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Theorem mbfeqalem2 25391
Description: Lemma for mbfeqa 25392. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.) (Proof shortened by AV, 19-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfeqa.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
mbfeqa.2 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
mbfeqa.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 = 𝐷)
mbfeqalem.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
mbfeqalem.5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
mbfeqalem2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) ∈ MblFn))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯)   𝐷(π‘₯)
Proof of Theorem mbfeqalem2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inundif 4477 . . . . 5 (((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)) βˆͺ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦))) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)
2 incom 4200 . . . . . . . 8 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)) = ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))
3 dfin4 4266 . . . . . . . 8 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) = ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)))
42, 3eqtri 2758 . . . . . . 7 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)) = ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)))
5 id 22 . . . . . . . 8 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
6 mbfeqa.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
7 mbfeqa.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
8 mbfeqa.3 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 = 𝐷)
9 mbfeqalem.4 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
10 mbfeqalem.5 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
116, 7, 8, 9, 10mbfeqalem1 25390 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol)
12 difmbl 25292 . . . . . . . 8 (((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol ∧ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))) ∈ dom vol)
135, 11, 12syl2anr 595 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))) ∈ dom vol)
144, 13eqeltrid 2835 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol)
158eqcomd 2736 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐷 = 𝐢)
166, 7, 15, 10, 9mbfeqalem1 25390 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol)
1716adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol)
18 unmbl 25286 . . . . . 6 ((((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol ∧ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol) β†’ (((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)) βˆͺ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦))) ∈ dom vol)
1914, 17, 18syl2anc 582 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ (((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)) βˆͺ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦))) ∈ dom vol)
201, 19eqeltrrid 2836 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
21 inundif 4477 . . . . 5 (((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) βˆͺ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)
22 incom 4200 . . . . . . . 8 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) = ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦))
23 dfin4 4266 . . . . . . . 8 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)) = ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)))
2422, 23eqtri 2758 . . . . . . 7 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) = ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)))
25 id 22 . . . . . . . 8 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
26 difmbl 25292 . . . . . . . 8 (((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol ∧ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦))) ∈ dom vol)
2725, 16, 26syl2anr 595 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦))) ∈ dom vol)
2824, 27eqeltrid 2835 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol)
2911adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol)
30 unmbl 25286 . . . . . 6 ((((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol ∧ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol) β†’ (((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) βˆͺ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))) ∈ dom vol)
3128, 29, 30syl2anc 582 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ (((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) βˆͺ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))) ∈ dom vol)
3221, 31eqeltrrid 2836 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
3320, 32impbida 797 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol ↔ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
3433ralbidv 3175 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)(β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)(β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
359fmpttd 7115 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢):π΅βŸΆβ„)
36 ismbf 25377 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢):π΅βŸΆβ„ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)(β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
3735, 36syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)(β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
3810fmpttd 7115 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷):π΅βŸΆβ„)
39 ismbf 25377 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷):π΅βŸΆβ„ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)(β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
4038, 39syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)(β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
4134, 37, 403bitr4d 310 1 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) ∈ MblFn))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947   ↦ cmpt 5230  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β€œ cima 5678  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  β„cr 11111  0cc0 11112  (,)cioo 13328  vol*covol 25211  volcvol 25212  MblFncmbf 25363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-symdif 4241  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xadd 13097  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-xmet 21137  df-met 21138  df-ovol 25213  df-vol 25214  df-mbf 25368
This theorem is referenced by:  mbfeqa  25392
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