MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfeqalem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfeqalem2 24806
Description: Lemma for mbfeqa 24807. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.) (Proof shortened by AV, 19-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfeqa.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
mbfeqa.2 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
mbfeqa.3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 𝐷)
mbfeqalem.4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
mbfeqalem.5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
mbfeqalem2 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn ↔ (𝑥𝐵𝐷) ∈ MblFn))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem mbfeqalem2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inundif 4412 . . . . 5 ((((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∪ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) = ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)
2 incom 4135 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) = (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))
3 dfin4 4201 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) = (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)))
42, 3eqtri 2766 . . . . . . 7 (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) = (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)))
5 id 22 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol → ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol)
6 mbfeqa.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
7 mbfeqa.2 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
8 mbfeqa.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 𝐷)
9 mbfeqalem.4 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
10 mbfeqalem.5 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)
116, 7, 8, 9, 10mbfeqalem1 24805 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
12 difmbl 24707 . . . . . . . 8 ((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
135, 11, 12syl2anr 597 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
144, 13eqeltrid 2843 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
158eqcomd 2744 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐷 = 𝐶)
166, 7, 15, 10, 9mbfeqalem1 24805 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
1716adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
18 unmbl 24701 . . . . . 6 (((((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol ∧ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol) → ((((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∪ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
1914, 17, 18syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∪ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
201, 19eqeltrrid 2844 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol)
21 inundif 4412 . . . . 5 ((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∪ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) = ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)
22 incom 4135 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) = (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))
23 dfin4 4201 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) = (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)))
2422, 23eqtri 2766 . . . . . . 7 (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) = (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)))
25 id 22 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol → ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol)
26 difmbl 24707 . . . . . . . 8 ((((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
2725, 16, 26syl2anr 597 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
2824, 27eqeltrid 2843 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
2911adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
30 unmbl 24701 . . . . . 6 (((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol ∧ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol) → ((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∪ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
3128, 29, 30syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∪ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
3221, 31eqeltrrid 2844 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol)
3320, 32impbida 798 . . 3 (𝜑 → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol ↔ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol))
3433ralbidv 3112 . 2 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran (,)((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol))
359fmpttd 6989 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶):𝐵⟶ℝ)
36 ismbf 24792 . . 3 ((𝑥𝐵𝐶):𝐵⟶ℝ → ((𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol))
3735, 36syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol))
3810fmpttd 6989 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐷):𝐵⟶ℝ)
39 ismbf 24792 . . 3 ((𝑥𝐵𝐷):𝐵⟶ℝ → ((𝑥𝐵𝐷) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol))
4038, 39syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐷) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol))
4134, 37, 403bitr4d 311 1 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn ↔ (𝑥𝐵𝐷) ∈ MblFn))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  cdif 3884  cun 3885  cin 3886  wss 3887  cmpt 5157  ccnv 5588  dom cdm 5589  ran crn 5590  cima 5592  wf 6429  cfv 6433  cr 10870  0cc0 10871  (,)cioo 13079  vol*covol 24626  volcvol 24627  MblFncmbf 24778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-symdif 4176  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xadd 12849  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-xmet 20590  df-met 20591  df-ovol 24628  df-vol 24629  df-mbf 24783
This theorem is referenced by:  mbfeqa  24807
  Copyright terms: Public domain W3C validator