Theorem zringidom 33581

Description: The ring of integers is an integral domain. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zringidom	⊢ ℤring ∈ IDomn

Proof of Theorem zringidom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringcrng 21401	. 2 ⊢ ℤring ∈ CRing
2		zringnzr 21413	. . 3 ⊢ ℤring ∈ NzRing
3		eldifi 4081	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℤ)
4	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → 𝑥 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → 𝑥 ∈ ℂ)
6		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → 𝑦 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → 𝑦 ∈ ℂ)
8		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → (𝑥 · 𝑦) = 0)
9		mul0or 11775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) = 0 ↔ (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0)))
10	9	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0))
11	5, 7, 8, 10	syl21anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0))
12		eldifsni 4744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
13	12	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → 𝑥 ≠ 0)
14	13	neneqd 2935	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → ¬ 𝑥 = 0)
15	11, 14	orcnd 878	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → 𝑦 = 0)
16	15	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑦) = 0 → 𝑦 = 0))
17	16	ralrimiva 3126	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) → ∀𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 · 𝑦) = 0 → 𝑦 = 0))
18		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (RLReg‘ℤring) = (RLReg‘ℤring)
19		zringbas 21406	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
20		zringmulr 21410	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘ℤring)
21		zring0 21411	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)
22	18, 19, 20, 21	isrrg 20629	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (RLReg‘ℤring) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 · 𝑦) = 0 → 𝑦 = 0)))
23	3, 17, 22	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ (RLReg‘ℤring))
24	23	ssriv 3935	. . 3 ⊢ (ℤ ∖ {0}) ⊆ (RLReg‘ℤring)
25	19, 18, 21	isdomn2 20642	. . 3 ⊢ (ℤring ∈ Domn ↔ (ℤring ∈ NzRing ∧ (ℤ ∖ {0}) ⊆ (RLReg‘ℤring)))
26	2, 24, 25	mpbir2an 711	. 2 ⊢ ℤring ∈ Domn
27		isidom 20656	. 2 ⊢ (ℤring ∈ IDomn ↔ (ℤring ∈ CRing ∧ ℤring ∈ Domn))
28	1, 26, 27	mpbir2an 711	1 ⊢ ℤring ∈ IDomn

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4578  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  0cc0 11024   · cmul 11029  ℤcz 12486  CRingccrg 20167  NzRingcnzr 20443  RLRegcrlreg 20622  Domncdomn 20623  IDomncidom 20624  ℤ_ringczring 21399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-addf 11103  ax-mulf 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-subg 19051  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-nzr 20444  df-subrng 20477  df-subrg 20501  df-rlreg 20625  df-domn 20626  df-idom 20627  df-cnfld 21308  df-zring 21400

This theorem is referenced by:  zringpid  33582  zringfrac  33584