MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprd2db Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprd2db 19636
Description: The direct product of a collection of direct products. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprd2d.1 (𝜑 → Rel 𝐴)
dprd2d.2 (𝜑𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
dprd2d.3 (𝜑 → dom 𝐴𝐼)
dprd2d.4 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝐺dom DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗)))
dprd2d.5 (𝜑𝐺dom DProd (𝑖𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗)))))
dprd2d.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
dprd2db (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐺 DProd (𝑖𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗))))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐴   𝑖,𝐺,𝑗   𝑖,𝐼   𝑖,𝐾   𝜑,𝑖,𝑗   𝑆,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑗)   𝐾(𝑗)

Proof of Theorem dprd2db
StepHypRef Expression
1 dprd2d.1 . . . 4 (𝜑 → Rel 𝐴)
2 dprd2d.2 . . . 4 (𝜑𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
3 dprd2d.3 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐴𝐼)
4 dprd2d.4 . . . 4 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝐺dom DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗)))
5 dprd2d.5 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd (𝑖𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗)))))
6 dprd2d.k . . . 4 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
71, 2, 3, 4, 5, 6dprd2da 19635 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
86dprdspan 19620 . . 3 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐾 ran 𝑆))
97, 8syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐾 ran 𝑆))
10 relssres 5930 . . . . . . 7 ((Rel 𝐴 ∧ dom 𝐴𝐼) → (𝐴𝐼) = 𝐴)
111, 3, 10syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐼) = 𝐴)
1211imaeq2d 5967 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 “ (𝐴𝐼)) = (𝑆𝐴))
13 ffn 6597 . . . . . 6 (𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺) → 𝑆 Fn 𝐴)
14 fnima 6560 . . . . . 6 (𝑆 Fn 𝐴 → (𝑆𝐴) = ran 𝑆)
152, 13, 143syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝐴) = ran 𝑆)
1612, 15eqtr2d 2781 . . . 4 (𝜑 → ran 𝑆 = (𝑆 “ (𝐴𝐼)))
1716unieqd 4859 . . 3 (𝜑 ran 𝑆 = (𝑆 “ (𝐴𝐼)))
1817fveq2d 6773 . 2 (𝜑 → (𝐾 ran 𝑆) = (𝐾 (𝑆 “ (𝐴𝐼))))
19 ssidd 3949 . . 3 (𝜑𝐼𝐼)
201, 2, 3, 4, 5, 6, 19dprd2dlem1 19634 . 2 (𝜑 → (𝐾 (𝑆 “ (𝐴𝐼))) = (𝐺 DProd (𝑖𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗))))))
219, 18, 203eqtrd 2784 1 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐺 DProd (𝑖𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  wss 3892  {csn 4567   cuni 4845   class class class wbr 5079  cmpt 5162  dom cdm 5589  ran crn 5590  cres 5591  cima 5592  Rel wrel 5594   Fn wfn 6426  wf 6427  cfv 6431  (class class class)co 7269  mrClscmrc 17282  SubGrpcsubg 18739   DProd cdprd 19586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-isom 6440  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-of 7525  df-om 7702  df-1st 7818  df-2nd 7819  df-supp 7963  df-tpos 8027  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-1o 8282  df-er 8473  df-map 8592  df-ixp 8661  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-fin 8712  df-fsupp 9099  df-oi 9239  df-card 9690  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-nn 11966  df-2 12028  df-n0 12226  df-z 12312  df-uz 12574  df-fz 13231  df-fzo 13374  df-seq 13712  df-hash 14035  df-sets 16855  df-slot 16873  df-ndx 16885  df-base 16903  df-ress 16932  df-plusg 16965  df-0g 17142  df-gsum 17143  df-mre 17285  df-mrc 17286  df-acs 17288  df-mgm 18316  df-sgrp 18365  df-mnd 18376  df-mhm 18420  df-submnd 18421  df-grp 18570  df-minusg 18571  df-sbg 18572  df-mulg 18691  df-subg 18742  df-ghm 18822  df-gim 18865  df-cntz 18913  df-oppg 18940  df-lsm 19231  df-cmn 19378  df-dprd 19588
This theorem is referenced by:  dprd2d2  19637
  Copyright terms: Public domain W3C validator