Theorem flcidc 43161

Description: Finite linear combinations with an indicator function. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
flcidc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0)))
flcidc.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
flcidc.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)
flcidc.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
flcidc	⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝑆 ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐹   𝑆,𝑖,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝐵,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑖)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem flcidc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcidc.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0)))
2	1	fveq1d 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑖) = ((𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖))
3	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → (𝐹‘𝑖) = ((𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖))
4		flcidc.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)
5	4	snssd 4790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝐾} ⊆ 𝑆)
6	5	sselda 3963	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → 𝑖 ∈ 𝑆)
7		eqeq1 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 = 𝐾 ↔ 𝑖 = 𝐾))
8	7	ifbid 4529	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → if(𝑗 = 𝐾, 1, 0) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
9		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0)) = (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))
10		1ex 11236	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ V
11		c0ex 11234	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
12	10, 11	ifex 4556	. . . . . . . . 9 ⊢ if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) ∈ V
13	8, 9, 12	fvmpt 6991	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑆 → ((𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
14	6, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → ((𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
15	3, 14	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → (𝐹‘𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
16		elsni 4623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ {𝐾} → 𝑖 = 𝐾)
17	16	iftrued 4513	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ {𝐾} → if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) = 1)
18	17	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) = 1)
19	15, 18	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → (𝐹‘𝑖) = 1)
20	19	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
21		flcidc.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
22	6, 21	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → 𝐵 ∈ ℂ)
23	22	mullidd 11258	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
24	20, 23	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = 𝐵)
25	24	sumeq2dv 15723	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ {𝐾} ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = Σ𝑖 ∈ {𝐾}𝐵)
26		ax-1cn 11192	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
27		0cn 11232	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
28	26, 27	ifcli 4553	. . . . 5 ⊢ if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℂ
29	15, 28	eqeltrdi 2843	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
30	29, 22	mulcld 11260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) ∈ ℂ)
31	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → (𝐹‘𝑖) = ((𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖))
32		eldifi 4111	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾}) → 𝑖 ∈ 𝑆)
33	32	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → 𝑖 ∈ 𝑆)
34	33, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → ((𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
35	31, 34	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → (𝐹‘𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
36		eldifn 4112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝑖 ∈ {𝐾})
37		velsn 4622	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ {𝐾} ↔ 𝑖 = 𝐾)
38	36, 37	sylnib 328	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝑖 = 𝐾)
39	38	iffalsed 4516	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾}) → if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) = 0)
40	39	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) = 0)
41	35, 40	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → (𝐹‘𝑖) = 0)
42	41	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = (0 · 𝐵))
43	33, 21	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → 𝐵 ∈ ℂ)
44	43	mul02d 11438	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → (0 · 𝐵) = 0)
45	42, 44	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = 0)
46		flcidc.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
47	5, 30, 45, 46	fsumss 15746	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ {𝐾} ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = Σ𝑖 ∈ 𝑆 ((𝐹‘𝑖) · 𝐵))
48		eleq1 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (𝑗 ∈ 𝑆 ↔ 𝐾 ∈ 𝑆))
49	48	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑆)))
50		csbeq1 3882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 = ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵)
51	50	eleq1d 2820	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ))
52	49, 51	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑆) → ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ)))
53		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆)
54		nfcsb1v 3903	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵
55	54	nfel1 2916	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ
56	53, 55	nfim 1896	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ)
57		eleq1 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 ∈ 𝑆 ↔ 𝑗 ∈ 𝑆))
58	57	anbi2d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆)))
59		csbeq1a 3893	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵)
60	59	eleq1d 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ))
61	58, 60	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ)))
62	56, 61, 21	chvarfv 2241	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ)
63	52, 62	vtoclg 3538	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑆 → ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑆) → ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ))
64	63	anabsi7 671	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑆) → ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ)
65	4, 64	mpdan 687	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ)
66		sumsns 15771	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑆 ∧ ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ {𝐾}𝐵 = ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵)
67	4, 65, 66	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ {𝐾}𝐵 = ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵)
68	25, 47, 67	3eqtr3d 2779	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝑆 ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⦋csb 3879   ∖ cdif 3928  ifcif 4505  {csn 4606   ↦ cmpt 5206  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8964  ℂcc 11132  0cc0 11134  1c1 11135   · cmul 11139  Σcsu 15707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-clim 15509  df-sum 15708

This theorem is referenced by: (None)