Theorem iccnct 45461

Description: A closed interval, with more than one element is uncountable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccnct.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
iccnct.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
iccnct.l	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
iccnct.c	⊢ 𝐶 = (𝐴[,]𝐵)

Assertion

Ref	Expression
iccnct	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ≼ ω)

Proof of Theorem iccnct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccnct.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		iccnct.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		iccnct.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
4		eqid 2740	. . 3 ⊢ (𝐴(,)𝐵) = (𝐴(,)𝐵)
5	1, 2, 3, 4	ioonct 45457	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴(,)𝐵) ≼ ω)
6		ioossicc 13495	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
7		iccnct.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝐴[,]𝐵)
8	6, 7	sseqtrri 4046	. . 3 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐶
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐶)
10	5, 9	ssnct 44981	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ≼ ω)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  (class class class)co 7450  ωcom 7905   ≼ cdom 9003  ℝ^*cxr 11325   < clt 11326  (,)cioo 13409  [,]cicc 13412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-inf2 9712  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263  ax-pre-sup 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-isom 6584  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-2o 8525  df-oadd 8528  df-omul 8529  df-er 8765  df-map 8888  df-pm 8889  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-sup 9513  df-inf 9514  df-oi 9581  df-card 10010  df-acn 10013  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11950  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-n0 12556  df-z 12642  df-uz 12906  df-q 13016  df-rp 13060  df-xneg 13177  df-xadd 13178  df-xmul 13179  df-ioo 13413  df-ico 13415  df-icc 13416  df-fz 13570  df-fzo 13714  df-fl 13845  df-seq 14055  df-exp 14115  df-hash 14382  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-limsup 15519  df-clim 15536  df-rlim 15537  df-sum 15737  df-topgen 17505  df-psmet 21381  df-xmet 21382  df-met 21383  df-bl 21384  df-mopn 21385  df-top 22923  df-topon 22940  df-bases 22976  df-ntr 23051

This theorem is referenced by:  salexct2  46262