Theorem flcidc 43408

Description: Finite linear combinations with an indicator function. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
flcidc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0)))
flcidc.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
flcidc.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)
flcidc.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
flcidc	⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝑆 ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐹   𝑆,𝑖,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝐵,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑖)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem flcidc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcidc.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0)))
2	1	fveq1d 6836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑖) = ((𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖))
3	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → (𝐹‘𝑖) = ((𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖))
4		flcidc.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)
5	4	snssd 4765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝐾} ⊆ 𝑆)
6	5	sselda 3933	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → 𝑖 ∈ 𝑆)
7		eqeq1 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 = 𝐾 ↔ 𝑖 = 𝐾))
8	7	ifbid 4503	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → if(𝑗 = 𝐾, 1, 0) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
9		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0)) = (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))
10		1ex 11128	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ V
11		c0ex 11126	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
12	10, 11	ifex 4530	. . . . . . . . 9 ⊢ if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) ∈ V
13	8, 9, 12	fvmpt 6941	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑆 → ((𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
14	6, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → ((𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
15	3, 14	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → (𝐹‘𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
16		elsni 4597	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ {𝐾} → 𝑖 = 𝐾)
17	16	iftrued 4487	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ {𝐾} → if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) = 1)
18	17	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) = 1)
19	15, 18	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → (𝐹‘𝑖) = 1)
20	19	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
21		flcidc.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
22	6, 21	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → 𝐵 ∈ ℂ)
23	22	mullidd 11150	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
24	20, 23	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = 𝐵)
25	24	sumeq2dv 15625	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ {𝐾} ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = Σ𝑖 ∈ {𝐾}𝐵)
26		ax-1cn 11084	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
27		0cn 11124	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
28	26, 27	ifcli 4527	. . . . 5 ⊢ if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℂ
29	15, 28	eqeltrdi 2844	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
30	29, 22	mulcld 11152	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) ∈ ℂ)
31	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → (𝐹‘𝑖) = ((𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖))
32		eldifi 4083	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾}) → 𝑖 ∈ 𝑆)
33	32	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → 𝑖 ∈ 𝑆)
34	33, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → ((𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
35	31, 34	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → (𝐹‘𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
36		eldifn 4084	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝑖 ∈ {𝐾})
37		velsn 4596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ {𝐾} ↔ 𝑖 = 𝐾)
38	36, 37	sylnib 328	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝑖 = 𝐾)
39	38	iffalsed 4490	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾}) → if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) = 0)
40	39	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) = 0)
41	35, 40	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → (𝐹‘𝑖) = 0)
42	41	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = (0 · 𝐵))
43	33, 21	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → 𝐵 ∈ ℂ)
44	43	mul02d 11331	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → (0 · 𝐵) = 0)
45	42, 44	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = 0)
46		flcidc.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
47	5, 30, 45, 46	fsumss 15648	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ {𝐾} ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = Σ𝑖 ∈ 𝑆 ((𝐹‘𝑖) · 𝐵))
48		eleq1 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (𝑗 ∈ 𝑆 ↔ 𝐾 ∈ 𝑆))
49	48	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑆)))
50		csbeq1 3852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 = ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵)
51	50	eleq1d 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ))
52	49, 51	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑆) → ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ)))
53		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆)
54		nfcsb1v 3873	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵
55	54	nfel1 2915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ
56	53, 55	nfim 1897	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ)
57		eleq1 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 ∈ 𝑆 ↔ 𝑗 ∈ 𝑆))
58	57	anbi2d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆)))
59		csbeq1a 3863	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵)
60	59	eleq1d 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ))
61	58, 60	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ)))
62	56, 61, 21	chvarfv 2247	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ)
63	52, 62	vtoclg 3511	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑆 → ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑆) → ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ))
64	63	anabsi7 671	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑆) → ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ)
65	4, 64	mpdan 687	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ)
66		sumsns 15673	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑆 ∧ ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ {𝐾}𝐵 = ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵)
67	4, 65, 66	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ {𝐾}𝐵 = ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵)
68	25, 47, 67	3eqtr3d 2779	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝑆 ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ⦋csb 3849   ∖ cdif 3898  ifcif 4479  {csn 4580   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Fincfn 8883  ℂcc 11024  0cc0 11026  1c1 11027   · cmul 11031  Σcsu 15609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-sum 15610

This theorem is referenced by: (None)