Theorem ply1vr1smo 47319

Description: The variable in a polynomial expressed as scaled monomial. (Contributed by AV, 12-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1vr1smo.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1vr1smo.i	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ply1vr1smo.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply1vr1smo.m	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
ply1vr1smo.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
ply1vr1smo.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1vr1smo	⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 1 · (1 ↑ 𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem ply1vr1smo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1vr1smo.i	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
2		ply1vr1smo.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1sca 22122	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4	3	fveq2d 6888	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
5	1, 4	eqtrid 2778	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
6	5	oveq1d 7419	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 1 · (1 ↑ 𝑋)) = ((1r‘(Scalar‘𝑃)) · (1 ↑ 𝑋)))
7	2	ply1lmod 22121	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
8		ply1vr1smo.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
9		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
10	8, 2, 9	vr1cl 22087	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
11		ply1vr1smo.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
12	11, 9	mgpbas 20043	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
13		ply1vr1smo.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
14	12, 13	mulg1 19006	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → (1 ↑ 𝑋) = 𝑋)
15	10, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1 ↑ 𝑋) = 𝑋)
16	15, 10	eqeltrd 2827	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
17		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
18		ply1vr1smo.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
19		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑃)) = (1r‘(Scalar‘𝑃))
20	9, 17, 18, 19	lmodvs1 20734	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (1 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → ((1r‘(Scalar‘𝑃)) · (1 ↑ 𝑋)) = (1 ↑ 𝑋))
21	7, 16, 20	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘(Scalar‘𝑃)) · (1 ↑ 𝑋)) = (1 ↑ 𝑋))
22	6, 21, 15	3eqtrd 2770	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 1 · (1 ↑ 𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  1c1 11110  Basecbs 17151  Scalarcsca 17207   ·_𝑠 cvsca 17208  ._gcmg 18993  mulGrpcmgp 20037  1_rcur 20084  Ringcrg 20136  LModclmod 20704  var₁cv1 22046  Poly₁cpl1 22047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-seq 13970  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-subg 19048  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-psr 21799  df-mvr 21800  df-mpl 21801  df-opsr 21803  df-psr1 22050  df-vr1 22051  df-ply1 22052

This theorem is referenced by: (None)