Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lclkrlem2r 41527
Description: Lemma for lclkr 41536. When 𝐵 is zero, i.e. when 𝑋 and 𝑌 are colinear, the intersection of the kernels of 𝐸 and 𝐺 equal the kernel of 𝐺, so the kernels of 𝐺 and the sum are comparable. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2m.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2m.t · = ( ·𝑠𝑈)
lclkrlem2m.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2m.q × = (.r𝑆)
lclkrlem2m.z 0 = (0g𝑆)
lclkrlem2m.i 𝐼 = (invr𝑆)
lclkrlem2m.m = (-g𝑈)
lclkrlem2m.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2m.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2m.p + = (+g𝐷)
lclkrlem2m.x (𝜑𝑋𝑉)
lclkrlem2m.y (𝜑𝑌𝑉)
lclkrlem2m.e (𝜑𝐸𝐹)
lclkrlem2m.g (𝜑𝐺𝐹)
lclkrlem2n.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lclkrlem2n.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2o.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2o.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.a = (LSSum‘𝑈)
lclkrlem2o.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lclkrlem2q.le (𝜑 → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑋}))
lclkrlem2q.lg (𝜑 → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
lclkrlem2q.b 𝐵 = (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
lclkrlem2q.n (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
lclkrlem2r.bn (𝜑𝐵 = (0g𝑈))
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2r (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2r
StepHypRef Expression
1 lclkrlem2m.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
2 lclkrlem2m.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑈)
3 lclkrlem2m.s . . . . 5 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
4 lclkrlem2m.q . . . . 5 × = (.r𝑆)
5 lclkrlem2m.z . . . . 5 0 = (0g𝑆)
6 lclkrlem2m.i . . . . 5 𝐼 = (invr𝑆)
7 lclkrlem2m.m . . . . 5 = (-g𝑈)
8 lclkrlem2m.f . . . . 5 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
9 lclkrlem2m.d . . . . 5 𝐷 = (LDual‘𝑈)
10 lclkrlem2m.p . . . . 5 + = (+g𝐷)
11 lclkrlem2m.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
12 lclkrlem2m.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
13 lclkrlem2m.e . . . . 5 (𝜑𝐸𝐹)
14 lclkrlem2m.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝐹)
15 lclkrlem2n.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
16 lclkrlem2n.l . . . . 5 𝐿 = (LKer‘𝑈)
17 lclkrlem2o.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
18 lclkrlem2o.o . . . . 5 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
19 lclkrlem2o.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
20 lclkrlem2o.a . . . . 5 = (LSSum‘𝑈)
21 lclkrlem2o.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
22 lclkrlem2q.b . . . . 5 𝐵 = (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
23 lclkrlem2q.n . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
24 lclkrlem2r.bn . . . . 5 (𝜑𝐵 = (0g𝑈))
251, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24lclkrlem2p 41525 . . . 4 (𝜑 → ( ‘{𝑌}) ⊆ ( ‘{𝑋}))
26 lclkrlem2q.lg . . . 4 (𝜑 → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
27 lclkrlem2q.le . . . 4 (𝜑 → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑋}))
2825, 26, 273sstr4d 4038 . . 3 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝐸))
29 sseqin2 4222 . . 3 ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝐸) ↔ ((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺)) = (𝐿𝐺))
3028, 29sylib 218 . 2 (𝜑 → ((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺)) = (𝐿𝐺))
3117, 19, 21dvhlmod 41113 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
328, 16, 9, 10, 31, 13, 14lkrin 39166 . 2 (𝜑 → ((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺)) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
3330, 32eqsstrrd 4018 1 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  cin 3949  wss 3950  {csn 4625  cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  0gc0g 17485  -gcsg 18954  LSSumclsm 19653  invrcinvr 20388  LSpanclspn 20970  LFnlclfn 39059  LKerclk 39087  LDualcld 39125  HLchlt 39352  LHypclh 39987  DVecHcdvh 41081  ocHcoch 41350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-riotaBAD 38955
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-undef 8299  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17487  df-proset 18341  df-poset 18360  df-plt 18376  df-lub 18392  df-glb 18393  df-join 18394  df-meet 18395  df-p0 18471  df-p1 18472  df-lat 18478  df-clat 18545  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-subg 19142  df-cntz 19336  df-lsm 19655  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-dvr 20402  df-drng 20732  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-lvec 21103  df-lsatoms 38978  df-lfl 39060  df-lkr 39088  df-ldual 39126  df-oposet 39178  df-ol 39180  df-oml 39181  df-covers 39268  df-ats 39269  df-atl 39300  df-cvlat 39324  df-hlat 39353  df-llines 39501  df-lplanes 39502  df-lvols 39503  df-lines 39504  df-psubsp 39506  df-pmap 39507  df-padd 39799  df-lhyp 39991  df-laut 39992  df-ldil 40107  df-ltrn 40108  df-trl 40162  df-tendo 40758  df-edring 40760  df-disoa 41032  df-dvech 41082  df-dib 41142  df-dic 41176  df-dih 41232  df-doch 41351
This theorem is referenced by:  lclkrlem2s  41528
  Copyright terms: Public domain W3C validator