Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  divlimc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divlimc 40810
Description: Limit of the quotient of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
divlimc.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
divlimc.g 𝐺 = (𝑥𝐴𝐶)
divlimc.h 𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶))
divlimc.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
divlimc.c ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}))
divlimc.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
divlimc.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐺 lim 𝐷))
divlimc.yne0 (𝜑𝑌 ≠ 0)
divlimc.cne0 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divlimc (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) ∈ (𝐻 lim 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem divlimc
StepHypRef Expression
1 divlimc.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
2 eqid 2778 . . 3 (𝑥𝐴 ↦ (1 / 𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (1 / 𝐶))
3 eqid 2778 . . 3 (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶)))
4 divlimc.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5 divlimc.c . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}))
65eldifad 3804 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
7 divlimc.cne0 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
86, 7reccld 11147 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
9 divlimc.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
10 divlimc.g . . . 4 𝐺 = (𝑥𝐴𝐶)
11 divlimc.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝐺 lim 𝐷))
12 divlimc.yne0 . . . 4 (𝜑𝑌 ≠ 0)
1310, 2, 5, 11, 12reclimc 40807 . . 3 (𝜑 → (1 / 𝑌) ∈ ((𝑥𝐴 ↦ (1 / 𝐶)) lim 𝐷))
141, 2, 3, 4, 8, 9, 13mullimc 40770 . 2 (𝜑 → (𝑋 · (1 / 𝑌)) ∈ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))) lim 𝐷))
15 limccl 24087 . . . 4 (𝐹 lim 𝐷) ⊆ ℂ
1615, 9sseldi 3819 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
17 limccl 24087 . . . 4 (𝐺 lim 𝐷) ⊆ ℂ
1817, 11sseldi 3819 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
1916, 18, 12divrecd 11157 . 2 (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · (1 / 𝑌)))
20 divlimc.h . . . 4 𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶))
214, 6, 7divrecd 11157 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 / 𝐶) = (𝐵 · (1 / 𝐶)))
2221mpteq2dva 4981 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))))
2320, 22syl5eq 2826 . . 3 (𝜑𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))))
2423oveq1d 6939 . 2 (𝜑 → (𝐻 lim 𝐷) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))) lim 𝐷))
2514, 19, 243eltr4d 2874 1 (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) ∈ (𝐻 lim 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  cdif 3789  {csn 4398  cmpt 4967  (class class class)co 6924  cc 10272  0cc0 10274  1c1 10275   · cmul 10279   / cdiv 11035   lim climc 24074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fi 8607  df-sup 8638  df-inf 8639  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-z 11734  df-dec 11851  df-uz 11998  df-q 12101  df-rp 12143  df-xneg 12262  df-xadd 12263  df-xmul 12264  df-fz 12649  df-seq 13125  df-exp 13184  df-cj 14252  df-re 14253  df-im 14254  df-sqrt 14388  df-abs 14389  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-starv 16364  df-tset 16368  df-ple 16369  df-ds 16371  df-unif 16372  df-rest 16480  df-topn 16481  df-topgen 16501  df-psmet 20145  df-xmet 20146  df-met 20147  df-bl 20148  df-mopn 20149  df-cnfld 20154  df-top 21117  df-topon 21134  df-topsp 21156  df-bases 21169  df-cnp 21451  df-xms 22544  df-ms 22545  df-limc 24078
This theorem is referenced by:  fourierdlem74  41338  fourierdlem75  41339  fourierdlem76  41340
  Copyright terms: Public domain W3C validator