Theorem divlimc 42298

Description: Limit of the quotient of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
divlimc.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
divlimc.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
divlimc.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶))
divlimc.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
divlimc.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}))
divlimc.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
divlimc.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))
divlimc.yne0	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0)
divlimc.cne0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divlimc	⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) ∈ (𝐻 limℂ 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem divlimc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divlimc.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		eqid 2798	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐶))
3		eqid 2798	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶)))
4		divlimc.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		divlimc.c	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}))
6	5	eldifad 3893	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
7		divlimc.cne0	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
8	6, 7	reccld 11398	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
9		divlimc.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
10		divlimc.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
11		divlimc.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))
12		divlimc.yne0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0)
13	10, 2, 5, 11, 12	reclimc 42295	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑌) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐶)) limℂ 𝐷))
14	1, 2, 3, 4, 8, 9, 13	mullimc 42258	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (1 / 𝑌)) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))) limℂ 𝐷))
15		limccl 24478	. . . 4 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐷) ⊆ ℂ
16	15, 9	sseldi 3913	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
17		limccl 24478	. . . 4 ⊢ (𝐺 limℂ 𝐷) ⊆ ℂ
18	17, 11	sseldi 3913	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
19	16, 18, 12	divrecd 11408	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · (1 / 𝑌)))
20		divlimc.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶))
21	4, 6, 7	divrecd 11408	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 / 𝐶) = (𝐵 · (1 / 𝐶)))
22	21	mpteq2dva 5125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))))
23	20, 22	syl5eq 2845	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))))
24	23	oveq1d 7150	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 limℂ 𝐷) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))) limℂ 𝐷))
25	14, 19, 24	3eltr4d 2905	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) ∈ (𝐻 limℂ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   ∖ cdif 3878  {csn 4525   ↦ cmpt 5110  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531   / cdiv 11286   lim_ℂ climc 24465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-fz 12886  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-rest 16688  df-topn 16689  df-topgen 16709  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cnp 21833  df-xms 22927  df-ms 22928  df-limc 24469

This theorem is referenced by:  fourierdlem74  42822  fourierdlem75  42823  fourierdlem76  42824