Theorem frlmipval 21751

Description: The inner product of a free module. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmphl.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmphl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
frlmphl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
frlmphl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑌)
frlmphl.j	⊢ , = (·𝑖‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
frlmipval	⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → (𝐹 , 𝐺) = (𝑅 Σg (𝐹 ∘f · 𝐺)))

Proof of Theorem frlmipval

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmphl.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2		frlmphl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		frlmphl.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑌)
4	1, 2, 3	frlmbasmap 21731	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
5	4	ad2ant2r 748	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
6		elmapi 8800	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
7		ffn 6672	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐼⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐼)
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → 𝐹 Fn 𝐼)
9	1, 2, 3	frlmbasmap 21731	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
10	9	ad2ant2rl 750	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
11		elmapi 8800	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝐺:𝐼⟶𝐵)
12		ffn 6672	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝐼⟶𝐵 → 𝐺 Fn 𝐼)
13	10, 11, 12	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → 𝐺 Fn 𝐼)
14		simpll 767	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → 𝐼 ∈ 𝑊)
15		inidm 4181	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
16		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
17		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
18	8, 13, 14, 14, 15, 16, 17	offval 7643	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → (𝐹 ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
19	18	oveq2d 7386	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → (𝑅 Σg (𝐹 ∘f · 𝐺)) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))))
20		ovexd 7405	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))) ∈ V)
21		fveq1 6843	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
22	21	oveq1d 7385	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))
23	22	mpteq2dv 5194	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))
24	23	oveq2d 7386	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))))
25		fveq1 6843	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
26	25	oveq2d 7386	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝐹‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))
27	26	mpteq2dv 5194	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
28	27	oveq2d 7386	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))))
29		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))) = (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))))
30	24, 28, 29	ovmpog 7529	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝐺 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))) ∈ V) → (𝐹(𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))))𝐺) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))))
31	5, 10, 20, 30	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → (𝐹(𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))))𝐺) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))))
32		frlmphl.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
33	1, 2, 32	frlmip 21750	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))) = (·𝑖‘𝑌))
34	33	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))) = (·𝑖‘𝑌))
35		frlmphl.j	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑌)
36	34, 35	eqtr4di 2790	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))) = , )
37	36	oveqd 7387	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → (𝐹(𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))))𝐺) = (𝐹 , 𝐺))
38	19, 31, 37	3eqtr2rd 2779	1 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → (𝐹 , 𝐺) = (𝑅 Σg (𝐹 ∘f · 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ↦ cmpt 5181   Fn wfn 6497  ⟶wf 6498  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370   ∈ cmpo 7372   ∘_f cof 7632   ↑_m cmap 8777  Basecbs 17150  ._rcmulr 17192  ·_𝑖cip 17196   Σ_g cgsu 17374   freeLMod cfrlm 21718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-supp 8115  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-map 8779  df-ixp 8850  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-fsupp 9279  df-sup 9359  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-fz 13438  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-ip 17209  df-tset 17210  df-ple 17211  df-ds 17213  df-hom 17215  df-cco 17216  df-0g 17375  df-prds 17381  df-pws 17383  df-sra 21142  df-rgmod 21143  df-dsmm 21704  df-frlm 21719

This theorem is referenced by:  frlmphl  21753  rrxcph  25365