Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmipval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmipval 20473
 Description: The inner product of a free module. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmphl.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmphl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
frlmphl.t · = (.r𝑅)
frlmphl.v 𝑉 = (Base‘𝑌)
frlmphl.j , = (·𝑖𝑌)
Assertion
Ref Expression
frlmipval (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝐹 , 𝐺) = (𝑅 Σg (𝐹f · 𝐺)))

Proof of Theorem frlmipval
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmphl.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2 frlmphl.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 frlmphl.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑌)
41, 2, 3frlmbasmap 20453 . . . . . 6 ((𝐼𝑊𝐹𝑉) → 𝐹 ∈ (𝐵m 𝐼))
54ad2ant2r 746 . . . . 5 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → 𝐹 ∈ (𝐵m 𝐼))
6 elmapi 8414 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝐹:𝐼𝐵)
7 ffn 6488 . . . . 5 (𝐹:𝐼𝐵𝐹 Fn 𝐼)
85, 6, 73syl 18 . . . 4 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → 𝐹 Fn 𝐼)
91, 2, 3frlmbasmap 20453 . . . . . 6 ((𝐼𝑊𝐺𝑉) → 𝐺 ∈ (𝐵m 𝐼))
109ad2ant2rl 748 . . . . 5 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → 𝐺 ∈ (𝐵m 𝐼))
11 elmapi 8414 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝐺:𝐼𝐵)
12 ffn 6488 . . . . 5 (𝐺:𝐼𝐵𝐺 Fn 𝐼)
1310, 11, 123syl 18 . . . 4 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → 𝐺 Fn 𝐼)
14 simpll 766 . . . 4 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → 𝐼𝑊)
15 inidm 4145 . . . 4 (𝐼𝐼) = 𝐼
16 eqidd 2799 . . . 4 ((((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
17 eqidd 2799 . . . 4 ((((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
188, 13, 14, 14, 15, 16, 17offval 7398 . . 3 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝐹f · 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))))
1918oveq2d 7152 . 2 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝑅 Σg (𝐹f · 𝐺)) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))))
20 ovexd 7171 . . 3 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))) ∈ V)
21 fveq1 6645 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑥) = (𝐹𝑥))
2221oveq1d 7151 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥)) = ((𝐹𝑥) · (𝑔𝑥)))
2322mpteq2dv 5127 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝑔𝑥))))
2423oveq2d 7152 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝑔𝑥)))))
25 fveq1 6645 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (𝑔𝑥) = (𝐺𝑥))
2625oveq2d 7152 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → ((𝐹𝑥) · (𝑔𝑥)) = ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))
2726mpteq2dv 5127 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))))
2827oveq2d 7152 . . . 4 (𝑔 = 𝐺 → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝑔𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))))
29 eqid 2798 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝐵m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))))) = (𝑓 ∈ (𝐵m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥)))))
3024, 28, 29ovmpog 7290 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝐺 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))) ∈ V) → (𝐹(𝑓 ∈ (𝐵m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥)))))𝐺) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))))
315, 10, 20, 30syl3anc 1368 . 2 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝐹(𝑓 ∈ (𝐵m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥)))))𝐺) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))))
32 frlmphl.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
331, 2, 32frlmip 20472 . . . . 5 ((𝐼𝑊𝑅𝑋) → (𝑓 ∈ (𝐵m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))))) = (·𝑖𝑌))
3433adantr 484 . . . 4 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝑓 ∈ (𝐵m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))))) = (·𝑖𝑌))
35 frlmphl.j . . . 4 , = (·𝑖𝑌)
3634, 35eqtr4di 2851 . . 3 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝑓 ∈ (𝐵m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))))) = , )
3736oveqd 7153 . 2 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝐹(𝑓 ∈ (𝐵m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥)))))𝐺) = (𝐹 , 𝐺))
3819, 31, 373eqtr2rd 2840 1 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝐹 , 𝐺) = (𝑅 Σg (𝐹f · 𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ↦ cmpt 5111   Fn wfn 6320  ⟶wf 6321  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136   ∈ cmpo 7138   ∘f cof 7389   ↑m cmap 8392  Basecbs 16478  .rcmulr 16561  ·𝑖cip 16565   Σg cgsu 16709   freeLMod cfrlm 20440 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-of 7391  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-supp 7817  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-ixp 8448  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fsupp 8821  df-sup 8893  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-z 11973  df-dec 12090  df-uz 12235  df-fz 12889  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-prds 16716  df-pws 16718  df-sra 19941  df-rgmod 19942  df-dsmm 20426  df-frlm 20441 This theorem is referenced by:  frlmphl  20475  rrxcph  24006
 Copyright terms: Public domain W3C validator