MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ipf 29961
Description: Mapping for the inner product operation. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcl.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
ipcl.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
ipf (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑃:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„‚)
Proof of Theorem ipf
Dummy variables π‘˜ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipcl.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 eqid 2732 . . . . . . 7 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
3 eqid 2732 . . . . . . 7 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
4 eqid 2732 . . . . . . 7 (normCVβ€˜π‘ˆ) = (normCVβ€˜π‘ˆ)
5 ipcl.7 . . . . . . 7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
61, 2, 3, 4, 5ipval 29951 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝑃𝑦) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2)) / 4))
71, 5dipcl 29960 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝑃𝑦) ∈ β„‚)
86, 7eqeltrrd 2834 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2)) / 4) ∈ β„‚)
983expib 1122 . . . 4 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2)) / 4) ∈ β„‚))
109ralrimivv 3198 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2)) / 4) ∈ β„‚)
11 eqid 2732 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2)) / 4)) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2)) / 4))
1211fmpo 8053 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2)) / 4) ∈ β„‚ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2)) / 4)):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„‚)
1310, 12sylib 217 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2)) / 4)):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„‚)
141, 2, 3, 4, 5dipfval 29950 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑃 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2)) / 4)))
1514feq1d 6702 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (𝑃:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„‚ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2)) / 4)):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„‚))
1613, 15mpbird 256 1 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑃:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   Γ— cxp 5674  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  β„‚cc 11107  1c1 11110  ici 11111   Β· cmul 11114   / cdiv 11870  2c2 12266  4c4 12268  ...cfz 13483  β†‘cexp 14026  Ξ£csu 15631  NrmCVeccnv 29832   +𝑣 cpv 29833  BaseSetcba 29834   ·𝑠OLD cns 29835  normCVcnmcv 29838  Β·π‘–OLDcdip 29948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-sum 15632  df-grpo 29741  df-ablo 29793  df-vc 29807  df-nv 29840  df-va 29843  df-ba 29844  df-sm 29845  df-0v 29846  df-nmcv 29848  df-dip 29949
This theorem is referenced by:  hlipf  30158  hhip  30425
  Copyright terms: Public domain W3C validator