Theorem lclkrlem2r 37678

Description: Lemma for lclkr 37687. When 𝐵 is zero, i.e. when 𝑋 and 𝑌 are colinear, the intersection of the kernels of 𝐸 and 𝐺 equal the kernel of 𝐺, so the kernels of 𝐺 and the sum are comparable. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrlem2m.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2m.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lclkrlem2m.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2m.q	⊢ × = (.r‘𝑆)
lclkrlem2m.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lclkrlem2m.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
lclkrlem2m.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
lclkrlem2m.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2m.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2m.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
lclkrlem2m.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2n.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lclkrlem2n.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2o.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.a	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
lclkrlem2o.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lclkrlem2q.le	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
lclkrlem2q.lg	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
lclkrlem2q.b	⊢ 𝐵 = (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
lclkrlem2q.n	⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
lclkrlem2r.bn	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (0g‘𝑈))

Assertion

Ref	Expression
lclkrlem2r	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lclkrlem2m.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
2		lclkrlem2m.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
3		lclkrlem2m.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
4		lclkrlem2m.q	. . . . 5 ⊢ × = (.r‘𝑆)
5		lclkrlem2m.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
6		lclkrlem2m.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
7		lclkrlem2m.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑈)
8		lclkrlem2m.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
9		lclkrlem2m.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
10		lclkrlem2m.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐷)
11		lclkrlem2m.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		lclkrlem2m.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
13		lclkrlem2m.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
14		lclkrlem2m.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
15		lclkrlem2n.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
16		lclkrlem2n.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
17		lclkrlem2o.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
18		lclkrlem2o.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
19		lclkrlem2o.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
20		lclkrlem2o.a	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
21		lclkrlem2o.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
22		lclkrlem2q.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
23		lclkrlem2q.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
24		lclkrlem2r.bn	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (0g‘𝑈))
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24	lclkrlem2p 37676	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{𝑌}) ⊆ ( ⊥ ‘{𝑋}))
26		lclkrlem2q.lg	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
27		lclkrlem2q.le	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
28	25, 26, 27	3sstr4d 3867	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝐸))
29		sseqin2 4040	. . 3 ⊢ ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝐸) ↔ ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) = (𝐿‘𝐺))
30	28, 29	sylib 210	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) = (𝐿‘𝐺))
31	17, 19, 21	dvhlmod 37264	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
32	8, 16, 9, 10, 31, 13, 14	lkrin 35318	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
33	30, 32	eqsstr3d 3859	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969   ∩ cin 3791   ⊆ wss 3792  {csn 4398  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  +_gcplusg 16338  ._rcmulr 16339  Scalarcsca 16341   ·_𝑠 cvsca 16342  0_gc0g 16486  -_gcsg 17811  LSSumclsm 18433  inv_rcinvr 19058  LSpanclspn 19366  LFnlclfn 35211  LKerclk 35239  LDualcld 35277  HLchlt 35504  LHypclh 36138  DVecHcdvh 37232  ocHcoch 37501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-riotaBAD 35107

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-tpos 7634  df-undef 7681  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-0g 16488  df-proset 17314  df-poset 17332  df-plt 17344  df-lub 17360  df-glb 17361  df-join 17362  df-meet 17363  df-p0 17425  df-p1 17426  df-lat 17432  df-clat 17494  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-subg 17975  df-cntz 18133  df-lsm 18435  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059  df-dvr 19070  df-drng 19141  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lsp 19367  df-lvec 19498  df-lsatoms 35130  df-lfl 35212  df-lkr 35240  df-ldual 35278  df-oposet 35330  df-ol 35332  df-oml 35333  df-covers 35420  df-ats 35421  df-atl 35452  df-cvlat 35476  df-hlat 35505  df-llines 35652  df-lplanes 35653  df-lvols 35654  df-lines 35655  df-psubsp 35657  df-pmap 35658  df-padd 35950  df-lhyp 36142  df-laut 36143  df-ldil 36258  df-ltrn 36259  df-trl 36313  df-tendo 36909  df-edring 36911  df-disoa 37183  df-dvech 37233  df-dib 37293  df-dic 37327  df-dih 37383  df-doch 37502

This theorem is referenced by:  lclkrlem2s  37679