Theorem divlimc 44670

Description: Limit of the quotient of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
divlimc.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
divlimc.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
divlimc.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶))
divlimc.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
divlimc.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}))
divlimc.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
divlimc.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))
divlimc.yne0	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0)
divlimc.cne0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divlimc	⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) ∈ (𝐻 limℂ 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem divlimc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divlimc.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		eqid 2730	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐶))
3		eqid 2730	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶)))
4		divlimc.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		divlimc.c	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}))
6	5	eldifad 3959	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
7		divlimc.cne0	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
8	6, 7	reccld 11987	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
9		divlimc.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
10		divlimc.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
11		divlimc.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))
12		divlimc.yne0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0)
13	10, 2, 5, 11, 12	reclimc 44667	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑌) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐶)) limℂ 𝐷))
14	1, 2, 3, 4, 8, 9, 13	mullimc 44630	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (1 / 𝑌)) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))) limℂ 𝐷))
15		limccl 25624	. . . 4 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐷) ⊆ ℂ
16	15, 9	sselid 3979	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
17		limccl 25624	. . . 4 ⊢ (𝐺 limℂ 𝐷) ⊆ ℂ
18	17, 11	sselid 3979	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
19	16, 18, 12	divrecd 11997	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · (1 / 𝑌)))
20		divlimc.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶))
21	4, 6, 7	divrecd 11997	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 / 𝐶) = (𝐵 · (1 / 𝐶)))
22	21	mpteq2dva 5247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))))
23	20, 22	eqtrid 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))))
24	23	oveq1d 7426	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 limℂ 𝐷) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))) limℂ 𝐷))
25	14, 19, 24	3eltr4d 2846	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) ∈ (𝐻 limℂ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938   ∖ cdif 3944  {csn 4627   ↦ cmpt 5230  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   · cmul 11117   / cdiv 11875   lim_ℂ climc 25611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-rest 17372  df-topn 17373  df-topgen 17393  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cnp 22952  df-xms 24046  df-ms 24047  df-limc 25615

This theorem is referenced by:  fourierdlem74  45194  fourierdlem75  45195  fourierdlem76  45196