Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmatsgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmatsgrp 21100
 Description: The set of diagonal matrices is a subgroup of the matrix group/algebra. (Contributed by AV, 19-Aug-2019.) (Revised by AV, 18-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmatid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
dmatid.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
dmatid.0 0 = (0g𝑅)
dmatid.d 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dmatsgrp ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴))

Proof of Theorem dmatsgrp
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmatid.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 dmatid.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
3 dmatid.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
4 dmatid.d . . . . 5 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
51, 2, 3, 4dmatmat 21095 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑧𝐷𝑧𝐵))
65ancoms 461 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑧𝐷𝑧𝐵))
76ssrdv 3971 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷𝐵)
81, 2, 3, 4dmatid 21096 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ 𝐷)
98ancoms 461 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (1r𝐴) ∈ 𝐷)
109ne0d 4299 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ≠ ∅)
111, 2, 3, 4dmatsubcl 21099 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥(-g𝐴)𝑦) ∈ 𝐷)
1211ancom1s 651 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥(-g𝐴)𝑦) ∈ 𝐷)
1312ralrimivva 3189 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥(-g𝐴)𝑦) ∈ 𝐷)
141matring 21044 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
1514ancoms 461 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Ring)
16 ringgrp 19294 . . 3 (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 ∈ Grp)
17 eqid 2819 . . . 4 (-g𝐴) = (-g𝐴)
182, 17issubg4 18290 . . 3 (𝐴 ∈ Grp → (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴) ↔ (𝐷𝐵𝐷 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥(-g𝐴)𝑦) ∈ 𝐷)))
1915, 16, 183syl 18 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴) ↔ (𝐷𝐵𝐷 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥(-g𝐴)𝑦) ∈ 𝐷)))
207, 10, 13, 19mpbir3and 1337 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1082   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   ≠ wne 3014  ∀wral 3136   ⊆ wss 3934  ∅c0 4289  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  Fincfn 8501  Basecbs 16475  0gc0g 16705  Grpcgrp 18095  -gcsg 18097  SubGrpcsubg 18265  1rcur 19243  Ringcrg 19289   Mat cmat 21008   DMat cdmat 21089 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-ot 4568  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-sup 8898  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-seq 13362  df-hash 13683  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-prds 16713  df-pws 16715  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-subrg 19525  df-lmod 19628  df-lss 19696  df-sra 19936  df-rgmod 19937  df-dsmm 20868  df-frlm 20883  df-mamu 20987  df-mat 21009  df-dmat 21091 This theorem is referenced by:  dmatsrng  21102  scmatsgrp1  21123
 Copyright terms: Public domain W3C validator