MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  konigsberglem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem konigsberglem4 27594
Description: Lemma 4 for konigsberg 27596: Vertices 0, 1, 3 are vertices of odd degree. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
konigsberg.v 𝑉 = (0...3)
konigsberg.e 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
konigsberg.g 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸
Assertion
Ref Expression
konigsberglem4 {0, 1, 3} ⊆ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐺
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem konigsberglem4
StepHypRef Expression
1 3nn0 11596 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
2 0elfz 12687 . . . . . 6 (3 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...3))
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 0 ∈ (0...3)
4 konigsberg.v . . . . 5 𝑉 = (0...3)
53, 4eleqtrri 2875 . . . 4 0 ∈ 𝑉
6 n2dvds3 15440 . . . . 5 ¬ 2 ∥ 3
7 konigsberg.e . . . . . . 7 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
8 konigsberg.g . . . . . . 7 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸
94, 7, 8konigsberglem1 27591 . . . . . 6 ((VtxDeg‘𝐺)‘0) = 3
109breq2i 4849 . . . . 5 (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘0) ↔ 2 ∥ 3)
116, 10mtbir 315 . . . 4 ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘0)
12 fveq2 6409 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) = ((VtxDeg‘𝐺)‘0))
1312breq2d 4853 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘0)))
1413notbid 310 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘0)))
1514elrab 3554 . . . 4 (0 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ↔ (0 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘0)))
165, 11, 15mpbir2an 703 . . 3 0 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}
17 1nn0 11594 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
18 1le3 11528 . . . . . 6 1 ≤ 3
19 elfz2nn0 12681 . . . . . 6 (1 ∈ (0...3) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 3))
2017, 1, 18, 19mpbir3an 1442 . . . . 5 1 ∈ (0...3)
2120, 4eleqtrri 2875 . . . 4 1 ∈ 𝑉
224, 7, 8konigsberglem2 27592 . . . . . 6 ((VtxDeg‘𝐺)‘1) = 3
2322breq2i 4849 . . . . 5 (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘1) ↔ 2 ∥ 3)
246, 23mtbir 315 . . . 4 ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘1)
25 fveq2 6409 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) = ((VtxDeg‘𝐺)‘1))
2625breq2d 4853 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘1)))
2726notbid 310 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘1)))
2827elrab 3554 . . . 4 (1 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ↔ (1 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘1)))
2921, 24, 28mpbir2an 703 . . 3 1 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}
30 3re 11389 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
3130leidi 10852 . . . . . 6 3 ≤ 3
32 elfz2nn0 12681 . . . . . 6 (3 ∈ (0...3) ↔ (3 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 3 ≤ 3))
331, 1, 31, 32mpbir3an 1442 . . . . 5 3 ∈ (0...3)
3433, 4eleqtrri 2875 . . . 4 3 ∈ 𝑉
354, 7, 8konigsberglem3 27593 . . . . . 6 ((VtxDeg‘𝐺)‘3) = 3
3635breq2i 4849 . . . . 5 (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘3) ↔ 2 ∥ 3)
376, 36mtbir 315 . . . 4 ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘3)
38 fveq2 6409 . . . . . . 7 (𝑥 = 3 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) = ((VtxDeg‘𝐺)‘3))
3938breq2d 4853 . . . . . 6 (𝑥 = 3 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘3)))
4039notbid 310 . . . . 5 (𝑥 = 3 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘3)))
4140elrab 3554 . . . 4 (3 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ↔ (3 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘3)))
4234, 37, 41mpbir2an 703 . . 3 3 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}
4316, 29, 423pm3.2i 1439 . 2 (0 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∧ 1 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∧ 3 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)})
44 c0ex 10320 . . 3 0 ∈ V
45 1ex 10322 . . 3 1 ∈ V
46 3ex 11392 . . 3 3 ∈ V
4744, 45, 46tpss 4552 . 2 ((0 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∧ 1 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∧ 3 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ↔ {0, 1, 3} ⊆ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)})
4843, 47mpbi 222 1 {0, 1, 3} ⊆ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  {crab 3091  wss 3767  {cpr 4368  {ctp 4370  cop 4372   class class class wbr 4841  cfv 6099  (class class class)co 6876  0cc0 10222  1c1 10223  cle 10362  2c2 11364  3c3 11365  0cn0 11576  ...cfz 12576  ⟨“cs7 13928  cdvds 15316  VtxDegcvtxdg 26707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-oadd 7801  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-card 9049  df-cda 9276  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-n0 11577  df-xnn0 11649  df-z 11663  df-uz 11927  df-xadd 12190  df-fz 12577  df-fzo 12717  df-hash 13367  df-word 13531  df-concat 13587  df-s1 13612  df-s2 13930  df-s3 13931  df-s4 13932  df-s5 13933  df-s6 13934  df-s7 13935  df-dvds 15317  df-vtx 26225  df-iedg 26226  df-vtxdg 26708
This theorem is referenced by:  konigsberglem5  27595
  Copyright terms: Public domain W3C validator