Theorem dmatsgrp 21648

Description: The set of diagonal matrices is a subgroup of the matrix group/algebra. (Contributed by AV, 19-Aug-2019.) (Revised by AV, 18-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmatid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
dmatid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
dmatid.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
dmatid.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dmatsgrp	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴))

Proof of Theorem dmatsgrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmatid.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		dmatid.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		dmatid.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		dmatid.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
5	1, 2, 3, 4	dmatmat 21643	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑧 ∈ 𝐷 → 𝑧 ∈ 𝐵))
6	5	ancoms 459	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑧 ∈ 𝐷 → 𝑧 ∈ 𝐵))
7	6	ssrdv 3927	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ⊆ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4	dmatid 21644	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐷)
9	8	ancoms 459	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐷)
10	9	ne0d 4269	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ≠ ∅)
11	1, 2, 3, 4	dmatsubcl 21647	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥(-g‘𝐴)𝑦) ∈ 𝐷)
12	11	ancom1s 650	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥(-g‘𝐴)𝑦) ∈ 𝐷)
13	12	ralrimivva 3123	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(-g‘𝐴)𝑦) ∈ 𝐷)
14	1	matring 21592	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
15	14	ancoms 459	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Ring)
16		ringgrp 19788	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 ∈ Grp)
17		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐴) = (-g‘𝐴)
18	2, 17	issubg4 18774	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Grp → (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴) ↔ (𝐷 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐷 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(-g‘𝐴)𝑦) ∈ 𝐷)))
19	15, 16, 18	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴) ↔ (𝐷 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐷 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(-g‘𝐴)𝑦) ∈ 𝐷)))
20	7, 10, 13, 19	mpbir3and 1341	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  Basecbs 16912  0_gc0g 17150  Grpcgrp 18577  -_gcsg 18579  SubGrpcsubg 18749  1_rcur 19737  Ringcrg 19783   Mat cmat 21554   DMat cdmat 21637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-dsmm 20939  df-frlm 20954  df-mamu 21533  df-mat 21555  df-dmat 21639

This theorem is referenced by:  dmatsrng  21650  scmatsgrp1  21671