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Theorem mbfeqalem2 25392
Description: Lemma for mbfeqa 25393. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.) (Proof shortened by AV, 19-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfeqa.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
mbfeqa.2 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
mbfeqa.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 = 𝐷)
mbfeqalem.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
mbfeqalem.5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
mbfeqalem2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) ∈ MblFn))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯)   𝐷(π‘₯)
Proof of Theorem mbfeqalem2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inundif 4478 . . . . 5 (((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)) βˆͺ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦))) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)
2 incom 4201 . . . . . . . 8 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)) = ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))
3 dfin4 4267 . . . . . . . 8 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) = ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)))
42, 3eqtri 2759 . . . . . . 7 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)) = ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)))
5 id 22 . . . . . . . 8 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
6 mbfeqa.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
7 mbfeqa.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
8 mbfeqa.3 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 = 𝐷)
9 mbfeqalem.4 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
10 mbfeqalem.5 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
116, 7, 8, 9, 10mbfeqalem1 25391 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol)
12 difmbl 25293 . . . . . . . 8 (((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol ∧ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))) ∈ dom vol)
135, 11, 12syl2anr 596 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))) ∈ dom vol)
144, 13eqeltrid 2836 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol)
158eqcomd 2737 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐷 = 𝐢)
166, 7, 15, 10, 9mbfeqalem1 25391 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol)
1716adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol)
18 unmbl 25287 . . . . . 6 ((((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol ∧ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol) β†’ (((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)) βˆͺ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦))) ∈ dom vol)
1914, 17, 18syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ (((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)) βˆͺ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦))) ∈ dom vol)
201, 19eqeltrrid 2837 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
21 inundif 4478 . . . . 5 (((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) βˆͺ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)
22 incom 4201 . . . . . . . 8 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) = ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦))
23 dfin4 4267 . . . . . . . 8 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)) = ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)))
2422, 23eqtri 2759 . . . . . . 7 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) = ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)))
25 id 22 . . . . . . . 8 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
26 difmbl 25293 . . . . . . . 8 (((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol ∧ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦))) ∈ dom vol)
2725, 16, 26syl2anr 596 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦))) ∈ dom vol)
2824, 27eqeltrid 2836 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol)
2911adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol)
30 unmbl 25287 . . . . . 6 ((((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol ∧ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol) β†’ (((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) βˆͺ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))) ∈ dom vol)
3128, 29, 30syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ (((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) βˆͺ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))) ∈ dom vol)
3221, 31eqeltrrid 2837 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
3320, 32impbida 798 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol ↔ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
3433ralbidv 3176 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)(β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)(β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
359fmpttd 7116 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢):π΅βŸΆβ„)
36 ismbf 25378 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢):π΅βŸΆβ„ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)(β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
3735, 36syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)(β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
3810fmpttd 7116 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷):π΅βŸΆβ„)
39 ismbf 25378 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷):π΅βŸΆβ„ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)(β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
4038, 39syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)(β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
4134, 37, 403bitr4d 311 1 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) ∈ MblFn))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  β„cr 11113  0cc0 11114  (,)cioo 13329  vol*covol 25212  volcvol 25213  MblFncmbf 25364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-symdif 4242  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xadd 13098  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-xmet 21138  df-met 21139  df-ovol 25214  df-vol 25215  df-mbf 25369
This theorem is referenced by:  mbfeqa  25393
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