Theorem mbfeqalem2 25902

Description: Lemma for mbfeqa 25903. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.) (Proof shortened by AV, 19-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfeqa.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
mbfeqa.2	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
mbfeqa.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 𝐷)
mbfeqalem.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
mbfeqalem.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mbfeqalem2	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) ∈ MblFn))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem mbfeqalem2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inundif 4435	. . . . 5 ⊢ (((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) ∪ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦))) = (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)
2		incom 4155	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) = ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))
3		dfin4 4224	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) = ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)))
4	2, 3	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) = ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)))
5		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol → (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol)
6		mbfeqa.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
7		mbfeqa.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
8		mbfeqa.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 𝐷)
9		mbfeqalem.4	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
10		mbfeqalem.5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)
11	6, 7, 8, 9, 10	mbfeqalem1 25901	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
12		difmbl 25803	. . . . . . . 8 ⊢ (((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol) → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
13	5, 11, 12	syl2anr 609	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
14	4, 13	eqeltrid 2864	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
15	8	eqcomd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐷 = 𝐶)
16	6, 7, 15, 10, 9	mbfeqalem1 25901	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
17	16	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
18		unmbl 25797	. . . . . 6 ⊢ ((((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol ∧ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol) → (((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) ∪ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
19	14, 17, 18	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) ∪ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
20	1, 19	eqeltrrid 2865	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol)
21		inundif 4435	. . . . 5 ⊢ (((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∪ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))) = (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)
22		incom 4155	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) = ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦))
23		dfin4 4224	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) = ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)))
24	22, 23	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) = ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)))
25		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol → (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol)
26		difmbl 25803	. . . . . . . 8 ⊢ (((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol) → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
27	25, 16, 26	syl2anr 609	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
28	24, 27	eqeltrid 2864	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
29	11	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
30		unmbl 25797	. . . . . 6 ⊢ ((((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol ∧ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol) → (((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∪ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
31	28, 29, 30	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∪ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
32	21, 31	eqeltrrid 2865	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol)
33	20, 32	impbida 813	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol ↔ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol))
34	33	ralbidv 3185	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran (,)(◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)(◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol))
35	9	fmpttd 7111	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶ℝ)
36		ismbf 25888	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶ℝ → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)(◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol))
37	35, 36	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)(◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol))
38	10	fmpttd 7111	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷):𝐵⟶ℝ)
39		ismbf 25888	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷):𝐵⟶ℝ → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)(◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol))
40	38, 39	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)(◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol))
41	34, 37, 40	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) ∈ MblFn))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655  ran crn 5656   “ cima 5658  ⟶wf 6531  ‘cfv 6535  ℝcr 11148  0cc0 11149  (,)cioo 13423  vol*covol 25722  volcvol 25723  MblFncmbf 25874

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-inf2 9627  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-symdif 4199  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9489  df-dju 9931  df-card 9969  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11921  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-n0 12554  df-z 12641  df-uz 12913  df-q 13023  df-rp 13068  df-xadd 13189  df-ioo 13427  df-ico 13429  df-icc 13430  df-fz 13587  df-fzo 13735  df-fl 13878  df-seq 14091  df-exp 14151  df-hash 14420  df-cj 15211  df-re 15212  df-im 15213  df-sqrt 15347  df-abs 15348  df-clim 15600  df-sum 15799  df-xmet 21610  df-met 21611  df-ovol 25724  df-vol 25725  df-mbf 25879

This theorem is used by:  mbfeqa  25903