Theorem imsmet 29039

Description: The induced metric of a normed complex vector space is a metric space. Part of Definition 2.2-1 of [Kreyszig] p. 58. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
imsmet.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
imsmet.8	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
imsmet	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem imsmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imsmet.8	. 2 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
2		fveq2 6767	. . . 4 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (IndMet‘𝑈) = (IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
3		imsmet.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4		fveq2 6767	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
5	3, 4	eqtrid 2790	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝑋 = (BaseSet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
6	5	fveq2d 6771	. . . 4 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (Met‘𝑋) = (Met‘(BaseSet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))))
7	2, 6	eleq12d 2833	. . 3 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((IndMet‘𝑈) ∈ (Met‘𝑋) ↔ (IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) ∈ (Met‘(BaseSet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))))
8		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (BaseSet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
9		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = ( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
10		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (inv‘( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))) = (inv‘( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
11		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = ( ·𝑠OLD ‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
12		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0vec‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (0vec‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
13		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (normCV‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (normCV‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
14		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
15		elimnvu 29032	. . . 4 ⊢ if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) ∈ NrmCVec
16	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	imsmetlem 29038	. . 3 ⊢ (IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) ∈ (Met‘(BaseSet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
17	7, 16	dedth 4518	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (IndMet‘𝑈) ∈ (Met‘𝑋))
18	1, 17	eqeltrid 2843	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ifcif 4460  ⟨cop 4568  ‘cfv 6427   + caddc 10862   · cmul 10864  abscabs 14933  Metcmet 20571  invcgn 28839  NrmCVeccnv 28932   +_𝑣 cpv 28933  BaseSetcba 28934   ·_𝑠OLD cns 28935  0_veccn0v 28936  norm_CVcnmcv 28938  IndMetcims 28939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936  ax-pre-sup 10937  ax-addf 10938  ax-mulf 10939

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-er 8486  df-map 8605  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-sup 9189  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-div 11621  df-nn 11962  df-2 12024  df-3 12025  df-n0 12222  df-z 12308  df-uz 12571  df-rp 12719  df-seq 13710  df-exp 13771  df-cj 14798  df-re 14799  df-im 14800  df-sqrt 14934  df-abs 14935  df-met 20579  df-grpo 28841  df-gid 28842  df-ginv 28843  df-gdiv 28844  df-ablo 28893  df-vc 28907  df-nv 28940  df-va 28943  df-ba 28944  df-sm 28945  df-0v 28946  df-vs 28947  df-nmcv 28948  df-ims 28949

This theorem is referenced by:  imsxmet  29040  vacn  29042  nmcvcn  29043  smcnlem  29045  blocni  29153  minvecolem2  29223  minvecolem3  29224  minvecolem4a  29225  minvecolem4  29228  minvecolem7  29231  hhmet  29522  hhssmet  29624