Theorem dprd2db 20011

Description: The direct product of a collection of direct products. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprd2d.1	⊢ (𝜑 → Rel 𝐴)
dprd2d.2	⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
dprd2d.3	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ⊆ 𝐼)
dprd2d.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐺dom DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗)))
dprd2d.5	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗)))))
dprd2d.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
dprd2db	⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐺 DProd (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗))))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐴   𝑖,𝐺,𝑗   𝑖,𝐼   𝑖,𝐾   𝜑,𝑖,𝑗   𝑆,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑗)   𝐾(𝑗)

Proof of Theorem dprd2db

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprd2d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐴)
2		dprd2d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
3		dprd2d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ⊆ 𝐼)
4		dprd2d.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐺dom DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗)))
5		dprd2d.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗)))))
6		dprd2d.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dprd2da 20010	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
8	6	dprdspan 19995	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐾‘∪ ran 𝑆))
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐾‘∪ ran 𝑆))
10		relssres 5974	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ dom 𝐴 ⊆ 𝐼) → (𝐴 ↾ 𝐼) = 𝐴)
11	1, 3, 10	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↾ 𝐼) = 𝐴)
12	11	imaeq2d 6012	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 “ (𝐴 ↾ 𝐼)) = (𝑆 “ 𝐴))
13		ffn 6655	. . . . . 6 ⊢ (𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺) → 𝑆 Fn 𝐴)
14		fnima 6615	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 Fn 𝐴 → (𝑆 “ 𝐴) = ran 𝑆)
15	2, 13, 14	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 “ 𝐴) = ran 𝑆)
16	12, 15	eqtr2d 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 = (𝑆 “ (𝐴 ↾ 𝐼)))
17	16	unieqd 4851	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ ran 𝑆 = ∪ (𝑆 “ (𝐴 ↾ 𝐼)))
18	17	fveq2d 6831	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘∪ ran 𝑆) = (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐴 ↾ 𝐼))))
19		ssidd 3938	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐼)
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 19	dprd2dlem1 20009	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐴 ↾ 𝐼))) = (𝐺 DProd (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗))))))
21	9, 18, 20	3eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐺 DProd (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883  {csn 4555  ∪ cuni 4838   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5618  ran crn 5619   ↾ cres 5620   “ cima 5621  Rel wrel 5623   Fn wfn 6480  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  mrClscmrc 17536  SubGrpcsubg 19087   DProd cdprd 19961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-gim 19225  df-cntz 19283  df-oppg 19312  df-lsm 19602  df-cmn 19748  df-dprd 19963

This theorem is referenced by:  dprd2d2  20012