Theorem reeff1 16070

Description: The exponential function maps real arguments one-to-one to positive reals. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
reeff1	⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+

Proof of Theorem reeff1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eff 16032	. . . . 5 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
2		ffn 6717	. . . . 5 ⊢ (exp:ℂ⟶ℂ → exp Fn ℂ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ exp Fn ℂ
4		ax-resscn 11173	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
5		fnssres 6673	. . . 4 ⊢ ((exp Fn ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (exp ↾ ℝ) Fn ℝ)
6	3, 4, 5	mp2an 689	. . 3 ⊢ (exp ↾ ℝ) Fn ℝ
7		fvres 6910	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = (exp‘𝑥))
8		rpefcl 16054	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (exp‘𝑥) ∈ ℝ+)
9	7, 8	eqeltrd 2832	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) ∈ ℝ+)
10	9	rgen 3062	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) ∈ ℝ+
11		ffnfv 7120	. . 3 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ ↔ ((exp ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) ∈ ℝ+))
12	6, 10, 11	mpbir2an 708	. 2 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+
13		fvres 6910	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑦) = (exp‘𝑦))
14	7, 13	eqeqan12d 2745	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = ((exp ↾ ℝ)‘𝑦) ↔ (exp‘𝑥) = (exp‘𝑦)))
15		reef11 16069	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp‘𝑥) = (exp‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
16	15	biimpd 228	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp‘𝑥) = (exp‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
17	14, 16	sylbid 239	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = ((exp ↾ ℝ)‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
18	17	rgen2 3196	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = ((exp ↾ ℝ)‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
19		dff13 7257	. 2 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ ↔ ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = ((exp ↾ ℝ)‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
20	12, 18, 19	mpbir2an 708	1 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060   ⊆ wss 3948   ↾ cres 5678   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  –1-1→wf1 6540  ‘cfv 6543  ℂcc 11114  ℝcr 11115  ℝ⁺crp 12981  expce 16012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-ico 13337  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-seq 13974  df-exp 14035  df-fac 14241  df-bc 14270  df-hash 14298  df-shft 15021  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-ef 16018

This theorem is referenced by:  reeff1o  26299  seff  43531