Theorem hhssmet 31699

Description: Induced metric of a subspace. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhssims2.1	⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
hhssims2.3	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
hhssims2.2	⊢ 𝐻 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
hhssmet	⊢ 𝐷 ∈ (Met‘𝐻)

Proof of Theorem hhssmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhssims2.1	. . 3 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
2		hhssims2.2	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
3	1, 2	hhssnv 31687	. 2 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
4	1, 2	hhssba 31694	. . 3 ⊢ 𝐻 = (BaseSet‘𝑊)
5		hhssims2.3	. . 3 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
6	4, 5	imsmet 31114	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (Met‘𝐻))
7	3, 6	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐷 ∈ (Met‘𝐻)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4597   × cxp 5661   ↾ cres 5665  ‘cfv 6540  ℂcc 11113  Metcmet 21558  NrmCVeccnv 31007  IndMetcims 31014   +_ℎ cva 31343   ·_ℎ csm 31344  norm_ℎcno 31346   S_ℋ csh 31351

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193  ax-addf 11194  ax-mulf 11195  ax-hilex 31422  ax-hfvadd 31423  ax-hvcom 31424  ax-hvass 31425  ax-hv0cl 31426  ax-hvaddid 31427  ax-hfvmul 31428  ax-hvmulid 31429  ax-hvmulass 31430  ax-hvdistr1 31431  ax-hvdistr2 31432  ax-hvmul0 31433  ax-hfi 31502  ax-his1 31505  ax-his2 31506  ax-his3 31507  ax-his4 31508

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13153  df-xadd 13154  df-xmul 13155  df-icc 13395  df-seq 14056  df-exp 14116  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-topgen 17518  df-psmet 21564  df-xmet 21565  df-met 21566  df-bl 21567  df-mopn 21568  df-top 23101  df-topon 23118  df-bases 23153  df-lm 23436  df-haus 23522  df-grpo 30916  df-gid 30917  df-ginv 30918  df-gdiv 30919  df-ablo 30968  df-vc 30982  df-nv 31015  df-va 31018  df-ba 31019  df-sm 31020  df-0v 31021  df-vs 31022  df-nmcv 31023  df-ims 31024  df-ssp 31145  df-hnorm 31391  df-hba 31392  df-hvsub 31394  df-hlim 31395  df-sh 31630  df-ch 31644  df-ch0 31676

This theorem is used by:  hhsscms  31701