Theorem flcidc 43759

Description: Finite linear combinations with an indicator function. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
flcidc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0)))
flcidc.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
flcidc.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)
flcidc.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
flcidc	⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝑆 ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐹   𝑆,𝑖,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝐵,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑖)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem flcidc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcidc.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0)))
2	1	fveq1d 6873	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑖) = ((𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖))
3	2	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → (𝐹‘𝑖) = ((𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖))
4		flcidc.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)
5	4	snssd 4748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝐾} ⊆ 𝑆)
6	5	sselda 3939	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → 𝑖 ∈ 𝑆)
7		eqeq1 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 = 𝐾 ↔ 𝑖 = 𝐾))
8	7	ifbid 4507	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → if(𝑗 = 𝐾, 1, 0) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
9		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0)) = (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))
10		1ex 11191	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ V
11		c0ex 11188	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
12	10, 11	ifex 4534	. . . . . . . . 9 ⊢ if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) ∈ V
13	8, 9, 12	fvmpt 6979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑆 → ((𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
14	6, 13	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → ((𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
15	3, 14	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → (𝐹‘𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
16		elsni 4602	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ {𝐾} → 𝑖 = 𝐾)
17	16	iftrued 4491	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ {𝐾} → if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) = 1)
18	17	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) = 1)
19	15, 18	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → (𝐹‘𝑖) = 1)
20	19	oveq1d 7415	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
21		flcidc.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
22	6, 21	syldan 602	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → 𝐵 ∈ ℂ)
23	22	mullidd 11215	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
24	20, 23	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = 𝐵)
25	24	sumeq2dv 15743	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ {𝐾} ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = Σ𝑖 ∈ {𝐾}𝐵)
26		ax-1cn 11146	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
27		0cn 11186	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
28	26, 27	ifcli 4531	. . . . 5 ⊢ if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℂ
29	15, 28	eqeltrdi 2873	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
30	29, 22	mulcld 11217	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) ∈ ℂ)
31	2	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → (𝐹‘𝑖) = ((𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖))
32		eldifi 4087	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾}) → 𝑖 ∈ 𝑆)
33	32	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → 𝑖 ∈ 𝑆)
34	33, 13	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → ((𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
35	31, 34	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → (𝐹‘𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
36		eldifn 4088	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝑖 ∈ {𝐾})
37		velsn 4601	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ {𝐾} ↔ 𝑖 = 𝐾)
38	36, 37	sylnib 331	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝑖 = 𝐾)
39	38	iffalsed 4494	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾}) → if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) = 0)
40	39	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) = 0)
41	35, 40	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → (𝐹‘𝑖) = 0)
42	41	oveq1d 7415	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = (0 · 𝐵))
43	33, 21	syldan 602	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → 𝐵 ∈ ℂ)
44	43	mul02d 11396	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → (0 · 𝐵) = 0)
45	42, 44	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = 0)
46		flcidc.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
47	5, 30, 45, 46	fsumss 15766	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ {𝐾} ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = Σ𝑖 ∈ 𝑆 ((𝐹‘𝑖) · 𝐵))
48		eleq1 2853	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (𝑗 ∈ 𝑆 ↔ 𝐾 ∈ 𝑆))
49	48	anbi2d 641	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑆)))
50		csbeq1 3858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 = ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵)
51	50	eleq1d 2850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ))
52	49, 51	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑆) → ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ)))
53		nfv 1937	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆)
54		nfcsb1v 3879	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵
55	54	nfel1 2943	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ
56	53, 55	nfim 1919	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ)
57		eleq1 2853	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 ∈ 𝑆 ↔ 𝑗 ∈ 𝑆))
58	57	anbi2d 641	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆)))
59		csbeq1a 3869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵)
60	59	eleq1d 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ))
61	58, 60	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ)))
62	56, 61, 21	chvarfv 2278	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ)
63	52, 62	vtoclg 3525	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑆 → ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑆) → ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ))
64	63	anabsi7 683	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑆) → ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ)
65	4, 64	mpdan 699	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ)
66		sumsns 15791	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑆 ∧ ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ {𝐾}𝐵 = ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵)
67	4, 65, 66	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ {𝐾}𝐵 = ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵)
68	25, 47, 67	3eqtr3d 2808	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝑆 ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ⦋csb 3855   ∖ cdif 3904  ifcif 4483  {csn 4585   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Fincfn 8931  ℂcc 11086  0cc0 11088  1c1 11089   · cmul 11093  Σcsu 15727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-clim 15529  df-sum 15728

This theorem is referenced by: (None)