Theorem ply1vr1smo 48853

Description: The variable in a polynomial expressed as scaled monomial. (Contributed by AV, 12-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1vr1smo.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1vr1smo.i	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ply1vr1smo.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply1vr1smo.m	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
ply1vr1smo.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
ply1vr1smo.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1vr1smo	⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 1 · (1 ↑ 𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem ply1vr1smo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1vr1smo.i	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
2		ply1vr1smo.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1sca 22216	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4	3	fveq2d 6845	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
5	1, 4	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
6	5	oveq1d 7382	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 1 · (1 ↑ 𝑋)) = ((1r‘(Scalar‘𝑃)) · (1 ↑ 𝑋)))
7	2	ply1lmod 22215	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
8		ply1vr1smo.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
9		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
10	8, 2, 9	vr1cl 22181	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
11		ply1vr1smo.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
12	11, 9	mgpbas 20126	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
13		ply1vr1smo.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
14	12, 13	mulg1 19057	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → (1 ↑ 𝑋) = 𝑋)
15	10, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1 ↑ 𝑋) = 𝑋)
16	15, 10	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
17		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
18		ply1vr1smo.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
19		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑃)) = (1r‘(Scalar‘𝑃))
20	9, 17, 18, 19	lmodvs1 20885	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (1 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → ((1r‘(Scalar‘𝑃)) · (1 ↑ 𝑋)) = (1 ↑ 𝑋))
21	7, 16, 20	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘(Scalar‘𝑃)) · (1 ↑ 𝑋)) = (1 ↑ 𝑋))
22	6, 21, 15	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 1 · (1 ↑ 𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  1c1 11039  Basecbs 17179  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  ._gcmg 19043  mulGrpcmgp 20121  1_rcur 20162  Ringcrg 20214  LModclmod 20855  var₁cv1 22139  Poly₁cpl1 22140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-seq 13964  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-psr 21889  df-mvr 21890  df-mpl 21891  df-opsr 21893  df-psr1 22143  df-vr1 22144  df-ply1 22145

This theorem is referenced by: (None)