MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmipval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmipval 21674
Description: The inner product of a free module. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmphl.y ๐‘Œ = (๐‘… freeLMod ๐ผ)
frlmphl.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
frlmphl.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
frlmphl.v ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘Œ)
frlmphl.j , = (ยท๐‘–โ€˜๐‘Œ)
Assertion
Ref Expression
frlmipval (((๐ผ โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐น โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐บ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐น , ๐บ) = (๐‘… ฮฃg (๐น โˆ˜f ยท ๐บ)))

Proof of Theorem frlmipval
Dummy variables ๐‘“ ๐‘” ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmphl.y . . . . . . 7 ๐‘Œ = (๐‘… freeLMod ๐ผ)
2 frlmphl.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
3 frlmphl.v . . . . . . 7 ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘Œ)
41, 2, 3frlmbasmap 21654 . . . . . 6 ((๐ผ โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐น โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐น โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐ผ))
54ad2ant2r 744 . . . . 5 (((๐ผ โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐น โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐บ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐น โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐ผ))
6 elmapi 8845 . . . . 5 (๐น โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐ผ) โ†’ ๐น:๐ผโŸถ๐ต)
7 ffn 6711 . . . . 5 (๐น:๐ผโŸถ๐ต โ†’ ๐น Fn ๐ผ)
85, 6, 73syl 18 . . . 4 (((๐ผ โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐น โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐บ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐น Fn ๐ผ)
91, 2, 3frlmbasmap 21654 . . . . . 6 ((๐ผ โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐บ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐บ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐ผ))
109ad2ant2rl 746 . . . . 5 (((๐ผ โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐น โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐บ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐บ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐ผ))
11 elmapi 8845 . . . . 5 (๐บ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐ผ) โ†’ ๐บ:๐ผโŸถ๐ต)
12 ffn 6711 . . . . 5 (๐บ:๐ผโŸถ๐ต โ†’ ๐บ Fn ๐ผ)
1310, 11, 123syl 18 . . . 4 (((๐ผ โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐น โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐บ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐บ Fn ๐ผ)
14 simpll 764 . . . 4 (((๐ผ โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐น โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐บ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
15 inidm 4213 . . . 4 (๐ผ โˆฉ ๐ผ) = ๐ผ
16 eqidd 2727 . . . 4 ((((๐ผ โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐น โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐บ โˆˆ ๐‘‰)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = (๐นโ€˜๐‘ฅ))
17 eqidd 2727 . . . 4 ((((๐ผ โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐น โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐บ โˆˆ ๐‘‰)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ฅ) = (๐บโ€˜๐‘ฅ))
188, 13, 14, 14, 15, 16, 17offval 7676 . . 3 (((๐ผ โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐น โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐บ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐น โˆ˜f ยท ๐บ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (๐บโ€˜๐‘ฅ))))
1918oveq2d 7421 . 2 (((๐ผ โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐น โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐บ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐น โˆ˜f ยท ๐บ)) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (๐บโ€˜๐‘ฅ)))))
20 ovexd 7440 . . 3 (((๐ผ โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐น โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐บ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (๐บโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ V)
21 fveq1 6884 . . . . . . 7 (๐‘“ = ๐น โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘ฅ) = (๐นโ€˜๐‘ฅ))
2221oveq1d 7420 . . . . . 6 (๐‘“ = ๐น โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฅ)))
2322mpteq2dv 5243 . . . . 5 (๐‘“ = ๐น โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฅ))))
2423oveq2d 7421 . . . 4 (๐‘“ = ๐น โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฅ)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฅ)))))
25 fveq1 6884 . . . . . . 7 (๐‘” = ๐บ โ†’ (๐‘”โ€˜๐‘ฅ) = (๐บโ€˜๐‘ฅ))
2625oveq2d 7421 . . . . . 6 (๐‘” = ๐บ โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (๐บโ€˜๐‘ฅ)))
2726mpteq2dv 5243 . . . . 5 (๐‘” = ๐บ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (๐บโ€˜๐‘ฅ))))
2827oveq2d 7421 . . . 4 (๐‘” = ๐บ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฅ)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (๐บโ€˜๐‘ฅ)))))
29 eqid 2726 . . . 4 (๐‘“ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐ผ), ๐‘” โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐ผ) โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฅ))))) = (๐‘“ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐ผ), ๐‘” โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐ผ) โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฅ)))))
3024, 28, 29ovmpog 7563 . . 3 ((๐น โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐ผ) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐ผ) โˆง (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (๐บโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ V) โ†’ (๐น(๐‘“ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐ผ), ๐‘” โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐ผ) โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฅ)))))๐บ) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (๐บโ€˜๐‘ฅ)))))
315, 10, 20, 30syl3anc 1368 . 2 (((๐ผ โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐น โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐บ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐น(๐‘“ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐ผ), ๐‘” โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐ผ) โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฅ)))))๐บ) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (๐บโ€˜๐‘ฅ)))))
32 frlmphl.t . . . . . 6 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
331, 2, 32frlmip 21673 . . . . 5 ((๐ผ โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘“ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐ผ), ๐‘” โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐ผ) โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฅ))))) = (ยท๐‘–โ€˜๐‘Œ))
3433adantr 480 . . . 4 (((๐ผ โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐น โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐บ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘“ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐ผ), ๐‘” โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐ผ) โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฅ))))) = (ยท๐‘–โ€˜๐‘Œ))
35 frlmphl.j . . . 4 , = (ยท๐‘–โ€˜๐‘Œ)
3634, 35eqtr4di 2784 . . 3 (((๐ผ โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐น โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐บ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘“ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐ผ), ๐‘” โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐ผ) โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฅ))))) = , )
3736oveqd 7422 . 2 (((๐ผ โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐น โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐บ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐น(๐‘“ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐ผ), ๐‘” โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐ผ) โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘”โ€˜๐‘ฅ)))))๐บ) = (๐น , ๐บ))
3819, 31, 373eqtr2rd 2773 1 (((๐ผ โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐น โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐บ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐น , ๐บ) = (๐‘… ฮฃg (๐น โˆ˜f ยท ๐บ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3468   โ†ฆ cmpt 5224   Fn wfn 6532  โŸถwf 6533  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โˆˆ cmpo 7407   โˆ˜f cof 7665   โ†‘m cmap 8822  Basecbs 17153  .rcmulr 17207  ยท๐‘–cip 17211   ฮฃg cgsu 17395   freeLMod cfrlm 21641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-prds 17402  df-pws 17404  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-dsmm 21627  df-frlm 21642
This theorem is referenced by:  frlmphl  21676  rrxcph  25275
  Copyright terms: Public domain W3C validator