Theorem ply1vr1smo 45652

Description: The variable in a polynomial expressed as scaled monomial. (Contributed by AV, 12-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1vr1smo.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1vr1smo.i	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ply1vr1smo.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply1vr1smo.m	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
ply1vr1smo.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
ply1vr1smo.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1vr1smo	⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 1 · (1 ↑ 𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem ply1vr1smo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1vr1smo.i	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
2		ply1vr1smo.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1sca 21368	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4	3	fveq2d 6765	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
5	1, 4	eqtrid 2789	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
6	5	oveq1d 7275	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 1 · (1 ↑ 𝑋)) = ((1r‘(Scalar‘𝑃)) · (1 ↑ 𝑋)))
7	2	ply1lmod 21367	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
8		ply1vr1smo.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
9		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
10	8, 2, 9	vr1cl 21332	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
11		ply1vr1smo.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
12	11, 9	mgpbas 19670	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
13		ply1vr1smo.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
14	12, 13	mulg1 18655	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → (1 ↑ 𝑋) = 𝑋)
15	10, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1 ↑ 𝑋) = 𝑋)
16	15, 10	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
17		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
18		ply1vr1smo.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
19		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑃)) = (1r‘(Scalar‘𝑃))
20	9, 17, 18, 19	lmodvs1 20095	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (1 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → ((1r‘(Scalar‘𝑃)) · (1 ↑ 𝑋)) = (1 ↑ 𝑋))
21	7, 16, 20	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘(Scalar‘𝑃)) · (1 ↑ 𝑋)) = (1 ↑ 𝑋))
22	6, 21, 15	3eqtrd 2781	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 1 · (1 ↑ 𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6423  (class class class)co 7260  1c1 10819  Basecbs 16856  Scalarcsca 16909   ·_𝑠 cvsca 16910  ._gcmg 18644  mulGrpcmgp 19664  1_rcur 19681  Ringcrg 19727  LModclmod 20067  var₁cv1 21291  Poly₁cpl1 21292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7571  ax-cnex 10874  ax-resscn 10875  ax-1cn 10876  ax-icn 10877  ax-addcl 10878  ax-addrcl 10879  ax-mulcl 10880  ax-mulrcl 10881  ax-mulcom 10882  ax-addass 10883  ax-mulass 10884  ax-distr 10885  ax-i2m1 10886  ax-1ne0 10887  ax-1rid 10888  ax-rnegex 10889  ax-rrecex 10890  ax-cnre 10891  ax-pre-lttri 10892  ax-pre-lttrn 10893  ax-pre-ltadd 10894  ax-pre-mulgt0 10895

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3429  df-sbc 3717  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6259  df-on 6260  df-lim 6261  df-suc 6262  df-iota 6381  df-fun 6425  df-fn 6426  df-f 6427  df-f1 6428  df-fo 6429  df-f1o 6430  df-fv 6431  df-riota 7217  df-ov 7263  df-oprab 7264  df-mpo 7265  df-of 7516  df-om 7693  df-1st 7809  df-2nd 7810  df-supp 7954  df-frecs 8073  df-wrecs 8104  df-recs 8178  df-rdg 8217  df-1o 8272  df-er 8461  df-map 8580  df-en 8697  df-dom 8698  df-sdom 8699  df-fin 8700  df-fsupp 9075  df-pnf 10958  df-mnf 10959  df-xr 10960  df-ltxr 10961  df-le 10962  df-sub 11153  df-neg 11154  df-nn 11920  df-2 11982  df-3 11983  df-4 11984  df-5 11985  df-6 11986  df-7 11987  df-8 11988  df-9 11989  df-n0 12180  df-z 12266  df-dec 12383  df-uz 12528  df-fz 13185  df-seq 13666  df-struct 16792  df-sets 16809  df-slot 16827  df-ndx 16839  df-base 16857  df-ress 16886  df-plusg 16919  df-mulr 16920  df-sca 16922  df-vsca 16923  df-tset 16925  df-ple 16926  df-0g 17096  df-mgm 18270  df-sgrp 18319  df-mnd 18330  df-grp 18524  df-minusg 18525  df-sbg 18526  df-mulg 18645  df-subg 18696  df-mgp 19665  df-ur 19682  df-ring 19729  df-lmod 20069  df-lss 20138  df-psr 21056  df-mvr 21057  df-mpl 21058  df-opsr 21060  df-psr1 21295  df-vr1 21296  df-ply1 21297

This theorem is referenced by: (None)