Theorem konigsberglem4 30234

Description: Lemma 4 for konigsberg 30236: Vertices 0, 1, 3 are vertices of odd degree. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	⊢ 𝑉 = (0...3)
konigsberg.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
konigsberg.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
konigsberglem4	⊢ {0, 1, 3} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐺

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem konigsberglem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12436	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		0elfz 13561	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...3))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0...3)
4		konigsberg.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (0...3)
5	3, 4	eleqtrri 2827	. . . 4 ⊢ 0 ∈ 𝑉
6		n2dvds3 16317	. . . . 5 ⊢ ¬ 2 ∥ 3
7		konigsberg.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
8		konigsberg.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
9	4, 7, 8	konigsberglem1 30231	. . . . . 6 ⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘0) = 3
10	9	breq2i 5110	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘0) ↔ 2 ∥ 3)
11	6, 10	mtbir 323	. . . 4 ⊢ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘0)
12		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) = ((VtxDeg‘𝐺)‘0))
13	12	breq2d 5114	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘0)))
14	13	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘0)))
15	14	elrab 3656	. . . 4 ⊢ (0 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ↔ (0 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘0)))
16	5, 11, 15	mpbir2an 711	. . 3 ⊢ 0 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}
17		1nn0 12434	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
18		1le3 12369	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ 3
19		elfz2nn0 13555	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (0...3) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 3))
20	17, 1, 18, 19	mpbir3an 1342	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (0...3)
21	20, 4	eleqtrri 2827	. . . 4 ⊢ 1 ∈ 𝑉
22	4, 7, 8	konigsberglem2 30232	. . . . . 6 ⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘1) = 3
23	22	breq2i 5110	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘1) ↔ 2 ∥ 3)
24	6, 23	mtbir 323	. . . 4 ⊢ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘1)
25		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) = ((VtxDeg‘𝐺)‘1))
26	25	breq2d 5114	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘1)))
27	26	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘1)))
28	27	elrab 3656	. . . 4 ⊢ (1 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ↔ (1 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘1)))
29	21, 24, 28	mpbir2an 711	. . 3 ⊢ 1 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}
30		3re 12242	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
31	30	leidi 11688	. . . . . 6 ⊢ 3 ≤ 3
32		elfz2nn0 13555	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ (0...3) ↔ (3 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 3 ≤ 3))
33	1, 1, 31, 32	mpbir3an 1342	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ (0...3)
34	33, 4	eleqtrri 2827	. . . 4 ⊢ 3 ∈ 𝑉
35	4, 7, 8	konigsberglem3 30233	. . . . . 6 ⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘3) = 3
36	35	breq2i 5110	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘3) ↔ 2 ∥ 3)
37	6, 36	mtbir 323	. . . 4 ⊢ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘3)
38		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 3 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) = ((VtxDeg‘𝐺)‘3))
39	38	breq2d 5114	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 3 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘3)))
40	39	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 3 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘3)))
41	40	elrab 3656	. . . 4 ⊢ (3 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ↔ (3 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘3)))
42	34, 37, 41	mpbir2an 711	. . 3 ⊢ 3 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}
43	16, 29, 42	3pm3.2i 1340	. 2 ⊢ (0 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∧ 1 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∧ 3 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)})
44		c0ex 11144	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
45		1ex 11146	. . 3 ⊢ 1 ∈ V
46		3ex 12244	. . 3 ⊢ 3 ∈ V
47	44, 45, 46	tpss 4797	. 2 ⊢ ((0 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∧ 1 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∧ 3 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ↔ {0, 1, 3} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)})
48	43, 47	mpbi 230	1 ⊢ {0, 1, 3} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3402   ⊆ wss 3911  {cpr 4587  {ctp 4589  ⟨cop 4591   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11044  1c1 11045   ≤ cle 11185  2c2 12217  3c3 12218  ℕ₀cn0 12418  ...cfz 13444  ⟨“cs7 14788   ∥ cdvds 16198  VtxDegcvtxdg 29446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-dju 9830  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-uz 12770  df-xadd 13049  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-hash 14272  df-word 14455  df-concat 14512  df-s1 14537  df-s2 14790  df-s3 14791  df-s4 14792  df-s5 14793  df-s6 14794  df-s7 14795  df-dvds 16199  df-vtx 28978  df-iedg 28979  df-vtxdg 29447

This theorem is referenced by:  konigsberglem5  30235