Theorem hgmap11 41940

Description: The scalar sigma map is one-to-one. (Contributed by NM, 7-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmap11.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmap11.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmap11.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmap11.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmap11.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmap11.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hgmap11.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
hgmap11.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hgmap11	⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem hgmap11

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmap11.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hgmap11.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
5		hgmap11.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 2, 3, 4, 5	dvh1dim 41480	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (Base‘𝑈)𝑡 ≠ (0g‘𝑈))
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) → ∃𝑡 ∈ (Base‘𝑈)𝑡 ≠ (0g‘𝑈))
8		simp1r 1199	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌))
9	8	oveq1d 7361	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = ((𝐺‘𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
10		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
11		hgmap11.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
12		hgmap11.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
13		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
15		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
16		hgmap11.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
17		simp1l 1198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝜑)
18	17, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑡 ∈ (Base‘𝑈))
20		hgmap11.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	17, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
22	1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 21	hgmapvs 41929	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = ((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
23		hgmap11.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
24	17, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
25	1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 24	hgmapvs 41929	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = ((𝐺‘𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
26	9, 22, 25	3eqtr4d 2776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)))
27	1, 2, 5	dvhlmod 41148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
28	17, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LMod)
29	3, 11, 10, 12	lmodvscl 20809	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
30	28, 21, 19, 29	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
31	3, 11, 10, 12	lmodvscl 20809	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
32	28, 24, 19, 31	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
33	1, 2, 3, 15, 18, 30, 32	hdmap11 41886	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) ↔ (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) = (𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)))
34	26, 33	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) = (𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡))
35	1, 2, 5	dvhlvec 41147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
36	17, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LVec)
37		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑡 ≠ (0g‘𝑈))
38	3, 10, 11, 12, 4, 36, 21, 24, 19, 37	lvecvscan2 21047	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) = (𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) ↔ 𝑋 = 𝑌))
39	34, 38	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑋 = 𝑌)
40	39	rexlimdv3a 3137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) → (∃𝑡 ∈ (Base‘𝑈)𝑡 ≠ (0g‘𝑈) → 𝑋 = 𝑌))
41	7, 40	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) → 𝑋 = 𝑌)
42	41	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌) → 𝑋 = 𝑌))
43		fveq2 6822	. 2 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌))
44	42, 43	impbid1 225	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17117  Scalarcsca 17161   ·_𝑠 cvsca 17162  0_gc0g 17340  LModclmod 20791  LVecclvec 21034  HLchlt 39388  LHypclh 40022  DVecHcdvh 41116  LCDualclcd 41624  HDMapchdma 41830  HGMapchg 41921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-riotaBAD 38991

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-ot 4585  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-undef 8203  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-fz 13405  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-0g 17342  df-mre 17485  df-mrc 17486  df-acs 17488  df-proset 18197  df-poset 18216  df-plt 18231  df-lub 18247  df-glb 18248  df-join 18249  df-meet 18250  df-p0 18326  df-p1 18327  df-lat 18335  df-clat 18402  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-submnd 18689  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-sbg 18848  df-subg 19033  df-cntz 19227  df-oppg 19256  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-dvr 20317  df-nzr 20426  df-rlreg 20607  df-domn 20608  df-drng 20644  df-lmod 20793  df-lss 20863  df-lsp 20903  df-lvec 21035  df-lsatoms 39014  df-lshyp 39015  df-lcv 39057  df-lfl 39096  df-lkr 39124  df-ldual 39162  df-oposet 39214  df-ol 39216  df-oml 39217  df-covers 39304  df-ats 39305  df-atl 39336  df-cvlat 39360  df-hlat 39389  df-llines 39536  df-lplanes 39537  df-lvols 39538  df-lines 39539  df-psubsp 39541  df-pmap 39542  df-padd 39834  df-lhyp 40026  df-laut 40027  df-ldil 40142  df-ltrn 40143  df-trl 40197  df-tgrp 40781  df-tendo 40793  df-edring 40795  df-dveca 41041  df-disoa 41067  df-dvech 41117  df-dib 41177  df-dic 41211  df-dih 41267  df-doch 41386  df-djh 41433  df-lcdual 41625  df-mapd 41663  df-hvmap 41795  df-hdmap1 41831  df-hdmap 41832  df-hgmap 41922

This theorem is referenced by:  hgmapf1oN  41941  hgmapeq0  41942