Theorem divlimc 45661

Description: Limit of the quotient of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
divlimc.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
divlimc.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
divlimc.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶))
divlimc.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
divlimc.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}))
divlimc.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
divlimc.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))
divlimc.yne0	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0)
divlimc.cne0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divlimc	⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) ∈ (𝐻 limℂ 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem divlimc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divlimc.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		eqid 2730	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐶))
3		eqid 2730	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶)))
4		divlimc.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		divlimc.c	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}))
6	5	eldifad 3929	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
7		divlimc.cne0	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
8	6, 7	reccld 11958	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
9		divlimc.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
10		divlimc.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
11		divlimc.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))
12		divlimc.yne0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0)
13	10, 2, 5, 11, 12	reclimc 45658	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑌) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐶)) limℂ 𝐷))
14	1, 2, 3, 4, 8, 9, 13	mullimc 45621	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (1 / 𝑌)) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))) limℂ 𝐷))
15		limccl 25783	. . . 4 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐷) ⊆ ℂ
16	15, 9	sselid 3947	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
17		limccl 25783	. . . 4 ⊢ (𝐺 limℂ 𝐷) ⊆ ℂ
18	17, 11	sselid 3947	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
19	16, 18, 12	divrecd 11968	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · (1 / 𝑌)))
20		divlimc.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶))
21	4, 6, 7	divrecd 11968	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 / 𝐶) = (𝐵 · (1 / 𝐶)))
22	21	mpteq2dva 5203	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))))
23	20, 22	eqtrid 2777	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))))
24	23	oveq1d 7405	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 limℂ 𝐷) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))) limℂ 𝐷))
25	14, 19, 24	3eltr4d 2844	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) ∈ (𝐻 limℂ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∖ cdif 3914  {csn 4592   ↦ cmpt 5191  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080   / cdiv 11842   lim_ℂ climc 25770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-fz 13476  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-struct 17124  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-rest 17392  df-topn 17393  df-topgen 17413  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cnp 23122  df-xms 24215  df-ms 24216  df-limc 25774

This theorem is referenced by:  fourierdlem74  46185  fourierdlem75  46186  fourierdlem76  46187