Theorem mbfeqalem2 25705

Description: Lemma for mbfeqa 25706. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.) (Proof shortened by AV, 19-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfeqa.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
mbfeqa.2	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
mbfeqa.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 𝐷)
mbfeqalem.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
mbfeqalem.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mbfeqalem2	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) ∈ MblFn))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem mbfeqalem2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inundif 4434	. . . . 5 ⊢ (((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) ∪ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦))) = (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)
2		incom 4162	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) = ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))
3		dfin4 4231	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) = ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)))
4	2, 3	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) = ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)))
5		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol → (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol)
6		mbfeqa.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
7		mbfeqa.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
8		mbfeqa.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 𝐷)
9		mbfeqalem.4	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
10		mbfeqalem.5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)
11	6, 7, 8, 9, 10	mbfeqalem1 25704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
12		difmbl 25606	. . . . . . . 8 ⊢ (((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol) → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
13	5, 11, 12	syl2anr 606	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
14	4, 13	eqeltrid 2867	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
15	8	eqcomd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐷 = 𝐶)
16	6, 7, 15, 10, 9	mbfeqalem1 25704	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
17	16	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
18		unmbl 25600	. . . . . 6 ⊢ ((((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol ∧ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol) → (((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) ∪ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
19	14, 17, 18	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) ∪ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
20	1, 19	eqeltrrid 2868	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol)
21		inundif 4434	. . . . 5 ⊢ (((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∪ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))) = (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)
22		incom 4162	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) = ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦))
23		dfin4 4231	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) = ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)))
24	22, 23	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) = ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)))
25		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol → (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol)
26		difmbl 25606	. . . . . . . 8 ⊢ (((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol) → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
27	25, 16, 26	syl2anr 606	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
28	24, 27	eqeltrid 2867	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
29	11	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
30		unmbl 25600	. . . . . 6 ⊢ ((((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol ∧ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol) → (((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∪ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
31	28, 29, 30	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∪ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
32	21, 31	eqeltrrid 2868	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol)
33	20, 32	impbida 810	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol ↔ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol))
34	33	ralbidv 3186	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran (,)(◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)(◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol))
35	9	fmpttd 7097	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶ℝ)
36		ismbf 25691	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶ℝ → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)(◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol))
37	35, 36	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)(◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol))
38	10	fmpttd 7097	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷):𝐵⟶ℝ)
39		ismbf 25691	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷):𝐵⟶ℝ → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)(◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol))
40	38, 39	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)(◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol))
41	34, 37, 40	3bitr4d 313	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) ∈ MblFn))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ∀wral 3077   ∖ cdif 3902   ∪ cun 3903   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905   ↦ cmpt 5182  ^◡ccnv 5647  dom cdm 5648  ran crn 5649   “ cima 5651  ⟶wf 6518  ‘cfv 6522  ℝcr 11073  0cc0 11074  (,)cioo 13350  vol*covol 25525  volcvol 25526  MblFncmbf 25677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-inf2 9597  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-symdif 4206  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-isom 6531  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-of 7661  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-2o 8439  df-er 8679  df-map 8811  df-pm 8812  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-sup 9389  df-inf 9390  df-oi 9459  df-dju 9860  df-card 9898  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-div 11846  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-n0 12483  df-z 12570  df-uz 12841  df-q 12951  df-rp 12995  df-xadd 13116  df-ioo 13354  df-ico 13356  df-icc 13357  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-fl 13803  df-seq 14016  df-exp 14076  df-hash 14345  df-cj 15127  df-re 15128  df-im 15129  df-sqrt 15263  df-abs 15264  df-clim 15516  df-sum 15715  df-xmet 21418  df-met 21419  df-ovol 25527  df-vol 25528  df-mbf 25682

This theorem is referenced by:  mbfeqa  25706