Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flcidc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flcidc 41544
Description: Finite linear combinations with an indicator function. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
flcidc.f (๐œ‘ โ†’ ๐น = (๐‘— โˆˆ ๐‘† โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, 1, 0)))
flcidc.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ Fin)
flcidc.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ ๐‘†)
flcidc.b ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
flcidc (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ ๐‘† ((๐นโ€˜๐‘–) ยท ๐ต) = โฆ‹๐พ / ๐‘–โฆŒ๐ต)
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘–,๐‘—   ๐‘–,๐น   ๐‘†,๐‘–,๐‘—   ๐‘–,๐พ,๐‘—   ๐ต,๐‘—
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘–)   ๐น(๐‘—)

Proof of Theorem flcidc
StepHypRef Expression
1 flcidc.f . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐น = (๐‘— โˆˆ ๐‘† โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, 1, 0)))
21fveq1d 6845 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) = ((๐‘— โˆˆ ๐‘† โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, 1, 0))โ€˜๐‘–))
32adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ {๐พ}) โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) = ((๐‘— โˆˆ ๐‘† โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, 1, 0))โ€˜๐‘–))
4 flcidc.k . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ ๐‘†)
54snssd 4770 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ {๐พ} โŠ† ๐‘†)
65sselda 3945 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ {๐พ}) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘†)
7 eqeq1 2737 . . . . . . . . . 10 (๐‘— = ๐‘– โ†’ (๐‘— = ๐พ โ†” ๐‘– = ๐พ))
87ifbid 4510 . . . . . . . . 9 (๐‘— = ๐‘– โ†’ if(๐‘— = ๐พ, 1, 0) = if(๐‘– = ๐พ, 1, 0))
9 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (๐‘— โˆˆ ๐‘† โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, 1, 0)) = (๐‘— โˆˆ ๐‘† โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, 1, 0))
10 1ex 11156 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ V
11 c0ex 11154 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ V
1210, 11ifex 4537 . . . . . . . . 9 if(๐‘– = ๐พ, 1, 0) โˆˆ V
138, 9, 12fvmpt 6949 . . . . . . . 8 (๐‘– โˆˆ ๐‘† โ†’ ((๐‘— โˆˆ ๐‘† โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, 1, 0))โ€˜๐‘–) = if(๐‘– = ๐พ, 1, 0))
146, 13syl 17 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ {๐พ}) โ†’ ((๐‘— โˆˆ ๐‘† โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, 1, 0))โ€˜๐‘–) = if(๐‘– = ๐พ, 1, 0))
153, 14eqtrd 2773 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ {๐พ}) โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) = if(๐‘– = ๐พ, 1, 0))
16 elsni 4604 . . . . . . . 8 (๐‘– โˆˆ {๐พ} โ†’ ๐‘– = ๐พ)
1716iftrued 4495 . . . . . . 7 (๐‘– โˆˆ {๐พ} โ†’ if(๐‘– = ๐พ, 1, 0) = 1)
1817adantl 483 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ {๐พ}) โ†’ if(๐‘– = ๐พ, 1, 0) = 1)
1915, 18eqtrd 2773 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ {๐พ}) โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) = 1)
2019oveq1d 7373 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ {๐พ}) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘–) ยท ๐ต) = (1 ยท ๐ต))
21 flcidc.b . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
226, 21syldan 592 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ {๐พ}) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2322mulid2d 11178 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ {๐พ}) โ†’ (1 ยท ๐ต) = ๐ต)
2420, 23eqtrd 2773 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ {๐พ}) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘–) ยท ๐ต) = ๐ต)
2524sumeq2dv 15593 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ {๐พ} ((๐นโ€˜๐‘–) ยท ๐ต) = ฮฃ๐‘– โˆˆ {๐พ}๐ต)
26 ax-1cn 11114 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„‚
27 0cn 11152 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„‚
2826, 27ifcli 4534 . . . . 5 if(๐‘– = ๐พ, 1, 0) โˆˆ โ„‚
2915, 28eqeltrdi 2842 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ {๐พ}) โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
3029, 22mulcld 11180 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ {๐พ}) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘–) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
312adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (๐‘† โˆ– {๐พ})) โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) = ((๐‘— โˆˆ ๐‘† โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, 1, 0))โ€˜๐‘–))
32 eldifi 4087 . . . . . . . . 9 (๐‘– โˆˆ (๐‘† โˆ– {๐พ}) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘†)
3332adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (๐‘† โˆ– {๐พ})) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘†)
3433, 13syl 17 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (๐‘† โˆ– {๐พ})) โ†’ ((๐‘— โˆˆ ๐‘† โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, 1, 0))โ€˜๐‘–) = if(๐‘– = ๐พ, 1, 0))
3531, 34eqtrd 2773 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (๐‘† โˆ– {๐พ})) โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) = if(๐‘– = ๐พ, 1, 0))
36 eldifn 4088 . . . . . . . . 9 (๐‘– โˆˆ (๐‘† โˆ– {๐พ}) โ†’ ยฌ ๐‘– โˆˆ {๐พ})
37 velsn 4603 . . . . . . . . 9 (๐‘– โˆˆ {๐พ} โ†” ๐‘– = ๐พ)
3836, 37sylnib 328 . . . . . . . 8 (๐‘– โˆˆ (๐‘† โˆ– {๐พ}) โ†’ ยฌ ๐‘– = ๐พ)
3938iffalsed 4498 . . . . . . 7 (๐‘– โˆˆ (๐‘† โˆ– {๐พ}) โ†’ if(๐‘– = ๐พ, 1, 0) = 0)
4039adantl 483 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (๐‘† โˆ– {๐พ})) โ†’ if(๐‘– = ๐พ, 1, 0) = 0)
4135, 40eqtrd 2773 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (๐‘† โˆ– {๐พ})) โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) = 0)
4241oveq1d 7373 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (๐‘† โˆ– {๐พ})) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘–) ยท ๐ต) = (0 ยท ๐ต))
4333, 21syldan 592 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (๐‘† โˆ– {๐พ})) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4443mul02d 11358 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (๐‘† โˆ– {๐พ})) โ†’ (0 ยท ๐ต) = 0)
4542, 44eqtrd 2773 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (๐‘† โˆ– {๐พ})) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘–) ยท ๐ต) = 0)
46 flcidc.s . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ Fin)
475, 30, 45, 46fsumss 15615 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ {๐พ} ((๐นโ€˜๐‘–) ยท ๐ต) = ฮฃ๐‘– โˆˆ ๐‘† ((๐นโ€˜๐‘–) ยท ๐ต))
48 eleq1 2822 . . . . . . . 8 (๐‘— = ๐พ โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘† โ†” ๐พ โˆˆ ๐‘†))
4948anbi2d 630 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐พ โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘†) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘†)))
50 csbeq1 3859 . . . . . . . 8 (๐‘— = ๐พ โ†’ โฆ‹๐‘— / ๐‘–โฆŒ๐ต = โฆ‹๐พ / ๐‘–โฆŒ๐ต)
5150eleq1d 2819 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐พ โ†’ (โฆ‹๐‘— / ๐‘–โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹๐พ / ๐‘–โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚))
5249, 51imbi12d 345 . . . . . 6 (๐‘— = ๐พ โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘†) โ†’ โฆ‹๐‘— / ๐‘–โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โฆ‹๐พ / ๐‘–โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)))
53 nfv 1918 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘–(๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘†)
54 nfcsb1v 3881 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘–โฆ‹๐‘— / ๐‘–โฆŒ๐ต
5554nfel1 2920 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘–โฆ‹๐‘— / ๐‘–โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚
5653, 55nfim 1900 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘–((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘†) โ†’ โฆ‹๐‘— / ๐‘–โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
57 eleq1 2822 . . . . . . . . 9 (๐‘– = ๐‘— โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘† โ†” ๐‘— โˆˆ ๐‘†))
5857anbi2d 630 . . . . . . . 8 (๐‘– = ๐‘— โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘†) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘†)))
59 csbeq1a 3870 . . . . . . . . 9 (๐‘– = ๐‘— โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘— / ๐‘–โฆŒ๐ต)
6059eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (๐‘– = ๐‘— โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹๐‘— / ๐‘–โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚))
6158, 60imbi12d 345 . . . . . . 7 (๐‘– = ๐‘— โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘†) โ†’ โฆ‹๐‘— / ๐‘–โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)))
6256, 61, 21chvarfv 2234 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘†) โ†’ โฆ‹๐‘— / ๐‘–โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
6352, 62vtoclg 3524 . . . . 5 (๐พ โˆˆ ๐‘† โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โฆ‹๐พ / ๐‘–โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚))
6463anabsi7 670 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โฆ‹๐พ / ๐‘–โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
654, 64mpdan 686 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐พ / ๐‘–โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
66 sumsns 15640 . . 3 ((๐พ โˆˆ ๐‘† โˆง โฆ‹๐พ / ๐‘–โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ {๐พ}๐ต = โฆ‹๐พ / ๐‘–โฆŒ๐ต)
674, 65, 66syl2anc 585 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ {๐พ}๐ต = โฆ‹๐พ / ๐‘–โฆŒ๐ต)
6825, 47, 673eqtr3d 2781 1 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ ๐‘† ((๐นโ€˜๐‘–) ยท ๐ต) = โฆ‹๐พ / ๐‘–โฆŒ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โฆ‹csb 3856   โˆ– cdif 3908  ifcif 4487  {csn 4587   โ†ฆ cmpt 5189  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  โ„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   ยท cmul 11061  ฮฃcsu 15576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator