Theorem zringidom 33571

Description: The ring of integers is an integral domain. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zringidom	⊢ ℤring ∈ IDomn

Proof of Theorem zringidom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringcrng 21414	. 2 ⊢ ℤring ∈ CRing
2		zringnzr 21426	. . 3 ⊢ ℤring ∈ NzRing
3		eldifi 4111	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℤ)
4	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → 𝑥 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12703	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → 𝑥 ∈ ℂ)
6		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → 𝑦 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12703	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → 𝑦 ∈ ℂ)
8		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → (𝑥 · 𝑦) = 0)
9		mul0or 11882	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) = 0 ↔ (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0)))
10	9	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0))
11	5, 7, 8, 10	syl21anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0))
12		eldifsni 4771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
13	12	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → 𝑥 ≠ 0)
14	13	neneqd 2938	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → ¬ 𝑥 = 0)
15	11, 14	orcnd 878	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → 𝑦 = 0)
16	15	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑦) = 0 → 𝑦 = 0))
17	16	ralrimiva 3133	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) → ∀𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 · 𝑦) = 0 → 𝑦 = 0))
18		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (RLReg‘ℤring) = (RLReg‘ℤring)
19		zringbas 21419	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
20		zringmulr 21423	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘ℤring)
21		zring0 21424	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)
22	18, 19, 20, 21	isrrg 20663	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (RLReg‘ℤring) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 · 𝑦) = 0 → 𝑦 = 0)))
23	3, 17, 22	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ (RLReg‘ℤring))
24	23	ssriv 3967	. . 3 ⊢ (ℤ ∖ {0}) ⊆ (RLReg‘ℤring)
25	19, 18, 21	isdomn2 20676	. . 3 ⊢ (ℤring ∈ Domn ↔ (ℤring ∈ NzRing ∧ (ℤ ∖ {0}) ⊆ (RLReg‘ℤring)))
26	2, 24, 25	mpbir2an 711	. 2 ⊢ ℤring ∈ Domn
27		isidom 20690	. 2 ⊢ (ℤring ∈ IDomn ↔ (ℤring ∈ CRing ∧ ℤring ∈ Domn))
28	1, 26, 27	mpbir2an 711	1 ⊢ ℤring ∈ IDomn

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ∖ cdif 3928   ⊆ wss 3931  {csn 4606  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  0cc0 11134   · cmul 11139  ℤcz 12593  CRingccrg 20199  NzRingcnzr 20477  RLRegcrlreg 20656  Domncdomn 20657  IDomncidom 20658  ℤ_ringczring 21412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-addf 11213  ax-mulf 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-fz 13530  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-subg 19111  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-cring 20201  df-nzr 20478  df-subrng 20511  df-subrg 20535  df-rlreg 20659  df-domn 20660  df-idom 20661  df-cnfld 21321  df-zring 21413

This theorem is referenced by:  zringpid  33572  zringfrac  33574