Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  divlimc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divlimc 45311
Description: Limit of the quotient of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
divlimc.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
divlimc.g 𝐺 = (𝑥𝐴𝐶)
divlimc.h 𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶))
divlimc.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
divlimc.c ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}))
divlimc.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
divlimc.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐺 lim 𝐷))
divlimc.yne0 (𝜑𝑌 ≠ 0)
divlimc.cne0 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divlimc (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) ∈ (𝐻 lim 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem divlimc
StepHypRef Expression
1 divlimc.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
2 eqid 2726 . . 3 (𝑥𝐴 ↦ (1 / 𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (1 / 𝐶))
3 eqid 2726 . . 3 (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶)))
4 divlimc.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5 divlimc.c . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}))
65eldifad 3959 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
7 divlimc.cne0 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
86, 7reccld 12026 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
9 divlimc.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
10 divlimc.g . . . 4 𝐺 = (𝑥𝐴𝐶)
11 divlimc.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝐺 lim 𝐷))
12 divlimc.yne0 . . . 4 (𝜑𝑌 ≠ 0)
1310, 2, 5, 11, 12reclimc 45308 . . 3 (𝜑 → (1 / 𝑌) ∈ ((𝑥𝐴 ↦ (1 / 𝐶)) lim 𝐷))
141, 2, 3, 4, 8, 9, 13mullimc 45271 . 2 (𝜑 → (𝑋 · (1 / 𝑌)) ∈ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))) lim 𝐷))
15 limccl 25890 . . . 4 (𝐹 lim 𝐷) ⊆ ℂ
1615, 9sselid 3977 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
17 limccl 25890 . . . 4 (𝐺 lim 𝐷) ⊆ ℂ
1817, 11sselid 3977 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
1916, 18, 12divrecd 12036 . 2 (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · (1 / 𝑌)))
20 divlimc.h . . . 4 𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶))
214, 6, 7divrecd 12036 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 / 𝐶) = (𝐵 · (1 / 𝐶)))
2221mpteq2dva 5244 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))))
2320, 22eqtrid 2778 . . 3 (𝜑𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))))
2423oveq1d 7429 . 2 (𝜑 → (𝐻 lim 𝐷) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))) lim 𝐷))
2514, 19, 243eltr4d 2841 1 (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) ∈ (𝐻 lim 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  cdif 3944  {csn 4624  cmpt 5227  (class class class)co 7414  cc 11145  0cc0 11147  1c1 11148   · cmul 11152   / cdiv 11910   lim climc 25877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224  ax-pre-sup 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4907  df-int 4948  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9445  df-sup 9476  df-inf 9477  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-div 11911  df-nn 12257  df-2 12319  df-3 12320  df-4 12321  df-5 12322  df-6 12323  df-7 12324  df-8 12325  df-9 12326  df-n0 12517  df-z 12603  df-dec 12722  df-uz 12867  df-q 12977  df-rp 13021  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-fz 13531  df-seq 14014  df-exp 14074  df-cj 15097  df-re 15098  df-im 15099  df-sqrt 15233  df-abs 15234  df-struct 17142  df-slot 17177  df-ndx 17189  df-base 17207  df-plusg 17272  df-mulr 17273  df-starv 17274  df-tset 17278  df-ple 17279  df-ds 17281  df-unif 17282  df-rest 17430  df-topn 17431  df-topgen 17451  df-psmet 21329  df-xmet 21330  df-met 21331  df-bl 21332  df-mopn 21333  df-cnfld 21338  df-top 22882  df-topon 22899  df-topsp 22921  df-bases 22935  df-cnp 23218  df-xms 24312  df-ms 24313  df-limc 25881
This theorem is referenced by:  fourierdlem74  45835  fourierdlem75  45836  fourierdlem76  45837
  Copyright terms: Public domain W3C validator