MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipf 29697
Description: Mapping for the inner product operation. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcl.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
ipcl.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
ipf (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑃:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„‚)

Proof of Theorem ipf
Dummy variables π‘˜ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipcl.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 eqid 2733 . . . . . . 7 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
3 eqid 2733 . . . . . . 7 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
4 eqid 2733 . . . . . . 7 (normCVβ€˜π‘ˆ) = (normCVβ€˜π‘ˆ)
5 ipcl.7 . . . . . . 7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
61, 2, 3, 4, 5ipval 29687 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝑃𝑦) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2)) / 4))
71, 5dipcl 29696 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝑃𝑦) ∈ β„‚)
86, 7eqeltrrd 2835 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2)) / 4) ∈ β„‚)
983expib 1123 . . . 4 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2)) / 4) ∈ β„‚))
109ralrimivv 3192 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2)) / 4) ∈ β„‚)
11 eqid 2733 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2)) / 4)) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2)) / 4))
1211fmpo 8001 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2)) / 4) ∈ β„‚ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2)) / 4)):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„‚)
1310, 12sylib 217 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2)) / 4)):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„‚)
141, 2, 3, 4, 5dipfval 29686 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑃 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2)) / 4)))
1514feq1d 6654 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (𝑃:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„‚ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2)) / 4)):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„‚))
1613, 15mpbird 257 1 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑃:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   Γ— cxp 5632  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  β„‚cc 11054  1c1 11057  ici 11058   Β· cmul 11061   / cdiv 11817  2c2 12213  4c4 12215  ...cfz 13430  β†‘cexp 13973  Ξ£csu 15576  NrmCVeccnv 29568   +𝑣 cpv 29569  BaseSetcba 29570   ·𝑠OLD cns 29571  normCVcnmcv 29574  Β·π‘–OLDcdip 29684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-grpo 29477  df-ablo 29529  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-nmcv 29584  df-dip 29685
This theorem is referenced by:  hlipf  29894  hhip  30161
  Copyright terms: Public domain W3C validator