Theorem hgmap11 39916

Description: The scalar sigma map is one-to-one. (Contributed by NM, 7-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmap11.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmap11.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmap11.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmap11.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmap11.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmap11.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hgmap11.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
hgmap11.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hgmap11	⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem hgmap11

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmap11.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hgmap11.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
5		hgmap11.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 2, 3, 4, 5	dvh1dim 39456	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (Base‘𝑈)𝑡 ≠ (0g‘𝑈))
7	6	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) → ∃𝑡 ∈ (Base‘𝑈)𝑡 ≠ (0g‘𝑈))
8		simp1r 1197	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌))
9	8	oveq1d 7290	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = ((𝐺‘𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
10		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
11		hgmap11.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
12		hgmap11.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
13		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
15		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
16		hgmap11.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
17		simp1l 1196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝜑)
18	17, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19		simp2 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑡 ∈ (Base‘𝑈))
20		hgmap11.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	17, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
22	1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 21	hgmapvs 39905	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = ((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
23		hgmap11.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
24	17, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
25	1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 24	hgmapvs 39905	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = ((𝐺‘𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
26	9, 22, 25	3eqtr4d 2788	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)))
27	1, 2, 5	dvhlmod 39124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
28	17, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LMod)
29	3, 11, 10, 12	lmodvscl 20140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
30	28, 21, 19, 29	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
31	3, 11, 10, 12	lmodvscl 20140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
32	28, 24, 19, 31	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
33	1, 2, 3, 15, 18, 30, 32	hdmap11 39862	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) ↔ (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) = (𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)))
34	26, 33	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) = (𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡))
35	1, 2, 5	dvhlvec 39123	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
36	17, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LVec)
37		simp3 1137	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑡 ≠ (0g‘𝑈))
38	3, 10, 11, 12, 4, 36, 21, 24, 19, 37	lvecvscan2 20374	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) = (𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) ↔ 𝑋 = 𝑌))
39	34, 38	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑋 = 𝑌)
40	39	rexlimdv3a 3215	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) → (∃𝑡 ∈ (Base‘𝑈)𝑡 ≠ (0g‘𝑈) → 𝑋 = 𝑌))
41	7, 40	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) → 𝑋 = 𝑌)
42	41	ex 413	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌) → 𝑋 = 𝑌))
43		fveq2 6774	. 2 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌))
44	42, 43	impbid1 224	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  0_gc0g 17150  LModclmod 20123  LVecclvec 20364  HLchlt 37364  LHypclh 37998  DVecHcdvh 39092  LCDualclcd 39600  HDMapchdma 39806  HGMapchg 39897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-riotaBAD 36967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-undef 8089  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-0g 17152  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-oppg 18950  df-lsm 19241  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-drng 19993  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lvec 20365  df-lsatoms 36990  df-lshyp 36991  df-lcv 37033  df-lfl 37072  df-lkr 37100  df-ldual 37138  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-lplanes 37513  df-lvols 37514  df-lines 37515  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173  df-tgrp 38757  df-tendo 38769  df-edring 38771  df-dveca 39017  df-disoa 39043  df-dvech 39093  df-dib 39153  df-dic 39187  df-dih 39243  df-doch 39362  df-djh 39409  df-lcdual 39601  df-mapd 39639  df-hvmap 39771  df-hdmap1 39807  df-hdmap 39808  df-hgmap 39898

This theorem is referenced by:  hgmapf1oN  39917  hgmapeq0  39918