Theorem konigsberglem4 29498

Description: Lemma 4 for konigsberg 29500: Vertices 0, 1, 3 are vertices of odd degree. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	⊢ 𝑉 = (0...3)
konigsberg.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
konigsberg.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
konigsberglem4	⊢ {0, 1, 3} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐺

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem konigsberglem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12487	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		0elfz 13595	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...3))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0...3)
4		konigsberg.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (0...3)
5	3, 4	eleqtrri 2833	. . . 4 ⊢ 0 ∈ 𝑉
6		n2dvds3 16311	. . . . 5 ⊢ ¬ 2 ∥ 3
7		konigsberg.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
8		konigsberg.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
9	4, 7, 8	konigsberglem1 29495	. . . . . 6 ⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘0) = 3
10	9	breq2i 5156	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘0) ↔ 2 ∥ 3)
11	6, 10	mtbir 323	. . . 4 ⊢ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘0)
12		fveq2 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) = ((VtxDeg‘𝐺)‘0))
13	12	breq2d 5160	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘0)))
14	13	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘0)))
15	14	elrab 3683	. . . 4 ⊢ (0 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ↔ (0 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘0)))
16	5, 11, 15	mpbir2an 710	. . 3 ⊢ 0 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}
17		1nn0 12485	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
18		1le3 12421	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ 3
19		elfz2nn0 13589	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (0...3) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 3))
20	17, 1, 18, 19	mpbir3an 1342	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (0...3)
21	20, 4	eleqtrri 2833	. . . 4 ⊢ 1 ∈ 𝑉
22	4, 7, 8	konigsberglem2 29496	. . . . . 6 ⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘1) = 3
23	22	breq2i 5156	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘1) ↔ 2 ∥ 3)
24	6, 23	mtbir 323	. . . 4 ⊢ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘1)
25		fveq2 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) = ((VtxDeg‘𝐺)‘1))
26	25	breq2d 5160	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘1)))
27	26	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘1)))
28	27	elrab 3683	. . . 4 ⊢ (1 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ↔ (1 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘1)))
29	21, 24, 28	mpbir2an 710	. . 3 ⊢ 1 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}
30		3re 12289	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
31	30	leidi 11745	. . . . . 6 ⊢ 3 ≤ 3
32		elfz2nn0 13589	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ (0...3) ↔ (3 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 3 ≤ 3))
33	1, 1, 31, 32	mpbir3an 1342	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ (0...3)
34	33, 4	eleqtrri 2833	. . . 4 ⊢ 3 ∈ 𝑉
35	4, 7, 8	konigsberglem3 29497	. . . . . 6 ⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘3) = 3
36	35	breq2i 5156	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘3) ↔ 2 ∥ 3)
37	6, 36	mtbir 323	. . . 4 ⊢ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘3)
38		fveq2 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 3 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) = ((VtxDeg‘𝐺)‘3))
39	38	breq2d 5160	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 3 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘3)))
40	39	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 3 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘3)))
41	40	elrab 3683	. . . 4 ⊢ (3 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ↔ (3 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘3)))
42	34, 37, 41	mpbir2an 710	. . 3 ⊢ 3 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}
43	16, 29, 42	3pm3.2i 1340	. 2 ⊢ (0 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∧ 1 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∧ 3 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)})
44		c0ex 11205	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
45		1ex 11207	. . 3 ⊢ 1 ∈ V
46		3ex 12291	. . 3 ⊢ 3 ∈ V
47	44, 45, 46	tpss 4838	. 2 ⊢ ((0 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∧ 1 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∧ 3 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ↔ {0, 1, 3} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)})
48	43, 47	mpbi 229	1 ⊢ {0, 1, 3} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433   ⊆ wss 3948  {cpr 4630  {ctp 4632  ⟨cop 4634   class class class wbr 5148  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  0cc0 11107  1c1 11108   ≤ cle 11246  2c2 12264  3c3 12265  ℕ₀cn0 12469  ...cfz 13481  ⟨“cs7 14794   ∥ cdvds 16194  VtxDegcvtxdg 28712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-oadd 8467  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-uz 12820  df-xadd 13090  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-hash 14288  df-word 14462  df-concat 14518  df-s1 14543  df-s2 14796  df-s3 14797  df-s4 14798  df-s5 14799  df-s6 14800  df-s7 14801  df-dvds 16195  df-vtx 28248  df-iedg 28249  df-vtxdg 28713

This theorem is referenced by:  konigsberglem5  29499