Theorem fldedom 33937

Description: A field is a Euclidean domain, regardless of its Euclidean norm. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Oct-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
fldedom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
fldedom.1	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
fldedom.2	⊢ 𝑊 = (𝐵 ∖ { 0 })
fldedom.e	⊢ 𝐸 = (EuclF‘𝐹)
fldedom.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
fldedom.3	⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾ 𝑊):𝑊⟶ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
fldedom	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ EDomn)

Proof of Theorem fldedom

Dummy variables 𝑞 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fldedom.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
2		fldidom 21062	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ IDomn)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ IDomn)
4		fldedom.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = (𝐵 ∖ { 0 })
5	4	reseq2i 5979	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ↾ 𝑊) = (𝐸 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾ 𝑊) = (𝐸 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })))
7	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (𝐵 ∖ { 0 }))
8		fldedom.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾ 𝑊):𝑊⟶ℕ0)
9	7, 8	feq2dd 6720	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾ 𝑊):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0)
10	6, 9	feq1dd 6717	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0)
11		oveq2 7454	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = (((invr‘𝐹)‘𝑦)(.r‘𝐹)𝑥) → (𝑦(.r‘𝐹)𝑞) = (𝑦(.r‘𝐹)(((invr‘𝐹)‘𝑦)(.r‘𝐹)𝑥)))
12	11	oveq1d 7461	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = (((invr‘𝐹)‘𝑦)(.r‘𝐹)𝑥) → ((𝑦(.r‘𝐹)𝑞)(+g‘𝐹)𝑟) = ((𝑦(.r‘𝐹)(((invr‘𝐹)‘𝑦)(.r‘𝐹)𝑥))(+g‘𝐹)𝑟))
13	12	eqeq2d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = (((invr‘𝐹)‘𝑦)(.r‘𝐹)𝑥) → (𝑥 = ((𝑦(.r‘𝐹)𝑞)(+g‘𝐹)𝑟) ↔ 𝑥 = ((𝑦(.r‘𝐹)(((invr‘𝐹)‘𝑦)(.r‘𝐹)𝑥))(+g‘𝐹)𝑟)))
14	13	anbi1d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (((invr‘𝐹)‘𝑦)(.r‘𝐹)𝑥) → ((𝑥 = ((𝑦(.r‘𝐹)𝑞)(+g‘𝐹)𝑟) ∧ (𝑟 = 0 ∨ ((𝐸 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑟) < ((𝐸 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦))) ↔ (𝑥 = ((𝑦(.r‘𝐹)(((invr‘𝐹)‘𝑦)(.r‘𝐹)𝑥))(+g‘𝐹)𝑟) ∧ (𝑟 = 0 ∨ ((𝐸 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑟) < ((𝐸 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)))))
15		oveq2 7454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 0 → ((𝑦(.r‘𝐹)(((invr‘𝐹)‘𝑦)(.r‘𝐹)𝑥))(+g‘𝐹)𝑟) = ((𝑦(.r‘𝐹)(((invr‘𝐹)‘𝑦)(.r‘𝐹)𝑥))(+g‘𝐹) 0 ))
16	15	eqeq2d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 0 → (𝑥 = ((𝑦(.r‘𝐹)(((invr‘𝐹)‘𝑦)(.r‘𝐹)𝑥))(+g‘𝐹)𝑟) ↔ 𝑥 = ((𝑦(.r‘𝐹)(((invr‘𝐹)‘𝑦)(.r‘𝐹)𝑥))(+g‘𝐹) 0 )))
17		eqeq1 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 0 → (𝑟 = 0 ↔ 0 = 0 ))
18		fveq2 6911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 0 → ((𝐸 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑟) = ((𝐸 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘ 0 ))
19	18	breq1d 5116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 0 → (((𝐸 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑟) < ((𝐸 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦) ↔ ((𝐸 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘ 0 ) < ((𝐸 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)))
20	17, 19	orbi12d 932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 0 → ((𝑟 = 0 ∨ ((𝐸 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑟) < ((𝐸 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)) ↔ ( 0 = 0 ∨ ((𝐸 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘ 0 ) < ((𝐸 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦))))
21	16, 20	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 0 → ((𝑥 = ((𝑦(.r‘𝐹)(((invr‘𝐹)‘𝑦)(.r‘𝐹)𝑥))(+g‘𝐹)𝑟) ∧ (𝑟 = 0 ∨ ((𝐸 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑟) < ((𝐸 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦))) ↔ (𝑥 = ((𝑦(.r‘𝐹)(((invr‘𝐹)‘𝑦)(.r‘𝐹)𝑥))(+g‘𝐹) 0 ) ∧ ( 0 = 0 ∨ ((𝐸 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘ 0 ) < ((𝐸 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)))))
22		fldedom.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
23		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
24	3	idomringd 21012	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
25	24	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝐹 ∈ Ring)
26		fldedom.1	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
27		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (invr‘𝐹) = (invr‘𝐹)
28	1	flddrngd 21027	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
29	28	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝐹 ∈ DivRing)
30		difssd 4076	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵)
31	30	sselda 3913	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑦 ∈ 𝐵)
32		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
33	32	eldifsnbd 4749	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑦 ≠ 0 )
34	22, 26, 27, 29, 31, 33	drnginvrcld 21046	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((invr‘𝐹)‘𝑦) ∈ 𝐵)
35		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ 𝐵)
36	22, 23, 25, 34, 35	ringcld 20517	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (((invr‘𝐹)‘𝑦)(.r‘𝐹)𝑥) ∈ 𝐵)
37	24	ringgrpd 20502	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
38	22, 26, 37	grpidcld 33676	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
39	38	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 0 ∈ 𝐵)
40		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
41	37	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝐹 ∈ Grp)
42	22, 23, 25, 31, 36	ringcld 20517	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑦(.r‘𝐹)(((invr‘𝐹)‘𝑦)(.r‘𝐹)𝑥)) ∈ 𝐵)
43	22, 40, 26, 41, 42	grpridd 19213	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((𝑦(.r‘𝐹)(((invr‘𝐹)‘𝑦)(.r‘𝐹)𝑥))(+g‘𝐹) 0 ) = (𝑦(.r‘𝐹)(((invr‘𝐹)‘𝑦)(.r‘𝐹)𝑥)))
44	22, 23, 25, 31, 34, 35	ringassd 20518	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((𝑦(.r‘𝐹)((invr‘𝐹)‘𝑦))(.r‘𝐹)𝑥) = (𝑦(.r‘𝐹)(((invr‘𝐹)‘𝑦)(.r‘𝐹)𝑥)))
45		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
46	22, 26, 23, 45, 27, 29, 31, 33	drnginvrrd 21050	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑦(.r‘𝐹)((invr‘𝐹)‘𝑦)) = (1r‘𝐹))
47	46	oveq1d 7461	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((𝑦(.r‘𝐹)((invr‘𝐹)‘𝑦))(.r‘𝐹)𝑥) = ((1r‘𝐹)(.r‘𝐹)𝑥))
48	44, 47	eqtr3d 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑦(.r‘𝐹)(((invr‘𝐹)‘𝑦)(.r‘𝐹)𝑥)) = ((1r‘𝐹)(.r‘𝐹)𝑥))
49	22, 23, 45, 25, 35	ringlidmd 20534	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((1r‘𝐹)(.r‘𝐹)𝑥) = 𝑥)
50	43, 48, 49	3eqtrrd 2803	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥 = ((𝑦(.r‘𝐹)(((invr‘𝐹)‘𝑦)(.r‘𝐹)𝑥))(+g‘𝐹) 0 ))
51		eqidd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 0 = 0 )
52	51	orcd 887	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ( 0 = 0 ∨ ((𝐸 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘ 0 ) < ((𝐸 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)))
53	50, 52	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥 = ((𝑦(.r‘𝐹)(((invr‘𝐹)‘𝑦)(.r‘𝐹)𝑥))(+g‘𝐹) 0 ) ∧ ( 0 = 0 ∨ ((𝐸 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘ 0 ) < ((𝐸 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦))))
54	14, 21, 36, 39, 53	2rspcedvdw 3593	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 = ((𝑦(.r‘𝐹)𝑞)(+g‘𝐹)𝑟) ∧ (𝑟 = 0 ∨ ((𝐸 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑟) < ((𝐸 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦))))
55	54	anasss 472	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 = ((𝑦(.r‘𝐹)𝑞)(+g‘𝐹)𝑟) ∧ (𝑟 = 0 ∨ ((𝐸 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑟) < ((𝐸 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦))))
56	55	ralrimivva 3209	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑞 ∈ 𝐵 ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 = ((𝑦(.r‘𝐹)𝑞)(+g‘𝐹)𝑟) ∧ (𝑟 = 0 ∨ ((𝐸 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑟) < ((𝐸 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦))))
57	10, 56	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑞 ∈ 𝐵 ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 = ((𝑦(.r‘𝐹)𝑞)(+g‘𝐹)𝑟) ∧ (𝑟 = 0 ∨ ((𝐸 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑟) < ((𝐸 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)))))
58		fldedom.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (EuclF‘𝐹)
59	58	reseq1i 5978	. . 3 ⊢ (𝐸 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) = ((EuclF‘𝐹) ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))
60	22, 26, 40, 23, 59	isedom 33934	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ EDomn ↔ (𝐹 ∈ IDomn ∧ ((𝐸 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑞 ∈ 𝐵 ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 = ((𝑦(.r‘𝐹)𝑞)(+g‘𝐹)𝑟) ∧ (𝑟 = 0 ∨ ((𝐸 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑟) < ((𝐸 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦))))))
61	3, 57, 60	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ EDomn)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ∖ cdif 4048  {csn 4588   class class class wbr 5106   ↾ cres 5658  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446   < clt 11373  ℕ₀cn0 12636  Basecbs 17419  +_gcplusg 17460  ._rcmulr 17461  0_gc0g 17642  Grpcgrp 19176  1_rcur 20440  Ringcrg 20492  inv_rcinvr 20650  IDomncidom 20978  DivRingcdr 21013  Fieldcfield 21014  EuclFceuf 33928  EDomncedom 33932

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-tpos 8274  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-0g 17644  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-ring 20494  df-cring 20495  df-oppr 20600  df-dvdsr 20620  df-unit 20621  df-invr 20651  df-nzr 20796  df-rlreg 20979  df-domn 20980  df-idom 20981  df-drng 21015  df-field 21016  df-edom 33933

This theorem is used by: (None)