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Theorem mbfeqalem2 25150
Description: Lemma for mbfeqa 25151. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.) (Proof shortened by AV, 19-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfeqa.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
mbfeqa.2 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
mbfeqa.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 = 𝐷)
mbfeqalem.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
mbfeqalem.5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
mbfeqalem2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) ∈ MblFn))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯)   𝐷(π‘₯)
Proof of Theorem mbfeqalem2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inundif 4477 . . . . 5 (((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)) βˆͺ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦))) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)
2 incom 4200 . . . . . . . 8 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)) = ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))
3 dfin4 4266 . . . . . . . 8 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) = ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)))
42, 3eqtri 2760 . . . . . . 7 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)) = ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)))
5 id 22 . . . . . . . 8 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
6 mbfeqa.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
7 mbfeqa.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
8 mbfeqa.3 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 = 𝐷)
9 mbfeqalem.4 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
10 mbfeqalem.5 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
116, 7, 8, 9, 10mbfeqalem1 25149 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol)
12 difmbl 25051 . . . . . . . 8 (((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol ∧ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))) ∈ dom vol)
135, 11, 12syl2anr 597 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))) ∈ dom vol)
144, 13eqeltrid 2837 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol)
158eqcomd 2738 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐷 = 𝐢)
166, 7, 15, 10, 9mbfeqalem1 25149 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol)
1716adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol)
18 unmbl 25045 . . . . . 6 ((((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol ∧ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol) β†’ (((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)) βˆͺ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦))) ∈ dom vol)
1914, 17, 18syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ (((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)) βˆͺ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦))) ∈ dom vol)
201, 19eqeltrrid 2838 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
21 inundif 4477 . . . . 5 (((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) βˆͺ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)
22 incom 4200 . . . . . . . 8 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) = ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦))
23 dfin4 4266 . . . . . . . 8 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)) = ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)))
2422, 23eqtri 2760 . . . . . . 7 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) = ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)))
25 id 22 . . . . . . . 8 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
26 difmbl 25051 . . . . . . . 8 (((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol ∧ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦))) ∈ dom vol)
2725, 16, 26syl2anr 597 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦))) ∈ dom vol)
2824, 27eqeltrid 2837 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol)
2911adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol)
30 unmbl 25045 . . . . . 6 ((((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol ∧ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol) β†’ (((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) βˆͺ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))) ∈ dom vol)
3128, 29, 30syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ (((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∩ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) βˆͺ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))) ∈ dom vol)
3221, 31eqeltrrid 2838 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
3320, 32impbida 799 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol ↔ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
3433ralbidv 3177 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)(β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)(β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
359fmpttd 7111 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢):π΅βŸΆβ„)
36 ismbf 25136 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢):π΅βŸΆβ„ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)(β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
3735, 36syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)(β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
3810fmpttd 7111 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷):π΅βŸΆβ„)
39 ismbf 25136 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷):π΅βŸΆβ„ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)(β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
4038, 39syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)(β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
4134, 37, 403bitr4d 310 1 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) ∈ MblFn))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947   ↦ cmpt 5230  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β€œ cima 5678  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  β„cr 11105  0cc0 11106  (,)cioo 13320  vol*covol 24970  volcvol 24971  MblFncmbf 25122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-symdif 4241  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xadd 13089  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-xmet 20929  df-met 20930  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-mbf 25127
This theorem is referenced by:  mbfeqa  25151
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