Theorem dprd2db 20206

Description: The direct product of a collection of direct products. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprd2d.1	⊢ (𝜑 → Rel 𝐴)
dprd2d.2	⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
dprd2d.3	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ⊆ 𝐼)
dprd2d.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐺dom DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗)))
dprd2d.5	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗)))))
dprd2d.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
dprd2db	⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐺 DProd (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗))))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐴   𝑖,𝐺,𝑗   𝑖,𝐼   𝑖,𝐾   𝜑,𝑖,𝑗   𝑆,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑗)   𝐾(𝑗)

Proof of Theorem dprd2db

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprd2d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐴)
2		dprd2d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
3		dprd2d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ⊆ 𝐼)
4		dprd2d.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐺dom DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗)))
5		dprd2d.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗)))))
6		dprd2d.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dprd2da 20205	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
8	6	dprdspan 20190	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐾‘∪ ran 𝑆))
9	7, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐾‘∪ ran 𝑆))
10		relssres 6010	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ dom 𝐴 ⊆ 𝐼) → (𝐴 ↾ 𝐼) = 𝐴)
11	1, 3, 10	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↾ 𝐼) = 𝐴)
12	11	imaeq2d 6051	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 “ (𝐴 ↾ 𝐼)) = (𝑆 “ 𝐴))
13		ffn 6698	. . . . . 6 ⊢ (𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺) → 𝑆 Fn 𝐴)
14		fnima 6658	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 Fn 𝐴 → (𝑆 “ 𝐴) = ran 𝑆)
15	2, 13, 14	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 “ 𝐴) = ran 𝑆)
16	12, 15	eqtr2d 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 = (𝑆 “ (𝐴 ↾ 𝐼)))
17	16	unieqd 4880	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ ran 𝑆 = ∪ (𝑆 “ (𝐴 ↾ 𝐼)))
18	17	fveq2d 6878	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘∪ ran 𝑆) = (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐴 ↾ 𝐼))))
19		ssidd 3954	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐼)
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 19	dprd2dlem1 20204	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐴 ↾ 𝐼))) = (𝐺 DProd (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗))))))
21	9, 18, 20	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐺 DProd (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5648  ran crn 5649   ↾ cres 5650   “ cima 5651  Rel wrel 5653   Fn wfn 6523  ⟶wf 6524  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  mrClscmrc 17700  SubGrpcsubg 19277   DProd cdprd 20156

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7677  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8157  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-oi 9482  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-seq 14099  df-hash 14428  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-0g 17559  df-gsum 17560  df-mre 17703  df-mrc 17704  df-acs 17706  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-mhm 18925  df-submnd 18926  df-grp 19094  df-minusg 19095  df-sbg 19096  df-mulg 19225  df-subg 19280  df-ghm 19375  df-gim 19420  df-cntz 19478  df-oppg 19507  df-lsm 19797  df-cmn 19943  df-dprd 20158

This theorem is used by:  dprd2d2  20207