Theorem dprd2db 20286

Description: The direct product of a collection of direct products. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprd2d.1	⊢ (𝜑 → Rel 𝐴)
dprd2d.2	⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
dprd2d.3	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ⊆ 𝐼)
dprd2d.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐺dom DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗)))
dprd2d.5	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗)))))
dprd2d.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
dprd2db	⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐺 DProd (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗))))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐴   𝑖,𝐺,𝑗   𝑖,𝐼   𝑖,𝐾   𝜑,𝑖,𝑗   𝑆,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑗)   𝐾(𝑗)

Proof of Theorem dprd2db

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprd2d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐴)
2		dprd2d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
3		dprd2d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ⊆ 𝐼)
4		dprd2d.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐺dom DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗)))
5		dprd2d.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗)))))
6		dprd2d.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dprd2da 20285	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
8	6	dprdspan 20270	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐾‘∪ ran 𝑆))
9	7, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐾‘∪ ran 𝑆))
10		relssres 6022	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ dom 𝐴 ⊆ 𝐼) → (𝐴 ↾ 𝐼) = 𝐴)
11	1, 3, 10	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↾ 𝐼) = 𝐴)
12	11	imaeq2d 6063	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 “ (𝐴 ↾ 𝐼)) = (𝑆 “ 𝐴))
13		ffn 6728	. . . . . 6 ⊢ (𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺) → 𝑆 Fn 𝐴)
14		fnima 6688	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 Fn 𝐴 → (𝑆 “ 𝐴) = ran 𝑆)
15	2, 13, 14	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 “ 𝐴) = ran 𝑆)
16	12, 15	eqtr2d 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 = (𝑆 “ (𝐴 ↾ 𝐼)))
17	16	unieqd 4883	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ ran 𝑆 = ∪ (𝑆 “ (𝐴 ↾ 𝐼)))
18	17	fveq2d 6909	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘∪ ran 𝑆) = (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐴 ↾ 𝐼))))
19		ssidd 3936	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐼)
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 19	dprd2dlem1 20284	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐴 ↾ 𝐼))) = (𝐺 DProd (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗))))))
21	9, 18, 20	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐺 DProd (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  {csn 4588  ∪ cuni 4870   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5655  ran crn 5656   ↾ cres 5657   “ cima 5658  Rel wrel 5660   Fn wfn 6550  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  mrClscmrc 17779  SubGrpcsubg 19356   DProd cdprd 20236

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-tpos 8268  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-hash 14499  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-submnd 19005  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-mulg 19304  df-subg 19359  df-ghm 19454  df-gim 19499  df-cntz 19558  df-oppg 19587  df-lsm 19877  df-cmn 20023  df-dprd 20238

This theorem is used by:  dprd2d2  20287