Theorem mbfeqalem2 25856

Description: Lemma for mbfeqa 25857. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.) (Proof shortened by AV, 19-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfeqa.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
mbfeqa.2	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
mbfeqa.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 𝐷)
mbfeqalem.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
mbfeqalem.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mbfeqalem2	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) ∈ MblFn))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem mbfeqalem2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inundif 4442	. . . . 5 ⊢ (((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) ∪ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦))) = (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)
2		incom 4162	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) = ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))
3		dfin4 4231	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) = ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)))
4	2, 3	eqtri 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) = ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)))
5		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol → (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol)
6		mbfeqa.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
7		mbfeqa.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
8		mbfeqa.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 𝐷)
9		mbfeqalem.4	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
10		mbfeqalem.5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)
11	6, 7, 8, 9, 10	mbfeqalem1 25855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
12		difmbl 25757	. . . . . . . 8 ⊢ (((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol) → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
13	5, 11, 12	syl2anr 609	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
14	4, 13	eqeltrid 2869	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
15	8	eqcomd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐷 = 𝐶)
16	6, 7, 15, 10, 9	mbfeqalem1 25855	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
17	16	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
18		unmbl 25751	. . . . . 6 ⊢ ((((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol ∧ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol) → (((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) ∪ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
19	14, 17, 18	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) ∪ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
20	1, 19	eqeltrrid 2870	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol)
21		inundif 4442	. . . . 5 ⊢ (((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∪ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))) = (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)
22		incom 4162	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) = ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦))
23		dfin4 4231	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) = ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)))
24	22, 23	eqtri 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) = ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)))
25		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol → (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol)
26		difmbl 25757	. . . . . . . 8 ⊢ (((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol) → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
27	25, 16, 26	syl2anr 609	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
28	24, 27	eqeltrid 2869	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
29	11	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
30		unmbl 25751	. . . . . 6 ⊢ ((((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol ∧ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol) → (((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∪ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
31	28, 29, 30	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∪ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
32	21, 31	eqeltrrid 2870	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol)
33	20, 32	impbida 813	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol ↔ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol))
34	33	ralbidv 3190	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran (,)(◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)(◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol))
35	9	fmpttd 7114	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶ℝ)
36		ismbf 25842	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶ℝ → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)(◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol))
37	35, 36	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)(◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol))
38	10	fmpttd 7114	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷):𝐵⟶ℝ)
39		ismbf 25842	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷):𝐵⟶ℝ → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)(◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol))
40	38, 39	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)(◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol))
41	34, 37, 40	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) ∈ MblFn))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081   ∖ cdif 3903   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906   ↦ cmpt 5194  ^◡ccnv 5662  dom cdm 5663  ran crn 5664   “ cima 5666  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  ℝcr 11118  0cc0 11119  (,)cioo 13392  vol*covol 25676  volcvol 25677  MblFncmbf 25828

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-pre-sup 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-symdif 4206  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11891  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12883  df-q 12993  df-rp 13037  df-xadd 13158  df-ioo 13396  df-ico 13398  df-icc 13399  df-fz 13556  df-fzo 13704  df-fl 13847  df-seq 14060  df-exp 14120  df-hash 14389  df-cj 15178  df-re 15179  df-im 15180  df-sqrt 15314  df-abs 15315  df-clim 15567  df-sum 15766  df-xmet 21569  df-met 21570  df-ovol 25678  df-vol 25679  df-mbf 25833

This theorem is used by:  mbfeqa  25857