Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lclkrlem2r 39792
Description: Lemma for lclkr 39801. When 𝐡 is zero, i.e. when 𝑋 and π‘Œ are colinear, the intersection of the kernels of 𝐸 and 𝐺 equal the kernel of 𝐺, so the kernels of 𝐺 and the sum are comparable. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2m.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.q Γ— = (.rβ€˜π‘†)
lclkrlem2m.z 0 = (0gβ€˜π‘†)
lclkrlem2m.i 𝐼 = (invrβ€˜π‘†)
lclkrlem2m.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.p + = (+gβ€˜π·)
lclkrlem2m.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2n.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2n.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2o.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
lclkrlem2o.o βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lclkrlem2o.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lclkrlem2o.a βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2o.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
lclkrlem2q.le (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΈ) = ( βŠ₯ β€˜{𝑋}))
lclkrlem2q.lg (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΊ) = ( βŠ₯ β€˜{π‘Œ}))
lclkrlem2q.b 𝐡 = (𝑋 βˆ’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ))
lclkrlem2q.n (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) β‰  0 )
lclkrlem2r.bn (πœ‘ β†’ 𝐡 = (0gβ€˜π‘ˆ))
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2r (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2r
StepHypRef Expression
1 lclkrlem2m.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
2 lclkrlem2m.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
3 lclkrlem2m.s . . . . 5 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
4 lclkrlem2m.q . . . . 5 Γ— = (.rβ€˜π‘†)
5 lclkrlem2m.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘†)
6 lclkrlem2m.i . . . . 5 𝐼 = (invrβ€˜π‘†)
7 lclkrlem2m.m . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
8 lclkrlem2m.f . . . . 5 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
9 lclkrlem2m.d . . . . 5 𝐷 = (LDualβ€˜π‘ˆ)
10 lclkrlem2m.p . . . . 5 + = (+gβ€˜π·)
11 lclkrlem2m.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
12 lclkrlem2m.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
13 lclkrlem2m.e . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐹)
14 lclkrlem2m.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
15 lclkrlem2n.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
16 lclkrlem2n.l . . . . 5 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
17 lclkrlem2o.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
18 lclkrlem2o.o . . . . 5 βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
19 lclkrlem2o.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
20 lclkrlem2o.a . . . . 5 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
21 lclkrlem2o.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
22 lclkrlem2q.b . . . . 5 𝐡 = (𝑋 βˆ’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ))
23 lclkrlem2q.n . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) β‰  0 )
24 lclkrlem2r.bn . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (0gβ€˜π‘ˆ))
251, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24lclkrlem2p 39790 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜{π‘Œ}) βŠ† ( βŠ₯ β€˜{𝑋}))
26 lclkrlem2q.lg . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΊ) = ( βŠ₯ β€˜{π‘Œ}))
27 lclkrlem2q.le . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΈ) = ( βŠ₯ β€˜{𝑋}))
2825, 26, 273sstr4d 3979 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜πΈ))
29 sseqin2 4162 . . 3 ((πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜πΈ) ↔ ((πΏβ€˜πΈ) ∩ (πΏβ€˜πΊ)) = (πΏβ€˜πΊ))
3028, 29sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜πΈ) ∩ (πΏβ€˜πΊ)) = (πΏβ€˜πΊ))
3117, 19, 21dvhlmod 39378 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
328, 16, 9, 10, 31, 13, 14lkrin 37431 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜πΈ) ∩ (πΏβ€˜πΊ)) βŠ† (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))
3330, 32eqsstrrd 3971 1 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2940   ∩ cin 3897   βŠ† wss 3898  {csn 4573  β€˜cfv 6479  (class class class)co 7337  Basecbs 17009  +gcplusg 17059  .rcmulr 17060  Scalarcsca 17062   ·𝑠 cvsca 17063  0gc0g 17247  -gcsg 18675  LSSumclsm 19335  invrcinvr 20008  LSpanclspn 20339  LFnlclfn 37324  LKerclk 37352  LDualcld 37390  HLchlt 37617  LHypclh 38252  DVecHcdvh 39346  ocHcoch 39615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-riotaBAD 37220
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-of 7595  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-tpos 8112  df-undef 8159  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-map 8688  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-0g 17249  df-proset 18110  df-poset 18128  df-plt 18145  df-lub 18161  df-glb 18162  df-join 18163  df-meet 18164  df-p0 18240  df-p1 18241  df-lat 18247  df-clat 18314  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-submnd 18528  df-grp 18676  df-minusg 18677  df-sbg 18678  df-subg 18848  df-cntz 19019  df-lsm 19337  df-cmn 19483  df-abl 19484  df-mgp 19816  df-ur 19833  df-ring 19880  df-oppr 19957  df-dvdsr 19978  df-unit 19979  df-invr 20009  df-dvr 20020  df-drng 20095  df-lmod 20231  df-lss 20300  df-lsp 20340  df-lvec 20471  df-lsatoms 37243  df-lfl 37325  df-lkr 37353  df-ldual 37391  df-oposet 37443  df-ol 37445  df-oml 37446  df-covers 37533  df-ats 37534  df-atl 37565  df-cvlat 37589  df-hlat 37618  df-llines 37766  df-lplanes 37767  df-lvols 37768  df-lines 37769  df-psubsp 37771  df-pmap 37772  df-padd 38064  df-lhyp 38256  df-laut 38257  df-ldil 38372  df-ltrn 38373  df-trl 38427  df-tendo 39023  df-edring 39025  df-disoa 39297  df-dvech 39347  df-dib 39407  df-dic 39441  df-dih 39497  df-doch 39616
This theorem is referenced by:  lclkrlem2s  39793
  Copyright terms: Public domain W3C validator