Theorem frlmipval 21334

Description: The inner product of a free module. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmphl.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmphl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
frlmphl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
frlmphl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑌)
frlmphl.j	⊢ , = (·𝑖‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
frlmipval	⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → (𝐹 , 𝐺) = (𝑅 Σg (𝐹 ∘f · 𝐺)))

Proof of Theorem frlmipval

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmphl.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2		frlmphl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		frlmphl.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑌)
4	1, 2, 3	frlmbasmap 21314	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
5	4	ad2ant2r 746	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
6		elmapi 8843	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
7		ffn 6718	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐼⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐼)
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → 𝐹 Fn 𝐼)
9	1, 2, 3	frlmbasmap 21314	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
10	9	ad2ant2rl 748	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
11		elmapi 8843	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝐺:𝐼⟶𝐵)
12		ffn 6718	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝐼⟶𝐵 → 𝐺 Fn 𝐼)
13	10, 11, 12	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → 𝐺 Fn 𝐼)
14		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → 𝐼 ∈ 𝑊)
15		inidm 4219	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
16		eqidd 2734	. . . 4 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
17		eqidd 2734	. . . 4 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
18	8, 13, 14, 14, 15, 16, 17	offval 7679	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → (𝐹 ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
19	18	oveq2d 7425	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → (𝑅 Σg (𝐹 ∘f · 𝐺)) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))))
20		ovexd 7444	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))) ∈ V)
21		fveq1 6891	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
22	21	oveq1d 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))
23	22	mpteq2dv 5251	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))
24	23	oveq2d 7425	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))))
25		fveq1 6891	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
26	25	oveq2d 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝐹‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))
27	26	mpteq2dv 5251	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
28	27	oveq2d 7425	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))))
29		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))) = (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))))
30	24, 28, 29	ovmpog 7567	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝐺 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))) ∈ V) → (𝐹(𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))))𝐺) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))))
31	5, 10, 20, 30	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → (𝐹(𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))))𝐺) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))))
32		frlmphl.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
33	1, 2, 32	frlmip 21333	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))) = (·𝑖‘𝑌))
34	33	adantr 482	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))) = (·𝑖‘𝑌))
35		frlmphl.j	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑌)
36	34, 35	eqtr4di 2791	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))) = , )
37	36	oveqd 7426	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → (𝐹(𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))))𝐺) = (𝐹 , 𝐺))
38	19, 31, 37	3eqtr2rd 2780	1 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → (𝐹 , 𝐺) = (𝑅 Σg (𝐹 ∘f · 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ↦ cmpt 5232   Fn wfn 6539  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411   ∘_f cof 7668   ↑_m cmap 8820  Basecbs 17144  ._rcmulr 17198  ·_𝑖cip 17202   Σ_g cgsu 17386   freeLMod cfrlm 21301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-prds 17393  df-pws 17395  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-dsmm 21287  df-frlm 21302

This theorem is referenced by:  frlmphl  21336  rrxcph  24909