Theorem lclkrlem2r 41052

Description: Lemma for lclkr 41061. When 𝐵 is zero, i.e. when 𝑋 and 𝑌 are colinear, the intersection of the kernels of 𝐸 and 𝐺 equal the kernel of 𝐺, so the kernels of 𝐺 and the sum are comparable. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrlem2m.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2m.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lclkrlem2m.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2m.q	⊢ × = (.r‘𝑆)
lclkrlem2m.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lclkrlem2m.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
lclkrlem2m.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
lclkrlem2m.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2m.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2m.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
lclkrlem2m.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2n.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lclkrlem2n.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2o.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.a	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
lclkrlem2o.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lclkrlem2q.le	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
lclkrlem2q.lg	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
lclkrlem2q.b	⊢ 𝐵 = (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
lclkrlem2q.n	⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
lclkrlem2r.bn	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (0g‘𝑈))

Assertion

Ref	Expression
lclkrlem2r	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lclkrlem2m.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
2		lclkrlem2m.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
3		lclkrlem2m.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
4		lclkrlem2m.q	. . . . 5 ⊢ × = (.r‘𝑆)
5		lclkrlem2m.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
6		lclkrlem2m.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
7		lclkrlem2m.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑈)
8		lclkrlem2m.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
9		lclkrlem2m.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
10		lclkrlem2m.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐷)
11		lclkrlem2m.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		lclkrlem2m.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
13		lclkrlem2m.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
14		lclkrlem2m.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
15		lclkrlem2n.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
16		lclkrlem2n.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
17		lclkrlem2o.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
18		lclkrlem2o.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
19		lclkrlem2o.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
20		lclkrlem2o.a	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
21		lclkrlem2o.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
22		lclkrlem2q.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
23		lclkrlem2q.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
24		lclkrlem2r.bn	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (0g‘𝑈))
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24	lclkrlem2p 41050	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{𝑌}) ⊆ ( ⊥ ‘{𝑋}))
26		lclkrlem2q.lg	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
27		lclkrlem2q.le	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
28	25, 26, 27	3sstr4d 4020	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝐸))
29		sseqin2 4209	. . 3 ⊢ ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝐸) ↔ ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) = (𝐿‘𝐺))
30	28, 29	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) = (𝐿‘𝐺))
31	17, 19, 21	dvhlmod 40638	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
32	8, 16, 9, 10, 31, 13, 14	lkrin 38691	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
33	30, 32	eqsstrrd 4012	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930   ∩ cin 3939   ⊆ wss 3940  {csn 4624  ‘cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  +_gcplusg 17230  ._rcmulr 17231  Scalarcsca 17233   ·_𝑠 cvsca 17234  0_gc0g 17418  -_gcsg 18894  LSSumclsm 19591  inv_rcinvr 20328  LSpanclspn 20857  LFnlclfn 38584  LKerclk 38612  LDualcld 38650  HLchlt 38877  LHypclh 39512  DVecHcdvh 40606  ocHcoch 40875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-riotaBAD 38480

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-undef 8275  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-0g 17420  df-proset 18284  df-poset 18302  df-plt 18319  df-lub 18335  df-glb 18336  df-join 18337  df-meet 18338  df-p0 18414  df-p1 18415  df-lat 18421  df-clat 18488  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-subg 19080  df-cntz 19270  df-lsm 19593  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-dvr 20342  df-drng 20628  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-lsp 20858  df-lvec 20990  df-lsatoms 38503  df-lfl 38585  df-lkr 38613  df-ldual 38651  df-oposet 38703  df-ol 38705  df-oml 38706  df-covers 38793  df-ats 38794  df-atl 38825  df-cvlat 38849  df-hlat 38878  df-llines 39026  df-lplanes 39027  df-lvols 39028  df-lines 39029  df-psubsp 39031  df-pmap 39032  df-padd 39324  df-lhyp 39516  df-laut 39517  df-ldil 39632  df-ltrn 39633  df-trl 39687  df-tendo 40283  df-edring 40285  df-disoa 40557  df-dvech 40607  df-dib 40667  df-dic 40701  df-dih 40757  df-doch 40876

This theorem is referenced by:  lclkrlem2s  41053