MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfeqalem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfeqalem2 24406
Description: Lemma for mbfeqa 24407. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.) (Proof shortened by AV, 19-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfeqa.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
mbfeqa.2 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
mbfeqa.3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 𝐷)
mbfeqalem.4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
mbfeqalem.5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
mbfeqalem2 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn ↔ (𝑥𝐵𝐷) ∈ MblFn))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem mbfeqalem2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inundif 4378 . . . . 5 ((((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∪ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) = ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)
2 incom 4101 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) = (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))
3 dfin4 4168 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) = (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)))
42, 3eqtri 2762 . . . . . . 7 (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) = (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)))
5 id 22 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol → ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol)
6 mbfeqa.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
7 mbfeqa.2 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
8 mbfeqa.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 𝐷)
9 mbfeqalem.4 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
10 mbfeqalem.5 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)
116, 7, 8, 9, 10mbfeqalem1 24405 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
12 difmbl 24307 . . . . . . . 8 ((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
135, 11, 12syl2anr 600 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
144, 13eqeltrid 2838 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
158eqcomd 2745 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐷 = 𝐶)
166, 7, 15, 10, 9mbfeqalem1 24405 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
1716adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
18 unmbl 24301 . . . . . 6 (((((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol ∧ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol) → ((((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∪ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
1914, 17, 18syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∪ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
201, 19eqeltrrid 2839 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol)
21 inundif 4378 . . . . 5 ((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∪ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) = ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)
22 incom 4101 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) = (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))
23 dfin4 4168 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) = (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)))
2422, 23eqtri 2762 . . . . . . 7 (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) = (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)))
25 id 22 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol → ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol)
26 difmbl 24307 . . . . . . . 8 ((((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
2725, 16, 26syl2anr 600 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
2824, 27eqeltrid 2838 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
2911adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
30 unmbl 24301 . . . . . 6 (((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol ∧ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol) → ((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∪ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
3128, 29, 30syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∪ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
3221, 31eqeltrrid 2839 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol)
3320, 32impbida 801 . . 3 (𝜑 → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol ↔ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol))
3433ralbidv 3110 . 2 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran (,)((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol))
359fmpttd 6901 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶):𝐵⟶ℝ)
36 ismbf 24392 . . 3 ((𝑥𝐵𝐶):𝐵⟶ℝ → ((𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol))
3735, 36syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol))
3810fmpttd 6901 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐷):𝐵⟶ℝ)
39 ismbf 24392 . . 3 ((𝑥𝐵𝐷):𝐵⟶ℝ → ((𝑥𝐵𝐷) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol))
4038, 39syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐷) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol))
4134, 37, 403bitr4d 314 1 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn ↔ (𝑥𝐵𝐷) ∈ MblFn))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3054  cdif 3850  cun 3851  cin 3852  wss 3853  cmpt 5120  ccnv 5534  dom cdm 5535  ran crn 5536  cima 5538  wf 6345  cfv 6349  cr 10626  0cc0 10627  (,)cioo 12833  vol*covol 24226  volcvol 24227  MblFncmbf 24378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-inf2 9189  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704  ax-pre-sup 10705
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-symdif 4143  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-of 7437  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-1o 8143  df-2o 8144  df-er 8332  df-map 8451  df-pm 8452  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-fin 8571  df-sup 8991  df-inf 8992  df-oi 9059  df-dju 9415  df-card 9453  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-div 11388  df-nn 11729  df-2 11791  df-3 11792  df-n0 11989  df-z 12075  df-uz 12337  df-q 12443  df-rp 12485  df-xadd 12603  df-ioo 12837  df-ico 12839  df-icc 12840  df-fz 12994  df-fzo 13137  df-fl 13265  df-seq 13473  df-exp 13534  df-hash 13795  df-cj 14560  df-re 14561  df-im 14562  df-sqrt 14696  df-abs 14697  df-clim 14947  df-sum 15148  df-xmet 20222  df-met 20223  df-ovol 24228  df-vol 24229  df-mbf 24383
This theorem is referenced by:  mbfeqa  24407
  Copyright terms: Public domain W3C validator