Theorem konigsberglem4 30344

Description: Lemma 4 for konigsberg 30346: Vertices 0, 1, 3 are vertices of odd degree. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	⊢ 𝑉 = (0...3)
konigsberg.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
konigsberg.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
konigsberglem4	⊢ {0, 1, 3} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐺

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem konigsberglem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12450	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		0elfz 13573	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...3))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0...3)
4		konigsberg.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (0...3)
5	3, 4	eleqtrri 2836	. . . 4 ⊢ 0 ∈ 𝑉
6		n2dvds3 16335	. . . . 5 ⊢ ¬ 2 ∥ 3
7		konigsberg.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
8		konigsberg.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
9	4, 7, 8	konigsberglem1 30341	. . . . . 6 ⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘0) = 3
10	9	breq2i 5094	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘0) ↔ 2 ∥ 3)
11	6, 10	mtbir 323	. . . 4 ⊢ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘0)
12		fveq2 6836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) = ((VtxDeg‘𝐺)‘0))
13	12	breq2d 5098	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘0)))
14	13	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘0)))
15	14	elrab 3635	. . . 4 ⊢ (0 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ↔ (0 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘0)))
16	5, 11, 15	mpbir2an 712	. . 3 ⊢ 0 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}
17		1nn0 12448	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
18		1le3 12383	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ 3
19		elfz2nn0 13567	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (0...3) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 3))
20	17, 1, 18, 19	mpbir3an 1343	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (0...3)
21	20, 4	eleqtrri 2836	. . . 4 ⊢ 1 ∈ 𝑉
22	4, 7, 8	konigsberglem2 30342	. . . . . 6 ⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘1) = 3
23	22	breq2i 5094	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘1) ↔ 2 ∥ 3)
24	6, 23	mtbir 323	. . . 4 ⊢ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘1)
25		fveq2 6836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) = ((VtxDeg‘𝐺)‘1))
26	25	breq2d 5098	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘1)))
27	26	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘1)))
28	27	elrab 3635	. . . 4 ⊢ (1 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ↔ (1 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘1)))
29	21, 24, 28	mpbir2an 712	. . 3 ⊢ 1 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}
30		3re 12256	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
31	30	leidi 11679	. . . . . 6 ⊢ 3 ≤ 3
32		elfz2nn0 13567	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ (0...3) ↔ (3 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 3 ≤ 3))
33	1, 1, 31, 32	mpbir3an 1343	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ (0...3)
34	33, 4	eleqtrri 2836	. . . 4 ⊢ 3 ∈ 𝑉
35	4, 7, 8	konigsberglem3 30343	. . . . . 6 ⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘3) = 3
36	35	breq2i 5094	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘3) ↔ 2 ∥ 3)
37	6, 36	mtbir 323	. . . 4 ⊢ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘3)
38		fveq2 6836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 3 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) = ((VtxDeg‘𝐺)‘3))
39	38	breq2d 5098	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 3 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘3)))
40	39	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 3 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘3)))
41	40	elrab 3635	. . . 4 ⊢ (3 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ↔ (3 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘3)))
42	34, 37, 41	mpbir2an 712	. . 3 ⊢ 3 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}
43	16, 29, 42	3pm3.2i 1341	. 2 ⊢ (0 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∧ 1 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∧ 3 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)})
44		c0ex 11133	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
45		1ex 11135	. . 3 ⊢ 1 ∈ V
46		3ex 12258	. . 3 ⊢ 3 ∈ V
47	44, 45, 46	tpss 4781	. 2 ⊢ ((0 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∧ 1 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∧ 3 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ↔ {0, 1, 3} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)})
48	43, 47	mpbi 230	1 ⊢ {0, 1, 3} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390   ⊆ wss 3890  {cpr 4570  {ctp 4572  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  0cc0 11033  1c1 11034   ≤ cle 11175  2c2 12231  3c3 12232  ℕ₀cn0 12432  ...cfz 13456  ⟨“cs7 14803   ∥ cdvds 16216  VtxDegcvtxdg 29553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-oadd 8404  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-uz 12784  df-xadd 13059  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-hash 14288  df-word 14471  df-concat 14528  df-s1 14554  df-s2 14805  df-s3 14806  df-s4 14807  df-s5 14808  df-s6 14809  df-s7 14810  df-dvds 16217  df-vtx 29085  df-iedg 29086  df-vtxdg 29554

This theorem is referenced by:  konigsberglem5  30345