Theorem divlimc 45693

Description: Limit of the quotient of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
divlimc.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
divlimc.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
divlimc.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶))
divlimc.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
divlimc.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}))
divlimc.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
divlimc.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))
divlimc.yne0	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0)
divlimc.cne0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divlimc	⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) ∈ (𝐻 limℂ 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem divlimc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divlimc.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐶))
3		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶)))
4		divlimc.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		divlimc.c	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}))
6	5	eldifad 3914	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
7		divlimc.cne0	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
8	6, 7	reccld 11887	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
9		divlimc.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
10		divlimc.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
11		divlimc.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))
12		divlimc.yne0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0)
13	10, 2, 5, 11, 12	reclimc 45690	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑌) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐶)) limℂ 𝐷))
14	1, 2, 3, 4, 8, 9, 13	mullimc 45655	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (1 / 𝑌)) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))) limℂ 𝐷))
15		limccl 25801	. . . 4 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐷) ⊆ ℂ
16	15, 9	sselid 3932	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
17		limccl 25801	. . . 4 ⊢ (𝐺 limℂ 𝐷) ⊆ ℂ
18	17, 11	sselid 3932	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
19	16, 18, 12	divrecd 11897	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · (1 / 𝑌)))
20		divlimc.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶))
21	4, 6, 7	divrecd 11897	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 / 𝐶) = (𝐵 · (1 / 𝐶)))
22	21	mpteq2dva 5184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))))
23	20, 22	eqtrid 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))))
24	23	oveq1d 7361	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 limℂ 𝐷) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))) limℂ 𝐷))
25	14, 19, 24	3eltr4d 2846	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) ∈ (𝐻 limℂ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ∖ cdif 3899  {csn 4576   ↦ cmpt 5172  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  0cc0 11003  1c1 11004   · cmul 11008   / cdiv 11771   lim_ℂ climc 25788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-q 12844  df-rp 12888  df-xneg 13008  df-xadd 13009  df-xmul 13010  df-fz 13405  df-seq 13906  df-exp 13966  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-struct 17055  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-starv 17173  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-unif 17181  df-rest 17323  df-topn 17324  df-topgen 17344  df-psmet 21281  df-xmet 21282  df-met 21283  df-bl 21284  df-mopn 21285  df-cnfld 21290  df-top 22807  df-topon 22824  df-topsp 22846  df-bases 22859  df-cnp 23141  df-xms 24233  df-ms 24234  df-limc 25792

This theorem is referenced by:  fourierdlem74  46217  fourierdlem75  46218  fourierdlem76  46219