Theorem zringidom 33701

Description: The ring of integers is an integral domain. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zringidom	⊢ ℤring ∈ IDomn

Proof of Theorem zringidom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringcrng 21473	. 2 ⊢ ℤring ∈ CRing
2		zringnzr 21485	. . 3 ⊢ ℤring ∈ NzRing
3		eldifi 4079	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℤ)
4	3	ad2antrr 734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → 𝑥 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12668	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → 𝑥 ∈ ℂ)
6		simplr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → 𝑦 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12668	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → 𝑦 ∈ ℂ)
8		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → (𝑥 · 𝑦) = 0)
9		mul0or 11817	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) = 0 ↔ (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0)))
10	9	biimpa 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0))
11	5, 7, 8, 10	syl21anc 846	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0))
12		eldifsni 4744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
13	12	ad2antrr 734	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → 𝑥 ≠ 0)
14	13	neneqd 2956	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → ¬ 𝑥 = 0)
15	11, 14	orcnd 887	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → 𝑦 = 0)
16	15	ex 415	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑦) = 0 → 𝑦 = 0))
17	16	ralrimiva 3148	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) → ∀𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 · 𝑦) = 0 → 𝑦 = 0))
18		eqid 2756	. . . . . 6 ⊢ (RLReg‘ℤring) = (RLReg‘ℤring)
19		zringbas 21478	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
20		zringmulr 21482	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘ℤring)
21		zring0 21483	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)
22	18, 19, 20, 21	isrrg 20720	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (RLReg‘ℤring) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 · 𝑦) = 0 → 𝑦 = 0)))
23	3, 17, 22	sylanbrc 591	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ (RLReg‘ℤring))
24	23	ssriv 3935	. . 3 ⊢ (ℤ ∖ {0}) ⊆ (RLReg‘ℤring)
25	19, 18, 21	isdomn2 20733	. . 3 ⊢ (ℤring ∈ Domn ↔ (ℤring ∈ NzRing ∧ (ℤ ∖ {0}) ⊆ (RLReg‘ℤring)))
26	2, 24, 25	mpbir2an 719	. 2 ⊢ ℤring ∈ Domn
27		isidom 20747	. 2 ⊢ (ℤring ∈ IDomn ↔ (ℤring ∈ CRing ∧ ℤring ∈ Domn))
28	1, 26, 27	mpbir2an 719	1 ⊢ ℤring ∈ IDomn

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 856   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2951  ∀wral 3070   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4576  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  ℂcc 11061  0cc0 11063   · cmul 11068  ℤcz 12558  CRingccrg 20256  NzRingcnzr 20534  RLRegcrlreg 20713  Domncdomn 20714  IDomncidom 20715  ℤ_ringczring 21471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-addf 11142  ax-mulf 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12472  df-z 12559  df-dec 12679  df-uz 12830  df-fz 13503  df-struct 17159  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-ress 17243  df-plusg 17275  df-mulr 17276  df-starv 17277  df-tset 17281  df-ple 17282  df-ds 17284  df-unif 17285  df-0g 17446  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-cmn 19798  df-abl 19799  df-mgp 20163  df-rng 20175  df-ur 20204  df-ring 20257  df-cring 20258  df-nzr 20535  df-subrng 20568  df-subrg 20592  df-rlreg 20716  df-domn 20717  df-idom 20718  df-cnfld 21398  df-zring 21472

This theorem is referenced by:  zringpid  33702  zringfrac  33704