Theorem frlmipval 21716

Description: The inner product of a free module. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmphl.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmphl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
frlmphl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
frlmphl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑌)
frlmphl.j	⊢ , = (·𝑖‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
frlmipval	⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → (𝐹 , 𝐺) = (𝑅 Σg (𝐹 ∘f · 𝐺)))

Proof of Theorem frlmipval

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmphl.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2		frlmphl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		frlmphl.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑌)
4	1, 2, 3	frlmbasmap 21696	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
5	4	ad2ant2r 747	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
6		elmapi 8773	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
7		ffn 6651	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐼⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐼)
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → 𝐹 Fn 𝐼)
9	1, 2, 3	frlmbasmap 21696	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
10	9	ad2ant2rl 749	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
11		elmapi 8773	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝐺:𝐼⟶𝐵)
12		ffn 6651	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝐼⟶𝐵 → 𝐺 Fn 𝐼)
13	10, 11, 12	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → 𝐺 Fn 𝐼)
14		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → 𝐼 ∈ 𝑊)
15		inidm 4174	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
16		eqidd 2732	. . . 4 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
17		eqidd 2732	. . . 4 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
18	8, 13, 14, 14, 15, 16, 17	offval 7619	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → (𝐹 ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
19	18	oveq2d 7362	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → (𝑅 Σg (𝐹 ∘f · 𝐺)) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))))
20		ovexd 7381	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))) ∈ V)
21		fveq1 6821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
22	21	oveq1d 7361	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))
23	22	mpteq2dv 5183	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))
24	23	oveq2d 7362	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))))
25		fveq1 6821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
26	25	oveq2d 7362	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝐹‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))
27	26	mpteq2dv 5183	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
28	27	oveq2d 7362	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))))
29		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))) = (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))))
30	24, 28, 29	ovmpog 7505	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝐺 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))) ∈ V) → (𝐹(𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))))𝐺) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))))
31	5, 10, 20, 30	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → (𝐹(𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))))𝐺) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))))
32		frlmphl.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
33	1, 2, 32	frlmip 21715	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))) = (·𝑖‘𝑌))
34	33	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))) = (·𝑖‘𝑌))
35		frlmphl.j	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑌)
36	34, 35	eqtr4di 2784	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))) = , )
37	36	oveqd 7363	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → (𝐹(𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))))𝐺) = (𝐹 , 𝐺))
38	19, 31, 37	3eqtr2rd 2773	1 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → (𝐹 , 𝐺) = (𝑅 Σg (𝐹 ∘f · 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ↦ cmpt 5170   Fn wfn 6476  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∈ cmpo 7348   ∘_f cof 7608   ↑_m cmap 8750  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162  ·_𝑖cip 17166   Σ_g cgsu 17344   freeLMod cfrlm 21683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-prds 17351  df-pws 17353  df-sra 21107  df-rgmod 21108  df-dsmm 21669  df-frlm 21684

This theorem is referenced by:  frlmphl  21718  rrxcph  25319