Theorem hgmap11 39843

Description: The scalar sigma map is one-to-one. (Contributed by NM, 7-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmap11.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmap11.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmap11.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmap11.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmap11.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmap11.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hgmap11.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
hgmap11.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hgmap11	⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem hgmap11

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmap11.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hgmap11.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
5		hgmap11.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 2, 3, 4, 5	dvh1dim 39383	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (Base‘𝑈)𝑡 ≠ (0g‘𝑈))
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) → ∃𝑡 ∈ (Base‘𝑈)𝑡 ≠ (0g‘𝑈))
8		simp1r 1196	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌))
9	8	oveq1d 7270	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = ((𝐺‘𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
10		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
11		hgmap11.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
12		hgmap11.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
13		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
15		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
16		hgmap11.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
17		simp1l 1195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝜑)
18	17, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19		simp2 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑡 ∈ (Base‘𝑈))
20		hgmap11.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	17, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
22	1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 21	hgmapvs 39832	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = ((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
23		hgmap11.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
24	17, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
25	1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 24	hgmapvs 39832	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = ((𝐺‘𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
26	9, 22, 25	3eqtr4d 2788	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)))
27	1, 2, 5	dvhlmod 39051	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
28	17, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LMod)
29	3, 11, 10, 12	lmodvscl 20055	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
30	28, 21, 19, 29	syl3anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
31	3, 11, 10, 12	lmodvscl 20055	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
32	28, 24, 19, 31	syl3anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
33	1, 2, 3, 15, 18, 30, 32	hdmap11 39789	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) ↔ (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) = (𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)))
34	26, 33	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) = (𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡))
35	1, 2, 5	dvhlvec 39050	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
36	17, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LVec)
37		simp3 1136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑡 ≠ (0g‘𝑈))
38	3, 10, 11, 12, 4, 36, 21, 24, 19, 37	lvecvscan2 20289	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) = (𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) ↔ 𝑋 = 𝑌))
39	34, 38	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑋 = 𝑌)
40	39	rexlimdv3a 3214	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) → (∃𝑡 ∈ (Base‘𝑈)𝑡 ≠ (0g‘𝑈) → 𝑋 = 𝑌))
41	7, 40	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌)) → 𝑋 = 𝑌)
42	41	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌) → 𝑋 = 𝑌))
43		fveq2 6756	. 2 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌))
44	42, 43	impbid1 224	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067  LModclmod 20038  LVecclvec 20279  HLchlt 37291  LHypclh 37925  DVecHcdvh 39019  LCDualclcd 39527  HDMapchdma 39733  HGMapchg 39824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-riotaBAD 36894

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-undef 8060  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-0g 17069  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-oppg 18865  df-lsm 19156  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lvec 20280  df-lsatoms 36917  df-lshyp 36918  df-lcv 36960  df-lfl 36999  df-lkr 37027  df-ldual 37065  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-llines 37439  df-lplanes 37440  df-lvols 37441  df-lines 37442  df-psubsp 37444  df-pmap 37445  df-padd 37737  df-lhyp 37929  df-laut 37930  df-ldil 38045  df-ltrn 38046  df-trl 38100  df-tgrp 38684  df-tendo 38696  df-edring 38698  df-dveca 38944  df-disoa 38970  df-dvech 39020  df-dib 39080  df-dic 39114  df-dih 39170  df-doch 39289  df-djh 39336  df-lcdual 39528  df-mapd 39566  df-hvmap 39698  df-hdmap1 39734  df-hdmap 39735  df-hgmap 39825

This theorem is referenced by:  hgmapf1oN  39844  hgmapeq0  39845