MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmipval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmipval 21817
Description: The inner product of a free module. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmphl.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmphl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
frlmphl.t · = (.r𝑅)
frlmphl.v 𝑉 = (Base‘𝑌)
frlmphl.j , = (·𝑖𝑌)
Assertion
Ref Expression
frlmipval (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝐹 , 𝐺) = (𝑅 Σg (𝐹f · 𝐺)))

Proof of Theorem frlmipval
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmphl.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2 frlmphl.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 frlmphl.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑌)
41, 2, 3frlmbasmap 21797 . . . . . 6 ((𝐼𝑊𝐹𝑉) → 𝐹 ∈ (𝐵m 𝐼))
54ad2ant2r 747 . . . . 5 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → 𝐹 ∈ (𝐵m 𝐼))
6 elmapi 8888 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝐹:𝐼𝐵)
7 ffn 6737 . . . . 5 (𝐹:𝐼𝐵𝐹 Fn 𝐼)
85, 6, 73syl 18 . . . 4 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → 𝐹 Fn 𝐼)
91, 2, 3frlmbasmap 21797 . . . . . 6 ((𝐼𝑊𝐺𝑉) → 𝐺 ∈ (𝐵m 𝐼))
109ad2ant2rl 749 . . . . 5 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → 𝐺 ∈ (𝐵m 𝐼))
11 elmapi 8888 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝐺:𝐼𝐵)
12 ffn 6737 . . . . 5 (𝐺:𝐼𝐵𝐺 Fn 𝐼)
1310, 11, 123syl 18 . . . 4 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → 𝐺 Fn 𝐼)
14 simpll 767 . . . 4 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → 𝐼𝑊)
15 inidm 4235 . . . 4 (𝐼𝐼) = 𝐼
16 eqidd 2736 . . . 4 ((((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
17 eqidd 2736 . . . 4 ((((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
188, 13, 14, 14, 15, 16, 17offval 7706 . . 3 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝐹f · 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))))
1918oveq2d 7447 . 2 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝑅 Σg (𝐹f · 𝐺)) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))))
20 ovexd 7466 . . 3 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))) ∈ V)
21 fveq1 6906 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑥) = (𝐹𝑥))
2221oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥)) = ((𝐹𝑥) · (𝑔𝑥)))
2322mpteq2dv 5250 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝑔𝑥))))
2423oveq2d 7447 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝑔𝑥)))))
25 fveq1 6906 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (𝑔𝑥) = (𝐺𝑥))
2625oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → ((𝐹𝑥) · (𝑔𝑥)) = ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))
2726mpteq2dv 5250 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))))
2827oveq2d 7447 . . . 4 (𝑔 = 𝐺 → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝑔𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))))
29 eqid 2735 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝐵m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))))) = (𝑓 ∈ (𝐵m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥)))))
3024, 28, 29ovmpog 7592 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝐺 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))) ∈ V) → (𝐹(𝑓 ∈ (𝐵m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥)))))𝐺) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))))
315, 10, 20, 30syl3anc 1370 . 2 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝐹(𝑓 ∈ (𝐵m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥)))))𝐺) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))))
32 frlmphl.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
331, 2, 32frlmip 21816 . . . . 5 ((𝐼𝑊𝑅𝑋) → (𝑓 ∈ (𝐵m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))))) = (·𝑖𝑌))
3433adantr 480 . . . 4 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝑓 ∈ (𝐵m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))))) = (·𝑖𝑌))
35 frlmphl.j . . . 4 , = (·𝑖𝑌)
3634, 35eqtr4di 2793 . . 3 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝑓 ∈ (𝐵m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))))) = , )
3736oveqd 7448 . 2 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝐹(𝑓 ∈ (𝐵m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥)))))𝐺) = (𝐹 , 𝐺))
3819, 31, 373eqtr2rd 2782 1 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝐹 , 𝐺) = (𝑅 Σg (𝐹f · 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cmpt 5231   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  f cof 7695  m cmap 8865  Basecbs 17245  .rcmulr 17299  ·𝑖cip 17303   Σg cgsu 17487   freeLMod cfrlm 21784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-prds 17494  df-pws 17496  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-dsmm 21770  df-frlm 21785
This theorem is referenced by:  frlmphl  21819  rrxcph  25440
  Copyright terms: Public domain W3C validator