Theorem hgmap11 42021

Description: The scalar sigma map is one-to-one. (Contributed by NM, 7-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmap11.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmap11.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmap11.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmap11.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmap11.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmap11.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hgmap11.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
hgmap11.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hgmap11	⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem hgmap11

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmap11.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hgmap11.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
5		hgmap11.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 2, 3, 4, 5	dvh1dim 41561	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (Base‘𝑈)𝑡 ≠ (0g‘𝑈))
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) → ∃𝑡 ∈ (Base‘𝑈)𝑡 ≠ (0g‘𝑈))
8		simp1r 1199	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌))
9	8	oveq1d 7367	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = ((𝐺‘𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
10		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
11		hgmap11.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
12		hgmap11.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
13		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
15		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
16		hgmap11.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
17		simp1l 1198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝜑)
18	17, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑡 ∈ (Base‘𝑈))
20		hgmap11.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	17, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
22	1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 21	hgmapvs 42010	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = ((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
23		hgmap11.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
24	17, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
25	1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 24	hgmapvs 42010	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = ((𝐺‘𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
26	9, 22, 25	3eqtr4d 2778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)))
27	1, 2, 5	dvhlmod 41229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
28	17, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LMod)
29	3, 11, 10, 12	lmodvscl 20813	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
30	28, 21, 19, 29	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
31	3, 11, 10, 12	lmodvscl 20813	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
32	28, 24, 19, 31	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
33	1, 2, 3, 15, 18, 30, 32	hdmap11 41967	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) ↔ (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) = (𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)))
34	26, 33	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) = (𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡))
35	1, 2, 5	dvhlvec 41228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
36	17, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LVec)
37		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑡 ≠ (0g‘𝑈))
38	3, 10, 11, 12, 4, 36, 21, 24, 19, 37	lvecvscan2 21051	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) = (𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) ↔ 𝑋 = 𝑌))
39	34, 38	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑋 = 𝑌)
40	39	rexlimdv3a 3138	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) → (∃𝑡 ∈ (Base‘𝑈)𝑡 ≠ (0g‘𝑈) → 𝑋 = 𝑌))
41	7, 40	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) → 𝑋 = 𝑌)
42	41	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌) → 𝑋 = 𝑌))
43		fveq2 6828	. 2 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌))
44	42, 43	impbid1 225	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∃wrex 3057  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Basecbs 17122  Scalarcsca 17166   ·_𝑠 cvsca 17167  0_gc0g 17345  LModclmod 20795  LVecclvec 21038  HLchlt 39469  LHypclh 40103  DVecHcdvh 41197  LCDualclcd 41705  HDMapchdma 41911  HGMapchg 42002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-riotaBAD 39072

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-ot 4584  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-tpos 8162  df-undef 8209  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-0g 17347  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-proset 18202  df-poset 18221  df-plt 18236  df-lub 18252  df-glb 18253  df-join 18254  df-meet 18255  df-p0 18331  df-p1 18332  df-lat 18340  df-clat 18407  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-subg 19038  df-cntz 19231  df-oppg 19260  df-lsm 19550  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-dvr 20321  df-nzr 20430  df-rlreg 20611  df-domn 20612  df-drng 20648  df-lmod 20797  df-lss 20867  df-lsp 20907  df-lvec 21039  df-lsatoms 39095  df-lshyp 39096  df-lcv 39138  df-lfl 39177  df-lkr 39205  df-ldual 39243  df-oposet 39295  df-ol 39297  df-oml 39298  df-covers 39385  df-ats 39386  df-atl 39417  df-cvlat 39441  df-hlat 39470  df-llines 39617  df-lplanes 39618  df-lvols 39619  df-lines 39620  df-psubsp 39622  df-pmap 39623  df-padd 39915  df-lhyp 40107  df-laut 40108  df-ldil 40223  df-ltrn 40224  df-trl 40278  df-tgrp 40862  df-tendo 40874  df-edring 40876  df-dveca 41122  df-disoa 41148  df-dvech 41198  df-dib 41258  df-dic 41292  df-dih 41348  df-doch 41467  df-djh 41514  df-lcdual 41706  df-mapd 41744  df-hvmap 41876  df-hdmap1 41912  df-hdmap 41913  df-hgmap 42003

This theorem is referenced by:  hgmapf1oN  42022  hgmapeq0  42023