Theorem dprd2db 19954

Description: The direct product of a collection of direct products. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprd2d.1	⊢ (𝜑 → Rel 𝐴)
dprd2d.2	⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
dprd2d.3	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ⊆ 𝐼)
dprd2d.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐺dom DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗)))
dprd2d.5	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗)))))
dprd2d.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
dprd2db	⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐺 DProd (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗))))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐴   𝑖,𝐺,𝑗   𝑖,𝐼   𝑖,𝐾   𝜑,𝑖,𝑗   𝑆,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑗)   𝐾(𝑗)

Proof of Theorem dprd2db

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprd2d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐴)
2		dprd2d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
3		dprd2d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ⊆ 𝐼)
4		dprd2d.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐺dom DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗)))
5		dprd2d.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗)))))
6		dprd2d.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dprd2da 19953	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
8	6	dprdspan 19938	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐾‘∪ ran 𝑆))
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐾‘∪ ran 𝑆))
10		relssres 6022	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ dom 𝐴 ⊆ 𝐼) → (𝐴 ↾ 𝐼) = 𝐴)
11	1, 3, 10	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↾ 𝐼) = 𝐴)
12	11	imaeq2d 6059	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 “ (𝐴 ↾ 𝐼)) = (𝑆 “ 𝐴))
13		ffn 6717	. . . . . 6 ⊢ (𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺) → 𝑆 Fn 𝐴)
14		fnima 6680	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 Fn 𝐴 → (𝑆 “ 𝐴) = ran 𝑆)
15	2, 13, 14	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 “ 𝐴) = ran 𝑆)
16	12, 15	eqtr2d 2773	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 = (𝑆 “ (𝐴 ↾ 𝐼)))
17	16	unieqd 4922	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ ran 𝑆 = ∪ (𝑆 “ (𝐴 ↾ 𝐼)))
18	17	fveq2d 6895	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘∪ ran 𝑆) = (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐴 ↾ 𝐼))))
19		ssidd 4005	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐼)
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 19	dprd2dlem1 19952	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐴 ↾ 𝐼))) = (𝐺 DProd (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗))))))
21	9, 18, 20	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐺 DProd (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3948  {csn 4628  ∪ cuni 4908   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677   ↾ cres 5678   “ cima 5679  Rel wrel 5681   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  mrClscmrc 17531  SubGrpcsubg 19036   DProd cdprd 19904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-gim 19173  df-cntz 19222  df-oppg 19251  df-lsm 19545  df-cmn 19691  df-dprd 19906

This theorem is referenced by:  dprd2d2  19955