Theorem flcidc 40979

Description: Finite linear combinations with an indicator function. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
flcidc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0)))
flcidc.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
flcidc.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)
flcidc.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
flcidc	⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝑆 ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐹   𝑆,𝑖,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝐵,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑖)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem flcidc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcidc.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0)))
2	1	fveq1d 6770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑖) = ((𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖))
3	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → (𝐹‘𝑖) = ((𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖))
4		flcidc.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)
5	4	snssd 4747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝐾} ⊆ 𝑆)
6	5	sselda 3925	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → 𝑖 ∈ 𝑆)
7		eqeq1 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 = 𝐾 ↔ 𝑖 = 𝐾))
8	7	ifbid 4487	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → if(𝑗 = 𝐾, 1, 0) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
9		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0)) = (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))
10		1ex 10955	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ V
11		c0ex 10953	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
12	10, 11	ifex 4514	. . . . . . . . 9 ⊢ if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) ∈ V
13	8, 9, 12	fvmpt 6869	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑆 → ((𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
14	6, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → ((𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
15	3, 14	eqtrd 2779	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → (𝐹‘𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
16		elsni 4583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ {𝐾} → 𝑖 = 𝐾)
17	16	iftrued 4472	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ {𝐾} → if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) = 1)
18	17	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) = 1)
19	15, 18	eqtrd 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → (𝐹‘𝑖) = 1)
20	19	oveq1d 7283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
21		flcidc.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
22	6, 21	syldan 590	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → 𝐵 ∈ ℂ)
23	22	mulid2d 10977	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
24	20, 23	eqtrd 2779	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = 𝐵)
25	24	sumeq2dv 15396	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ {𝐾} ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = Σ𝑖 ∈ {𝐾}𝐵)
26		ax-1cn 10913	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
27		0cn 10951	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
28	26, 27	ifcli 4511	. . . . 5 ⊢ if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℂ
29	15, 28	eqeltrdi 2848	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
30	29, 22	mulcld 10979	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐾}) → ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) ∈ ℂ)
31	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → (𝐹‘𝑖) = ((𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖))
32		eldifi 4065	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾}) → 𝑖 ∈ 𝑆)
33	32	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → 𝑖 ∈ 𝑆)
34	33, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → ((𝑗 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
35	31, 34	eqtrd 2779	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → (𝐹‘𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
36		eldifn 4066	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝑖 ∈ {𝐾})
37		velsn 4582	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ {𝐾} ↔ 𝑖 = 𝐾)
38	36, 37	sylnib 327	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝑖 = 𝐾)
39	38	iffalsed 4475	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾}) → if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) = 0)
40	39	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) = 0)
41	35, 40	eqtrd 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → (𝐹‘𝑖) = 0)
42	41	oveq1d 7283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = (0 · 𝐵))
43	33, 21	syldan 590	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → 𝐵 ∈ ℂ)
44	43	mul02d 11156	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → (0 · 𝐵) = 0)
45	42, 44	eqtrd 2779	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = 0)
46		flcidc.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
47	5, 30, 45, 46	fsumss 15418	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ {𝐾} ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = Σ𝑖 ∈ 𝑆 ((𝐹‘𝑖) · 𝐵))
48		eleq1 2827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (𝑗 ∈ 𝑆 ↔ 𝐾 ∈ 𝑆))
49	48	anbi2d 628	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑆)))
50		csbeq1 3839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 = ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵)
51	50	eleq1d 2824	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ))
52	49, 51	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑆) → ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ)))
53		nfv 1920	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆)
54		nfcsb1v 3861	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵
55	54	nfel1 2924	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ
56	53, 55	nfim 1902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ)
57		eleq1 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 ∈ 𝑆 ↔ 𝑗 ∈ 𝑆))
58	57	anbi2d 628	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆)))
59		csbeq1a 3850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵)
60	59	eleq1d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ))
61	58, 60	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ)))
62	56, 61, 21	chvarfv 2236	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ)
63	52, 62	vtoclg 3503	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑆 → ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑆) → ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ))
64	63	anabsi7 667	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑆) → ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ)
65	4, 64	mpdan 683	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ)
66		sumsns 15443	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑆 ∧ ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ {𝐾}𝐵 = ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵)
67	4, 65, 66	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ {𝐾}𝐵 = ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵)
68	25, 47, 67	3eqtr3d 2787	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝑆 ((𝐹‘𝑖) · 𝐵) = ⦋𝐾 / 𝑖⦌𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  ⦋csb 3836   ∖ cdif 3888  ifcif 4464  {csn 4566   ↦ cmpt 5161  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  Fincfn 8707  ℂcc 10853  0cc0 10855  1c1 10856   · cmul 10860  Σcsu 15378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-inf2 9360  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-sup 9162  df-oi 9230  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-rp 12713  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-seq 13703  df-exp 13764  df-hash 14026  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-clim 15178  df-sum 15379

This theorem is referenced by: (None)