Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgmaprnlem1N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hgmaprnlem1N 37970
 Description: Lemma for hgmaprnN 37975. (Contributed by NM, 7-Jun-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hgmaprnlem1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmaprnlem1.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmaprnlem1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hgmaprnlem1.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmaprnlem1.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmaprnlem1.t · = ( ·𝑠𝑈)
hgmaprnlem1.o 0 = (0g𝑈)
hgmaprnlem1.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hgmaprnlem1.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hgmaprnlem1.p 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
hgmaprnlem1.a 𝐴 = (Base‘𝑃)
hgmaprnlem1.e = ( ·𝑠𝐶)
hgmaprnlem1.q 𝑄 = (0g𝐶)
hgmaprnlem1.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmaprnlem1.g 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmaprnlem1.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hgmaprnlem1.z (𝜑𝑧𝐴)
hgmaprnlem1.t2 (𝜑𝑡 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hgmaprnlem1.s2 (𝜑𝑠𝑉)
hgmaprnlem1.sz (𝜑 → (𝑆𝑠) = (𝑧 (𝑆𝑡)))
hgmaprnlem1.k2 (𝜑𝑘𝐵)
hgmaprnlem1.sk (𝜑𝑠 = (𝑘 · 𝑡))
Assertion
Ref Expression
hgmaprnlem1N (𝜑𝑧 ∈ ran 𝐺)

Proof of Theorem hgmaprnlem1N
StepHypRef Expression
1 hgmaprnlem1.sk . . . . 5 (𝜑𝑠 = (𝑘 · 𝑡))
21fveq2d 6436 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑠) = (𝑆‘(𝑘 · 𝑡)))
3 hgmaprnlem1.sz . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑠) = (𝑧 (𝑆𝑡)))
4 hgmaprnlem1.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 hgmaprnlem1.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6 hgmaprnlem1.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
7 hgmaprnlem1.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑈)
8 hgmaprnlem1.r . . . . 5 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
9 hgmaprnlem1.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
10 hgmaprnlem1.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
11 hgmaprnlem1.e . . . . 5 = ( ·𝑠𝐶)
12 hgmaprnlem1.s . . . . 5 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
13 hgmaprnlem1.g . . . . 5 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
14 hgmaprnlem1.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
15 hgmaprnlem1.t2 . . . . . 6 (𝜑𝑡 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1615eldifad 3809 . . . . 5 (𝜑𝑡𝑉)
17 hgmaprnlem1.k2 . . . . 5 (𝜑𝑘𝐵)
184, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17hgmapvs 37965 . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘(𝑘 · 𝑡)) = ((𝐺𝑘) (𝑆𝑡)))
192, 3, 183eqtr3d 2868 . . 3 (𝜑 → (𝑧 (𝑆𝑡)) = ((𝐺𝑘) (𝑆𝑡)))
20 hgmaprnlem1.d . . . 4 𝐷 = (Base‘𝐶)
21 hgmaprnlem1.p . . . 4 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
22 hgmaprnlem1.a . . . 4 𝐴 = (Base‘𝑃)
23 hgmaprnlem1.q . . . 4 𝑄 = (0g𝐶)
244, 10, 14lcdlvec 37665 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
25 hgmaprnlem1.z . . . 4 (𝜑𝑧𝐴)
264, 5, 8, 9, 10, 21, 22, 13, 14, 17hgmapdcl 37964 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑘) ∈ 𝐴)
274, 5, 6, 10, 20, 12, 14, 16hdmapcl 37904 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑡) ∈ 𝐷)
28 eldifsni 4539 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑡0 )
2915, 28syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑡0 )
30 hgmaprnlem1.o . . . . . . 7 0 = (0g𝑈)
314, 5, 6, 30, 10, 23, 12, 14, 16hdmapeq0 37918 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆𝑡) = 𝑄𝑡 = 0 ))
3231necon3bid 3042 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆𝑡) ≠ 𝑄𝑡0 ))
3329, 32mpbird 249 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑡) ≠ 𝑄)
3420, 11, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 33lvecvscan2 19470 . . 3 (𝜑 → ((𝑧 (𝑆𝑡)) = ((𝐺𝑘) (𝑆𝑡)) ↔ 𝑧 = (𝐺𝑘)))
3519, 34mpbid 224 . 2 (𝜑𝑧 = (𝐺𝑘))
364, 5, 8, 9, 13, 14hgmapfnN 37962 . . 3 (𝜑𝐺 Fn 𝐵)
37 fnfvelrn 6604 . . 3 ((𝐺 Fn 𝐵𝑘𝐵) → (𝐺𝑘) ∈ ran 𝐺)
3836, 17, 37syl2anc 581 . 2 (𝜑 → (𝐺𝑘) ∈ ran 𝐺)
3935, 38eqeltrd 2905 1 (𝜑𝑧 ∈ ran 𝐺)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2998   ∖ cdif 3794  {csn 4396  ran crn 5342   Fn wfn 6117  ‘cfv 6122  (class class class)co 6904  Basecbs 16221  Scalarcsca 16307   ·𝑠 cvsca 16308  0gc0g 16452  HLchlt 35424  LHypclh 36058  DVecHcdvh 37152  LCDualclcd 37660  HDMapchdma 37866  HGMapchg 37957 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-riotaBAD 35027 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-ot 4405  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-iin 4742  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-of 7156  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-tpos 7616  df-undef 7663  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-oadd 7829  df-er 8008  df-map 8123  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-5 11416  df-6 11417  df-n0 11618  df-z 11704  df-uz 11968  df-fz 12619  df-struct 16223  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-ress 16229  df-plusg 16317  df-mulr 16318  df-sca 16320  df-vsca 16321  df-0g 16454  df-mre 16598  df-mrc 16599  df-acs 16601  df-proset 17280  df-poset 17298  df-plt 17310  df-lub 17326  df-glb 17327  df-join 17328  df-meet 17329  df-p0 17391  df-p1 17392  df-lat 17398  df-clat 17460  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-submnd 17688  df-grp 17778  df-minusg 17779  df-sbg 17780  df-subg 17941  df-cntz 18099  df-oppg 18125  df-lsm 18401  df-cmn 18547  df-abl 18548  df-mgp 18843  df-ur 18855  df-ring 18902  df-oppr 18976  df-dvdsr 18994  df-unit 18995  df-invr 19025  df-dvr 19036  df-drng 19104  df-lmod 19220  df-lss 19288  df-lsp 19330  df-lvec 19461  df-lsatoms 35050  df-lshyp 35051  df-lcv 35093  df-lfl 35132  df-lkr 35160  df-ldual 35198  df-oposet 35250  df-ol 35252  df-oml 35253  df-covers 35340  df-ats 35341  df-atl 35372  df-cvlat 35396  df-hlat 35425  df-llines 35572  df-lplanes 35573  df-lvols 35574  df-lines 35575  df-psubsp 35577  df-pmap 35578  df-padd 35870  df-lhyp 36062  df-laut 36063  df-ldil 36178  df-ltrn 36179  df-trl 36233  df-tgrp 36817  df-tendo 36829  df-edring 36831  df-dveca 37077  df-disoa 37103  df-dvech 37153  df-dib 37213  df-dic 37247  df-dih 37303  df-doch 37422  df-djh 37469  df-lcdual 37661  df-mapd 37699  df-hvmap 37831  df-hdmap1 37867  df-hdmap 37868  df-hgmap 37958 This theorem is referenced by:  hgmaprnlem3N  37972
 Copyright terms: Public domain W3C validator