Theorem dgrle 26563

Description: Given an explicit expression for a polynomial, the degree is at most the highest term in the sum. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrle.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
dgrle.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
dgrle.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
dgrle.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧↑𝑘))))

Assertion

Ref	Expression
dgrle	⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ≤ 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑘,𝑁   𝜑,𝑘,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑆(𝑧, 𝑘)   𝐹(𝑧, 𝑘)

Proof of Theorem dgrle

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dgrle.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		dgrle.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		dgrle.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		dgrle.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧↑𝑘))))
5	1, 2, 3, 4	coeeq2 26562	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)))
6	5	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑚 ≤ 𝑁) → (coeff‘𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)))
7	6	fveq1d 6888	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑚 ≤ 𝑁) → ((coeff‘𝐹)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚))
8		nfcv 2923	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝑚
9		nfv 1947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 ¬ 𝑚 ≤ 𝑁
10		nffvmpt1 6897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚)
11	10	nfeq1 2938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0
12	9, 11	nfim 1929	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(¬ 𝑚 ≤ 𝑁 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0)
13		breq1 5106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ 𝑚 ≤ 𝑁))
14	13	notbid 321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (¬ 𝑘 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑚 ≤ 𝑁))
15		fveqeq2 6895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = 0 ↔ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0))
16	14, 15	imbi12d 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((¬ 𝑘 ≤ 𝑁 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = 0) ↔ (¬ 𝑚 ≤ 𝑁 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0)))
17		iffalse 4491	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑘 ≤ 𝑁 → if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0) = 0)
18	17	fveq2d 6890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑘 ≤ 𝑁 → ( I ‘if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)) = ( I ‘0))
19		0cn 11299	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℂ
20		fvi 6962	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ ℂ → ( I ‘0) = 0)
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( I ‘0) = 0
22	18, 21	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑘 ≤ 𝑁 → ( I ‘if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)) = 0)
23		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))
24	23	fvmpt2i 7005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = ( I ‘if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)))
25	24	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = 0 ↔ ( I ‘if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)) = 0))
26	22, 25	imbitrrid 249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑘 ≤ 𝑁 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = 0))
27	8, 12, 16, 26	vtoclgaf 3536	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑚 ≤ 𝑁 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0))
28	27	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑚 ≤ 𝑁) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0)
29	28	adantll 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑚 ≤ 𝑁) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0)
30	7, 29	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑚 ≤ 𝑁) → ((coeff‘𝐹)‘𝑚) = 0)
31	30	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑚 ≤ 𝑁 → ((coeff‘𝐹)‘𝑚) = 0))
32	31	necon1ad 2973	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((coeff‘𝐹)‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚 ≤ 𝑁))
33	32	ralrimiva 3155	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((coeff‘𝐹)‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚 ≤ 𝑁))
34		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
35	34	coef3 26552	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ)
36	1, 35	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ)
37		plyco0 26511	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ) → (((coeff‘𝐹) “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((coeff‘𝐹)‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚 ≤ 𝑁)))
38	2, 36, 37	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((coeff‘𝐹) “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((coeff‘𝐹)‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚 ≤ 𝑁)))
39	33, 38	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝐹) “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
40		eqid 2761	. . 3 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
41	34, 40	dgrlb 26556	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((coeff‘𝐹) “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0}) → (deg‘𝐹) ≤ 𝑁)
42	1, 2, 39, 41	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ≤ 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ifcif 4482  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   I cid 5545   “ cima 5654  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11199  0cc0 11201  1c1 11202   + caddc 11204   · cmul 11206   ≤ cle 11345  ℕ₀cn0 12607  ℤ_≥cuz 12966  ...cfz 13640  ↑cexp 14205  Σcsu 15854  Polycply 26503  coeffccoe 26505  degcdgr 26506

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-inf2 9643  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-map 8850  df-pm 8851  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9435  df-inf 9436  df-oi 9505  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-rp 13122  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-fl 13933  df-seq 14146  df-exp 14206  df-hash 14476  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-clim 15656  df-rlim 15657  df-sum 15855  df-0p 25992  df-ply 26507  df-coe 26509  df-dgr 26510

This theorem is used by:  dgreq  26564  0dgr  26565  coeaddlem  26569  coemullem  26570  taylply2  26696