MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrle Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dgrle 25981
Description: Given an explicit expression for a polynomial, the degree is at most the highest term in the sum. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrle.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
dgrle.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
dgrle.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
dgrle.4 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝐴 Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
Assertion
Ref Expression
dgrle (πœ‘ β†’ (degβ€˜πΉ) ≀ 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜)   𝑆(𝑧,π‘˜)   𝐹(𝑧,π‘˜)
Proof of Theorem dgrle
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrle.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
2 dgrle.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
3 dgrle.3 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4 dgrle.4 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝐴 Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
51, 2, 3, 4coeeq2 25980 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (coeffβ€˜πΉ) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0)))
65ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘š ≀ 𝑁) β†’ (coeffβ€˜πΉ) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0)))
76fveq1d 6893 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘š ≀ 𝑁) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘š))
8 nfcv 2903 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜π‘š
9 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜ Β¬ π‘š ≀ 𝑁
10 nffvmpt1 6902 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘š)
1110nfeq1 2918 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘š) = 0
129, 11nfim 1899 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜(Β¬ π‘š ≀ 𝑁 β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘š) = 0)
13 breq1 5151 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = π‘š β†’ (π‘˜ ≀ 𝑁 ↔ π‘š ≀ 𝑁))
1413notbid 317 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = π‘š β†’ (Β¬ π‘˜ ≀ 𝑁 ↔ Β¬ π‘š ≀ 𝑁))
15 fveqeq2 6900 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = π‘š β†’ (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) = 0 ↔ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘š) = 0))
1614, 15imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = π‘š β†’ ((Β¬ π‘˜ ≀ 𝑁 β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) = 0) ↔ (Β¬ π‘š ≀ 𝑁 β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘š) = 0)))
17 iffalse 4537 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ π‘˜ ≀ 𝑁 β†’ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0) = 0)
1817fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ π‘˜ ≀ 𝑁 β†’ ( I β€˜if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0)) = ( I β€˜0))
19 0cn 11210 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ β„‚
20 fvi 6967 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ β„‚ β†’ ( I β€˜0) = 0)
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ( I β€˜0) = 0
2218, 21eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘˜ ≀ 𝑁 β†’ ( I β€˜if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0)) = 0)
23 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0)) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))
2423fvmpt2i 7008 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) = ( I β€˜if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0)))
2524eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) = 0 ↔ ( I β€˜if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0)) = 0))
2622, 25imbitrrid 245 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (Β¬ π‘˜ ≀ 𝑁 β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) = 0))
278, 12, 16, 26vtoclgaf 3564 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ β„•0 β†’ (Β¬ π‘š ≀ 𝑁 β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘š) = 0))
2827imp 407 . . . . . . . 8 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ π‘š ≀ 𝑁) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘š) = 0)
2928adantll 712 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘š ≀ 𝑁) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘š) = 0)
307, 29eqtrd 2772 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘š ≀ 𝑁) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘š) = 0)
3130ex 413 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (Β¬ π‘š ≀ 𝑁 β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘š) = 0))
3231necon1ad 2957 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘š) β‰  0 β†’ π‘š ≀ 𝑁))
3332ralrimiva 3146 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘š) β‰  0 β†’ π‘š ≀ 𝑁))
34 eqid 2732 . . . . . 6 (coeffβ€˜πΉ) = (coeffβ€˜πΉ)
3534coef3 25970 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„‚)
361, 35syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„‚)
37 plyco0 25930 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„‚) β†’ (((coeffβ€˜πΉ) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘š) β‰  0 β†’ π‘š ≀ 𝑁)))
382, 36, 37syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (((coeffβ€˜πΉ) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘š) β‰  0 β†’ π‘š ≀ 𝑁)))
3933, 38mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ ((coeffβ€˜πΉ) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0})
40 eqid 2732 . . 3 (degβ€˜πΉ) = (degβ€˜πΉ)
4134, 40dgrlb 25974 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((coeffβ€˜πΉ) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) β†’ (degβ€˜πΉ) ≀ 𝑁)
421, 2, 39, 41syl3anc 1371 1 (πœ‘ β†’ (degβ€˜πΉ) ≀ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  ifcif 4528  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   I cid 5573   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   ≀ cle 11253  β„•0cn0 12476  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13488  β†‘cexp 14031  Ξ£csu 15636  Polycply 25922  coeffccoe 25924  degcdgr 25925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-0p 25411  df-ply 25926  df-coe 25928  df-dgr 25929
This theorem is referenced by:  dgreq  25982  0dgr  25983  coeaddlem  25987  coemullem  25988  taylply2  26104
  Copyright terms: Public domain W3C validator