Theorem dgrle 25309

Description: Given an explicit expression for a polynomial, the degree is at most the highest term in the sum. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrle.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
dgrle.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
dgrle.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
dgrle.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧↑𝑘))))

Assertion

Ref	Expression
dgrle	⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ≤ 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑘,𝑁   𝜑,𝑘,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑆(𝑧,𝑘)   𝐹(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem dgrle

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dgrle.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		dgrle.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		dgrle.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		dgrle.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧↑𝑘))))
5	1, 2, 3, 4	coeeq2 25308	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)))
6	5	ad2antrr 722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑚 ≤ 𝑁) → (coeff‘𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)))
7	6	fveq1d 6758	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑚 ≤ 𝑁) → ((coeff‘𝐹)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚))
8		nfcv 2906	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝑚
9		nfv 1918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 ¬ 𝑚 ≤ 𝑁
10		nffvmpt1 6767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚)
11	10	nfeq1 2921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0
12	9, 11	nfim 1900	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(¬ 𝑚 ≤ 𝑁 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0)
13		breq1 5073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ 𝑚 ≤ 𝑁))
14	13	notbid 317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (¬ 𝑘 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑚 ≤ 𝑁))
15		fveqeq2 6765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = 0 ↔ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0))
16	14, 15	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((¬ 𝑘 ≤ 𝑁 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = 0) ↔ (¬ 𝑚 ≤ 𝑁 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0)))
17		iffalse 4465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑘 ≤ 𝑁 → if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0) = 0)
18	17	fveq2d 6760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑘 ≤ 𝑁 → ( I ‘if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)) = ( I ‘0))
19		0cn 10898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℂ
20		fvi 6826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ ℂ → ( I ‘0) = 0)
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( I ‘0) = 0
22	18, 21	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑘 ≤ 𝑁 → ( I ‘if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)) = 0)
23		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))
24	23	fvmpt2i 6867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = ( I ‘if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)))
25	24	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = 0 ↔ ( I ‘if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)) = 0))
26	22, 25	syl5ibr 245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑘 ≤ 𝑁 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = 0))
27	8, 12, 16, 26	vtoclgaf 3502	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑚 ≤ 𝑁 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0))
28	27	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑚 ≤ 𝑁) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0)
29	28	adantll 710	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑚 ≤ 𝑁) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0)
30	7, 29	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑚 ≤ 𝑁) → ((coeff‘𝐹)‘𝑚) = 0)
31	30	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑚 ≤ 𝑁 → ((coeff‘𝐹)‘𝑚) = 0))
32	31	necon1ad 2959	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((coeff‘𝐹)‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚 ≤ 𝑁))
33	32	ralrimiva 3107	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((coeff‘𝐹)‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚 ≤ 𝑁))
34		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
35	34	coef3 25298	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ)
36	1, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ)
37		plyco0 25258	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ) → (((coeff‘𝐹) “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((coeff‘𝐹)‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚 ≤ 𝑁)))
38	2, 36, 37	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((coeff‘𝐹) “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((coeff‘𝐹)‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚 ≤ 𝑁)))
39	33, 38	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝐹) “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
40		eqid 2738	. . 3 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
41	34, 40	dgrlb 25302	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((coeff‘𝐹) “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0}) → (deg‘𝐹) ≤ 𝑁)
42	1, 2, 39, 41	syl3anc 1369	1 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ≤ 𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ifcif 4456  {csn 4558   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153   I cid 5479   “ cima 5583  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   ≤ cle 10941  ℕ₀cn0 12163  ℤ_≥cuz 12511  ...cfz 13168  ↑cexp 13710  Σcsu 15325  Polycply 25250  coeffccoe 25252  degcdgr 25253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-0p 24739  df-ply 25254  df-coe 25256  df-dgr 25257

This theorem is referenced by:  dgreq  25310  0dgr  25311  coeaddlem  25315  coemullem  25316  taylply2  25432