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
3 dgrle.3 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4 dgrle.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘))))
51, 2, 3, 4coeeq2 24759 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (coeff‘𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)))
65ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑚𝑁) → (coeff‘𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)))
76fveq1d 6665 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑚𝑁) → ((coeff‘𝐹)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚))
8 nfcv 2974 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑚
9 nfv 1906 . . . . . . . . . . 11 𝑘 ¬ 𝑚𝑁
10 nffvmpt1 6674 . . . . . . . . . . . 12 𝑘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚)
1110nfeq1 2990 . . . . . . . . . . 11 𝑘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0
129, 11nfim 1888 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑚𝑁 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0)
13 breq1 5060 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝑁𝑚𝑁))
1413notbid 319 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (¬ 𝑘𝑁 ↔ ¬ 𝑚𝑁))
15 fveqeq2 6672 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = 0 ↔ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0))
1614, 15imbi12d 346 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → ((¬ 𝑘𝑁 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = 0) ↔ (¬ 𝑚𝑁 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0)))
17 iffalse 4472 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑁 → if(𝑘𝑁, 𝐴, 0) = 0)
1817fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑁 → ( I ‘if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)) = ( I ‘0))
19 0cn 10621 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℂ
20 fvi 6733 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℂ → ( I ‘0) = 0)
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ( I ‘0) = 0
2218, 21syl6eq 2869 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑁 → ( I ‘if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)) = 0)
23 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))
2423fvmpt2i 6770 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = ( I ‘if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)))
2524eqeq1d 2820 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = 0 ↔ ( I ‘if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)) = 0))
2622, 25syl5ibr 247 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑘𝑁 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = 0))
278, 12, 16, 26vtoclgaf 3570 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑚𝑁 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0))
2827imp 407 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑚𝑁) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0)
2928adantll 710 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑚𝑁) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0)
307, 29eqtrd 2853 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑚𝑁) → ((coeff‘𝐹)‘𝑚) = 0)
3130ex 413 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑚𝑁 → ((coeff‘𝐹)‘𝑚) = 0))
3231necon1ad 3030 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (((coeff‘𝐹)‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚𝑁))
3332ralrimiva 3179 . . 3 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((coeff‘𝐹)‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚𝑁))
34 eqid 2818 . . . . . 6 (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
3534coef3 24749 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ)
361, 35syl 17 . . . 4 (𝜑 → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ)
37 plyco0 24709 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ) → (((coeff‘𝐹) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((coeff‘𝐹)‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚𝑁)))
382, 36, 37syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (((coeff‘𝐹) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((coeff‘𝐹)‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚𝑁)))
3933, 38mpbird 258 . 2 (𝜑 → ((coeff‘𝐹) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
40 eqid 2818 . . 3 (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
4134, 40dgrlb 24753 . 2 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((coeff‘𝐹) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) → (deg‘𝐹) ≤ 𝑁)
421, 2, 39, 41syl3anc 1363 1 (𝜑 → (deg‘𝐹) ≤ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  ifcif 4463  {csn 4557   class class class wbr 5057  cmpt 5137   I cid 5452  cima 5551  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cle 10664  0cn0 11885  cuz 12231  ...cfz 12880  cexp 13417  Σcsu 15030  Polycply 24701  coeffccoe 24703  degcdgr 24704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-0p 24198  df-ply 24705  df-coe 24707  df-dgr 24708
This theorem is referenced by:  dgreq  24761  0dgr  24762  coeaddlem  24766  coemullem  24767  taylply2  24883
  Copyright terms: Public domain W3C validator