Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flcidc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flcidc 43182
Description: Finite linear combinations with an indicator function. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
flcidc.f (𝜑𝐹 = (𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0)))
flcidc.s (𝜑𝑆 ∈ Fin)
flcidc.k (𝜑𝐾𝑆)
flcidc.b ((𝜑𝑖𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
flcidc (𝜑 → Σ𝑖𝑆 ((𝐹𝑖) · 𝐵) = 𝐾 / 𝑖𝐵)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐹   𝑆,𝑖,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝐵,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑖)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem flcidc
StepHypRef Expression
1 flcidc.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 = (𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0)))
21fveq1d 6908 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑖) = ((𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖))
32adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → (𝐹𝑖) = ((𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖))
4 flcidc.k . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾𝑆)
54snssd 4809 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝐾} ⊆ 𝑆)
65sselda 3983 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → 𝑖𝑆)
7 eqeq1 2741 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 = 𝐾𝑖 = 𝐾))
87ifbid 4549 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 → if(𝑗 = 𝐾, 1, 0) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
9 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0)) = (𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))
10 1ex 11257 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
11 c0ex 11255 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
1210, 11ifex 4576 . . . . . . . . 9 if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) ∈ V
138, 9, 12fvmpt 7016 . . . . . . . 8 (𝑖𝑆 → ((𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
146, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → ((𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
153, 14eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → (𝐹𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
16 elsni 4643 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ {𝐾} → 𝑖 = 𝐾)
1716iftrued 4533 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ {𝐾} → if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) = 1)
1817adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) = 1)
1915, 18eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → (𝐹𝑖) = 1)
2019oveq1d 7446 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → ((𝐹𝑖) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
21 flcidc.b . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
226, 21syldan 591 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → 𝐵 ∈ ℂ)
2322mullidd 11279 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
2420, 23eqtrd 2777 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → ((𝐹𝑖) · 𝐵) = 𝐵)
2524sumeq2dv 15738 . 2 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ {𝐾} ((𝐹𝑖) · 𝐵) = Σ𝑖 ∈ {𝐾}𝐵)
26 ax-1cn 11213 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
27 0cn 11253 . . . . . 6 0 ∈ ℂ
2826, 27ifcli 4573 . . . . 5 if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℂ
2915, 28eqeltrdi 2849 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ)
3029, 22mulcld 11281 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → ((𝐹𝑖) · 𝐵) ∈ ℂ)
312adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → (𝐹𝑖) = ((𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖))
32 eldifi 4131 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾}) → 𝑖𝑆)
3332adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → 𝑖𝑆)
3433, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → ((𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
3531, 34eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → (𝐹𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
36 eldifn 4132 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝑖 ∈ {𝐾})
37 velsn 4642 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ {𝐾} ↔ 𝑖 = 𝐾)
3836, 37sylnib 328 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝑖 = 𝐾)
3938iffalsed 4536 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾}) → if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) = 0)
4039adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) = 0)
4135, 40eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → (𝐹𝑖) = 0)
4241oveq1d 7446 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → ((𝐹𝑖) · 𝐵) = (0 · 𝐵))
4333, 21syldan 591 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → 𝐵 ∈ ℂ)
4443mul02d 11459 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → (0 · 𝐵) = 0)
4542, 44eqtrd 2777 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → ((𝐹𝑖) · 𝐵) = 0)
46 flcidc.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
475, 30, 45, 46fsumss 15761 . 2 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ {𝐾} ((𝐹𝑖) · 𝐵) = Σ𝑖𝑆 ((𝐹𝑖) · 𝐵))
48 eleq1 2829 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐾 → (𝑗𝑆𝐾𝑆))
4948anbi2d 630 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝐾 → ((𝜑𝑗𝑆) ↔ (𝜑𝐾𝑆)))
50 csbeq1 3902 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐾𝑗 / 𝑖𝐵 = 𝐾 / 𝑖𝐵)
5150eleq1d 2826 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝐾 → (𝑗 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐾 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ))
5249, 51imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑗 = 𝐾 → (((𝜑𝑗𝑆) → 𝑗 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝐾𝑆) → 𝐾 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ)))
53 nfv 1914 . . . . . . . 8 𝑖(𝜑𝑗𝑆)
54 nfcsb1v 3923 . . . . . . . . 9 𝑖𝑗 / 𝑖𝐵
5554nfel1 2922 . . . . . . . 8 𝑖𝑗 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ
5653, 55nfim 1896 . . . . . . 7 𝑖((𝜑𝑗𝑆) → 𝑗 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ)
57 eleq1 2829 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖𝑆𝑗𝑆))
5857anbi2d 630 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → ((𝜑𝑖𝑆) ↔ (𝜑𝑗𝑆)))
59 csbeq1a 3913 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑖𝐵)
6059eleq1d 2826 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑗 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ))
6158, 60imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → (((𝜑𝑖𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝑆) → 𝑗 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ)))
6256, 61, 21chvarfv 2240 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑆) → 𝑗 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ)
6352, 62vtoclg 3554 . . . . 5 (𝐾𝑆 → ((𝜑𝐾𝑆) → 𝐾 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ))
6463anabsi7 671 . . . 4 ((𝜑𝐾𝑆) → 𝐾 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ)
654, 64mpdan 687 . . 3 (𝜑𝐾 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ)
66 sumsns 15786 . . 3 ((𝐾𝑆𝐾 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ {𝐾}𝐵 = 𝐾 / 𝑖𝐵)
674, 65, 66syl2anc 584 . 2 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ {𝐾}𝐵 = 𝐾 / 𝑖𝐵)
6825, 47, 673eqtr3d 2785 1 (𝜑 → Σ𝑖𝑆 ((𝐹𝑖) · 𝐵) = 𝐾 / 𝑖𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  csb 3899  cdif 3948  ifcif 4525  {csn 4626  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  Σcsu 15722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator