MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  konigsberglem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem konigsberglem4 28033
Description: Lemma 4 for konigsberg 28035: Vertices 0, 1, 3 are vertices of odd degree. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
konigsberg.v 𝑉 = (0...3)
konigsberg.e 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
konigsberg.g 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸
Assertion
Ref Expression
konigsberglem4 {0, 1, 3} ⊆ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐺
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem konigsberglem4
StepHypRef Expression
1 3nn0 11914 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
2 0elfz 13003 . . . . . 6 (3 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...3))
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 0 ∈ (0...3)
4 konigsberg.v . . . . 5 𝑉 = (0...3)
53, 4eleqtrri 2912 . . . 4 0 ∈ 𝑉
6 n2dvds3 15720 . . . . 5 ¬ 2 ∥ 3
7 konigsberg.e . . . . . . 7 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
8 konigsberg.g . . . . . . 7 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸
94, 7, 8konigsberglem1 28030 . . . . . 6 ((VtxDeg‘𝐺)‘0) = 3
109breq2i 5073 . . . . 5 (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘0) ↔ 2 ∥ 3)
116, 10mtbir 325 . . . 4 ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘0)
12 fveq2 6669 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) = ((VtxDeg‘𝐺)‘0))
1312breq2d 5077 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘0)))
1413notbid 320 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘0)))
1514elrab 3679 . . . 4 (0 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ↔ (0 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘0)))
165, 11, 15mpbir2an 709 . . 3 0 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}
17 1nn0 11912 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
18 1le3 11848 . . . . . 6 1 ≤ 3
19 elfz2nn0 12997 . . . . . 6 (1 ∈ (0...3) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 3))
2017, 1, 18, 19mpbir3an 1337 . . . . 5 1 ∈ (0...3)
2120, 4eleqtrri 2912 . . . 4 1 ∈ 𝑉
224, 7, 8konigsberglem2 28031 . . . . . 6 ((VtxDeg‘𝐺)‘1) = 3
2322breq2i 5073 . . . . 5 (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘1) ↔ 2 ∥ 3)
246, 23mtbir 325 . . . 4 ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘1)
25 fveq2 6669 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) = ((VtxDeg‘𝐺)‘1))
2625breq2d 5077 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘1)))
2726notbid 320 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘1)))
2827elrab 3679 . . . 4 (1 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ↔ (1 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘1)))
2921, 24, 28mpbir2an 709 . . 3 1 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}
30 3re 11716 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
3130leidi 11173 . . . . . 6 3 ≤ 3
32 elfz2nn0 12997 . . . . . 6 (3 ∈ (0...3) ↔ (3 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 3 ≤ 3))
331, 1, 31, 32mpbir3an 1337 . . . . 5 3 ∈ (0...3)
3433, 4eleqtrri 2912 . . . 4 3 ∈ 𝑉
354, 7, 8konigsberglem3 28032 . . . . . 6 ((VtxDeg‘𝐺)‘3) = 3
3635breq2i 5073 . . . . 5 (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘3) ↔ 2 ∥ 3)
376, 36mtbir 325 . . . 4 ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘3)
38 fveq2 6669 . . . . . . 7 (𝑥 = 3 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) = ((VtxDeg‘𝐺)‘3))
3938breq2d 5077 . . . . . 6 (𝑥 = 3 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘3)))
4039notbid 320 . . . . 5 (𝑥 = 3 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘3)))
4140elrab 3679 . . . 4 (3 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ↔ (3 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘3)))
4234, 37, 41mpbir2an 709 . . 3 3 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}
4316, 29, 423pm3.2i 1335 . 2 (0 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∧ 1 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∧ 3 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)})
44 c0ex 10634 . . 3 0 ∈ V
45 1ex 10636 . . 3 1 ∈ V
46 3ex 11718 . . 3 3 ∈ V
4744, 45, 46tpss 4767 . 2 ((0 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∧ 1 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∧ 3 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ↔ {0, 1, 3} ⊆ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)})
4843, 47mpbi 232 1 {0, 1, 3} ⊆ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  {crab 3142  wss 3935  {cpr 4568  {ctp 4570  cop 4572   class class class wbr 5065  cfv 6354  (class class class)co 7155  0cc0 10536  1c1 10537  cle 10675  2c2 11691  3c3 11692  0cn0 11896  ...cfz 12891  ⟨“cs7 14207  cdvds 15606  VtxDegcvtxdg 27246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-dju 9329  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-n0 11897  df-xnn0 11967  df-z 11981  df-uz 12243  df-xadd 12507  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-hash 13690  df-word 13861  df-concat 13922  df-s1 13949  df-s2 14209  df-s3 14210  df-s4 14211  df-s5 14212  df-s6 14213  df-s7 14214  df-dvds 15607  df-vtx 26782  df-iedg 26783  df-vtxdg 27247
This theorem is referenced by:  konigsberglem5  28034
  Copyright terms: Public domain W3C validator