Theorem mbfeqalem2 24806

Description: Lemma for mbfeqa 24807. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.) (Proof shortened by AV, 19-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfeqa.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
mbfeqa.2	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
mbfeqa.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 𝐷)
mbfeqalem.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
mbfeqalem.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mbfeqalem2	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) ∈ MblFn))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem mbfeqalem2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inundif 4412	. . . . 5 ⊢ (((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) ∪ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦))) = (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)
2		incom 4135	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) = ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))
3		dfin4 4201	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) = ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)))
4	2, 3	eqtri 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) = ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)))
5		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol → (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol)
6		mbfeqa.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
7		mbfeqa.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
8		mbfeqa.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 𝐷)
9		mbfeqalem.4	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
10		mbfeqalem.5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)
11	6, 7, 8, 9, 10	mbfeqalem1 24805	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
12		difmbl 24707	. . . . . . . 8 ⊢ (((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol) → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
13	5, 11, 12	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
14	4, 13	eqeltrid 2843	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
15	8	eqcomd 2744	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐷 = 𝐶)
16	6, 7, 15, 10, 9	mbfeqalem1 24805	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
17	16	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
18		unmbl 24701	. . . . . 6 ⊢ ((((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol ∧ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol) → (((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) ∪ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
19	14, 17, 18	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) ∪ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
20	1, 19	eqeltrrid 2844	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol)
21		inundif 4412	. . . . 5 ⊢ (((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∪ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))) = (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)
22		incom 4135	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) = ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦))
23		dfin4 4201	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) = ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)))
24	22, 23	eqtri 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) = ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)))
25		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol → (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol)
26		difmbl 24707	. . . . . . . 8 ⊢ (((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol) → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
27	25, 16, 26	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
28	24, 27	eqeltrid 2843	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
29	11	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
30		unmbl 24701	. . . . . 6 ⊢ ((((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol ∧ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol) → (((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∪ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
31	28, 29, 30	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∩ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∪ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
32	21, 31	eqeltrrid 2844	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol)
33	20, 32	impbida 798	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol ↔ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol))
34	33	ralbidv 3112	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran (,)(◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)(◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol))
35	9	fmpttd 6989	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶ℝ)
36		ismbf 24792	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶ℝ → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)(◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol))
37	35, 36	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)(◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol))
38	10	fmpttd 6989	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷):𝐵⟶ℝ)
39		ismbf 24792	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷):𝐵⟶ℝ → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)(◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol))
40	38, 39	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)(◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol))
41	34, 37, 40	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) ∈ MblFn))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ∖ cdif 3884   ∪ cun 3885   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887   ↦ cmpt 5157  ^◡ccnv 5588  dom cdm 5589  ran crn 5590   “ cima 5592  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  ℝcr 10870  0cc0 10871  (,)cioo 13079  vol*covol 24626  volcvol 24627  MblFncmbf 24778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-symdif 4176  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xadd 12849  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-xmet 20590  df-met 20591  df-ovol 24628  df-vol 24629  df-mbf 24783

This theorem is referenced by:  mbfeqa  24807