Theorem imsmet 29944

Description: The induced metric of a normed complex vector space is a metric space. Part of Definition 2.2-1 of [Kreyszig] p. 58. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
imsmet.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
imsmet.8	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
imsmet	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem imsmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imsmet.8	. 2 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
2		fveq2 6892	. . . 4 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (IndMet‘𝑈) = (IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
3		imsmet.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4		fveq2 6892	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
5	3, 4	eqtrid 2785	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝑋 = (BaseSet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
6	5	fveq2d 6896	. . . 4 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (Met‘𝑋) = (Met‘(BaseSet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))))
7	2, 6	eleq12d 2828	. . 3 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((IndMet‘𝑈) ∈ (Met‘𝑋) ↔ (IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) ∈ (Met‘(BaseSet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))))
8		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (BaseSet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
9		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = ( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
10		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (inv‘( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))) = (inv‘( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
11		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = ( ·𝑠OLD ‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
12		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (0vec‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (0vec‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
13		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (normCV‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (normCV‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
14		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
15		elimnvu 29937	. . . 4 ⊢ if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) ∈ NrmCVec
16	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	imsmetlem 29943	. . 3 ⊢ (IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) ∈ (Met‘(BaseSet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
17	7, 16	dedth 4587	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (IndMet‘𝑈) ∈ (Met‘𝑋))
18	1, 17	eqeltrid 2838	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ifcif 4529  ⟨cop 4635  ‘cfv 6544   + caddc 11113   · cmul 11115  abscabs 15181  Metcmet 20930  invcgn 29744  NrmCVeccnv 29837   +_𝑣 cpv 29838  BaseSetcba 29839   ·_𝑠OLD cns 29840  0_veccn0v 29841  norm_CVcnmcv 29843  IndMetcims 29844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-met 20938  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-gdiv 29749  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-vs 29852  df-nmcv 29853  df-ims 29854

This theorem is referenced by:  imsxmet  29945  vacn  29947  nmcvcn  29948  smcnlem  29950  blocni  30058  minvecolem2  30128  minvecolem3  30129  minvecolem4a  30130  minvecolem4  30133  minvecolem7  30136  hhmet  30427  hhssmet  30529