Theorem frlmipval 21748

Description: The inner product of a free module. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmphl.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmphl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
frlmphl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
frlmphl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑌)
frlmphl.j	⊢ , = (·𝑖‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
frlmipval	⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → (𝐹 , 𝐺) = (𝑅 Σg (𝐹 ∘f · 𝐺)))

Proof of Theorem frlmipval

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmphl.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2		frlmphl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		frlmphl.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑌)
4	1, 2, 3	frlmbasmap 21728	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
5	4	ad2ant2r 748	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
6		elmapi 8785	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
7		ffn 6657	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐼⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐼)
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → 𝐹 Fn 𝐼)
9	1, 2, 3	frlmbasmap 21728	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
10	9	ad2ant2rl 750	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
11		elmapi 8785	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝐺:𝐼⟶𝐵)
12		ffn 6657	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝐼⟶𝐵 → 𝐺 Fn 𝐼)
13	10, 11, 12	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → 𝐺 Fn 𝐼)
14		simpll 767	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → 𝐼 ∈ 𝑊)
15		inidm 4157	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
16		eqidd 2736	. . . 4 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
17		eqidd 2736	. . . 4 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
18	8, 13, 14, 14, 15, 16, 17	offval 7629	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → (𝐹 ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
19	18	oveq2d 7372	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → (𝑅 Σg (𝐹 ∘f · 𝐺)) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))))
20		ovexd 7391	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))) ∈ V)
21		fveq1 6828	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
22	21	oveq1d 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))
23	22	mpteq2dv 5168	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))
24	23	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))))
25		fveq1 6828	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
26	25	oveq2d 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝐹‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))
27	26	mpteq2dv 5168	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
28	27	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))))
29		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))) = (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))))
30	24, 28, 29	ovmpog 7515	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝐺 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))) ∈ V) → (𝐹(𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))))𝐺) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))))
31	5, 10, 20, 30	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → (𝐹(𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))))𝐺) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))))
32		frlmphl.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
33	1, 2, 32	frlmip 21747	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))) = (·𝑖‘𝑌))
34	33	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))) = (·𝑖‘𝑌))
35		frlmphl.j	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑌)
36	34, 35	eqtr4di 2788	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))) = , )
37	36	oveqd 7373	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → (𝐹(𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))))𝐺) = (𝐹 , 𝐺))
38	19, 31, 37	3eqtr2rd 2777	1 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → (𝐹 , 𝐺) = (𝑅 Σg (𝐹 ∘f · 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3427   ↦ cmpt 5155   Fn wfn 6482  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358   ∘_f cof 7618   ↑_m cmap 8762  Basecbs 17168  ._rcmulr 17210  ·_𝑖cip 17214   Σ_g cgsu 17392   freeLMod cfrlm 21715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8632  df-map 8764  df-ixp 8835  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fsupp 9264  df-sup 9344  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-fz 13451  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-hom 17233  df-cco 17234  df-0g 17393  df-prds 17399  df-pws 17401  df-sra 21157  df-rgmod 21158  df-dsmm 21701  df-frlm 21716

This theorem is referenced by:  frlmphl  21750  rrxcph  25347