Theorem frlm0vald 41640

Description: All coordinates of the zero vector are zero. (Contributed by SN, 14-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlm0vald.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlm0vald.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
frlm0vald.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
frlm0vald.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
frlm0vald.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frlm0vald	⊢ (𝜑 → ((0g‘𝐹)‘𝐽) = 0 )

Proof of Theorem frlm0vald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlm0vald.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		frlm0vald.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		frlm0vald.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4		frlm0vald.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5	3, 4	frlm0 21638	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × { 0 }) = (0g‘𝐹))
6	1, 2, 5	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × { 0 }) = (0g‘𝐹))
7	6	fveq1d 6884	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × { 0 })‘𝐽) = ((0g‘𝐹)‘𝐽))
8		frlm0vald.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
9	4	fvexi 6896	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
10	9	fvconst2 7198	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐼 → ((𝐼 × { 0 })‘𝐽) = 0 )
11	8, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × { 0 })‘𝐽) = 0 )
12	7, 11	eqtr3d 2766	1 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝐹)‘𝐽) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4621   × cxp 5665  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  0_gc0g 17390  Ringcrg 20134   freeLMod cfrlm 21630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13486  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-subg 19046  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-subrg 20467  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-sra 21017  df-rgmod 21018  df-dsmm 21616  df-frlm 21631

This theorem is referenced by:  uvcn0  41643  prjspner1  41920