MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmipval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmipval 20332
Description: The inner product of a free module. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmphl.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmphl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
frlmphl.t · = (.r𝑅)
frlmphl.v 𝑉 = (Base‘𝑌)
frlmphl.j , = (·𝑖𝑌)
Assertion
Ref Expression
frlmipval (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝐹 , 𝐺) = (𝑅 Σg (𝐹𝑓 · 𝐺)))

Proof of Theorem frlmipval
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmphl.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2 frlmphl.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 frlmphl.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑌)
41, 2, 3frlmbasmap 20317 . . . . . 6 ((𝐼𝑊𝐹𝑉) → 𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝐼))
54ad2ant2r 744 . . . . 5 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → 𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝐼))
6 elmapi 8117 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → 𝐹:𝐼𝐵)
7 ffn 6259 . . . . 5 (𝐹:𝐼𝐵𝐹 Fn 𝐼)
85, 6, 73syl 18 . . . 4 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → 𝐹 Fn 𝐼)
91, 2, 3frlmbasmap 20317 . . . . . 6 ((𝐼𝑊𝐺𝑉) → 𝐺 ∈ (𝐵𝑚 𝐼))
109ad2ant2rl 746 . . . . 5 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → 𝐺 ∈ (𝐵𝑚 𝐼))
11 elmapi 8117 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → 𝐺:𝐼𝐵)
12 ffn 6259 . . . . 5 (𝐺:𝐼𝐵𝐺 Fn 𝐼)
1310, 11, 123syl 18 . . . 4 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → 𝐺 Fn 𝐼)
14 simpll 774 . . . 4 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → 𝐼𝑊)
15 inidm 4026 . . . 4 (𝐼𝐼) = 𝐼
16 eqidd 2814 . . . 4 ((((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
17 eqidd 2814 . . . 4 ((((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
188, 13, 14, 14, 15, 16, 17offval 7137 . . 3 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝐹𝑓 · 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))))
1918oveq2d 6893 . 2 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝑅 Σg (𝐹𝑓 · 𝐺)) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))))
20 ovexd 6911 . . 3 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))) ∈ V)
21 fveq1 6410 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑥) = (𝐹𝑥))
2221oveq1d 6892 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥)) = ((𝐹𝑥) · (𝑔𝑥)))
2322mpteq2dv 4946 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝑔𝑥))))
2423oveq2d 6893 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝑔𝑥)))))
25 fveq1 6410 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (𝑔𝑥) = (𝐺𝑥))
2625oveq2d 6893 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → ((𝐹𝑥) · (𝑔𝑥)) = ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))
2726mpteq2dv 4946 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))))
2827oveq2d 6893 . . . 4 (𝑔 = 𝐺 → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝑔𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))))
29 eqid 2813 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))))) = (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥)))))
3024, 28, 29ovmpt2g 7028 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝐺 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))) ∈ V) → (𝐹(𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥)))))𝐺) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))))
315, 10, 20, 30syl3anc 1483 . 2 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝐹(𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥)))))𝐺) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))))
32 frlmphl.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
331, 2, 32frlmip 20331 . . . . 5 ((𝐼𝑊𝑅𝑋) → (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))))) = (·𝑖𝑌))
3433adantr 468 . . . 4 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))))) = (·𝑖𝑌))
35 frlmphl.j . . . 4 , = (·𝑖𝑌)
3634, 35syl6eqr 2865 . . 3 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))))) = , )
3736oveqd 6894 . 2 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝐹(𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥)))))𝐺) = (𝐹 , 𝐺))
3819, 31, 373eqtr2rd 2854 1 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝐹 , 𝐺) = (𝑅 Σg (𝐹𝑓 · 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157  Vcvv 3398  cmpt 4930   Fn wfn 6099  wf 6100  cfv 6104  (class class class)co 6877  cmpt2 6879  𝑓 cof 7128  𝑚 cmap 8095  Basecbs 16071  .rcmulr 16157  ·𝑖cip 16161   Σg cgsu 16309   freeLMod cfrlm 20304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-rep 4971  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-int 4677  df-iun 4721  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-of 7130  df-om 7299  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-sup 8590  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11309  df-2 11367  df-3 11368  df-4 11369  df-5 11370  df-6 11371  df-7 11372  df-8 11373  df-9 11374  df-n0 11563  df-z 11647  df-dec 11763  df-uz 11908  df-fz 12553  df-struct 16073  df-ndx 16074  df-slot 16075  df-base 16077  df-sets 16078  df-ress 16079  df-plusg 16169  df-mulr 16170  df-sca 16172  df-vsca 16173  df-ip 16174  df-tset 16175  df-ple 16176  df-ds 16178  df-hom 16180  df-cco 16181  df-0g 16310  df-prds 16316  df-pws 16318  df-sra 19384  df-rgmod 19385  df-dsmm 20290  df-frlm 20305
This theorem is referenced by:  frlmphl  20334  rrxcph  23398
  Copyright terms: Public domain W3C validator