Theorem ply1vr1smo 47528

Description: The variable in a polynomial expressed as scaled monomial. (Contributed by AV, 12-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1vr1smo.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1vr1smo.i	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ply1vr1smo.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply1vr1smo.m	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
ply1vr1smo.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
ply1vr1smo.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1vr1smo	⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 1 · (1 ↑ 𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem ply1vr1smo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1vr1smo.i	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
2		ply1vr1smo.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1sca 22178	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4	3	fveq2d 6906	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
5	1, 4	eqtrid 2780	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
6	5	oveq1d 7441	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 1 · (1 ↑ 𝑋)) = ((1r‘(Scalar‘𝑃)) · (1 ↑ 𝑋)))
7	2	ply1lmod 22177	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
8		ply1vr1smo.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
9		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
10	8, 2, 9	vr1cl 22143	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
11		ply1vr1smo.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
12	11, 9	mgpbas 20087	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
13		ply1vr1smo.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
14	12, 13	mulg1 19043	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → (1 ↑ 𝑋) = 𝑋)
15	10, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1 ↑ 𝑋) = 𝑋)
16	15, 10	eqeltrd 2829	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
17		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
18		ply1vr1smo.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
19		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑃)) = (1r‘(Scalar‘𝑃))
20	9, 17, 18, 19	lmodvs1 20780	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (1 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → ((1r‘(Scalar‘𝑃)) · (1 ↑ 𝑋)) = (1 ↑ 𝑋))
21	7, 16, 20	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘(Scalar‘𝑃)) · (1 ↑ 𝑋)) = (1 ↑ 𝑋))
22	6, 21, 15	3eqtrd 2772	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 1 · (1 ↑ 𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  1c1 11147  Basecbs 17187  Scalarcsca 17243   ·_𝑠 cvsca 17244  ._gcmg 19030  mulGrpcmgp 20081  1_rcur 20128  Ringcrg 20180  LModclmod 20750  var₁cv1 22102  Poly₁cpl1 22103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-seq 14007  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-psr 21849  df-mvr 21850  df-mpl 21851  df-opsr 21853  df-psr1 22106  df-vr1 22107  df-ply1 22108

This theorem is referenced by: (None)