Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reeff1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reeff1 15485
 Description: The exponential function maps real arguments one-to-one to positive reals. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
reeff1 (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+

Proof of Theorem reeff1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eff 15447 . . . . 5 exp:ℂ⟶ℂ
2 ffn 6495 . . . . 5 (exp:ℂ⟶ℂ → exp Fn ℂ)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 exp Fn ℂ
4 ax-resscn 10601 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
5 fnssres 6450 . . . 4 ((exp Fn ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (exp ↾ ℝ) Fn ℝ)
63, 4, 5mp2an 691 . . 3 (exp ↾ ℝ) Fn ℝ
7 fvres 6674 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = (exp‘𝑥))
8 rpefcl 15469 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (exp‘𝑥) ∈ ℝ+)
97, 8eqeltrd 2890 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) ∈ ℝ+)
109rgen 3116 . . 3 𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) ∈ ℝ+
11 ffnfv 6869 . . 3 ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ ↔ ((exp ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) ∈ ℝ+))
126, 10, 11mpbir2an 710 . 2 (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+
13 fvres 6674 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑦) = (exp‘𝑦))
147, 13eqeqan12d 2815 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = ((exp ↾ ℝ)‘𝑦) ↔ (exp‘𝑥) = (exp‘𝑦)))
15 reef11 15484 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp‘𝑥) = (exp‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
1615biimpd 232 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp‘𝑥) = (exp‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
1714, 16sylbid 243 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = ((exp ↾ ℝ)‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
1817rgen2 3168 . 2 𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = ((exp ↾ ℝ)‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
19 dff13 7001 . 2 ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ ↔ ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = ((exp ↾ ℝ)‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
2012, 18, 19mpbir2an 710 1 (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   ⊆ wss 3883   ↾ cres 5525   Fn wfn 6327  ⟶wf 6328  –1-1→wf1 6329  ‘cfv 6332  ℂcc 10542  ℝcr 10543  ℝ+crp 12397  expce 15427 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-inf2 9106  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622  ax-addf 10623  ax-mulf 10624 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-er 8290  df-pm 8410  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-rp 12398  df-ico 12752  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-fl 13177  df-seq 13385  df-exp 13446  df-fac 13650  df-bc 13679  df-hash 13707  df-shft 14438  df-cj 14470  df-re 14471  df-im 14472  df-sqrt 14606  df-abs 14607  df-limsup 14840  df-clim 14857  df-rlim 14858  df-sum 15055  df-ef 15433 This theorem is referenced by:  reeff1o  25086  seff  41184
 Copyright terms: Public domain W3C validator