Theorem frlm0vald 39804

Description: All coordinates of the zero vector are zero. (Contributed by SN, 14-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlm0vald.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlm0vald.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
frlm0vald.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
frlm0vald.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
frlm0vald.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frlm0vald	⊢ (𝜑 → ((0g‘𝐹)‘𝐽) = 0 )

Proof of Theorem frlm0vald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlm0vald.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		frlm0vald.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		frlm0vald.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4		frlm0vald.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5	3, 4	frlm0 20532	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × { 0 }) = (0g‘𝐹))
6	1, 2, 5	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × { 0 }) = (0g‘𝐹))
7	6	fveq1d 6665	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × { 0 })‘𝐽) = ((0g‘𝐹)‘𝐽))
8		frlm0vald.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
9	4	fvexi 6677	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
10	9	fvconst2 6963	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐼 → ((𝐼 × { 0 })‘𝐽) = 0 )
11	8, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × { 0 })‘𝐽) = 0 )
12	7, 11	eqtr3d 2795	1 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝐹)‘𝐽) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {csn 4525   × cxp 5526  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  0_gc0g 16784  Ringcrg 19378   freeLMod cfrlm 20524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-sup 8952  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-fz 12953  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-sca 16652  df-vsca 16653  df-ip 16654  df-tset 16655  df-ple 16656  df-ds 16658  df-hom 16660  df-cco 16661  df-0g 16786  df-prds 16792  df-pws 16794  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-grp 18185  df-minusg 18186  df-sbg 18187  df-subg 18356  df-mgp 19321  df-ur 19333  df-ring 19380  df-subrg 19614  df-lmod 19717  df-lss 19785  df-sra 20025  df-rgmod 20026  df-dsmm 20510  df-frlm 20525

This theorem is referenced by:  uvcn0  39807  prjspner1  39995