MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmipval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmipval 20605
Description: The inner product of a free module. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmphl.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmphl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
frlmphl.t · = (.r𝑅)
frlmphl.v 𝑉 = (Base‘𝑌)
frlmphl.j , = (·𝑖𝑌)
Assertion
Ref Expression
frlmipval (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝐹 , 𝐺) = (𝑅 Σg (𝐹𝑓 · 𝐺)))

Proof of Theorem frlmipval
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmphl.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2 frlmphl.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 frlmphl.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑌)
41, 2, 3frlmbasmap 20585 . . . . . 6 ((𝐼𝑊𝐹𝑉) → 𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝐼))
54ad2ant2r 743 . . . . 5 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → 𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝐼))
6 elmapi 8278 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → 𝐹:𝐼𝐵)
7 ffn 6382 . . . . 5 (𝐹:𝐼𝐵𝐹 Fn 𝐼)
85, 6, 73syl 18 . . . 4 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → 𝐹 Fn 𝐼)
91, 2, 3frlmbasmap 20585 . . . . . 6 ((𝐼𝑊𝐺𝑉) → 𝐺 ∈ (𝐵𝑚 𝐼))
109ad2ant2rl 745 . . . . 5 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → 𝐺 ∈ (𝐵𝑚 𝐼))
11 elmapi 8278 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → 𝐺:𝐼𝐵)
12 ffn 6382 . . . . 5 (𝐺:𝐼𝐵𝐺 Fn 𝐼)
1310, 11, 123syl 18 . . . 4 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → 𝐺 Fn 𝐼)
14 simpll 763 . . . 4 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → 𝐼𝑊)
15 inidm 4115 . . . 4 (𝐼𝐼) = 𝐼
16 eqidd 2796 . . . 4 ((((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
17 eqidd 2796 . . . 4 ((((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
188, 13, 14, 14, 15, 16, 17offval 7274 . . 3 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝐹𝑓 · 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))))
1918oveq2d 7032 . 2 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝑅 Σg (𝐹𝑓 · 𝐺)) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))))
20 ovexd 7050 . . 3 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))) ∈ V)
21 fveq1 6537 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑥) = (𝐹𝑥))
2221oveq1d 7031 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥)) = ((𝐹𝑥) · (𝑔𝑥)))
2322mpteq2dv 5056 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝑔𝑥))))
2423oveq2d 7032 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝑔𝑥)))))
25 fveq1 6537 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (𝑔𝑥) = (𝐺𝑥))
2625oveq2d 7032 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → ((𝐹𝑥) · (𝑔𝑥)) = ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))
2726mpteq2dv 5056 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))))
2827oveq2d 7032 . . . 4 (𝑔 = 𝐺 → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝑔𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))))
29 eqid 2795 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))))) = (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥)))))
3024, 28, 29ovmpog 7165 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝐺 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))) ∈ V) → (𝐹(𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥)))))𝐺) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))))
315, 10, 20, 30syl3anc 1364 . 2 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝐹(𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥)))))𝐺) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))))
32 frlmphl.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
331, 2, 32frlmip 20604 . . . . 5 ((𝐼𝑊𝑅𝑋) → (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))))) = (·𝑖𝑌))
3433adantr 481 . . . 4 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))))) = (·𝑖𝑌))
35 frlmphl.j . . . 4 , = (·𝑖𝑌)
3634, 35syl6eqr 2849 . . 3 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))))) = , )
3736oveqd 7033 . 2 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝐹(𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥)))))𝐺) = (𝐹 , 𝐺))
3819, 31, 373eqtr2rd 2838 1 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝐹 , 𝐺) = (𝑅 Σg (𝐹𝑓 · 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  Vcvv 3437  cmpt 5041   Fn wfn 6220  wf 6221  cfv 6225  (class class class)co 7016  cmpo 7018  𝑓 cof 7265  𝑚 cmap 8256  Basecbs 16312  .rcmulr 16395  ·𝑖cip 16399   Σg cgsu 16543   freeLMod cfrlm 20572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-sup 8752  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-fz 12743  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-hom 16418  df-cco 16419  df-0g 16544  df-prds 16550  df-pws 16552  df-sra 19634  df-rgmod 19635  df-dsmm 20558  df-frlm 20573
This theorem is referenced by:  frlmphl  20607  rrxcph  23678
  Copyright terms: Public domain W3C validator