Theorem lclkrlem2r 42326

Description: Lemma for lclkr 42335. When 𝐵 is zero, i.e. when 𝑋 and 𝑌 are colinear, the intersection of the kernels of 𝐸 and 𝐺 equal the kernel of 𝐺, so the kernels of 𝐺 and the sum are comparable. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrlem2m.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2m.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lclkrlem2m.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2m.q	⊢ × = (.r‘𝑆)
lclkrlem2m.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lclkrlem2m.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
lclkrlem2m.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
lclkrlem2m.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2m.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2m.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
lclkrlem2m.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2n.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lclkrlem2n.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2o.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.a	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
lclkrlem2o.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lclkrlem2q.le	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
lclkrlem2q.lg	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
lclkrlem2q.b	⊢ 𝐵 = (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
lclkrlem2q.n	⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
lclkrlem2r.bn	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (0g‘𝑈))

Assertion

Ref	Expression
lclkrlem2r	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lclkrlem2m.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
2		lclkrlem2m.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
3		lclkrlem2m.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
4		lclkrlem2m.q	. . . . 5 ⊢ × = (.r‘𝑆)
5		lclkrlem2m.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
6		lclkrlem2m.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
7		lclkrlem2m.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑈)
8		lclkrlem2m.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
9		lclkrlem2m.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
10		lclkrlem2m.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐷)
11		lclkrlem2m.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		lclkrlem2m.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
13		lclkrlem2m.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
14		lclkrlem2m.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
15		lclkrlem2n.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
16		lclkrlem2n.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
17		lclkrlem2o.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
18		lclkrlem2o.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
19		lclkrlem2o.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
20		lclkrlem2o.a	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
21		lclkrlem2o.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
22		lclkrlem2q.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
23		lclkrlem2q.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
24		lclkrlem2r.bn	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (0g‘𝑈))
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24	lclkrlem2p 42324	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{𝑌}) ⊆ ( ⊥ ‘{𝑋}))
26		lclkrlem2q.lg	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
27		lclkrlem2q.le	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
28	25, 26, 27	3sstr4d 3992	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝐸))
29		sseqin2 4176	. . 3 ⊢ ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝐸) ↔ ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) = (𝐿‘𝐺))
30	28, 29	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) = (𝐿‘𝐺))
31	17, 19, 21	dvhlmod 41912	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
32	8, 16, 9, 10, 31, 13, 14	lkrin 39966	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
33	30, 32	eqsstrrd 3972	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  {csn 4589  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17273  +_gcplusg 17314  ._rcmulr 17315  Scalarcsca 17317   ·_𝑠 cvsca 17318  0_gc0g 17496  -_gcsg 19006  LSSumclsm 19708  inv_rcinvr 20474  LSpanclspn 21101  LFnlclfn 39859  LKerclk 39887  LDualcld 39925  HLchlt 40152  LHypclh 40786  DVecHcdvh 41880  ocHcoch 42149

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-riotaBAD 39755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-undef 8265  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-0g 17498  df-proset 18354  df-poset 18373  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18492  df-clat 18559  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-submnd 18846  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-sbg 19009  df-subg 19193  df-cntz 19391  df-lsm 19710  df-cmn 19856  df-abl 19857  df-mgp 20221  df-rng 20235  df-ur 20268  df-ring 20321  df-oppr 20424  df-dvdsr 20444  df-unit 20445  df-invr 20475  df-dvr 20488  df-drng 20838  df-lmod 20992  df-lss 21062  df-lsp 21102  df-lvec 21233  df-lsatoms 39778  df-lfl 39860  df-lkr 39888  df-ldual 39926  df-oposet 39978  df-ol 39980  df-oml 39981  df-covers 40068  df-ats 40069  df-atl 40100  df-cvlat 40124  df-hlat 40153  df-llines 40300  df-lplanes 40301  df-lvols 40302  df-lines 40303  df-psubsp 40305  df-pmap 40306  df-padd 40598  df-lhyp 40790  df-laut 40791  df-ldil 40906  df-ltrn 40907  df-trl 40961  df-tendo 41557  df-edring 41559  df-disoa 41831  df-dvech 41881  df-dib 41941  df-dic 41975  df-dih 42031  df-doch 42150

This theorem is used by:  lclkrlem2s  42327