MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgrle 24767
Description: Given an explicit expression for a polynomial, the degree is at most the highest term in the sum. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrle.1 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
dgrle.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
dgrle.3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
dgrle.4 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘))))
Assertion
Ref Expression
dgrle (𝜑 → (deg‘𝐹) ≤ 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑘,𝑁   𝜑,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑆(𝑧,𝑘)   𝐹(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem dgrle
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrle.1 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 dgrle.2 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
3 dgrle.3 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4 dgrle.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘))))
51, 2, 3, 4coeeq2 24766 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (coeff‘𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)))
65ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑚𝑁) → (coeff‘𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)))
76fveq1d 6671 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑚𝑁) → ((coeff‘𝐹)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚))
8 nfcv 2982 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑚
9 nfv 1908 . . . . . . . . . . 11 𝑘 ¬ 𝑚𝑁
10 nffvmpt1 6680 . . . . . . . . . . . 12 𝑘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚)
1110nfeq1 2998 . . . . . . . . . . 11 𝑘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0
129, 11nfim 1890 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑚𝑁 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0)
13 breq1 5066 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝑁𝑚𝑁))
1413notbid 319 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (¬ 𝑘𝑁 ↔ ¬ 𝑚𝑁))
15 fveqeq2 6678 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = 0 ↔ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0))
1614, 15imbi12d 346 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → ((¬ 𝑘𝑁 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = 0) ↔ (¬ 𝑚𝑁 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0)))
17 iffalse 4479 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑁 → if(𝑘𝑁, 𝐴, 0) = 0)
1817fveq2d 6673 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑁 → ( I ‘if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)) = ( I ‘0))
19 0cn 10627 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℂ
20 fvi 6739 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℂ → ( I ‘0) = 0)
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ( I ‘0) = 0
2218, 21syl6eq 2877 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑁 → ( I ‘if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)) = 0)
23 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))
2423fvmpt2i 6776 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = ( I ‘if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)))
2524eqeq1d 2828 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = 0 ↔ ( I ‘if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)) = 0))
2622, 25syl5ibr 247 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑘𝑁 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = 0))
278, 12, 16, 26vtoclgaf 3578 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑚𝑁 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0))
2827imp 407 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑚𝑁) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0)
2928adantll 710 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑚𝑁) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0)
307, 29eqtrd 2861 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑚𝑁) → ((coeff‘𝐹)‘𝑚) = 0)
3130ex 413 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑚𝑁 → ((coeff‘𝐹)‘𝑚) = 0))
3231necon1ad 3038 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (((coeff‘𝐹)‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚𝑁))
3332ralrimiva 3187 . . 3 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((coeff‘𝐹)‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚𝑁))
34 eqid 2826 . . . . . 6 (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
3534coef3 24756 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ)
361, 35syl 17 . . . 4 (𝜑 → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ)
37 plyco0 24716 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ) → (((coeff‘𝐹) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((coeff‘𝐹)‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚𝑁)))
382, 36, 37syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (((coeff‘𝐹) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((coeff‘𝐹)‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚𝑁)))
3933, 38mpbird 258 . 2 (𝜑 → ((coeff‘𝐹) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
40 eqid 2826 . . 3 (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
4134, 40dgrlb 24760 . 2 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((coeff‘𝐹) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) → (deg‘𝐹) ≤ 𝑁)
421, 2, 39, 41syl3anc 1365 1 (𝜑 → (deg‘𝐹) ≤ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  wral 3143  ifcif 4470  {csn 4564   class class class wbr 5063  cmpt 5143   I cid 5458  cima 5557  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7150  cc 10529  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536  cle 10670  0cn0 11891  cuz 12237  ...cfz 12887  cexp 13424  Σcsu 15037  Polycply 24708  coeffccoe 24710  degcdgr 24711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12385  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13425  df-hash 13686  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-0p 24205  df-ply 24712  df-coe 24714  df-dgr 24715
This theorem is referenced by:  dgreq  24768  0dgr  24769  coeaddlem  24773  coemullem  24774  taylply2  24890
  Copyright terms: Public domain W3C validator