Theorem hgmap11 37923

Description: The scalar sigma map is one-to-one. (Contributed by NM, 7-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmap11.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmap11.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmap11.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmap11.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmap11.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmap11.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hgmap11.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
hgmap11.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hgmap11	⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem hgmap11

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmap11.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hgmap11.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2799	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4		eqid 2799	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
5		hgmap11.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 2, 3, 4, 5	dvh1dim 37463	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (Base‘𝑈)𝑡 ≠ (0g‘𝑈))
7	6	adantr 473	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) → ∃𝑡 ∈ (Base‘𝑈)𝑡 ≠ (0g‘𝑈))
8		simp1r 1256	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌))
9	8	oveq1d 6893	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = ((𝐺‘𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
10		eqid 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
11		hgmap11.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
12		hgmap11.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
13		eqid 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
15		eqid 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
16		hgmap11.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
17		simp1l 1255	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝜑)
18	17, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19		simp2 1168	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑡 ∈ (Base‘𝑈))
20		hgmap11.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	17, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
22	1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 21	hgmapvs 37912	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = ((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
23		hgmap11.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
24	17, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
25	1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 24	hgmapvs 37912	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = ((𝐺‘𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
26	9, 22, 25	3eqtr4d 2843	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)))
27	1, 2, 5	dvhlmod 37131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
28	17, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LMod)
29	3, 11, 10, 12	lmodvscl 19198	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
30	28, 21, 19, 29	syl3anc 1491	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
31	3, 11, 10, 12	lmodvscl 19198	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
32	28, 24, 19, 31	syl3anc 1491	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
33	1, 2, 3, 15, 18, 30, 32	hdmap11 37869	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) ↔ (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) = (𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)))
34	26, 33	mpbid 224	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) = (𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡))
35	1, 2, 5	dvhlvec 37130	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
36	17, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LVec)
37		simp3 1169	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑡 ≠ (0g‘𝑈))
38	3, 10, 11, 12, 4, 36, 21, 24, 19, 37	lvecvscan2 19433	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) = (𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) ↔ 𝑋 = 𝑌))
39	34, 38	mpbid 224	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑋 = 𝑌)
40	39	rexlimdv3a 3214	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) → (∃𝑡 ∈ (Base‘𝑈)𝑡 ≠ (0g‘𝑈) → 𝑋 = 𝑌))
41	7, 40	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) → 𝑋 = 𝑌)
42	41	ex 402	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌) → 𝑋 = 𝑌))
43		fveq2 6411	. 2 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌))
44	42, 43	impbid1 217	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2971  ∃wrex 3090  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  Basecbs 16184  Scalarcsca 16270   ·_𝑠 cvsca 16271  0_gc0g 16415  LModclmod 19181  LVecclvec 19423  HLchlt 35371  LHypclh 36005  DVecHcdvh 37099  LCDualclcd 37607  HDMapchdma 37813  HGMapchg 37904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-riotaBAD 34974

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-ot 4377  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-tpos 7590  df-undef 7637  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-0g 16417  df-mre 16561  df-mrc 16562  df-acs 16564  df-proset 17243  df-poset 17261  df-plt 17273  df-lub 17289  df-glb 17290  df-join 17291  df-meet 17292  df-p0 17354  df-p1 17355  df-lat 17361  df-clat 17423  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-submnd 17651  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-subg 17904  df-cntz 18062  df-oppg 18088  df-lsm 18364  df-cmn 18510  df-abl 18511  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-oppr 18939  df-dvdsr 18957  df-unit 18958  df-invr 18988  df-dvr 18999  df-drng 19067  df-lmod 19183  df-lss 19251  df-lsp 19293  df-lvec 19424  df-lsatoms 34997  df-lshyp 34998  df-lcv 35040  df-lfl 35079  df-lkr 35107  df-ldual 35145  df-oposet 35197  df-ol 35199  df-oml 35200  df-covers 35287  df-ats 35288  df-atl 35319  df-cvlat 35343  df-hlat 35372  df-llines 35519  df-lplanes 35520  df-lvols 35521  df-lines 35522  df-psubsp 35524  df-pmap 35525  df-padd 35817  df-lhyp 36009  df-laut 36010  df-ldil 36125  df-ltrn 36126  df-trl 36180  df-tgrp 36764  df-tendo 36776  df-edring 36778  df-dveca 37024  df-disoa 37050  df-dvech 37100  df-dib 37160  df-dic 37194  df-dih 37250  df-doch 37369  df-djh 37416  df-lcdual 37608  df-mapd 37646  df-hvmap 37778  df-hdmap1 37814  df-hdmap 37815  df-hgmap 37905

This theorem is referenced by:  hgmapf1oN  37924  hgmapeq0  37925