Theorem flcidc 39780

Description: Finite linear combinations with an indicator function. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
flcidc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0)))
flcidc.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
flcidc.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)
flcidc.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
flcidc	⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝑆 ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐹   𝑆,𝑖,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝐵,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑖)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem flcidc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcidc.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0)))
2	1	fveq1d 6675	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑖) = ((𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖))
3	2	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → (𝐹‘𝑖) = ((𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖))
4		flcidc.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)
5	4	snssd 4745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝐾} ⊆ 𝑆)
6	5	sselda 3970	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → 𝑖 ∈ 𝑆)
7		eqeq1 2828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 = 𝐾 ↔ 𝑖 = 𝐾))
8	7	ifbid 4492	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → if(𝑗 = 𝐾, 1, 0) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
9		eqid 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0)) = (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))
10		1ex 10640	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ V
11		c0ex 10638	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
12	10, 11	ifex 4518	. . . . . . . . 9 ⊢ if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) ∈ V
13	8, 9, 12	fvmpt 6771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑆 → ((𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
14	6, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → ((𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
15	3, 14	eqtrd 2859	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → (𝐹‘𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
16		elsni 4587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ {𝐾} → 𝑖 = 𝐾)
17	16	iftrued 4478	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ {𝐾} → if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) = 1)
18	17	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) = 1)
19	15, 18	eqtrd 2859	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → (𝐹‘𝑖) = 1)
20	19	oveq1d 7174	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
21		flcidc.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
22	6, 21	syldan 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → 𝐵 ∈ ℂ)
23	22	mulid2d 10662	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
24	20, 23	eqtrd 2859	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = 𝐵)
25	24	sumeq2dv 15063	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ {𝐾} ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = Σ𝑖 ∈ {𝐾}𝐵)
26		ax-1cn 10598	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
27		0cn 10636	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
28	26, 27	ifcli 4516	. . . . 5 ⊢ if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℂ
29	15, 28	eqeltrdi 2924	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
30	29, 22	mulcld 10664	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) ∈ ℂ)
31	2	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → (𝐹‘𝑖) = ((𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖))
32		eldifi 4106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾}) → 𝑖 ∈ 𝑆)
33	32	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → 𝑖 ∈ 𝑆)
34	33, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → ((𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
35	31, 34	eqtrd 2859	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → (𝐹‘𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
36		eldifn 4107	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝑖 ∈ {𝐾})
37		velsn 4586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ {𝐾} ↔ 𝑖 = 𝐾)
38	36, 37	sylnib 330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝑖 = 𝐾)
39	38	iffalsed 4481	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾}) → if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) = 0)
40	39	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) = 0)
41	35, 40	eqtrd 2859	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → (𝐹‘𝑖) = 0)
42	41	oveq1d 7174	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = (0 · 𝐵))
43	33, 21	syldan 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → 𝐵 ∈ ℂ)
44	43	mul02d 10841	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → (0 · 𝐵) = 0)
45	42, 44	eqtrd 2859	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = 0)
46		flcidc.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
47	5, 30, 45, 46	fsumss 15085	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ {𝐾} ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = Σ𝑖 ∈ 𝑆 ((𝐹‘𝑖) · 𝐵))
48		eleq1 2903	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (𝑗 ∈ 𝑆 ↔ 𝐾 ∈ 𝑆))
49	48	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑆)))
50		csbeq1 3889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 = ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵)
51	50	eleq1d 2900	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ))
52	49, 51	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑆) → ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ)))
53		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆)
54		nfcsb1v 3910	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵
55	54	nfel1 2997	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ
56	53, 55	nfim 1896	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ)
57		eleq1 2903	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 ∈ 𝑆 ↔ 𝑗 ∈ 𝑆))
58	57	anbi2d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆)))
59		csbeq1a 3900	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵)
60	59	eleq1d 2900	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ))
61	58, 60	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ)))
62	56, 61, 21	chvarfv 2241	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ)
63	52, 62	vtoclg 3570	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑆 → ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑆) → ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ))
64	63	anabsi7 669	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑆) → ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ)
65	4, 64	mpdan 685	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ)
66		sumsns 15108	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑆 ∧ ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ {𝐾}𝐵 = ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵)
67	4, 65, 66	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ {𝐾}𝐵 = ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵)
68	25, 47, 67	3eqtr3d 2867	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝑆 ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ⦋csb 3886   ∖ cdif 3936  ifcif 4470  {csn 4570   ↦ cmpt 5149  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  Fincfn 8512  ℂcc 10538  0cc0 10540  1c1 10541   · cmul 10545  Σcsu 15045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-inf2 9107  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-sup 8909  df-oi 8977  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-clim 14848  df-sum 15046

This theorem is referenced by: (None)