Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flcidc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flcidc 38518
Description: Finite linear combinations with an indicator function. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
flcidc.f (𝜑𝐹 = (𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0)))
flcidc.s (𝜑𝑆 ∈ Fin)
flcidc.k (𝜑𝐾𝑆)
flcidc.b ((𝜑𝑖𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
flcidc (𝜑 → Σ𝑖𝑆 ((𝐹𝑖) · 𝐵) = 𝐾 / 𝑖𝐵)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐹   𝑆,𝑖,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝐵,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑖)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem flcidc
StepHypRef Expression
1 flcidc.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 = (𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0)))
21fveq1d 6412 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑖) = ((𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖))
32adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → (𝐹𝑖) = ((𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖))
4 flcidc.k . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾𝑆)
54snssd 4527 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝐾} ⊆ 𝑆)
65sselda 3797 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → 𝑖𝑆)
7 eqeq1 2802 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 = 𝐾𝑖 = 𝐾))
87ifbid 4298 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 → if(𝑗 = 𝐾, 1, 0) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
9 eqid 2798 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0)) = (𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))
10 1ex 10323 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
11 c0ex 10321 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
1210, 11ifex 4324 . . . . . . . . 9 if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) ∈ V
138, 9, 12fvmpt 6506 . . . . . . . 8 (𝑖𝑆 → ((𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
146, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → ((𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
153, 14eqtrd 2832 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → (𝐹𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
16 elsni 4384 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ {𝐾} → 𝑖 = 𝐾)
1716iftrued 4284 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ {𝐾} → if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) = 1)
1817adantl 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) = 1)
1915, 18eqtrd 2832 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → (𝐹𝑖) = 1)
2019oveq1d 6892 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → ((𝐹𝑖) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
21 flcidc.b . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
226, 21syldan 586 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → 𝐵 ∈ ℂ)
2322mulid2d 10346 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
2420, 23eqtrd 2832 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → ((𝐹𝑖) · 𝐵) = 𝐵)
2524sumeq2dv 14771 . 2 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ {𝐾} ((𝐹𝑖) · 𝐵) = Σ𝑖 ∈ {𝐾}𝐵)
26 ax-1cn 10281 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
27 0cn 10319 . . . . . 6 0 ∈ ℂ
2826, 27ifcli 4322 . . . . 5 if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℂ
2915, 28syl6eqel 2885 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ)
3029, 22mulcld 10348 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → ((𝐹𝑖) · 𝐵) ∈ ℂ)
312adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → (𝐹𝑖) = ((𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖))
32 eldifi 3929 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾}) → 𝑖𝑆)
3332adantl 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → 𝑖𝑆)
3433, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → ((𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
3531, 34eqtrd 2832 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → (𝐹𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
36 eldifn 3930 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝑖 ∈ {𝐾})
37 velsn 4383 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ {𝐾} ↔ 𝑖 = 𝐾)
3836, 37sylnib 320 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝑖 = 𝐾)
3938iffalsed 4287 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾}) → if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) = 0)
4039adantl 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) = 0)
4135, 40eqtrd 2832 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → (𝐹𝑖) = 0)
4241oveq1d 6892 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → ((𝐹𝑖) · 𝐵) = (0 · 𝐵))
4333, 21syldan 586 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → 𝐵 ∈ ℂ)
4443mul02d 10523 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → (0 · 𝐵) = 0)
4542, 44eqtrd 2832 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → ((𝐹𝑖) · 𝐵) = 0)
46 flcidc.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
475, 30, 45, 46fsumss 14794 . 2 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ {𝐾} ((𝐹𝑖) · 𝐵) = Σ𝑖𝑆 ((𝐹𝑖) · 𝐵))
48 eleq1 2865 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐾 → (𝑗𝑆𝐾𝑆))
4948anbi2d 623 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝐾 → ((𝜑𝑗𝑆) ↔ (𝜑𝐾𝑆)))
50 csbeq1 3730 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐾𝑗 / 𝑖𝐵 = 𝐾 / 𝑖𝐵)
5150eleq1d 2862 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝐾 → (𝑗 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐾 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ))
5249, 51imbi12d 336 . . . . . 6 (𝑗 = 𝐾 → (((𝜑𝑗𝑆) → 𝑗 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝐾𝑆) → 𝐾 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ)))
53 nfv 2010 . . . . . . . 8 𝑖(𝜑𝑗𝑆)
54 nfcsb1v 3743 . . . . . . . . 9 𝑖𝑗 / 𝑖𝐵
5554nfel1 2955 . . . . . . . 8 𝑖𝑗 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ
5653, 55nfim 1996 . . . . . . 7 𝑖((𝜑𝑗𝑆) → 𝑗 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ)
57 eleq1 2865 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖𝑆𝑗𝑆))
5857anbi2d 623 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → ((𝜑𝑖𝑆) ↔ (𝜑𝑗𝑆)))
59 csbeq1a 3736 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑖𝐵)
6059eleq1d 2862 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑗 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ))
6158, 60imbi12d 336 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → (((𝜑𝑖𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝑆) → 𝑗 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ)))
6256, 61, 21chvar 2402 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑆) → 𝑗 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ)
6352, 62vtoclg 3452 . . . . 5 (𝐾𝑆 → ((𝜑𝐾𝑆) → 𝐾 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ))
6463anabsi7 662 . . . 4 ((𝜑𝐾𝑆) → 𝐾 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ)
654, 64mpdan 679 . . 3 (𝜑𝐾 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ)
66 sumsns 14817 . . 3 ((𝐾𝑆𝐾 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ {𝐾}𝐵 = 𝐾 / 𝑖𝐵)
674, 65, 66syl2anc 580 . 2 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ {𝐾}𝐵 = 𝐾 / 𝑖𝐵)
6825, 47, 673eqtr3d 2840 1 (𝜑 → Σ𝑖𝑆 ((𝐹𝑖) · 𝐵) = 𝐾 / 𝑖𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  csb 3727  cdif 3765  ifcif 4276  {csn 4367  cmpt 4921  cfv 6100  (class class class)co 6877  Fincfn 8194  cc 10221  0cc0 10223  1c1 10224   · cmul 10228  Σcsu 14754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2776  ax-rep 4963  ax-sep 4974  ax-nul 4982  ax-pow 5034  ax-pr 5096  ax-un 7182  ax-inf2 8787  ax-cnex 10279  ax-resscn 10280  ax-1cn 10281  ax-icn 10282  ax-addcl 10283  ax-addrcl 10284  ax-mulcl 10285  ax-mulrcl 10286  ax-mulcom 10287  ax-addass 10288  ax-mulass 10289  ax-distr 10290  ax-i2m1 10291  ax-1ne0 10292  ax-1rid 10293  ax-rnegex 10294  ax-rrecex 10295  ax-cnre 10296  ax-pre-lttri 10297  ax-pre-lttrn 10298  ax-pre-ltadd 10299  ax-pre-mulgt0 10300  ax-pre-sup 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2785  df-cleq 2791  df-clel 2794  df-nfc 2929  df-ne 2971  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3386  df-sbc 3633  df-csb 3728  df-dif 3771  df-un 3773  df-in 3775  df-ss 3782  df-pss 3784  df-nul 4115  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4628  df-int 4667  df-iun 4711  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5897  df-ord 5943  df-on 5944  df-lim 5945  df-suc 5946  df-iota 6063  df-fun 6102  df-fn 6103  df-f 6104  df-f1 6105  df-fo 6106  df-f1o 6107  df-fv 6108  df-isom 6109  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-1st 7400  df-2nd 7401  df-wrecs 7644  df-recs 7706  df-rdg 7744  df-1o 7798  df-oadd 7802  df-er 7981  df-en 8195  df-dom 8196  df-sdom 8197  df-fin 8198  df-sup 8589  df-oi 8656  df-card 9050  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10557  df-neg 10558  df-div 10976  df-nn 11312  df-2 11373  df-3 11374  df-n0 11578  df-z 11664  df-uz 11928  df-rp 12072  df-fz 12578  df-fzo 12718  df-seq 13053  df-exp 13112  df-hash 13368  df-cj 14177  df-re 14178  df-im 14179  df-sqrt 14313  df-abs 14314  df-clim 14557  df-sum 14755
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator