Theorem dmatsgrp 22222

Description: The set of diagonal matrices is a subgroup of the matrix group/algebra. (Contributed by AV, 19-Aug-2019.) (Revised by AV, 18-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmatid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
dmatid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
dmatid.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
dmatid.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dmatsgrp	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴))

Proof of Theorem dmatsgrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmatid.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		dmatid.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		dmatid.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		dmatid.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
5	1, 2, 3, 4	dmatmat 22217	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑧 ∈ 𝐷 → 𝑧 ∈ 𝐵))
6	5	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑧 ∈ 𝐷 → 𝑧 ∈ 𝐵))
7	6	ssrdv 3988	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ⊆ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4	dmatid 22218	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐷)
9	8	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐷)
10	9	ne0d 4335	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ≠ ∅)
11	1, 2, 3, 4	dmatsubcl 22221	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥(-g‘𝐴)𝑦) ∈ 𝐷)
12	11	ancom1s 650	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥(-g‘𝐴)𝑦) ∈ 𝐷)
13	12	ralrimivva 3199	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(-g‘𝐴)𝑦) ∈ 𝐷)
14	1	matring 22166	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
15	14	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Ring)
16		ringgrp 20133	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 ∈ Grp)
17		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐴) = (-g‘𝐴)
18	2, 17	issubg4 19062	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Grp → (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴) ↔ (𝐷 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐷 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(-g‘𝐴)𝑦) ∈ 𝐷)))
19	15, 16, 18	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴) ↔ (𝐷 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐷 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(-g‘𝐴)𝑦) ∈ 𝐷)))
20	7, 10, 13, 19	mpbir3and 1341	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∀wral 3060   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Fincfn 8943  Basecbs 17149  0_gc0g 17390  Grpcgrp 18856  -_gcsg 18858  SubGrpcsubg 19037  1_rcur 20076  Ringcrg 20128   Mat cmat 22128   DMat cdmat 22211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-hash 14296  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-subrg 20460  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-dsmm 21507  df-frlm 21522  df-mamu 22107  df-mat 22129  df-dmat 22213

This theorem is referenced by:  dmatsrng  22224  scmatsgrp1  22245