Theorem dgrle 26567

Description: Given an explicit expression for a polynomial, the degree is at most the highest term in the sum. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrle.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
dgrle.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
dgrle.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
dgrle.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧↑𝑘))))

Assertion

Ref	Expression
dgrle	⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ≤ 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑘,𝑁   𝜑,𝑘,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑆(𝑧, 𝑘)   𝐹(𝑧, 𝑘)

Proof of Theorem dgrle

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dgrle.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		dgrle.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		dgrle.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		dgrle.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧↑𝑘))))
5	1, 2, 3, 4	coeeq2 26566	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)))
6	5	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑚 ≤ 𝑁) → (coeff‘𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)))
7	6	fveq1d 6887	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑚 ≤ 𝑁) → ((coeff‘𝐹)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚))
8		nfcv 2922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝑚
9		nfv 1946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 ¬ 𝑚 ≤ 𝑁
10		nffvmpt1 6896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚)
11	10	nfeq1 2937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0
12	9, 11	nfim 1928	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(¬ 𝑚 ≤ 𝑁 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0)
13		breq1 5105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ 𝑚 ≤ 𝑁))
14	13	notbid 321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (¬ 𝑘 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑚 ≤ 𝑁))
15		fveqeq2 6894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = 0 ↔ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0))
16	14, 15	imbi12d 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((¬ 𝑘 ≤ 𝑁 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = 0) ↔ (¬ 𝑚 ≤ 𝑁 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0)))
17		iffalse 4490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑘 ≤ 𝑁 → if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0) = 0)
18	17	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑘 ≤ 𝑁 → ( I ‘if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)) = ( I ‘0))
19		0cn 11301	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℂ
20		fvi 6961	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ ℂ → ( I ‘0) = 0)
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( I ‘0) = 0
22	18, 21	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑘 ≤ 𝑁 → ( I ‘if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)) = 0)
23		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))
24	23	fvmpt2i 7004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = ( I ‘if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)))
25	24	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = 0 ↔ ( I ‘if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)) = 0))
26	22, 25	imbitrrid 249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑘 ≤ 𝑁 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = 0))
27	8, 12, 16, 26	vtoclgaf 3535	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑚 ≤ 𝑁 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0))
28	27	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑚 ≤ 𝑁) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0)
29	28	adantll 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑚 ≤ 𝑁) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0)
30	7, 29	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑚 ≤ 𝑁) → ((coeff‘𝐹)‘𝑚) = 0)
31	30	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑚 ≤ 𝑁 → ((coeff‘𝐹)‘𝑚) = 0))
32	31	necon1ad 2972	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((coeff‘𝐹)‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚 ≤ 𝑁))
33	32	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((coeff‘𝐹)‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚 ≤ 𝑁))
34		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
35	34	coef3 26556	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ)
36	1, 35	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ)
37		plyco0 26515	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ) → (((coeff‘𝐹) “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((coeff‘𝐹)‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚 ≤ 𝑁)))
38	2, 36, 37	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((coeff‘𝐹) “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((coeff‘𝐹)‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚 ≤ 𝑁)))
39	33, 38	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝐹) “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
40		eqid 2760	. . 3 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
41	34, 40	dgrlb 26560	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((coeff‘𝐹) “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0}) → (deg‘𝐹) ≤ 𝑁)
42	1, 2, 39, 41	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ≤ 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ifcif 4481  {csn 4584   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   I cid 5544   “ cima 5653  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208   ≤ cle 11347  ℕ₀cn0 12609  ℤ_≥cuz 12968  ...cfz 13642  ↑cexp 14207  Σcsu 15858  Polycply 26507  coeffccoe 26509  degcdgr 26510

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-seq 14148  df-exp 14208  df-hash 14478  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-clim 15660  df-rlim 15661  df-sum 15859  df-0p 25996  df-ply 26511  df-coe 26513  df-dgr 26514

This theorem is used by:  dgreq  26568  0dgr  26569  coeaddlem  26573  coemullem  26574  taylply2  26700