Theorem dmatsgrp 22435

Description: The set of diagonal matrices is a subgroup of the matrix group/algebra. (Contributed by AV, 19-Aug-2019.) (Revised by AV, 18-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmatid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
dmatid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
dmatid.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
dmatid.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dmatsgrp	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴))

Proof of Theorem dmatsgrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmatid.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		dmatid.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		dmatid.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		dmatid.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
5	1, 2, 3, 4	dmatmat 22430	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑧 ∈ 𝐷 → 𝑧 ∈ 𝐵))
6	5	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑧 ∈ 𝐷 → 𝑧 ∈ 𝐵))
7	6	ssrdv 3964	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ⊆ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4	dmatid 22431	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐷)
9	8	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐷)
10	9	ne0d 4317	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ≠ ∅)
11	1, 2, 3, 4	dmatsubcl 22434	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥(-g‘𝐴)𝑦) ∈ 𝐷)
12	11	ancom1s 653	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥(-g‘𝐴)𝑦) ∈ 𝐷)
13	12	ralrimivva 3187	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(-g‘𝐴)𝑦) ∈ 𝐷)
14	1	matring 22379	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
15	14	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Ring)
16		ringgrp 20196	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 ∈ Grp)
17		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐴) = (-g‘𝐴)
18	2, 17	issubg4 19126	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Grp → (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴) ↔ (𝐷 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐷 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(-g‘𝐴)𝑦) ∈ 𝐷)))
19	15, 16, 18	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴) ↔ (𝐷 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐷 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(-g‘𝐴)𝑦) ∈ 𝐷)))
20	7, 10, 13, 19	mpbir3and 1343	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  Fincfn 8957  Basecbs 17226  0_gc0g 17451  Grpcgrp 18914  -_gcsg 18916  SubGrpcsubg 19101  1_rcur 20139  Ringcrg 20191   Mat cmat 22343   DMat cdmat 22424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-ot 4610  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7669  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8717  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9372  df-sup 9452  df-oi 9522  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-seq 14018  df-hash 14347  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-hom 17293  df-cco 17294  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-prds 17459  df-pws 17461  df-mre 17596  df-mrc 17597  df-acs 17599  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-mhm 18759  df-submnd 18760  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-sbg 18919  df-mulg 19049  df-subg 19104  df-ghm 19194  df-cntz 19298  df-cmn 19761  df-abl 19762  df-mgp 20099  df-rng 20111  df-ur 20140  df-ring 20193  df-subrg 20528  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-sra 21129  df-rgmod 21130  df-dsmm 21690  df-frlm 21705  df-mamu 22327  df-mat 22344  df-dmat 22426

This theorem is referenced by:  dmatsrng  22437  scmatsgrp1  22458