Theorem divlimc 46350

Description: Limit of the quotient of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
divlimc.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
divlimc.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
divlimc.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶))
divlimc.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
divlimc.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}))
divlimc.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
divlimc.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))
divlimc.yne0	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0)
divlimc.cne0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divlimc	⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) ∈ (𝐻 limℂ 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem divlimc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divlimc.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐶))
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶)))
4		divlimc.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		divlimc.c	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}))
6	5	eldifad 3918	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
7		divlimc.cne0	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
8	6, 7	reccld 11985	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
9		divlimc.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
10		divlimc.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
11		divlimc.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))
12		divlimc.yne0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0)
13	10, 2, 5, 11, 12	reclimc 46347	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑌) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐶)) limℂ 𝐷))
14	1, 2, 3, 4, 8, 9, 13	mullimc 46312	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (1 / 𝑌)) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))) limℂ 𝐷))
15		limccl 26015	. . . 4 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐷) ⊆ ℂ
16	15, 9	sselid 3936	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
17		limccl 26015	. . . 4 ⊢ (𝐺 limℂ 𝐷) ⊆ ℂ
18	17, 11	sselid 3936	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
19	16, 18, 12	divrecd 11995	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · (1 / 𝑌)))
20		divlimc.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶))
21	4, 6, 7	divrecd 11995	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 / 𝐶) = (𝐵 · (1 / 𝐶)))
22	21	mpteq2dva 5205	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))))
23	20, 22	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))))
24	23	oveq1d 7427	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 limℂ 𝐷) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))) limℂ 𝐷))
25	14, 19, 24	3eltr4d 2878	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) ∈ (𝐻 limℂ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∖ cdif 3903  {csn 4590   ↦ cmpt 5193  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  0cc0 11101  1c1 11102   · cmul 11106   / cdiv 11872   lim_ℂ climc 26002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-fz 13537  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-struct 17208  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-rest 17476  df-topn 17477  df-topgen 17497  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cnp 23366  df-xms 24458  df-ms 24459  df-limc 26006

This theorem is referenced by:  fourierdlem74  46874  fourierdlem75  46875  fourierdlem76  46876