Theorem zringidom 33559

Description: The ring of integers is an integral domain. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zringidom	⊢ ℤring ∈ IDomn

Proof of Theorem zringidom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringcrng 21477	. 2 ⊢ ℤring ∈ CRing
2		zringnzr 21489	. . 3 ⊢ ℤring ∈ NzRing
3		eldifi 4141	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℤ)
4	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → 𝑥 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12721	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → 𝑥 ∈ ℂ)
6		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → 𝑦 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12721	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → 𝑦 ∈ ℂ)
8		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → (𝑥 · 𝑦) = 0)
9		mul0or 11901	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) = 0 ↔ (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0)))
10	9	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0))
11	5, 7, 8, 10	syl21anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0))
12		eldifsni 4795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
13	12	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → 𝑥 ≠ 0)
14	13	neneqd 2943	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → ¬ 𝑥 = 0)
15	11, 14	orcnd 878	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 · 𝑦) = 0) → 𝑦 = 0)
16	15	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑦) = 0 → 𝑦 = 0))
17	16	ralrimiva 3144	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) → ∀𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 · 𝑦) = 0 → 𝑦 = 0))
18		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (RLReg‘ℤring) = (RLReg‘ℤring)
19		zringbas 21482	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
20		zringmulr 21486	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘ℤring)
21		zring0 21487	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)
22	18, 19, 20, 21	isrrg 20715	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (RLReg‘ℤring) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 · 𝑦) = 0 → 𝑦 = 0)))
23	3, 17, 22	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ (RLReg‘ℤring))
24	23	ssriv 3999	. . 3 ⊢ (ℤ ∖ {0}) ⊆ (RLReg‘ℤring)
25	19, 18, 21	isdomn2 20728	. . 3 ⊢ (ℤring ∈ Domn ↔ (ℤring ∈ NzRing ∧ (ℤ ∖ {0}) ⊆ (RLReg‘ℤring)))
26	2, 24, 25	mpbir2an 711	. 2 ⊢ ℤring ∈ Domn
27		isidom 20742	. 2 ⊢ (ℤring ∈ IDomn ↔ (ℤring ∈ CRing ∧ ℤring ∈ Domn))
28	1, 26, 27	mpbir2an 711	1 ⊢ ℤring ∈ IDomn

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963  {csn 4631  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153   · cmul 11158  ℤcz 12611  CRingccrg 20252  NzRingcnzr 20529  RLRegcrlreg 20708  Domncdomn 20709  IDomncidom 20710  ℤ_ringczring 21475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-addf 11232  ax-mulf 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-nzr 20530  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-rlreg 20711  df-domn 20712  df-idom 20713  df-cnfld 21383  df-zring 21476

This theorem is referenced by:  zringpid  33560  zringfrac  33562